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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

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in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/s2bulletindessci22fran 






BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES. 



m\. HEIIMITE, presidcfil. 
BERTRAND. 
DARBOUX. 
H. POINXARÉ 
J. TANNER Y. 
FOUSSEREAU, secrétaire. 



AVIS. 

Toutes les comiminications doivent être adressées à M. Darboux, Membre 
de l'Institut, rue Gay-Lussac, 36, Paris. 



25W1 Paris - Imprimerie CAtTHIEB-VILLARS ET FILS, quai dM Grands-.\ugusUns. 55. 



AOa^ 



BIBLIOTHEQUE DE L'ECOLE DES ILVUTES ÉTUDES, 

PUBLIÉE SOUS LES AUSPICES DU MINISTÈRE DE l' INSTRUCTION PUBLIQUE. 3> 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES, 

RÉDIGÉ PAR MM. GASTON DARBOUX ET JULIiS TANNERV, 

AVEC LA COI.I.ABOItATION IlE 

MM. CH. AXDRK, BELTRAMI, BOUGAIEFF, BROCARD, ERUXEL, 

GOURSAT, Cil. IIEXRY, G. KŒNIGS, LAISANT, LAMPE, LESPIAULT, S. LIE, MAXSION, 

MOLK, rOKROVSKY, RADAU, RAYET, RAFFY, 

S. RIXDI, SAUVAGE, SCIIOUTE, P. TANNERY, ED. WEYR, ZEUTIIEX, ETC., 

Sous la direction de la Commission des Hautes Études. 

PUCLICATIOX FOXDKE E\ 1870 l'AIJ MM. G. DARBOl.V ET J. IIOIEL 
ET CONTINUÉE DE 1876 A 1 886 PAU JIM. G. DARBOUX. . UOLEL KT J. TANNERY. 



DEUXIEME SÉRIE. 

TOME XXn. — ANNÉE 189! 

(tome xxxiii de la collection.) 



PREMIERE PARTIE. 





PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS ET FILS, I.MPRLMEURS-LIBRAIRES 

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.. 

Quai des Gratids-Aii[;iislins, 55. 

1898 



I 

■ AS 



BULLETIN 






SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



PREMIERE PARTIE. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

GALOIS (E.). — Œuvres mathématiques publiées sous les auspices de 
LA Société mathématique de France. Avec une introduction par M. E. 
Picard, i vol. in-8": x-6i p. Paris, Gauthier- Villars et fils, 1897. 

Liouville avait recueilli et publié dans son Journal les Œuvres 
mathématiques d'Evariste Galois. La Société mathématique a 
pensé avec raison qu'il convenait de publier une édition séparée 
de ces Œuvres ; cette édition est d'ailleurs conforme à celle de 
Liouville. On n'a rien retrouvé depuis 1846 et l'on ne peut guère 
espérer qu'on retrouve quoi que ce soit qui vienne s'ajouter à 
l'œuvre si courte et si considérable de Galois. 

Dans une intéressante Introduction, M. Picard retrace à grands 
traits la vie de Galois et le rôle qu'ont joué ses découvertes dans 
la Science moderne. 

M. Picard cite avec les éloges qu'il mérite le travail biogra- 
phique que M. Paul Dupuy a publié en 1896, àans les Annales 
de l'Ecole Normale supérieure. Si Galois n'entra qu'à contre- 
cœur dans cette Ecole, s'il en fut chassé au bout d'un an, il en 
reste, malgré tout, une des plus grandes gloires et la Maison qu'il 
a traversée lui doit des honneurs, par cela seul qu'il y a passé : elle 
s'est rappelé Galois, quand elle a fêté son centenaire et Sophus 



ti PREMIHKIÎ PAHTIE. 

Lie il parlé de lui comme il convenait, en savant; mais il restait à 
écrire la vie de Galois. 

C'est ce qu'a fait M. Dupuy et je crois bien que M. Picard a 
raison quand il dit que son travail est définitif. Tl était grand 
temps qu'il fût accompli. M. Dupuj a pu consulter ceux des 
contemporains de Galois qui survivent et se souviennent de lui, 
il a pu recueillir des membres de sa famille les renseignements 
les plus précieux ; on lui a confié l'inestimable portrait que 
MM. Gauthier-Villars ont reproduit en tête de ses OEuvres; avec 
la passion et les procédés d'un érudit, il a feuilleté les journaux 
du temps, les registres d'écrou de Sainte-Pélagie, les registres 
d'entrée à l'hôpital. . . . Grâce aux souvenirs de ceux qui avaient 
connu Galois, grâce à ses j^atientes recherches, il a su faire revivre 
un peu ce merveilleux génie et l'étrange milieu révolutionnaire 
où il s'est agité jiendant de si courtes années; il a pu enfin nous 
faire comprendre ces défauts de caractère que l'on reproche juste- 
ment à Galois, mais qui, dès qu'on les comprend, ne découragent 
plus la sympathie. Aussi faut-il savoir gré à M. P. Dupuy, de 
l'œuvre pieuse qu'il a menée à bonne fin. Quant à l'admiration 
qui est due à Galois, les soixante pages où tiennent ses OEuvres 
mathématiques suffisent à lui assurer une durée égale à celle de 
la Science. .1. T. 



FRISCIIAUF (.1.). — VoRLESuNGEX UEDER Kreis- und Kugel-Fuxctionex- 
Reihen. Un vol. in-8", vi-6o p. Leipzig, Teubner, 1897. 

L'objet essentiel de l'auteur est d'établir, sous les conditions de 
Dirichlet, la possibilité de la i^eprésentation des fonctions au 
moyen des séries Irigonométriques ou des séries de fonctions sphé- 
riques : relativement aux fonctions sphériques, il se borne à éta- 
blir celles des propriétés qui sont tout à fait fondamentales, ou 
dont il aura besoin pour la démonstration de la convergence : la 
démonstration qu'il expose est au fond celle de Dini [Aniiali di 
MalcmalLca, \ I, 18-4), mais notablement simplifiée. L'exposi- 
tion est claire et élémentaire : elle rendra service aux étudiants en 
Mathématiques qui veulent s'initier aux éléments d'une théorie 



COMPTliS UHNDUS H T AN A I. VSKS. 7 

très importante et à ceux des étudiants en Physique qui éprouvent 
le besoin de connaître la démonstration de propositions mathé- 
matiques dont ils ont à faire un usage continuel. J. T. 



JANUSCHKE (II.). — Dvs Puixcii' I)i:k Eriialting dku lÎNKnciiE ix» skine 
AxWENDLNG IN DER Natijrleiire. Ein Hilfsbucli fin- (Icii liuheren Unlcr- 
riclit. Un vol. in-S": x-4î3 p. Leipzig, Teiibner, 1897. 

Le Livre de M. Januschke est intéressant et utile; il permet à 
un lecteur qui a reçu une bonne éducation mathématique et qui 
connaît les éléments des Sciences expérimentales d'acquérir des 
idées d'ensemble sur les points essentiels de la Physique, telle 
qu'elle est aujourd'hui constituée. Si l'auteur a du goût pour les 
généralités, il n'en a pas moins pour la précision et il a multiplié 
singulièrement les exemples concrets et les a|)|)licalions numé- 
riques, bien propres à fixer dans l'esjîrit du lecteur le sens des pro- 
positions ou des théories qu'il développe. M. Januschke a pour 
son sujet un certain enthousiasme, qui n'est ])as pour déplaire : il 
est persuadé que l'étude de la Physique est excellente pour former 
l'esprit et le cœur : cette étude aussi rendra la vie plus douce aux 
hommes, en leur faisant connaître et aimer cette Nature qui 
causait tant de terreurs à leurs superstitieux ancêtres. ^ oilà une 
opinion qui est rassurante pour Tavenir, et qui a le mérite d'en- 
coui'ager dès à présent ceux qui la partagent. 

JNL Januschke a emprunté une curieuse épigraphe à R. Mayer : 
c'est une déclaration de guerre à ce qui reste des dieux de la Grèce, 
réfugiés dans les fluides impondérables ; c'est là, il faut l'avouer, un 
triste déguisement pour ces radieuses divinités, plus triste encore 
que ceux qu'avait rêvés la fantaisie de Henri Heine ; ces lamentables 
idoles sont maintenant détrônées par le principe de la conservation 
de l'Energie. Si ce principe devient une religion, il convient, peut- 
être, de lui pardonner le mystère dont il reste enveloppé; tous les 
termes, à vrai dire, n'en sont pas d'une parfaite clarté ; si les forces, 
dont la notion est assurément un résidu métaphysique n'y figurent 
pas immédiatement, il est difficile de dire ce que c'est que les 
masses, à moins de se résoudre à les regarder comme des coejfi- 



8 PREMIÈRE PARTIE. 

cienls qu'il est commode d'introduire dans les calculs ('), ce 
que c'est que l'énergie potentielle, à moins de la regarder comme 
une fonction des coordonnées, ce qui est peut-être insuffisant. 
Mais .M. Janusclike ne se perd pas dans ces questions tliéologiques. 
C'est la pratique du culte qu'il veut enseigner : le principe de la 
conservation de l'énergie est posé comme une induction résultant 
des découvertes de Galilée; quelques exemples concrets, simples 
et bien choisis permettent d'en donner quelque habitude au 
lecteur. Disons de suite que l'auteur a grand soin, dans toutes les 
parties de son Livre, de donner d'intéressants détails historiques 
sur les découvertes scientifiques et l'évolution des idées qui s'y 
rattachent; c'est là une excellente méthode qui marque d'ailleurs 
les tendances philosophiques de M. Januschke, assez nettement 
inclinées vers le positivisme. S'il est vrai que l'auteur incline dans 
ce sens, pourquoi énonce-t-il cette proposition : l'énergie totale 
de l'Univers est constante? Elle semble bien supposer, pour avoir 
un sens, que l'Univers soit fini, et cette hjpothèse-là dépasse la 
Science positive. Celle-ci est essentiellement limitée dans le temps 
et dans l'espace, à des choses voisines de nous, à moins que 
nous ne prétendions substituer un Univers de définition à celui 
dont l'induction nous permet de pénétrer une faible partie. 

Le principe de la conservation de l'énergie une fois posé, l'au- 
teur en développe les conséquences : c'est, d'abord, toute la Mé- 
canique, puisque le principe de d'Alembert peut être considéré 
comme une de ces conséquences, en regardant tous les mouve- 
ments d'un système, compatibles avec les liaisons, comme satisfai- 
sant au principe de la conservation. Plusieurs des problèmes 
classiques de la Mécanique rationnelle, particulièrement impor- 
tants sont d'ailleurs développés avec détail. Deux Chapitres sont 
consacrés au mouvement et à l'équilibre des fluides; l'auteur 
insistera naturellement sur le rôle que la notion de travail joue 
dans l'interprétation des propriétés de ces corps : l'étude des pro- 
priétés mécaniques des fluides se relie naturellement à celle des 
forces moléculaires et de l'élasticité, qui termine la partie pure- 
ment mécanique de l'Ouvrage. 



(') l'oiNCAUii, Les idées de Hertz sur la Mécanique (Jievue générale des 
Sciences, oo scplumbrc 1897). 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 9 

Dans la seconde Parlio, l'aiileur passe ensuite en revue les 
diverses parties delà Physique ; Chaleur, Electricité, IMagnétismc 
et Lumière. C'est un intéressant résumé de Physique mathéma- 
tique, que nous nous contentons de signaler. J. T. 



LAMB (H.)- — An elementauv course of i.\i'i.MTEsiM\r, Calcllus. Un vol. 
pclit in-S", xx-GiC) p. Cambridge, Univcrsity Press, 1897. 

L'auteur dit dans sa préface qu'il n'a eu l'intention d'enseigner 
ni la Mécanique, ni la Physique, ni l'Art de l'Ingénieur, mais 
d'habituer le lecteur au genre de Mathématiques que l'on fait le 
plus habituellement en Mécanique, en Physique, ou dans le métier 
d'Ingénieur. Cette phrase me paraît caractériser parfaitement le 
livre qu'il a voulu faire, et qu'il a réussi à faire. C'est vraiment un 
cours élémentaire de Calcul infinitésimal, non un traité d'Analyse : 
tout ce qui n'est pas indispensable a été délibérément sacrifié; 
mais, à coup sûr, l'auteur range, parmi les choses indispensables, 
la clarté et la correction des démonstrations; son livre n'est pas 
non plus un recueil de recettes, et il n'est pas douteux que l'étu- 
diant en Mathématiques, celui même qui a l'intention de pour- 
suivre des études théoriques, ne puisse, avant d'aborder des 
traités plus complets, tirer un excellent parti de ce livre, d'une 
part pour acquérir une vue d'ensemble, d'autre part et surtout 
pour se familiariser par de nombreux exemples simples, gradués, 
intéressants, avec le maniement des formules et des méthodes les 
plus élémentaires et les plus usuelles du Calcul différentiel et in- 
tégral. C'est, à ce que je crois, une excellente discipline que de 
s'habituer à l'usage de l'outil, avant de pousser un peu loin les 
études théoriques. L'exposition est d'ailleurs bien appropriée à la 
classe de lecteurs que M. Lamb a eue en vue. 



PIIEMIÈRE PAHTIE. 



fi. Lkjki.m-: DiaiciiLi-T"s Werkk, heraiisgegeben auf Veranlassung der K. P. 
Akademie der Wissenscliaften von L. Kronecker, fortgesetzt von Z. Fuchs. 
Zweiler Band. In-4°, x-422 p- Berlin, G. Reimer, 1897. 

l^c \ oliimc que nous avons sous les yeux cl qui termine la 
publication commencée par Kronecker se compose de deux Par- 
ties distinctes. I^a première, qui fait suite au premier Volume, 
comprend, dans leur ordre chronologique, les Mémoires publiés 
par Dirichlet lui-même; elle s'étend depuis le Mémoire Ueber die 
Stahilitât des Gleicligewichts, publié en janvier 1846 dans le 
Journal de C relie, jusqu'à la Démonstration nouvelle dUine 
proposition relative à la théorie des formes quadratiques et 
aux Untersuchungen iiber ein Problem der Ilydrodynamilc, 
jjubliées en iSSj. M. Kronecker, qui avait commencé la publica- 
tion, avait l'intention d'v joindre toutes les traductions si nom- 
breuses des Mémoires de Dirichlet qui ont paru en France par les 
soins et dans le Journal de Liouville; M. Fuchs qui, après la 
mort si regrettée de Kronecker, a été chargé par l'Académie de Ber- 
lin de continuer la publication, s'est borné à publier les OEuvres 
originales et il a rejeté à la fin du Volume la liste des traductions 
dont la publication aurait fait double emploi. On ne saurait le 
regretter, la connaissance de la langue allemande étant aujourd'hui 
très suffisamment répandue. 

La seconde Partie comprend l'Eloge de Dirichlet, prononcé par 
Kummer, en 18G0, devant lAcadémie de Berlin; quelques travaux 
publiés après la mort du grand géomètre, en partie les Untersuchun- 
gen iiber ein Problem der Hydrodynamik , dont nous devons 
l'impression à M. II. Dedekind; différents morceaux moins éten- 
dus; la correspondance entre Gauss et Dirichlet, entre Dirichlet 
cl Kronecker; quelques lettres échangées entre A. de Humboldt 
et Dirichlet; on a laissé de coté, dans cette dernière cori^espon- 
dancc, tout ce qui n'a pas un intérêt purement mathématique. Les 
indications données dans la préface par M. Fuchs montrent avec 
quel soin la publication a été dirigée et par lui-même et par les 
collaborateurs qui lui ont prêté leur concours pour telle ou 
telle partie de l'Ouvrage. 



-Mi: LANGES. 



MELANGES. 

SUR LA MÉTHODE D'APPROXIMATION DE LAGUERRE; 
l'AK M. Emile UOREL. 

Dans un Mémoire (') publié en iSSo, Lagucrrc a indiqué une 
méthode d'approximation qui s'applique seulement aux équations 
ali^ébrifpies ayant toutes leurs racines réelles, mais qui l'a néan- 
moins conduit à des résultats importants (-). Dans l'édition des 
Œuvres de Laguerre, publiée par l'Académie des Sciences (^), 
M. Henni te a consacré à ce Mémoire une Note des plus intéres- 
santes dans laquelle il établit les résultats fondamentaux de 
Laguerre par une méthode nouvelle et plus directe. Une étude 
approfondie de cette dernière méthode m'a conduit à penser 
qu'en modifiant légèrement la forme de l'exposition, il serait 
possible à la fois de rendre presque intuitif le résultat de Laguerre 
et de montrer qu'il donne la solution complète d'un problème 
important. 

Désignons par 

une équation de degré n qui a toutes ses racines réelles; par «, h, 
c, . . ., / ces n racines, distinctes ou non, et par x un nombre 
quelconque. Nous supposerons, pour fixer les idées, a: compris 



(') S ai- une méthode pour obtenir par approximation les racines d'une 
équation algébrique qui a toutes ses racines réelles {Nouvelles Annales de 
Mathématiques, 1880). 

('-) Parmi ces résultais, je citerai la formule approchée 



X — {x — I 



W- 



qui donne la valeur du cosinus, x étant compris entre o et i, avec une erreur 
inférieure à o,ooo3. 

(^) OEuvres de Laguerre, t. I. Paris, Gautliier-Villars; 1897. 



12 PREMIERE Px\RTlE. 

entre deux racines (')tle l'équation (i) et nous nous proposons de 
trouver, pour chacune de ces deux racines, une valeur plus 
approchée, et approchée dans le même sens que x. En d'autres 
termes, nous cherchons un intervalle comprenant x et ne renfer- 
mant aucune racine de l'équation (i). 

Voici comment nous procéderons, d'après Laguerre et IM. lier- 
mite. 

Nous avons 





/(^) 


X — a 


r-b ^"^ 


X — 


l 


f'Hx 


)-f{x)f"{a 


■) > 


I 


- -4-. 






{X- 


a Y- ' (x — b)- 




Posons 












(2) 


I 


1 


= % 




I 


X — (l 


X — b 


X 


- / 


(3) 


fix) 


A, f"- 


(x)-/(x)f"( 


x)__ 


= B^ 


nous pourrons écrire 










(4) 




a -4-p + 


...+ X =A, 






(5) 




a2+p2_^ 


. ..-+-À2 = B^ 







X — l )- 



= A. 



B>o; 



Par hypothèse, les quantités a, Tj, ...,}. sont réelles; on en 

conchil, par exemple, 

I a| < B. 
cl, par suite, 

1 •^ — « I > g • 

C'est en généralisant ce premier résultat que Laguerre a été 
conduit à son théorème, que nous allons démontrer d'une manière 
dilTérente. 

l^crivons l'équation (4) sous la forme 

P+...-i-X = A— a 

(') Dans le cas où x serait supérieur à la plus grande ou inférieur à la plus 
petite racine de l'équation, on pourrait changer x en — dans l'équation (i) et 
l'on serait ramené au cas que nous traitons. Voir Œuvres de Laguerre, p. 89. 



MÉLANGES. ij 

el supposons que a ail une valeur déterminée; les nombres réels 
[i, . . ., X sont donc assujettis à avoir une somme constante. Dès 
lors, si nous considérons l'expression 

rj -V A — a 
celle expression sera minimum pour ,j =^ . . .= h= 

Nous pouvons donc affirmer que, les nombres réels a, [ii, . , . , A 

vérifiant la relation (4), on a 

^ , ^ , / A — a 

(6) îî2 + ...+ X-^^(/.-.)(^-^— -j- 

V égalité ayant lieu seulement lorsque les nombres ^, . . . , a sont 
égaux. 

Si nous tenons compte de la relation (5), Tinégalilé (6) devient 

(„_,)(H2_^2)^(A_a)2 

ou enfin 

11%-— 2 A a -+- A"- — ( « — I ) B- ^ o. 

Désignons par + a' et — a" les deux racines du trinôme du 
second degré en a qui forme le premier membre de cette inéga- 
lité ('); on aura certainement ou bien 

a > a' 
ou bien 

a ■< — a". 

Les relations ( >. ) prouvent dès lors que l'on a ou bien 



ou bien 

1 

a < ,r r. • 

a 

D'ailleurs a est une racine quelconque de l'équation donnée. 

Les nombres x ^ et x -\ ; sont précisément les valeurs 

approchées que Laguerre a proposées pour les deux racines qui 
comprennent le nombre x. Il a montré, de plus, par des exemples 



(') On s'assure aisément que, en vertu des liypothèses faites, ces deux racines 
sont de signes contraires. 



i4 PREMIÈIIE PARTIE. 

niimt'riques variés, que l'approximation obtenue ainsi est très 
grande. La fox'me sous laquelle nous avons présenté la démonstra- 
tion précédente, dont le principe est dû à M. Hermite, va nous 
donner une raison de cette grande précision, en nous faisant voir 
que la méthode de Laguerre n'est pas seulement un artifice de 
calcul ingénieux, pouvant être remplacé par une foule d'autres, 
mais fournit la solution unique d'un problème très précis. 

Ce problème, qu'on est naturellement conduit à se poser, est le 
suivant : On a une équation algébrique dont toutes les racines 
sont réelles et dont on connaît le degré n. Désignant par x une 
valeur numérique de la variable, on connaît les valeurs numé- 
riques des polynômes /(x), f {x)y f"{x). Avec ces seules 
données, trouver un intervalle aussi grand que possible, com- 
prenant le nombre x, et ne renfermant aucune racine de 
Véquation. Il est d'abord clair que, si les racines de l'équation 
n'étaient pas supposées toutes réelles, on ne pourrait rien conclure 
de nos données, à moins que n ne fût égal à deux (car elles suf- 
fisent alors à déterminer l'équation). Mais si n >> 2, on peut tou- 
jours disposer des coefficients de l'équation de manière que : 

i" Elle ait pour racine un nombre réel a absolument quel- 
conque ; 

2° Les polynômes y (jc), /'(.r), y" (j;) aient des valeurs numé- 
riques données à l'avance. 

On ne peut donc rien conclure, au sujet de la racine r/, de la 
connaissance de ces valeurs numériques. 

Mais nous avons vu, au contraire, que, si les racines sont toutes 
réelles, en calculant, au moyen des données, les quantités A et B- 
par les formules (3) et en désignant par a' et — a" les racines (') 
de l'équation du second degré 

( 7 ) 117."'— ■>. A a -h A2 — ( rt — i) 132 = o, 

on peut a(Jirnier que Inéquation proposée n'a pas de racines 



(') Ces racines sont certaincmcnl de signes contraires si x est compris entre 
deux racines de l'équation donnée. Sinon elles peuvent être de signes contraires 
ou de même signe. Ce dernier cas se traite aisément à l'aide de la remarque de 
Lagucrrc, déjà citée en note. 



mi^:langks. ,5 



iliins rintorvcille 



Mais il V ;i plus. La démonslralion même que nous avons 
donnée nous assure ([ue, si r(''(|uatiori j)roposée a // — i racines 

égales, la racine simple a pour valeur, ou bien x ;;. ou bien 

X -\ — ; ('). Par conséquent, avec les seules données dont nous 

disposons, il n'est pas possible de trouver un intervalle plus 
grand que celui de Laguerre et ayant les mêmes propriétés. 
La méthode d'approximation de Laguerre tire donc tout le parti 
possible (-) des faits que nous avons supposé connus. 

Dans le cas où le degré de l'équation ne serait pas donné, on 
remarquera que, lorsque n augmente indéfiniment (•'), l'équa- 
tion (-) devient 

a2— B2= o. 

On peut donc seulement affirmer que l'équation n'a pas de 
racines dans l'intervalle 

I I 

c'est le premier résultat obtenu par Laguerre et que nous avons 
mentionné plus haut. 

Il résulte clairement de ce qui précède qu'on ne peut pas espé- 
rer, sans l'introduction de nouvelles données, perfectionner la 
méthode de Laguerre. Il est clair que l'on pourrait la généraliser 
en se donnant les valeurs numériques de /"(•^), /"' (-Z"), On ob- 
tiendrait ainsi des limites, en général plus étendues, comprenante; 
et ne renfermant pas de racines de l'équation. Mais les calculs 



(') En d'autres termes, on obtiendrait l'équation (7) en éliminant [i enlrc les 
équations 

a -f- (/? — i)? = A, 

a--i-(n — i);3-= B^ 

(-) On peut rapprocher ce résultat de celui que jai obtenu au sujet du théo- 
rème de Descartes {Bulletin, décembre 1896). 

(3) On voit aisément que les valeurs absolues des racines de l'équation (7) 
sont des fonctions croissantes de n. 



i6 PREMIEIIE PARTIE. 

auxquels on est ainsi conduit sont assez pénibles et paraissent 
exiger la résolution d'équations dont le degré dépasse deux. A 
moins de résoudre ces équations elles-mêmes par approximation, 
ce qui paraît être une voie bien détournée, ces généralisations ne 
semblent guère pratiques. Sans recbercher si elles n'ont pas d'in- 
térêt tliéorique, nous pouvons conclure que la méthode d'approxi- 
mation de Laguerre est la méthode générale la plus parfaite (') 
pour les équations dont toutes les racines sont réelles. 

Les exemples numériques donnés par Laguerre montrent, en 
effet, qu'une seule application de sa méthode fournit souvent une 
1res grande approximation; d'autre part, cette méthode est simple 
et d'une perfection théorique absolue. Aussi paraît-elle mériter 
à tous égards dêtre mieux connue. 

C'est dans l'espoir de contribuer à sa diffusion que j'ai écrit cette 
petite Note. Elle ne saurait d'ailleurs, est-il besoin de le dire, 
remplacer le Mémoire de Laguerre ni le Commentaire de M. Her- 
mite qui, remplis d'aperçus originaux et profonds, seront toujours 
consultés avec le plus grand fruit par les chercheurs. 



(') II est clair que, pour telle équation particulièrement choisie, une autre 
inétliode pourra être préférable au point de vue du calcul numérique. 



COMPTES KIÎNDUS KT ANALYSES. 
COMPTES HENI)[]S ET ANALYSES. 



GAMBORG (V.). — LoG.VUITHMETABEL INnEIlOLDENDK LOGARITIIMER OG ÀN- 
Tir.OGARITHMER. LOG.VRITIIMERXE TiL DE TrIGOXOMETRISKE FuNKTIONER. Un 

vol. in-8". Copenhague, Hegel et Son, 1897. 

Les Tables de logarithmes et d'antilogaritlimes vont de i à 
loooo et comportent cinq décimales : elles sont à double entrée; 
les lignes (au nombre de 5o par page) et les colonnes sont groupées 
par I, 3, 2, 3, i. Par exemple, pour ce qui est des colonnes^ après 
la colonne qui correspond au chiffre o il y a un blanc, puis 
viennent les trois colonnes qui correspondent aux chiffres i, 2, 3, 
puis un blanc, puis deux colonnes répondant aux chiffres 4 
et 5, etc. De même pour les lignes. C'est une disposition qui 
semble extrêmement commode pour les recherches. Les différences 
ne sont écrites que pour le nombre qui termine une ligne et celui 
qui commence la suivante. Cela est parfaitement suffisant : il j a 
d'ailleurs des Tables de parties proportionnelles. Je crois inutile 
de m'étendre sur les services que peut rendre une Table d'anti- 
logaritlimes un peu étendue. Deux doubles pages à la fin du 
Volume contiennent une Table de logarithmes et d'antilogarithmes 
à quatre décimales, allant de i à 1000. Ces Tables, que l'on n'a 
pas à feuilleter, sont extrêmement précieuses pour les calculs 
pratiques qui ne demandent qu'un petit nombre de figures. Les 
Tables trigonométriques vont de minute en minute. Un degré est 
entièrement contenu dans une page. 

L'impression est claire et bien soignée. J. T. 



LOVE (A.). — Theoretical Mecamcs an ixtroductorv Treatise on the 

PRINCIPLES OF DyXAMICS WITH APPLICATIOXS AND NUMEROUS EXAMPLES. Ulî 

vol. in-8". xv-379 p. Cambridge, University Press, 1897. 

S'il importe assurément, pour la bonne constitution d'une 
Science qui prétend au titre de rationnelle, que les postulats en 
Bull, des Sciences mathém., 2<^ série, t. XXII. (Février 1898.) 2 



i8 iMUi.MiÈiu-: PAirriK. 

soient réduits au moindre nombre possible, il importe encore plus 
que CCS postulats soient clairs. C'est de celle clarté, comme de la 
netteté et de la précision des définitions, que M. Love semble 
s'être parliciiliérement occupé dans le Traité élémentaire que 
nous signalons; aussi la.lecLure de son Livre est-elle intéressanlc 
et profitable. 

Tout d'abord les clioses sont bien distinguées ; ce que Ton pour- 
rait appeler l'introduction géométrique de la Mécanique, la 
théorie de l'équivalence des systèmes de vecteurs, est traité à 
part, indépendamment de la Cinématique ou de la Statique, à 
laquelle on fa si longtemps rattachée. La Cinématique n'intro- 
duit pas d'autre notion étrangère à la Géométrie que la notion de 
temps. L'Auteur adoptera, pour le temps, une définition arbitraire 
(temps solaire movcn) qu'il lattachera plus tard à celle du temps 
sidéral, défini par l'angle dont la Terre a tourné. Pour lui, d'ail- 
leurs le mouvement est essentiellement relatif. La question de 
savoir si ces mots mouvement absolu ont, ou non, un sens est 
d'ordre métaphysique ; elle se lie à la notion d'espace ; ceux mêmes 
qui ne sont pas certains qu'il faut la résoudre nettement par la 
négative, comme fait M. Love, reconnaîtront volontieis qu'elle 
comporte beaucoup d'obscurités et de difficultés, tandis que la 
notion d'un mouvement relatif à un repère matériel est très claire. 

M. Love évite les difficultés que comporte le point matériel 
considéré comme un point à la fois mathématique et physique, en 
considérant une particule (particle) de dimensions très petites, 
mais finies, dont il définit l'accélération moyenne. Cette accéléra- 
tion, considérée comme un vecteur dont l'origine est au centre de 
gravité de figure (centroïd) de la particule, est l'accélération de 
cette particule. Il admet que l'accélération d'une particule (par 
rapport à un certain repère) dépend de la position par rapport à 
ce même repère d'autres corps matériels : c'est ce qu'on entend 
quand on dit que ces derniers, agissant sur la particule, pro- 
duisent son accélération. Le postulat de l'action et de la réaction, 
dans le cas où il y a deux particules en présence, permet, en com- 
parant les accélérations, de définir le rapport des masses de deux 
particules. Si l'on considère trois particules c', p', v" , le rapport 
des masses de v et de p", divisé par le rapport des masses de v' et 
de p", doit être égal au rapport des masses de r cl de v' . Cette pro- 



COMPTES lil'NDUS HT ANALYSES. uj 

posilioii ('■([iiivauL à iiii poslulal relalil aux accéléralions fine 
peuvent prendre trois parlienles nicilériclles, en vertu de leurs 
actions innluellcs, cpiand on siij)pnnie successivement l'une de 
ces particules. Ce postulat admis, Ja masse peut être définie 
comme un nombre, dès qu'on aura choisi le corps que l'on regar- 
dera comme ayant une masse égale à i . La force exercée sur une 
particule matérielle par les corps en présence est un vecteur égal 
au produit du vecteur-accélération par la niasse, et avant son ori- 
gine au point matériel considéré. Si j)lusieurs corps, agissant sur 
une particule matérielle, produisaient, en agissant isolément 
chacun, une certaine accélération, l'accélération pi'oduite parées 
corps agissant ensemble sera la somme géométrique des premières 
accélérations; d'où le principe de la composition des forces. 

La force ainsi définie est relative au repère choisi; il faut 
admettre qu'il existe un système d'axes tel que les postulats pré- 
cédents soient vérifiés. C'est là un point capital, sur lequel !^L Love 
insiste fortement à plusieurs repiises. C'est un tel système d'axes 
que M. Painlevé désigne sous le nom d^axes absolus dans l'ex- 
posé vraiment lumineux et philosophique qu'il a mis en tète de 
ses Leçons sur V Intégration des équations différentielles de la 
Mécanique. Il y a toutefois, entre l'exposition que nous analysons 
et celle de M. Painlevé, une différence assez importante. Pour ce 
dernier, la notion de masse est une notion expérimentale à peu 
près du même ordre que les notions de longueur et de temps; 
elle nous est fournie, si l'on veut, par l'usage de la balance. Le 
principe de faction et de la réaction n'aura donc pas pour lui le 
caractère primordial que lui attribue M. Love et rien n'empêchera 
d'en faire abstraction dans l'étude de certains mouvements, pourvu 
qu'on ait affaire à un système de mesures des longueurs et des 
temps, d'une part, et, d'autre part, à un système d'axes pour 
lequel s'applique la règle de Newton relative à la composition des 
accélérations. La force relative à une particule matérielle se défi- 
nira toujours comme le produit par la niasse du vecteur-accélé- 
ration, et il est bien entendu que le svstème de mesure des masses 
devra vérifier la condition suivante : la masse de deux corps 
réunis est égale à la somme des masses de ces deux corps. A ce 
point de vue toutefois, le principe de l'action et de la réaction 
permettra d'expliquer comment on mesure les masses et d'en jus- 
tifier la notion. 



■io PREMIÈIIH PAUTIE. 

Quoi qu'il en soit, celle même nolion esl, chez M. Love, Tobjet 
d'une crilique 1res intéressante, que l'on trouvera dans une Note 
( I». I /îi), où il traite de la conception de la matière comme con- 
tinue, conception (jii'il adopte, ainsi qu'a fait Kirchhoff, dans sa 
Mécanique, et de ("opposition de cette conception avec la théorie 
moléculaire. Pour définir la densité en un point, il faut admettre 
que, lorsqu'on considère des volumes qui entourent le point et 
s'en rapprochent de plus en plus, la matière contenue dans ces 
volumes tend de plus en plus à être homogène, et cette supposi- 
tion, poussée jusqu'au bout, est assurément inconciliable avec 
rhvpothèse moléculaire. Si l'on ne veut pas rejeter cette dernière, 
il faut admettre que l'homogénéité ne devient de plus en plus 
pai laite, dans les corps de plus en plus petits, que dans les limites 
de nos expériences, qui restent dans des domaines incomparable- 
ment grands par rapport aux dimensions hypothétiques des mo- 
lécules. Que nous puissions parler de la masse de corps très petits, 
mais de dimensions finies, cela est hors de doute; mais il n'appar- 
tient pas à la Mécanique de dire si l'on peut attribuer un sens 
physique à ces mots : La masse cVune molécule. 

On voit que M. Love est un esprit très prudent : cette même 
prudence se retrouve à la fin (\\\ \ olume, lorsque l'Auteur traite 
du système d'axes absolus ayant pour origine le centre de gra- 
vité du système solaire et des directions invariables par rap- 
port aux étoiles fixes. C'est dans ce système d'axes, et pour le 
monde solaire, que valent les postulats de la Mécanique et l'hy- 
pothèse de la gravitation, qui, en dehors du monde solaire, n'est 
nullement établie, malgré les observations relatives aux étoiles 
doubles, (pi'on escoin|)tc un |)eu trop. Cette assertion très sage 
re|iose rpielque peu des spéculations sur l'Univers, auxquelles on 
ne parviendra jamais à habituer ceux qui sont persuadés du carac- 
tère essentiellement relatif et borné de nos connaissances. 

L'Auteur a désormais ce qu'il lui faut pour écrire les équations 
de la Mécanique et pour développer les notions qui en résultent : 
travail, énergie potentielle ou actuelle, systèmes conservatifs ou 
non conservatifs, posilional ou m.olional forces, etc.. Notons, 
en passant, le soin qu'il met à donner quelques notions très élé- 
mentaires sur les systèmes déformables : il n'entre pas dans la 
théorie de l'élasticité, mais il avertit toul au moins le lecteur de 
l'existence de celte théorie, dont on sait (ju'il esl un maître. Les 



COMPTKS HKNDUS ET AiNAI.VSIiS. 21 

lliéories générales soiil oiisullc a|)j)li([iiée.s au inouvcnienl de par- 
ticules libres ou gênées; plusieurs paragraphes sont consacrés au 
mouvement des planètes. L'étude du mouvement d'un corps solide 
n'est faite que dans le cas où le mouvement s'effectue parallèle- 
ment à un plan fixe. M. Love traite ensuite des percussions, 
des petites oscillations, du mouvement d'une chaîne. 

Un dernier Chapitre se rapporte au mouvement relatif à la 
Terre, au pendule de Foucault, à la gravi talion. L'Auteur y revient 
sur la relativité de la force et sur le système d'axes pour lequel 
sont réalisés les postulats de la Mécanique. Un Appendice con- 
tient les renseignements indispensables sur les systèmes d'unités. 

Un très grand nombre d'exercices, applications immédiates 
ou véritables problèmes, sont répandus dans le texte ou rassemblés 
à la fin des Chapitres. Ces exercices, qui ont été donnés pour la 
plupart aux examens, ajoutent beaucoup de prix au Livre de 
M. Love. 

Ce Livre a été fait pour les commençants; l'Auteur, qui le dé- 
clare expressément dans la Préface, pousse le scrupule jusqu'à 
indiquer dans quel ordre les matières doivent être étudiées et ce 
qu'il convient de passer à une première lecture. J. T. 



VILLIÉ. — Compositions d'Analyse, Cinématique, Mécanique et Astrono- 
mie, DONNÉES depuis 1889 A LA SORBONNE POUR LA LICENCE ÈS SCIENCES 

(Énoncés et solutions). Troisième Partie. Un vol. in-8"; x-3oo p. Paris, 
Gauthier-Villars et fils, 1898. 

Il n'j aura jamais trop de recueils d'exercices. Celui dont 
M. Villié publie le troisième Volume est essentiellement adapté à 
la préparation de la Licence es Sciences mathématiques; il rendra 
d'incontestables services soit aux candidats, soit à ceux. qui sont 
chargés de diriger leur travail : chaque Partie de l'Ouvrage 
offre un ensemble d'exercices dont le choix ne saurait être 
meilleur, puisque c'est celui même qui a été fait par les exa- 
minateurs. Cela peut être entendu de deux façons : aucun choix 
ne peut être meilleur pour préparer le succès à l'examen, puisque, 
sans doute, les questions futures seront du même ordre de diffi- 



•>,. Pin-Mli:i5 1î PAUTIE. 

«•iillé (|iic les fjneslions passées et même leur ressembleront quelque 
peu, de temps en temps. Aucun choix ne peut être meilleur non 
plus, parce que les examinateurs sont sans doute les meilleurs 
possibles, en sorte qu'il est bon pour les étudiants de traiter ces 
exercices, non seulement pour être reçus à leur examen, mais 
encore pour apprendre les Mathématiques et, à la vérité, en lisant 
les énoncés, on ne peut manquer d'être frappé de leur intérêt, de 
leur variété, de 1 élévation qu'ils manifestent dans l'enseignement 
mathématique, en mêuie tem|)s que de la mesure avec laquelle ils 
ont été choisis. Je ne sais de quelle façon M. Villié a entendu la 
phrase que je viens de citer, mais il ne faut j)as en regretter le 
double sens puisque, aussi bien, les deux sens en sont vrais. 
Quant aux solutions, il y aurait assurément quelque mauvais goût 
à en complimenter l'Auteur, dont le but évident a été de faire un 
livre utile. 

Les sujets ont été, comme dans les précédents ^ olumes, classés 
par ordre de matières. Voici les titres des Chapitres; les numéros 
qui les suivent indiquent le nombre de problèmes traités dans 
chaque Chapitre : 

Analyse. — Quadratures (i o). — Equations diflerentielles (i i). 
— Equations aux dérivées partielles (9). — Trajectoires orthogo- 
nales (3). — Rayons de courbure et lignes de courbure (5). — 
Lignes asymptoliqucs et lignes géodésiques (-). — Questions 
diverses (6). — Variables imaginaires (i4)- 

Cinéinalique. — Mouvement plan (16). — Mouvement d'un sys- 
tème invariable autour d'un point fixe (2). — Mouvement général 
d'un système invariable (i i). 

Mécanique. — Mouvement d'un point (9). — Mouvement d'un 
corps solide (i3). — Dynamique des systèmes (9). 

yistronomie. — • Vingt-six applications numériques; cette Par- 
lie a été rédigée par M. labbé Stoffaës, professeur d'Astronomie à 
la Facullé libre des Sciences de Lille. J. T. 



CO.MPTRS RI'NnUS ÏÏT ANALYSES. 23 

CAYL1ZV(A.). — Tilt: collkcted mathiîmvtic.vl Papeks. Vol. XIII. In-^*^; 
xvi-.OGo p. Cambridge; at tho Univcrsity Press, 1897. 

Ce Volume est le dernier de la publicalion magistrale destinée à 
conserver, à présenter, dans son ensemble et dans sa suite logique, 
l'œuvre si considérable de l'illustre Cajlej, Comme les précédents, 
il se recommande par les soins et Texaetitude que ]M. Forsyth a 
mis à reproduire les différents travaux; comme les précédcnis 
encore, il contient, rangés dans leiu' ordre chronologique, des 
Mémoires plus ou moins étendus se rapportant aux sujets les plus 
divers : Géométrie analytique, Calcul intégral. Hydrodynamique, 
Algèbre supérieure. Fonctions elliptiques, Géométrie infinitési- 
male, Théorie de la représentation conforme, Théorie des substi- 
tutions et des groupes, Théorie des déterminants, Théorie des 
nombres. Astronomie, Trigonométrie, Cinématique. Cayley a 
touché à tous les sujets et partout il a semé des idées ingénieuses 
et fécondes, provoqué des recherches ou obtenu des résultats qui 
resteront. La publication de ses 967 jMémoires fait, à coup sûr, le 
plus grand honneur aux géomètres anglais qui Font conduite avec 
tant de zèle et de rapidité; elle constitue, en même temps qu'un 
hommage légitime rendu à un grand géomètre, leur compatriote, 
un service éclatant rendu à une science qui est partout cultivée. 

G. D. 



PICARD et SIMART. — Théorie des fonctions algébriques de deux va- 
riables INDÉPENDANTES. T. I, iv-244 P- in-8". Paris, Gauthier-Villars et 
fils, 1897. 

La théorie des fonctions algébriques de deux variables indé- 
pendantes, à laquelle M. Nœther et, ensuite, M. Picard avaient 
consacré d'importants Mémoires, a donné lieu, dans ces dernières 
années et surtout en Italie, à de nombreux et intéressants Tra- 
vaux. 

Le grand nombre de résultats acquis pourrait, à première vue, 
faire croire que l'on se trouve en présence d'une théorie nette- 
ment établie et demandant seulement à être développée. Malheu- 



24 rUEJIIR in- PAKTIR. 

reusenient, il n'en est point ainsi et cela tient à ce que les fonc- 
tions algébriques de deux variables peuvent s'étudier en se plaçant 
à des points de vue très différents. Comme cela avait déjà eu lieu 
pour une seule variable on est conduit à des questions de Géométrie 
ordinaire, de Géométrie de situation, d'Algèbre et enfin de Calcul 
intégral, quand on cherche à étudier les intégrales simples ou 
multiples susceptibles de généraliser les propriétés des intégrales 
abélienncs. Il suit de là que les résultats auxquels on est arrivé 
semblent bien difficiles à coordonner de façon à constituer une 
véritable théorie, même incomplète, des fonctions algébriques de 
deux variables. 

D'après ce que l'on en peut juger par le Tome I, le Livre dans 
lequel MM. Picard et Simart se proposent comme seul but « de 
donner une idée de l'état actuel de la Science sur une question 
qui inéritc de tenter l'effort de nombreux chercheurs » peut être 
considéré comme une tentative heureuse de constitution d'une 
telle théorie. 

Sans doute, elle n'a pas encore la netteté de certaines théories 
classiques et présente quelques lacunes, mais après une lecture 
attentive, nécessitée par la nature délicate des questions traitées, 
on arrive néanmoins à y trouver une réelle unité. 

Les auteurs sont arrivés à ce résultat en se plaçant systématique- 
ment, autant que cela leur a été possible, au point de vue trans- 
cendant qui avait déjà été adopté presque exclusivement par 
M. l^ioard dans ses recherches antérieures. Ce sont alors, soit des 
intégrales multiples, soit des intégrales de différentielles totales 
qui servent de trait d'union à bien des problèmes qui auparavant 
semblaient n'avoir rien de commun entre eux. 

Ces intégrales méritent d'ailleurs d'être étudiées pour elles- 
mêmes puisqu'elles constituent, dans différentes directions, des 
généralisations des intégrales abéliennes, et il arrive parfois qu'elles 
permettent d'établir d'une façon presque intuitive des propriétés 
importantes qui avaient exigé des démonstrations très pénibles 
quand on s'était placé exclusivement au point de vue algébrique. 

Dans la théorie des intégrales abéliennes, traitée à la façon de 
Hiemann, les questions de Géométrie dans l'espace à trois dimen- 
sions jouent un rôle capital. En suivant les mômes idées, on est 
conduit, dans le cas de deux variables, à étudier des questions ana- 



CO MPT lis UKNDUS IIT ANALYSES. 7.') 

logties mais dans des liypei'cspaccs à ( iiu] dimciisioiis. Il n'y a 
plus ici les simplifications qui cxislalcnL dans le cas d'une variable 
et rpii provenaient de ce que l'on était dans l'espace ordinaire; 
il faut alors raisonner d'une façon générale, c'est-à-dire faire de la 
Géométrie de situation dans l'espace à n dimensions. 

C'est à cette étude que les auteurs ont consacré les deux pre- 
miers Chapitres de leur Livre. 

Dans le premier : Des intégrales multiples de fonctions de 
plusieurs variables, ils se sont [)roposé de définir d'une façon |)r('- 
cise ce que l'on doit entendre par intégrale multiple d^ ordre m 
dans C espace à n dimensions (m^n) en s'attachant surtout à 
l'étude des équations d'intégrabilité qui expriment les conditions 
nécessaires et suffisantes pour qu'elles ne dépendent que des 
limites. Le cas de m =^ i et ensuite, en donnant quelques notions 
indispensables sur les variétés à n — i dimensions, celui de 
m = n — I sont éti:diés en détail. 

Les cas intermédiaires, étudiés |)Our la première fois par 
M. Poincaré, sont ensuite traités rapidement en se bornant, |)Our 
plus de simjîlicité, aux intégrales doubles et triples. 

Le Chapitre suivant est consacré uniquement à la Géométrie de 
situation. Une variété S,i_nt An — - m dimensions dans l'espace à 
n dimensions {Xf^ Xo, • • •, -^n) peut se définir de deux façons, 
soit par l'ensemble de m relations distinctes et d'un certain 
nombre d'inégalités, soit, au moins dans le voisinage d'un point, 
par les expressions des x au moyen de n — m paramètres (pii 
peuvent d'ailleurs être assujettis à vérifier des inégalités, cette 
dernière définition conduisant tout naturellement à la notion de 
prolongement analytique d'un espace S„_,„. 

Dans les deux cas, ce sont les inégalités qui donnent naissance 
^.uii. frontières ; si une xAvxélé Jiiiie n'a pas de frontière elle est 
dite fermée. 

Dans l'étude des fonctions algébriques, il y a toute une caté- 
gorie de variétés qu'il est nécessaire d'exclure : ce sont ces variétés 
que M. Poincaré appelle unilatères et dont l'exemple classique 
est donné par un rectangle replié de façon à faire coïncider en 
sens inverses deux des bords opposés. MM. Picard et Simart les 
appellent variétés doubles, en donnent de nouvelles définitions et 
montrent que toute variété définie par des équations et inégalités 
est toujours simple. 



26 p in: -M I î: I? E paktie. 

Après avoir délini ce qu'il faut entendre par variété cl ordre 
n — m formant frontière sur une variété d'ordre w, par variété 
opposée à une variété donnée el par variété voisine d'une autre 
variété, ils sont en mesure de donner la définition précise des 
nombres de Belti qu\ expriment les différents ordres de connexion 
d'une variété donnée, par rapport aux variétés d'ordre moindre 
qui V sont contenues et de la justifier en prouvant que chacun deux 
est indépendant du choix particulier de variétés qui a servi à le 
définir. Ces nombres de Betti ont une signification remarquable 
jjour les intégrales multiples étendues à des variétés contenues 
dans la variété donnée : 

pm étant le nombre de Betti relatif à l'ordre m pour une 
variété E«, l'entier p,„ — i est le nombre des périodes distinctes 
d'une intégrale multiple d'ordre m étendue à une variété 
fermée contenue dans E„. 

Cette propriété conduit à envisager létude des connexions sous 
un nouveau point de vue el permet, comme le montrent les 
auteurs sur des exemples, d'arriver à la détermination rigoureuse 
des nombres de Betti dans des cas où l'étude directe serait impra- 
ticable. 

Pour teiininer ce Chapitre, MM. Picard et Simart s'occupent 
d'une question qui présente un grand intérêt, puisqu'elle cor- 
respond à une réduction du nombre des nombres invariants qu'il 
laut introduire dans la théorie qui nous occupe; ils démontrent 
d'une façon rigoureuse que le premier et le dernier nombre de 
Belti relatifs à une même multiplicité fermée sont égaux, ce qui 
n'est qu'un cas particulier, mais qui suffit pour la suite, d'un 
théorème plus général démontré par JM. Poincaré et consistant 
dans l'égalité des nombres de Betti équidistants des extrêmes. 

Le Chapitre III est consacré à l'extension du théorème de 
Cauchy aux intégrales doubles de fonctions de deux variables 
complexes, qui est due à M. Poincaré, et à l'étude des résidus 
des intégrales doubles de fonctions rationnelles. 

On y trouve la démonstration de ce théorème : 

l\nit résidu de V intésrole double 



u 



P {x, y) dx dy 



C():\ipi'h:s ui:ni)Us et anai.vshs. 27 

où V cl A so/i( (les polynômes, peut être regardé eonune une 
période eyelique ou logarithm'ujue d'une intégrale abélienne . 

En dernier lien, il esl diL (|nel(jiies mois des inl(''grales de dillé- 
renlielles totales de fonctions rationnelles et de leurs résidus. 

Le Chapitre IV est constitué entièrement par la réduction des 
singularités d'une surface algébrique et l'étude des invariants 
fournis par la Géométrie de situation. 

Par une application répétée dune transformation plane 

dv 

\ = X, 1 = -7— 

étudiée par AJ . Vessiot, et en se servant de la notion généralisée 
de perspective, MM. Picard et Siinart arrivent à démontrer rapi- 
dement ce théorème fondamental (') : 

A toute surface algébrique on peut faire correspondre 
birationnellement, dans l'espace à cinq dimensions, une sur- 
face n' ayant aucune singularité. 

Et le même procédé leur montre quV> toute surf ace algébrique 
on peut faire correspondre birationnellement une autre sur- 
face algébrique n'ayant, comme singularités, qu' une courbe 
double avec des points triples, propriété qui leur permettra ulté- 
rieurement de limiter certaines discussions relatives à des inté- 
grales. 

Une surface algébrique correspondant à une variété fermée à 
quatre dimensions réelles possède donc trois nombres de Betli 

Pi, P-i, P2- 

Mais comme />3 = />, on a seulement à introduire les deux 
nombres 

Pi et p. 



( ' ) Je viens d'apprendre, par M. Picard, qu'il se propose de revenir dans le 
Tome II sur la réduction des singularités, car la méthode suivie demande quelques 
modifications dans le cas où la surface aurait des points singuliers isolés d'un 
caractère spécial ; les conclusions formulées ne sont en rien modifiées. M. Beppo 
Lévi vient d'ailleurs de consacrer tout récemment à ces questions un Mémoire 
que nous signale M. Picard {Atti de l'Académie de Turin). 



28 PUE.MIEUE PAKTIE. 

({iii correspondent à la connexion linéaire et à la co nexion à 
deux dimensions. 

En le démontrant sur un exemple particulier et raisonnant 
ensuite par continuité, on arrive alors à ce résultat : Pour toute 
surface sans sin^iilarilcs on a p, =:^ i . 

La recherche de/?,, pour une surface donnée/(x,jKj ^)^ Oi est 
liée étroitement à l'étude de la transformation des cycles de la sur- 
face de Riemann 

où y est considéré comme un paramètre varial)le, et cette élude 
se ramène à celle du groupe de substitutions d'une équation 
linéaire E à laquelle satisfont les périodes d'une intégrale de 
seconde espèce relative à cette surface de Riemann . A toute substi- 
tution de l'équation E correspond une relation linéaire et homo- 
gène entre les périodes d'une intégrale de différentielle totale, de 
sorte que, si elles permettent d'exprimer toutes les périodes au 
moyen de /■ d'entre elles, on aura certainement 

Pi — i%r 

et les auteurs établissent que Ion a. p, — \ = r en montrant que 
l'on peut construire une intégrale de différentielle totale ayant 
/■périodes données à l'avance, aucune ne provenant dune courbe 
logarithmique. 

Cette équation E a encore un rôle important dans l'étude du 
nombre />o. A ce qu'on peut appeler les cycles de celte équation 
différentielle correspond, sur la surface algébrique, un cycle à deux 
dimensions. MM. Picard et Simart n'approfondissent pas cette 
question, se réservant de le faire ultérieurement, et se contentent 
de montrer qu'en général on a 

P-2> 3, 

ce qui les conduit à cette conclusion, étrange au premier abord : 
La présence des singularités dans une surface tend à diminuer 
le nombre des cycles à deux dimensions tandis qu'elle peut 
faire naître des cycles linéaires. 

Le Chapitre V est consacré aux intégrales de dij)'ércntielles 



COMPTES RENDUS ET ANAf.VSES. '^q 

totales (le preniicre espèce. Leur définition est la même (jue pour 
les intéi^rales ahéliennes : ce soni, celles qui restent finies en tous 
les points de la surface dans l'espace à cinf| dimensions. Les 
auteurs arrivent à montreur qu'elles doivent être de la (orme 



/ 



B dx — A dy 



avec la condition d'avoir l'identité 

ox dy oz \dx oy oz J 

dans laquelle A, B, C sont des polynômes de degré m — 2 en t, 
}', z et m — 3 en ;r et :; pour A, j^ et ^ pour B, x et y pour C. 
L'intégrale peut alors se mettre indifféremment sous l'une des 
trois formes 

\idx — k dy rK dz — C dx T C fZy — B dz 



rUdx — X dy rX dz — C dx Ç 

J J z J J y J 



J X 



La condition pour qu'il existe des intégrales de première espèce 
peut se mettre sous une forme plus élégante : Il faut que l'on, 
puisse trouver quatre polynômes cV ordre ni — 3 vérifiant les 
deux identités 

dx oy oz dt 

t)9i dO, c96:i d%;, _ 
dx dy dz dt 

Par une discussion relative aux points singuliers on arrive 
ensuite à montrer que les conditions nécessaires qui ont été trou- 
vées sont suffisantes pour que l'intégrale soit Lien de première 
espèce. MM. Picard et Simart, comme application, donnent alors 
des exemples de surfaces admettant de telles intégrales en s'atta- 
chant spécialement à l'étude des surfaces du quatrième degré et 
étendant les résultats obtenus à une classe de surfaces du cinquième 
degré. A signaler, dans ce paragraphe, une intéressante remarque 
relative aux surfaces sur lesquelles existe une famille de courbes 
unicursales. 

Le Chapitre VI a pour objet l'étude des intégrales de diffé- 
rentielles totales de deuxième et troisième espèce. 

MM. Picard et Simart donnent plusieurs définitions équivalentes 



3o p m: M I K IM-: i^autih. 

des intégrales de deuxième espèce el déterminent rigoureusement 
le nombre de celles qui sont distinctes. Ce nombre est p^ — i. 
Cherchant ensuite, par une discussion assez longue, à déterminer 
la forme de ces intégrales, ils sont ramenés à voir si un système 
d'équations linéaires ordinaires à coefficients rationnels 
admet des intégrales rationnelles. Le nombre de ces intégrales 
linéairement indépendantes étant alors /?, — i, on peut considérer 
le problème de la recherche pratique de />, comme complètement 
résolu. 

Les intégrales de troisième espèce sont celles qui admettent des 
courbes logarithmiques; au moyen de la propriété analogue des 
intégrales abéliennes, on trouve immédiatement une relation 
linéaire et homogène entre leurs périodes logarithmiques; quant 
à leur foniic, la discussion n'est faite que dans le cas des surfaces 

Dans le Chapitre VII, nous abordons Tétude des intégrales 
doubles de première espèce. Leur définition est immédiate et l'on 
trouve rapidement qu'elles doivent être de la forme 



// 



Q(a:, y, z) dx dy 



Q(^, j', :;) = o étant une surface de degré m — 4 passant par la 
courbe double (ju'on peut toujours supposer être la seule singu- 
larité de la surface. 

Si la surface y possède des singularités quelconques, il faut 
encore que Q soit de degré m — 4? mais avec des conditions com- 
plémentaires. Ces surlaces Q = o, qui peuvent servir à former des 
intégrales doubles de première espèce, sont les surfaces adjointes 
d'ordre m — 4 et le système linéaire qu'elles forment est le sys- 
tème canonique. Ce sont ces adjointes qui conduisent à introduire 
dans la théorie de nouveaux nombres invariants pour des trans- 
formations biralionnelles. 

Le genre géométrique fer est le nondjre de paramètres dont 
dépend le polynôme Q. Par exemple, pour une surface d'ordre m 
sans singularités, on a 

(m — I ) (' m ■ — 9. )(m — ■ 3 ) 

P€= cT^ ; 



COMPTHS lUîNDUS KT A NA L VSKS. 3r 

pour une surface possédant une famille de coiii-bes uiiiciirsales el, 
en particulier, pour les surfaces réglées, on a 

Pg ^ o- 

La notion de second genre f/^'> résulte de considérations rela- 
tives aux systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface. 
La surface adjointe Q := o, qui dé|)end de paramètres, rencontre 
la surface f suivant une courbe mobile / cpii, en général, est irré- 
ductible; yj'*' est le genre de cette courbe. 

Un troisième invariant est le nombre /?'-^ des points de ren- 
contre niobiles de deux courbes l. 

Ces invariants permettent de généraliser une propriété bien 
connue de la théorie des courbes algébriques de la façon suivante : 

Toute surface f peut être transformée birationnellement en 
une surface de degré 

L'étude de ces invariants est reprise en détail dans le Cha- 
pitre VIII qui termine le Tome I. Dans ce but, MM. Picard et 
Simart sont obligés de traiter diverses questions relatives aux 
courbes gauches algébriques et à leurs surfaces adjointes. 

Us peuvent alors démontrer la relation de M. Nœther 

et déterminer les cas où elle doit être remplacée par l'inégalité 

/>(2)<^(i)— I. 

Passant ensuite à l'étude de pg, ils montrent (pi'étant donnée 
une surface avant des singularités bien déterminées, on peut trouver 
une formule donnant pg, sauf dans certains cas spéciaux l'où on 
peut même être conduit à une valeur négative, ce qui est inadmis- 
sible pour le genre géométrique. 

Si certaines conditions, qu'il serait trop long d'énoncer, sont sa- 
tisfaites, on peut trouver une formule donnant rigoureusement y? <,. 
Le nombre donné par cette formule dans tous les cas sera le 
genre numérique p,f Ainsi, dans le cas qu'on peut appeler 
général, on aura 

Pfr=Pn, 



32 PHHMir-IÎF PAHTIK. 

sinon on aura 

Pu > Pn ■■ 

l'inlért'l de p,i résulte de ce (jiie ce nombre est aussi un invariant. 
Actuellement, M^l. Picard et Simart se bornent à le démontrer 
pour le cas de deux surlaces se correspondant birationnellement 
et n'ayant d'autres singularités que des courbes doubles avec 
points triples. 

Pour terminer, et en se plaçant dans le cas général où Ton a 
p{2)-—p{\) — j^ Jig donnent la formule qui doit fournir /j^'^ et 
celle-ci continue à donner un nombre positif ou négatif, même 
quand y?^'^ n"a plus de signification. Ce nouveau nombre sera le 
second genre numérique . 

En se plaçant à un tout autre point de vue qu'au début, on peut 
dire que le Tome 1 du Livre de MM. Picard et Simart est consacré 
à mettre nettement en évidence les différences profondes qui 
séparent le cas d'une seule variable et le cas de deux variables, 
différences qui se présentent soit à propos de la Géométrie de 
situation, soit dans l'étude des intégrales de différentielles totales, 
soit enfin dans l'introduction de ces nombreux invariants dont 
aucun ne peut être considéré comme véritablement analogue au 
genre d'une courbe. E. D. 



co MPT lis in<M)Us i: r analvsi:s. 
COMPTKS m: M) LIS KT A N.\ I. VSKS. 



KLEIN (F. ) uiul S()M.MRRFELD(,\.). — Vinu'.w duc Tiikouiiî dks Kiu:isi:i.s. 
Hefl I : Die kiiicnidlisclicii iiiid kinctisclirii Cnindla<j;rii dcr 'J'Iicoric. \\\i'i\\. 
in-S": Lcipzii;. TcuhiuM-, iS()-. 

Kl.EIX ( F.). — TiiK M.VTiiic.MATicAi- TiiicoKY OF Tuii Toi'. Lccl.urcs (lelivorcd 
on llie occasion of tlie sesquiccnlenial célébration of Piiiicelon Universily. 
1 vol. in-S": ^o\\-York. Schicncr's sons: iSijj. 

Les Lectures de jM. Klein résumenl les malières contenues dans 
la Théorie des Kreisels; c'est tle ce dernier Livre que nous nous 
occuperons. 11 est sorti d'un cours professé par 1\L Klein pendant 
le semestre d'hiver i895-i89(); les développements qu'il conlicnt 
sont, j)our une grande partie, l'œuvre de jM. Sommerfeld. Le 
titre même, Sur la théorie de la toupie, semble clioisi pour in- 
diquer le désir qu'ont les auteurs de traiter un problème concret 
d'une façon aussi concrète que possible; à la vérité, c'est d'un 
cor|)S solide pesant, ayant un point fixe, qu'il s'agit, non du jouet 
ordinaire, dont la pointe peut se mouvoir sur un j)lan horizontal 
et dont le mouvement dé[)end des fonctions hjperelli|)liques ; mais 
le mol toupie, cpii reste juste, puisque, aussi bien, on fabrique des 
toupies dont la pointe est fixe, fait mieux image. A.u leste tout 
le monde sait bien que, avec INL Klein ou ses disciples, la Science, 
en essayant de se faire concrète et imagée, ne risque pas de s'a- 
baisser; M. Klein veut seulement la rendre plus intuitive; il faut 
l'en remercier et, sans doute, l'intuition est la faculté maîtresse 
du mathématicien, du géomètre comme de l'analjste : l'un re- 
garde des formes géométriques, l'autre des formes analytiques, et 
M. Klein est de ceux qui pénètrent l'identité des unes et des autres. 
Le plan de l'Ouvrage est très intéressant et l'Ouvrage lui-môme 
très instructif. L'exposition n'est nullement bornée au j^roblème 
spécial qui donne son nom au Livre, et qui tient peu de place dans 
ce premier cahier : toutes les questions sont reprises à leur début, 
et d'une façon assez complète |)Our rpie le lecteur puisse acquérir, 
non pas assurément la connaissance de la Mécanique analytique, 
mais au moins des idées nettes sur les principes de la Mécani(|ue 
et soit ainsi en mesure de traiter un grand nombre de problèmes. 
Bull, des Sciences inatliëm ., 2' série, l. XXII. (M;ii's 189S.) 3 



Les ailleurs onl une Iciulance nianHeste à réagir conlie la place 
excessive fjiie. dapiis eux, la Mécanique analytique prend dans 
renseignement : ils ne vculenl faire que des raisonnements où le 
sens géoméirifpir ou mécanicjue des éléments que l'on introduit 
ne se perde jamais dans les iraiisfoimalions analytiques. Des 
maîtres éminents onl souveiil dével()[)pé, en France, des idées 
analogues, familières aussi aux auteurs anglais; mais tous les lec- 
teurs de MM. Klein et Sommerleld trouveront dans leur Livre un 
modèle d'élégance et de clarlé. 

On V renconirera d'ai)ord les |)rincipes de la cinématique du 
corps solide dont un point est fixe, la ihéoiie géomélmpie de l'axe 
instantané de rotation et des cônes rcjulants, à propos de laquelle 
les auteurs ont signalé un j)rocédé bien ingénieux, dû à Maxwell, 
])Our rendre sensible le mouvement de l'axe instantané dans le 
corps solide, au moven d'un disque, lié à ce corps, et portant des 
secteurs colorés. Ils développent ensuite la ibéorie des substitu- 
tions orthogonales et montrent le rôle des angles d'Euler, des para- 
mètres d'Euler et d'Olinde Rodrigues, enfin des paramètres de la 
subslilulion linéaire que l'on peul faire correspondre, par l'emploi 
des coordonnées de Riemann, à toute substitution orlliogonale ; le 
cas de la précession régulière est traité d'une façon détaillée et 
même avec une application numérique. En introduisant les para- 
mètres d'O. Rodrigues, on est trop près de la théorie des quater- 
nions pour que les auteurs se soient refusé le plaisir d'en donner 
une exposilion géométrique, aussi élégante qu'élémentaire. 

Nous passons ensuite à la Cinétique (statique et théorie de 
l'impulsion). C'est, tout d'abord, une exposition rapide de la 
djnami(|ue du point matériel. Les auteurs regardent comme don- 
nées les notions de force et de masse; ils acceptent franchement 
l'origine psychologirpie de la force (tension musculaire), ipil suffit 
au moins pour s'orienter dans les problèmes qu'ils ont en vue, et 
ne soulèvent pas ici la grosse question de la relativité du mouve- 
menl et de la force. I^es forces se distinguent en forces continues 
et en forces instantanées (percussions). Toutes deux se comportent 
comme des vecteurs; une force continue est égale à l'accélération 
(pi'elle produit, multi|)llée par la niasse; une force instantanée 
est éi;ale à la variation (g(-ométrique) de la vitesse qu'elle produit, 
iiinlliplii'e par la masse. A la vérité, le mol jiroduit n'a pas ici 



COMI'I'IIS m- M) US l'IT ANALVSI'S. T. 

une si<;riincaLioii Idcii essenliellc el l'on pomrail sonlcnir (iiic l;i 
pn'leiidiie cause iiosl fiu'un mol ([iii résiuiic rcHi'L. (^ii<ji ([iril en 
soit, les (lcu\ sorl(\s de lorces se ramènent Tune à l'aulre par (l(< 
passages à la liiiiilc. cl Ton peut rcMnpIaeer les forces inslanlan(;es 
par des forces conliniics Liés i;randes et agissant pendant nn temps 
très conrt, on les forces eontinnes |)ar des forces instanlanées se 
succédanr très rapldcMucnl . l,^ i/)i/'(//sion (qnanlltéde niouvement) 
d'un point matériel est la même chose que la (orcc instantanée 
(|ui le ferait passer dn repos à son état de vitesse actuel. Les au- 
leiii's développent les nolions de travail, de force vive, les équa- 
tions du mouvement d "un point et parviennent aux ('quatious de 
Lagrange, de façon à bien mettre en lumière la signilication 
géométrique des dillérents termes. La statique dn corps solide, 
les notions de couple r(;sullant et de résultante, celle de vis de 
force sont développées tant au point de vue de Poinsot qu'an 
point de vue de Lagrange. L'impulsion d'un corps solide libre est 
définie comme le système de forces instantanées qui le feraient pas- 
ser de l'état de repos à son état actuel de vitesse; elle se ramène à 
une vis de percussion dans le cas général, à un couple de percus- 
sion dans le cas d'un système solide ayant un point fixe. Les au- 
teurs montrent comment on détermine l'axe de ce couple et la 
force vive du système. Le problème analogue est même traité pour 
le corps solide libre. Après avoir examiné le cas de la toupie 
syniétrique, c'est-à-dire d'un corps solide ayant deux moments 
d'inertie égaux, lorsqu'il xx'j a pas de forces extérieures, ils déve- 
loppent les propriétés essentielles des moui-enients à la Poinsot. 
Un intéressant paragraphe est consacré à la stabilité de l'axe de 
rotation. 

La considération des dérivées géométriques de l'axe du couple 
des quantités de mouvement, tant dans l'espace fixe que dans le 
corps solide, conduit aux équations d'Euler. Les auteurs mon- 
trent, dans le cas où il n'y a pas de forces extérieures, comment 
s'intègrent les six équations du mouvement, comprenant les trois 
équations d'Euler et les trois équations cinématiques qui expri- 
ment /?, (/, /■ au moyen des angles d'Euler et de leurs dérivées; ils 
étudient, d'autre part, les équations de Lagrange relatives aux 
angles d'Euler; cette étude met en évidence le caractère spécial 
des é([uatlons d'Euler, où n'intervient nullement la position du 



5(1 l' m: M 1 1: H E pautie. 

(:()ij)s solide dans l'espace, caractère qui est la raison môme de la 
simplification apportée dans l'intégration, et qui disparaît d'ail- 
leurs dans le cas où il v a des forces extérieures. Lorsqu'il n'j a 
point de telles forces, les composantes/^, q^ r de la rotation jouent 
le rôle d'invariants dans le groupe triplement infini des transfor- 
mations qui correspondent aux rotations autour du point fixe, 
et ce sont les théories que l'on doit à JM. Lie qui permettent de 
caractériser les problèmes particuliers de Mécanique dont les 
équations com|)ortent une décomposition anr.logue. 

Le cas où le mouvement du corps solide est gêné, de telle façon, 
par exemple, (pi'une de ses droites soit obligée de décrire un cône 
prescrit, donne aux auteurs l'occasion d'exposer le principe de 
d'Alembert et d'en bien préciser la signification. Dans le problème 
particulier qui les occupe, ils décomposent la résistance totale en 
résistance d' accélération et résistance de déviation. Cette der- 
nière est étudiée en détail pour le mouvement de précession régu- 
lière du corps solide de révolution, et cette étude les amène, en se 
plaçant à un autre pomi de vue, à introduire le théorème de 
Coriolis, qui, à son tour, est l'occasion d'une courte digression sur 
le mouvement à la surface de la Terre. Enfin, le Volume se ter- 
mine par la description et l'explication de quelques expériences 
qui montrent la réalité de la résistance de déviation. 

Nous ne pouvons que signaler les nombreuses indications biblio- 
graphiques et le vif intérêt de plusieurs renseignements historiques 
répandus çà et là dans le Livre de MM. Klein et Sommerfeld. 

J. T. 



MKLANGIÎS. 3t 



MÉLANGES. 



SUR L'INTÉGRATION DUNE CLASSE D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PAR- 
TIELLES DU QUATRIÈME ORDRE; 

Par m. li: Du. Vntomno VACCAHO. 



Introduction. 

IM. Picard, dans son classique Mémoire sur la théorie des 
équations aux dérivées partielles et la méthode des approxi- 
mations successives {^), traite d'une équation du deuxième ordre 
aux dérivées partielles de la forme 

d- u ^ ()- u ^ à- a ^ / du, du 

ox^ ôx ôf Of- 



A ^: + 2 B -.— ^ ^ G -— = F ;/, —, — , .r, j 
Oy- \ Ox Ov 



où A,B,C désignentdes fonctions des variables indépendantes x,j^, 
et étudie les cas dans lesquels, indépendammeut de la nature des 
fonctions A, B, C, l'équation peut se réduire à l'un des deux types 



d- H à- u „ / Ou du 

( A ) ^-: — -T-^ = 1 ( U, -—, --^ X, y 

■ ^ dx-^ dy- \ dx dy j 

d- u ,, / du du '\ 

u s'occupe successivement de Tintégration de ces deux équa- 
tions, en supposant, dans le cas du type (A), données les valeurs 
de u sur le contour d'une certaine aire finie; dans le cas du 
type (B), quelques éléments qu'il n'importe pas ici de rappeler. 

La méthode que M. Picard em|)loie dans celte intégration est 
celle déjà célèbre des approximations successives, méthode que 
je me promets d'étendre, dans ces pages, aux équations de la 



C) Journal de Mathématiques, '^ série, t. VI; 1890. 



38 PHEMli-:KE PAKTIE. 

loiiiif 

/ ou Ou d- Il d- u d- u d^ u 0^ u d^ u d^ u \ 

(I) aam = r «, — , — , — -, - — — . -r-^. —-' . , , > , , ., > ^— : j ^, y)' 

\ Ox Oy Os- ôx Oy ày- Ox^ dx- oy Ox ay- oy-^ / 

où Ton pose, pour abréger, 

'~ Ox* ' " Ox- Oy- ' Oy* 

La mélhode de M. Picard suppose résolu le problème de linté- 
gralion de léqualion 

el nous supposerons ici savoir intégrer I ('(pialion 
d'il d'*u d'^u 



(3) 



Or* rh-i Oy^ Oy* •' -^ ' 



M. -Malliicu, dans son Mémoire sur V équation aux dijjé- 
rences ... ( ' ), a étudié l'équation 

(3') AA?/, = o 

à la résolution de laquelle peut toujours se réduire celle de 1 équa- 
tion (X). Il suffira, pour cela, de poser 



I r r-\ozr .. , 

"2=— / ~-f{x,y)di!, 

^- '• . ' 1 



cl d'intégrer I équation (3') avec les conditions au contour 

(9«i Ou ôu-2 

Ou On Ou 

tandis que /(x,j'') satisfera au tliéorème de Poisson. 

M. Mathieu donc a étudié des cas où la fonction a. intégrale de 
l'écpiatioa iji) [ou, par ce (pic nous avons dit, de léquation (3)], 
est déterminée. 

Le cas qui présente le }>lus dintérèt est celui où, au contour s 

(') Journal de Mnlliéniatigucs, T série, l. XIV: i86g. 



(111110 ccriaiiic aire plane 1, soiil donm'es les valeiiis de // ol 

celles (le la (k'Tiv(''(! lu^rniale Les autres cas (lue considère 

M. Malliieii ont peu d'inlérôl pour noire but, car, ou ils se 
r(îduisenl ù des intégrations successives d'équations du type {'■>■)■, 
ou ne déterminent pas complètement la fonction Inconnue ii. 
Pour ce (jul rei;arde riiilc'gfalion de (3') ou de (3), l()rs(|u'au 

contour sont données les valeurs de it et celles de ^— > M. Mathieu 

on 

(Mémoire cité) réussit, dans le cas d'un contour circulaire ou 
elliptique, à représenter la fonction u par des séries. Pour les con- 
tours généraux, rien n'a été dit sur l'existence de l'intégrale a 
de (3), supposés donnés les éléments ordinaires au contour. Mais, 
comme il a été déjà dit, nous supposerons déjà écartée cette dif- 
ficulté et nous nous bornerons à faire quelques observations et 
transformations relatives à la formule qui peut servir à exprimer 
l'intégrale u. 

La méthode de M. Picard peut encore s'étendre à des équations 
d'ordre pair, de la forme 

Pour cela, il faut, avant tout, se servir des résultats du Mémoire 
de M. Gutzmer (') et établir les formules relatives à rintégrallon 

de l'équation 

AA. . .\u =zfix,y) 

et fixer par cpicls éléments au contours ces intégrales sont com- 
])lètement déterminées. 



Formules fondaaiextaliîs. 

1. ^lalhleu, dans son Mémoire déjà cité, établit une formule 
de réciprocité, analogue à celle de Green, entre deux fonctions 
qui sont régulières, ainsi que leurs dérivées premières, deuxièmes, 
troisièmes et quatrièmes dans un certain champ à trois dlmen- 



(' ) Journal de Mathcmntiques, 3' série, t. \'l; i^O"^'- 



4o PMKMlklU' PAKTIK. 

siuiis. On pciil pareilleinenl claMir une formule aiialoi^iie dans le 

cas (l'un cliani|) plan. 

Si nous (lési^nnns par n, u' deux lonelions régulières dans un 
( lianip plan 7, à deux dimensions, dont nous désignons le contour 
|)ar .V et //, la direction de la normale comptée vers Tintérieur, 
la lormiile analogue à celle de iMalhieu, el qui a été donnée aussi 
pal- M. (îiiizmer ('), peut s'écrire 

l / {u^\u — li l\n) (h 

j r / , d\u à lu On Ou v 

I = I u — u h \u -^ " -, "•^• 

1 J . \ On ou On On / 

(,)i', si l'on prend poui- // une intégrale régulière de l'équation 
indélime 

et SI l'on pose 



A A» = f{x,y), 



i 



/• étant la distance d'un point variable de l'intérieur du corps n à 
un point lixe qui y est aussi situé, l'équation (i)nous donnera, 
en raisonnant comme au i:; 8 du Mémoiie cité de iM. jMalliieu, 



(3) 



1 »(.r,. ji) = 7Z / "'/'-^''.r)^^' 



)la' 



I /•/ , 0\u 0\(, 

— i " ■ " - — 

■ii: J \ On on 



, ,àu ^ 

-(- \u \u 

On 



Ou' 



(h. 



M. Malliicii a (lénu)nlré aux § 12-11, Mémoire cité, cpie l'inté- 
grale // d.' r('(pialion (2) est parfaiten)ent donnée, lorsque au 

Ou 



00 



ntour .V sont données les valeurs de u et de 



On 



Cela posé, nous nous proposons d'éliminer de la formule (3) 

1 • 4 <^ '^^ r^ I • . 1 • 

les termes riiii contiennent A«, — - — roiir cela nous iiilrouuirons 
' ' On 

une l'onciion analogue à celle de Green. Cette fonction l doit 

jouir de la propriété de satisfaire, en tous les points de o-, à l'équa- 



(') JinaiHil (la Mallicinati'jues, ;mni''e i*^')", p- \i^. fnrnmlc {■>). 



lion 



M f-: LANGES 

A A/ ^ o, 
en tous les [joints de .<r aux ('(jii;ilions 

(4) f = i'', 



41 



df _ du' _ 



de plus, elle doit élre régulière ainsi que ses dérivées de Ions les 
ordres dans t. 

En appliquant à cette fonelion et à ii^ intégrale de l'équation 
(2), la formule (1), nous aurons 

r r X , r f ù \u d St . Ou. . àt\ , 
o = / t f(x, y) (h -+■ I { t — H — ^ ^t \ ^u — ds. 

/ -^ ^ " ^ \ an On on on I 

Divisons par -i-r. et soustrayons de (3), en ayant égard à (4) 
et nous obtenons 



-^ f {u-t)f{x,y)ch 
Posant 



d \u. /d\ii' \t \ ,. , , . au . /rj«' d/\"| , 



d/i 



()/« 



A/) — u 



\u' \t 



c/s. 



N—f = G, 

on pourra écrire la précédente formule 

2. Rappelons-nous que la fonction t est régulière en a- ainsi 
que ses dérivées de tous les ordres. Au contraire, la fonction a' 
est régulière ainsi que ses dérivées premières, tandis que les 
dérivées deuxièmes ont en t un point d'infini ainsi que la fonc- 
tion log/' et les dérivées troisièmes un point d'infini ainsi que -• 

Si les valeurs de u et de -^ . dans les points de 5, sont nulles, 



4v.. PHE.MIÈrU- TARTIE. 

léqnalion (Y\ nous donne 

(j) « = -- f Gf{x,y)ch. 

I.;i lonclion u, donnée parla formule précédenle, esl fonction 
du |)oinl (X|, )',), où les dérivées deuxièmes et troisièmes 
deviennent infinies. 

Si Ion \cut les dérivées premières de la fonction u, donnée 
par (5), on peut dériver sous le signe d'intégration; en effet, les 
dérivées premières de G, par l'observation qu'on vient de faire, 
sont toutes régulières en tous les points de 7; donc nous \)0\\- 



vons écrire 



<«> ■ .G 



; Ou I r ^G - , 



Pour les dérivées deuxièmes et troisièmes de (5) on peut 
observer qu'en dérivant sous le signe d'intégration les fonctions 

r^îG d-^G d^ dj_0 

Ox\' ériôfi'' Oy\' ôx\' 

deviennent infinies au point [JC^^y^) de 1 ainsi cpie 

r 
el alors, |)Our des théorèmes connus, les intégrales 

sont régulières el Ton peut écrire simplement 

■ — ■ =^ — / -r-^ / (^,y)(^^' 
(-) ] 

\ -^~, ~ — / — ^fi^' y) «^) 



Observons, puisque ("1 d ses di'rivc'es premières <onl i('giilicres 



MKLANGI-S. 



4 5 



on 7 (le contdiir s conipi-is), ([iic les (tirimiles (5) el(6) sont aussi 
valaltles, iiiciik! lorsque les |)oinls ./•,, ) , de t s'approchent iiuh'li- 
nlmenl des points de s. 

3. Indiquons par F le module maximum de la fonelion f{x^'\ ), 
que nous supposerons toujours finie dans le champ t. On a, d'a|)rès 

(5): 



(5') 



"' = ^.( 



G I f/7. 



et si nous désignons par M le module maximum des maxima des 
fonctions 

a7, .... 



'^-"X U^î I ^' ■■■' '-^-X te 



nous aurons d'après (5'), (6), (7) : 
(5") |a|<FM. 

i r)2 7/ 

< FM, 






(;'■) 






<FM. 



Observons que (5") (G') valent aussi, même lorsque le point 
jri,y( de T s'approche indéfiniment de s. 

Il est manifeste que la valeur constante de M dépend de la va- 
leur de 5- simplement et non de la fonction /"(Xjj') ; de plus, nous 
jiouvons dire que la valeur de cette constante décroit avec le dé- 
croissement successif du champ d'intégration. 



PREMIÈRE PARTIE. 



KQUATI0N5 LINKAIRES. MKTIIOUE DES APPUOXIMATIONS SUCCESSIVES. 

4. Considérons l'équalion aux dérivées partielles du qiialrième 
ordre 

i 0^ u 0^ a d^ u d^ u 

) ' Ox-^ dx- Oy àx dy^ q} 

(S) < 

i ()- u d- u à' u du du 

' -i- flô : -^ «6 ^ : ^ «7 T^ -^ «8 ^ «9 ;^ H «10. M, 

Ox- dxOy oy^ dx oy 

(If, a.2, «3, ..., Ou> fondions régulières et toujours finies des 
points d'un certain chanij) fini t; soit A le module maximum des 
maxima de a,, «oi • • • ■> ^'lo- 

Supposons qu'on sache trouver la fonction ^ du n" 1, relative au 
champ 3-, que nous considérons, et posons 

d^ u d^ u 

On intègre les équations indéfinies, 

A A?<o = o, 
A Aa, = r{Uo), 
(g) ,' ^^ii-2 = r(«, ), 

1 ) 

A A«,- = V(ui-i), 



avec la condilmn (juc sur .y on ait 

Uo = Us, 



ÔUo /'^"N 



du \dn / s 

iisi (";")' «^"l!"!' deux fondions des points du contour s arbitrai- 
rement données; et que pour les fonctions ;/|. Mo, . . . , on ait au 



contraire sur s 



du; 
Ui= -— =o. 

on 



En appliquant la formule (3)" du n° j, nous trouvons que ii( 
est donnée par la formule 



.Mfa,ANGns. 

w/,'en gc'iiéral, au conlralic, par l'aiilro, 



45 



(lo) 






5. Supposé que les fonctions des points de s 

/c)u\ 
\ôn / s 

plus qu èlre intégrabics sur s, soient encore toujours finies, nous 
aurons que la fonction ;/„ sera toujours finie, ainsi que ses dé- 
rivées de tous ordres quelle que soit Ja j)Osilion du point X),j)'i 
de 7. 

Cela posé, l'expression ^{ifo) sera toujours finie et ne dépas- 
sera pas, en valeur absolue, une limite assignable F'. On aura 
alors par les (5)", (6)", (7)" du n" 3 et par l'équation (10)' du nu- 
méro précédenl 

I «1 I \ 

dxi 



) <F'M, 



et par suite 



dxl 



r("i)| < 10 F' MA. 



Par les mômes formules (5)", (6)", (7)", et par la formule (10) 
et la précédente, on a 



à 11-2 



f-^i \ <ioMAF'M, 
0.r'i 



46 

et par suile 

De même 



P K K M I E HE PAIITIE. 

|r(«2) |<(ioMAj-2F'. 



dU3 



à"-ih\ ) <(ioMA)2F'M 
Ox\ 



Oxi 



et 



|T(;/3J|<(ioMAy*F'. 
11 est clair qiron aura, crune manière générale, 
()a,i dUin à'-^u,i 



i)x, 



ûr'i 



O.r 



<(ioMA)"-'F'iM 



et 



|r(«„)|<(ioMÂ)"F'. 
6. Considérons mainlenanl les séries 

I u = ?<o — ?/i 4- Ui -i- »3 

du dUn l)U\ OUi 

ÔJ-^ ÔXi ÔX\ (JXi 



^") 



0- u à- iiq 0-U\ ô'-Ui 

(Jx'f Ox'l dx'j Ox] 

<Pu _ àUio ô^iii ôHii 

dx\ Ox\ dx\ dx\ 



Par les ii)('i;:ilil(''S du |):ir;i,i;i;i|)lie priuM'ilciil , on a, pour ces séries, 
T iiidiiniaiil le inodide m;i\iiniim des valeurs maxima absolues 



des foiui loiis 



! «; 

! - " 

à- u 



â^ Il I 



ôit^ 

i)X, ' 



M fi LAN G HS. 



d- it,) 



dx] ■ 



T -^ V AI -^ I o M A F' M -i- ( lo AI A )2 F' M + . 



i7 



(roi'i il résulte que les séries ( i i ) convergenL dans un é^ai degré 
en lous les points de t, lors(]ue converge la série 

I -^(lo.MA ) 4- ( ioMA)i + ([oMA)3+.... 

c'est-à-dire lorsqu'on a 

(12) ioAIA< f. 

La constante A dépend, nous l'avons dit, de la nalure des 
fonctions «,, r/o, . . ., <7,o; l'autre IM, au contraire, dépend seule- 
ment de la nature de l'aire 7 et elle décroît indéliniment avec le 
décroissement des dimensions de t. 

En conclusion nous pouvons dire que : 

Les séries (i 1) convei-gent uniformément en tout 7 lorsque 
dépendamment de la nature des fonctions «,, a.^. • • •, o^o, et 
de l'aire t, la condition (12) est satisfaite. Ajoul(»iis que celle 
condition est certainement salisfaile si 7 est suflisamnient petit. 

L'observation faile à la fin du n" 3, en ce qui regarde la vali- 
dité des (5"), (0"), niéuie lorsque le point de 7 fpi'on considère 
s'approche indéfiniment de 5, nous montre que les inégalités du 
n" o, relatives aux fonctions u,i et à leurs dérivées premières, 
valent aussi, même lorsque le point de 1 s'approche indéfiniment 
de .9 et par suite que les trois premières des séries (11) con- 
vergent unil'orméinciU et encore la condilion (12) élanl salisfaile, 
lorsque le point de t s'a|)|n'Oche indéfiniment de s. 



48 



PREMIÈIU-: PAiniR. 



7. On mulliplie les séries convergeiUes (i i) respeclivcmcnt par 
Ga,o, G «8, G^O) G «5, Grt(j, G «7, G<7|, G«2i G «3, G «4, et on 
les somme en groupant les premiers termes entre eux, les 
deuxièmes eiilre eux, etc. On aura ('videninient 

Gr(») = GV{uo)-^ Gr(«i)-+-Gr(«2)^-.... 

Puisque cette série, comme celle dont elle dérive, est unifor- 
mément convergente en loiil t, nous ])ourrons intégrer en toute 
l'aire c en aj)plifjuai)t le ihéoréme de l'intégration des séries, et 



et par la (10) 

z = -^ I G r (n) di = Ui -h 11-2 -h 113 -+- . . . 



dz 



et enfin 

Par la formule 
il résulte 



// =r Mo -H ^ 



AAc=-^AA f II' r{u)d:s— -^\\ f I Y { ii 



dn. 



Or, l est régulier en tout a-, ainsi que ses dérivées de tout ordre 
et il satisfait, par hypothèse, à l'équation Adi = 0; et Ton a 



AA;= — A A \ Il ]'(«) r/a. 



Piir la forme de la fonction //' du n" 1 on a 

Am'= log/--i- I, 
[)ar suite 

A \ u'\\u)di^- I V{u)lu' da=: ( V ( n) {logr -h i) da; 

^rs ..'r; Jr; 

<ii l'Ilel, nous savons (|ue hi dernière intégrale est propre, 
l()rs(|n(: luénie ro\|)r('ssi(jn log/' devient infinie; dans le point 



Mf'll.ANCil'lS. 



•Il) 



/■ rr= (). Mil COIlcIliaill 



I ( loi;/- - \ ) (( 



•i~ ,' - ' ■ ., _ j 

el admis (|iie les déiivées premières de Texpression r(^/) exislent 
et soient régulières en loiiL t, ce (pii porte aux condilions iroii- 
vées au nuiiK'ro précédent, on a, par le théorème de Poisson : 



(i3) 
el enlin 



A / V{u ) loiirrh = ■>.- r( if ) 



Mz = T(u). 

Or, la fonction //^ satisfait à Térpialion : AA//,, =-3 o. donc : 

( [.i ) AAf( = r(//). 

Cela nous démontre (pie la fonction 1/ déterminée par la pre- 
mière des séries (11) satisfait en tout 7 à ré(piation donn(''e (8). 

8. Par Tobservalion faite à la lin du paragraphe précédent il 
résulte, même si I on approche indéfiniment de s, nue 



du 
On 



Or, sur s, on a 



l(„ = Us. 



du d.r du dy 

d.r du dy du 

dU() d.r dui dx 

<)x ()ii ' dx dn 

du» ()y ()ui dy 

dy d/i <h- fin 

<)Ui) dux du., 

du, du du 

du.) I <)u , 



Oui 
du 



du \ dn / 

savoir, désignant par P un |)oiiit queleonqne de 7 et par \\ un 

autre de s 

.. .. <lu,, (du dut 

tiin ;/o = ",, '"Il — — , IiMi u, = lim — o, 

i>l'„=o S'i\-i) On \'''f / s i'i'„-o i'i'„=o O/i 



Bull, des Sciences inutlicm., 'jl' strie, l. WII. (Mars 1S98.) 



5o f lU': M 1 1: in-: i'autik. 

ol donc |)ai' la série déjà écrite et par la première des ( i i ), puis(|ue 
Ion |)('tit a|)pii(|iicr le llit'orrmc des limites, eliacpie terme étant une 
fonctuMi lime 

,. On ,. Oli^ ,. i)i(\ ,. àii^ /^'f\ 

liin — = lini -— -+■ hm — - ~ lim (-...= ( — > 

l'i'„ = o '''i l'l'„=o «^« i'i'„-o t^» iM'„ = o <^>'i on'.: 

liin u =: lim «o -i- l'm iii -^. . .= 11,,-, 
i'i'„ = o i-i'u = o ri'„ .-= 

c'est-à-dire la l'onetioii // d(;leriii ini'C |)ar la première des (M) 
salisfail siii' le CDiilDiir .v aux <''(| liai lOMS 







Ou _ (f>it\ 
Tfn ^ y^i ) s 



où //f, 1 — ) sont des fonc'tious arhilraires données dans les noiiils 

■ \ On I s 

du contour .v. Les deux n''>ullats de ce parai;iaplie peuvent être 
énoncés de celle manière : 

// existe, au moins pour les e/ut/r/ps 7 siifjisamnœnt petits, 
une iiitégi aie régulière de V équation indéjinie (8), prenant 
sur s, ainsi (/ue sa déri\'éc normale, des valeurs données à 
volonté. On peut /ou/ours déte)-miner cette intégrale j)ar des 
approjima t ions s uccessives . 

9. La formule (10) et par suite la i'ormule (i f) ont pu èlre éta- 
blies en supposant <pie lexpression r( u) ait des dérivées premières 
régulières. 

A la vérité le lliéorènie (\c l^oisson a été élahli par plusieurs 
auteurs admellanl pour la fonellon V(u) des conditions moins 
restrictives rpie celle ipie nous avons assignées pour l'existence des 
dérivées partielles premières de y{ii) ', mais, pour simplilier, nous 
nous bornerons à cette dernière, kupielle, quoique |)lus restrictive, 
est certainement plus sim[)le. 

Revenons un moment à l'expression L(//) et démontrons que la 
dérivée première de cette fonction exisle. Il faut établir avant 
ton! une in('i;alil ('•. {«éprenons la foiniule 



1^ = ^.1 ;>^-^^"-^^-^'''' 



MKI.ANCKS. 



c/'* -7 /•- loi;/- 

<)■' Il \ r h • . . \ r 0- / . , 

— 7~ — / z /(J\ y } 'l'y / — ■;h'\ Y)'!'!- 



l"J;ml |)(>sé (|iie la loiiclioii f(x,y) soil di''ii\ ahic une (ois n:ii- 
rapport à ./• el lappcli' ipToii a /• =z ^/(^x — .r, )- -h (_r — .Vi)", il 
r(''Siill(% cil iiitfi;raril pai' paiiics, 



0- , r- loo/ 






O.r 



0- T r- loi; /■ 

/(./•. Y)-— ils: 

o.r- ' 'an 



(le 1- 



2 la nous j)Ou\ons écrire 






Il ' 



Ox- 



0- - /■- Ioî; /■ 



et, si l ^ t [x, y) 
ô^ii _ I r 

Ox\ ~ -i-r.J d.rl 



0-',- r- lo" /• 
\ r h " ,)x . 1 CàH . 

■'-J, ()X7 "On i-.i ()xy 



0- , /•- ioij/- 
h 



et 



'>'j,'-""'^'-,f 



0- -r r- lo"/' 

\ r h ^ ôx 

— I -^ / ( r, )- ) — (/s. 

2-^/. (Irl ■' '• <)/! 



0^ -- /■'- loir/- 






f{T,r)~ch, 



où les dérivations sous le signe (.rinlégration sont j)ossil)le>, car 
la pi'emière intégrale, a-L-on dit, esl propre; la deuxième, tant 
fpie le point x,, t, n'est pas sur .v, est certainement finie, liepré- 

senlons par F, la iilus £:rande valeur absolue de la fonction -^- 
i ' i < Ox 



i'iu-;.\iii;iu-: iwiniK. 



dans 7 cl jxuis aurons 






■'i-..f 



0^ - /- \o^r 
h 



ch 



u. 



(>» ,- /■•- \o<j.r 
II 



<)r\ 
On 



ds. 



et piiisiinc 1 inh'ni'iilc 



d^ 



lo-/- 



dn 



esl propie, sa valeur décroîtra indéfinimenL avec le décroissenicnt 
successif des dimensions de g-; par suite, si H représente une 
constante délerniinée. ce sera 



0*3-. /■- 1(11! /• 



" a- 7 1 ox\ 



d-! 



et II pouria d<''croitrc indt-liniment avec t. 



d^ — r- loiï/" 
/i 



dx 
ô7i 



En même temps, puisf|ue -^ / 
finie, on jiourra ilétermincr une constante A. telle que 



ds est toujours 



(i6) 

et l'un aur.i 

("7) 



à^ - /•- loir/- 



Ox-Î 



ds <" // . 



Idx^i 



11F, -^AF. 



On a des formules analogues pour les autres dérivées cpu^trièmes 
de // ; et nous admettrons, pour simplifier, que F, soit le maximum 
des valeurs absolues maxima des déiivées premières de /'(j:, )-), 
(|ue H soit toujours supérieur à toute intégrale que l'on obtiendra 
analogue à l'intégrale (i5) et que h soit toujours supérieur à toute 
expression analogue à (i6). Cela posé, la formule (17) servii'a 
pour Imites les dérivées (pialiièmcs de la fonclioii //. 

10. Par la (H) /, 011 a (|ii(' les dérivées de tout ordre de //,( sont 
régulières tant ([ue le point (.r,, j',) de a- n'est pas sur s; étant 
admis donc, que les dérivées successives des coefficients f/f, a-i. ..., 
rtio soient régulières, on aura que, comme 1 (^^)) même ses dé- 
rivées premières seront r(''gulières en tous le- |iniiil> de laire t. 



.MELANGES. 51 

Et alors, si nous drsignoiis par K, le inaxiimiin des valeurs 

ahsolues inaxima des dérivées premières de r(//o)5 ou aura par(io) 

el(.7): 

I ,)* 11. 

IIF'i + AF'. 



1 '^■'^î 

d* Ui 



< iif; ^-^F^ 



Or, ou a : 



l)'* fl, 



OViiii) 0>ui 

= «1 ^^ — ; '- cC" — T, 

Oxi oxl ~ ûxi <)Vi 



(> * a 1 



<h 



sont régulières dans t. 



Oxx i)x\ 



<)a I 
ou a,, a,, ...,^' 

Rappelons-nous que A esL le maximum des maxima de r/,, 
a-2, ..., «105 et si \, représente la somme des plus grandes valeurs 
absolues des coefficients des dérivées troisièmes de Ui, dans 
l'expression précédente; Ao, celle des coefficients des dérivées 
deuxièmes de Wj ; A;,, celle des coefficients des dérivées premières 
de Uf ; A/,, celle des coefficients de ;/, ; nous aurons par les iné- 
galités précédentes et par celles du n" o 



ÔXy I 



F'[4AA-+- M( A,^ A.-^ A3-^ A;)J -^ 4 A f; II. 



et posant 
et 



4 AA - M(A,^ A,- A3-^ Ai) = :î:, 

4AII = /. 



on neut écrire la formule précédente 




et pareillement 



lesquelles avec laulrc 

Ti II-,) ■ : F'H 

du n"o (ici est : i= Jo.M.A) nous donnent par (17) 
^|<II(F'v + F;7.)-/.F't). 
II ( Fi; -4- F',7)-^AFe. 



dx'\ 



ôx\ dfi 



.*4 i'ui;.M iKin: l'AUTii';. 

lesquelles avee laiilre 



druiî) _ d' Ui 0*11- dai c>-'//> 

dxi ' Ox\ ' dx\ Ofi ' ' ' dxi fJxj 



(lomien t 
dr(Ui) 



Oxi 
c'est-à-dire 



I H ( F 1 + r 1 / ) ^ h V e I 4 A + F' e M ( A , ^ Ao ^ As ^- Ai ), 



el nareilIcmeDl 



OXi 

àriu,) 



Ofi 



<F'V(e^-/J + F;-/;^ 



<F'V(e-^7J-^F;■/;^ 



oL ainsi, |)uis(|iie d après le n"o, 

|^(«,)J<F'e^ 

avec un raisonneinenl aiialooue, on a 



à'*u% 



dx 



lî I < Il [ F'ï( e -- / ) ^ f; -/2 ] + h F'e^ 



|r(«3) 

à 17»3) 



OXi 



< F' 62, 



! 0'' «i 



< Il [ F' X I 02 ^ B-/ -^ -/•■! I -T- f; -/3 J -^ A F' B^ 



On voit donc (|ii(\ |)i)nr passer des dérivées cpiatrièines d une 
lonelion // avee un ecrlain index à celles de la fonction // succes- 
sive, il faut substituer dans le deuxième membre de l'inégalité 
à F' l'expression F'0. à F', l'autre F'S H- F', y ; cela posé, on aura 
en Général 



(i8) 



àxi 



ll[F ï( H' 1 -^ B' -2-/ -h. . .-h 6-/"-^-^ 7""') -t- F'i /."] -<- A F'0", 



1 I. (considérons les séries 

<)' u d* Uq 

dx\ dx\ 

< l'J I ', d'> u d* Un 



'l'iii d' ti-2 

dx\ ' àx\ 
d'*Ui à* u-2 



dx\ dvx dx\ àyi dx] dfi dx\ dy\ 



.Mi':i,AN(ji;s. 

I*ar ( I S ), on n 



0' u 
O.r: 



Ox\ 



( II Pi -I- A F') 



el les séries (iq) seront cerlainement iiaiforménienl converyenlcs 
dans tout a- (les points de s inclus) si les trois séries, dont les 
termes généraux sont 

e-'-'-he"--/ -T-. . .-(- 0/"---;- y"-' ; yj': H", 
convergent; on [)cut les écrire 

H" — •/ " 



0--/_ 



' /."■ 



c'est-à-dire, si convergent les deux séries dont les termes géné- 
raux sont 

/", 0". 

Donc, les séries des dérivées quatrièmes (19) convergent tant 
qu'on a 

( 20 ) /_ < 1 , < I • 

Par suite, outi-e la condition (i 2) : << i , qu'on avait trouvée pour 
la convergence des séries (11), pour l'existence des dérivées qua- 
trièmes de ((, on doit a\oir : ■ / << i , c'est-à-dire 

ÎAII ;i, 

où II décroît intlélininieut avec le décroisscment successif i\<:6 di- 
mensions de Taire t. 

Ces remarques laites, nous concluons : 

La fonction u dclermini'c par la jn-eniirre des séries [i\) 
satisfait dans n à l'équation (8) et sur s prend, ainsi que sa 
dérivée normale, des valeurs données, pourvu que ces condi- 
tions (20) soient satisfaites, lesquelles sont certainement satis- 
faites tant que l'aire ■y est suffisaniment petite. 



".(i i'ui:.mii:i;e ."autii:. 

Si II i.'tMciri'; i)i:s i.\ti':(;h\i.i;s mes kqi ations i.i.M;AiiUiS. 

l!2. Lfs litisoniiciiiciil-; prt'cédciits nous nssurenl l'ex.islence 
d'une inléi^iale ivf^nlir-re de rfMjtial ion (8) dans i par les condi- 
tions données au eonloiir. an moins ])oiir des aires t suffisamment 
petites. 

Nous allons maintenant examiner les cas où Ton peut parler 
d'unicité de celle inléi;rale réjoui ièrc. 

Désignons par u. r deux intégrales régulières de l'équation (8), 
(|iii |)rennenl, ainsi (pie leurs dérivées normales, les mêmes valeurs 
sur .V. La (oiiclioii rc'guliri'e 

\v = « V 

satisfera elle-même à I ('(pialion (8) el sur .v elle et sa dérivée nor- 
male seroni nulles. 

Ce^la pos('', {'oiisuh-roiis I mh-grale 



/ II' [A Air ^ l'( ir) ] r/T — o. 



ùw 



I nl('^rant par' parties avec lax erlissemt'iit (iiie (V et c? — sont nulles 
^ ' ' ' On 

sur .V, on a 

{■>A) 



I \i liv )- ~ n>l{iv)] (h = o. 



[^'expression cpii est sous le signe d'intégration est une forme 
(piadratique en u' el dans les di-rivées premières, deuxièmes et 
troi>iémes de a". 

( )i- sur .V 



(r =rz — = o, 
On 



et I on peut li'ausloiniei- cette (orme cpiadiatique en d autres; par 
exemple eu um,', dans laipielle il ne se présente que w el ses dé- 
rivées pi(Mnières et deuxièmes. J'^n tous cas, lorscpi'on démontre 
d'une manièi-e quelconque, cpi'une de ces formes cpiadratiques 
(canouicpies j est essentiellemeut positive, il sera facile de démon- 
trer, en égalant à o les variables de la forme (pi On considère, qu'on 
a id(Mil Mpiemenl 



d' ;= Il — c = o. 



n = i>, 



Mf-LANCiKS. 



■'7 



ri iilors évuleiiiincnl il scr;i (h'-iiioiiliM' riimcih' de riiilé^ialc! de 
rrijtialion (8) |):»r les coiiditions nii coiiloiir données. 

13. En |);ui.icularisaiil la lornic de l'expression V(_u), on oeiiL 

arriser à des rc'Sidlals stiKisaninienl eoniph.'Ls. 

Si l'on a 

d- H 0- Il , ùi(. Ou 

{■Xi) +1 {a) — —— -+- -,- ,- -i- ■id h- -xe -r h ///, 

ôx- oy- ôx ()f 

{•■il) deviendra 

0- w 0- »' 



Xl ■■' ■■ \or^ ' dy^ 



( An' )■- -- \v { h ^r-T + 'id (- xe — r- fw ) d'^ 

ôx dy •' /J 

En in[égranl |)ar parités 

(An'j2 



(•^.>') f 



Jx "'"Itt^ 



()d de 



f 



, âx ()y ' I 



,h = 



Si l'expression 



ôd ^ de 
âï- " âr ~-' 



en loul T n'esl pas négalive, la l'orme sous le signe d'iiUégralion 
précédent est cerlainemenl posilive el l'on aura pour Ions les points 

de a- 

(»' = o. 

ce qui démontre l'unicité de l'intégrale de la ((S) tant (|ue l'expres- 
sion de r (;/) est la {•>-'■>-) 

Si l'expression (aS) n'est toujours |)Ositive, désignant par B, B', 
deux fonctions régulières des points de a-, qu'on prendra conve- 
nablement, nous pouvons écrire l'intégrale (ai') sous la forme 



\âxj \dyj dx 



dw 
"^7 



dU d]V dd t)r 
i)x dy dx dy 



f/T = O, 



(pu est é\idemment [xjsitivc, si 



\dx) ^ \~d] 



dn' 
dx 



■aVV 



0»U' 

7)y 



, /dB dB' dd de \ 

\ dx ^ dT~^ dx~^ dy ~-^ / 



est aussi posili\e, et il sudira pour cela de choi.sir lî el B' de façon 

à satisfaire 

dU O'B dd de 

^ ty,/- <)y <).r <)v ■' 



J8 iM;i:.Mii:ui: l'Aini i-:. 

<l où l'on ;i. cmninc la (It'iiioiilic- M. l'icard ( ' ). (jiio 

Pour des aires sit/fisaninie/i/ petites, l' intégrale de la. (8) 
qui eorrespond à l'expression (.i>.) et à des i^aletirs données 
pour elle et sa dérivée normale sur le contour s est certaine- 
ment uniijuc. 

14. Un aiilre cas (|ir()ii pciiL complèlcinLMil résuiiclre esl celui 
(le I éi|iialion 

(8'; \\u = /<:u. 

où / est conslanle. 

En ce cas, l'expression (^i) deviendra 



/ [( Air I-— Air- 1 c/t = o, 



la(|uelle nous inonlic (juc /)<//■ L fonction réelle et négatice (on 
peut dire jxir h fonction régulière et /dunds positicc en t ) l'in- 
tégrale régulière de la (8')^ par des valeurs données à son con- 
tour et à celui de sa déi-icée normale, est unique ». 
Si k est ([uanlilé conslanle el complexe, [)Osons 

/.■ = /■' ^ (U\ 
Il = II' -h- iti". 

la (8') en ce cas deviendra 

A \u' — i\ lu" = (/>"'-T- ik" ){a — ta"), 
c'esl-à-dire 

A lu' — k' Il -+- /■" II" = o, 
A \u" — A' a" — h" u = o, 

(.'l >i nous inulliplions la première par //' el la seconde par //' el 
sonslra\oMs iiuMnhre à membre en inlégranl par loiil 7, nous au- 
rons 

(■•^i) / \ u" \\u' — u' \ lu" -\- k"{u"^-^ ii"-)\(h ~ o. 

Si la lonciioM u > annule sur .v ainsi (iiu; — , savoir : 

I fia 



On 



, „ Ou' du" 
a = u = —- = - = o, 
On On 



(') PiCAnn (/. c), Cli;i|i. I. S I. on Acla inallicmatica. l. Ml, l'raité d'Ana- 
lyse, r.l,.i|,. I, 15 S. 



f 



M r: LAN (il-: s. -,9 

( n" 1 \ti' — II' A lu" t f/s — a. 



cl pur la (24) 

(ai) / //'(«'■- — a"- I (h = o. 

et pour /." ^ o 

u' = u" = o, 
eu loiil 7. 

Ce résultai nou-^ mon ti'e (|u'il n'existe |);i-'. pour Ir^ \;ilcurs com- 
plexes de /.•. une intégrale régulière, non nulle, de léquation (S'), 
laquelle sur 5 s'annule ainsi que sa dérivée normale; c'est-à-dire 
que : 

<( Pour des valeurs complexes de /,. rt'ipialnMi ^ .nlirnl une 

intégrale régulière et seulement une. (pu correspond a des \aleiir.- 

1 1 '^" I 

de a et de — données sur.ç ». 

O/l 

On ne peut plus jjarler d'unicité dintégrale régulière de la (8) 
dans le cas de /," constante et négative et des aires de l'orme et dimen- 
sions quelles qu'elles soient. 

Le résultat du numén) précédent nous assure, d est vrai, de 
l'unicité de l'inlégrale régulière [8') pour A" positif (savoir pour A" pas 
toujours nul ou négatif), tant qu'on parle d'une aire 7 suffisamment 
petite; mais |)our une aire quelconque ce n'est jms ainsi générale- 
ment. 

En vérité, il sufllt d'observer que pour une aire circulaire ou 
elliptique t il existe certainement des intégrales régulières de la 
(8') qui correspondent à des valeurs positives de A. lesquelles 
s'annulant encore sur 5 ainsi que leurs dérivées normales, néan- 
moins sont identiquement nulles dans tout s- (' ); et en effet il exis- 
tera des intégrales régulières de la (8'). lesquelles, tandis i^pielles 
ne sont pas généralement égales en tout t. sur .v, elles et leurs 
dérivées normales prennent les mêmes valeurs. 

ÉjUATIONS NON l.INKUKES. 

15. Examiuoii-' ijuiinlcnant léquation non linéaire, c est-à-dire 



('■ ) Mathieu. Sur le moiacincnt vibratoire des plaques (Journal de Afatlte- 
inatiques, t. \IV. 1" >crie ;. 



(io 



IMiKMIKIU: l'AiniK 



lin t \ |)e pins nf-iH'ial 



\, dx^ i).r'- Ov 






Ou 

— - • . -, n, T, y 

Or 



Cl clieiclinns niic inl(''i;i;ilc de celle ('-(jnal ion (|iii mhI r('':i;ulièi'e en 
loni T. lelle (|iii' sur le conlonr .v elle cl sa dérivée normale 
prennenl des xalciirs données. Ces valeurs seronl des fondions 
des [)oinls de s, (|ne nous su[)poserons loujonrs finies cl que nous 

dcsi-ncrons par //,, ( ^) • 

Considérons à présent l'é(|iialion iiidélinie : 

A A»o = Oi 

avec les conditions au conlonr s : 



"o = «.<• 



Ouo ( Ou \ 



On 



uu \ 
On /s 



I^ijilcj^rale iio de celle ccpialion sera régulière ainsi (|ue ses déri- 
vées de lout ordre; par cela, on pourra fixer une (pianlilé iînie J^ 
éijale au niaxiniiiin des inaxinia de //oCl de ses dérivées des quatre 
premiers ordres. 

Cela posé, on suppose (pie /', l'onclion des vaiiahlcs indcpcn- 

, 0^ Il 0- Il Ou . , , . 1 . , 1 

danlcs -->•••. > ■••■> — » • • • •> //. .r, r, varialjlcs entre — L et + L, 

O.r^ O.v- O.i: ' "^ 

soit loujonrs régulière; alors, il existera \\w maximum lîni de ses 
valeurs absolues que nous désignerons par u.. 
On inlèare les é(iiialions indéfinies 



\\<i,=f 



0^ //o 


O.r 


O^ui 


Ou^ 


0.r^ ' 


•■' 0.7- 



■', "0. *■, r )' 



avec les (;oiiditions cpic sur .vies ?/ , , if^.. . . cl leurs dérivées nor- 
males s'annulent. Posant 



/O^ Ui 0"- iii 



Oui 

Ox ' 



t'h-f,r = y (fi,), 



nous aurons 



iii= — / or (■//,■_]) c/z, 



■I. p.ir I livpollièsc lailc sur /". on a 

I I" t "i ) I < .'Ji-, 



-Mi:i,A.N(;i:s. 



el, par K-s (:,''),, 6")<(:"). 



(il 



Oui 



Oi/ i 



ÙX T 



l\I. 






I 



Faisons lUie livpoLlirsc sur _/, savoir- (jiie pour des \alciirs (l( 

à^ Il ■ r , I ' • I • 

- — T> •••> i(, comprises entre - — L el l^, on peul delerunner dix. con- 
f)x^ ' ' 

stantes positives li, . . .15,,, de inanirre que 



V(u') 



B, 






Ox^ôy 



-f-...-^ Bi„| «'1 



, à^u' 



où— y 5 •• • //' désignent des valeurs cpielles que soient les varialjles 

'^'" • I r f r 

—— > ■ • • j //, comprises entre — L et L. 

ox-^ ^ 

émette condition sera certainement satisfaite si la fonction f 
admet des dérivées partielles premières finies et continues respec- 

, . . , I 0'^ If 

tivement aux dix varialjles — ? • • • ; a. 
En particulier, nous avons 

1 r («, ) I < B, ;j. I\l + Bo iJ. M M- . . . -^ B,o [JL M, 

c'est-à-dire 

ir(»,) |<;J,M(B,-^Bo+...-f-B,o), 
et ayant posé 

il résultera 



M(B,~B2+....+ Bio)=e, 

I "2 ! \ 

dx. 



j 0' 1(2 



) < [J. .M, 






gj. i'Ui:.Mii:in-; l'Airni-: 

el, (Je |niicli(' cil |tr()cli<'. <ni a 



I ou,, 
1 dxi 

à- Un 
dx] 

d'Ut,, 



dx. 



a 6"-' M 



et alors, coninir an ii" (), nii a (|iic la si'nc 

(2G) 7/ = /^,-^ ?/i -i- f/2 — ••• 

converge iiiiili)iiii(''iiiciil en loiii -, ain-i (]ue ses dérivées des 
(|iialre |)reniiers oiilres: eiicoïc -^iir \ pour // el ses dénvi'es pre- 
mières, tant ([ii'on a 

M,|!,-B, + ...+ B,„)<i. 

11 s'ensuit de là fjnil n'y a l'ien à changer aux raisoniienienls 
des n"* 7 et 8. pour démontrer (jnc l,i Jonction 11. détcrniini'e 
par la ('•.()) salis/ait m 7, // l' rijiialion ( :>.,5) et sur s aii.r autres 



du 






Il va sans dire cprencorc ici pour établir le théorème précédent, 

il faut adniellre l'existence des dérivées premières régidières de 

j- /d^i' \ ■ , -. . , , , 

/( — -, ■■■> u. .r, y] lespeclivenienl a a', y; j considérée 

comme fonction de .r, y explicitement et respeclivemcnl à 

— — ' • ' • 1 II ^ parce (iiTalors c'est facile de démontrer, avec des rai- 

dx^ Il 

sonnements pail.iilcment analogues à ceux des n"* 10, 11. que 
les dérivées t|uatiièmes de la fonction //. représentée par la 
série (26), existent el sont r(''gulières et cpion a 



àf 


df ()■' u 

,dui ôx'' 

d 

dx-i 

of d'U 
d-* u dx-^ dy 


, '•^' 


d' u 


df du 
du dx 

Of du 
du dy 


àf 


dx 


' . d-iu 
d 

dx- dy 

, d* u 
d 


àx^ dy 

d'U 


dx 
Of 


dy 


dx- dy- 


ày 



dx^ 



dx-^ dy 



MKL VNOI-S. 



(•)■{ 



l(>. l'oiir rmiicil(' (les iiil(\:;ialcs de r(''(|ii;il idii ('i.')') voici cv, 
qiiOi) |)eiil duc en i^éiKTiil. 

Sii|)|)()S('' (|ii(' / iulmcllc les déiiN ('cs pari iclics rcspccli vf'iii(;iil 

y 0-' Il , , . , - I I I / - V 

a -— -> •••) II, (l('.si"iioiis |)iii' //, cl //.,, dctix iiiLciîi-alcs de In (9.0) 

(|iii ureiiiiciil sur ,v les mêmes \;deiiis ainsi (jiir Iciiis d('ii\ ées 
iioiiiialcs. ( )ii aura 

A Al //, //o ) — r( »i ) — y{iii ). 

cl posatil r = //, — u-. 



AAr = 



t)f 0-' e 



dx- 



à-i V 



<Jf 



O^v \ d.r^dr 



\ Ox- (ly J 






ou Jes symboles 



or 






j -^ désiiîuenl les valeurs de ces dé- 



()3r 



rivées premières mèuie pour des valeurs de — ? • • • , r, comprises 
respeclivcment entre -et -■> •••> 11, el ?/.. 

^ t'a""* t>.r-^ 

On peut considérer les symboles comme l'onction de x et j', 
de telle manière que l'équation (^-o )' devient une équation linéaire 
en V. 

Les mêmes considérations du n" l!2 peuvent ici servir pour voir 
si, dépendamment de la nature de la fonction /', l'intégrale de 
la (25)', que sur s s'annule ainsi cjue sa dérivée normale, est 
identiquement nulle en tout o-; c'esl-à-dire si l'intégrale de l'équa- 
tion (20)' est unique. 

Pour énoncer des résultats plus complets, considérons le cas 
particulier où 

O'-U 0-1/ [du du \ 

•' dx^- ôy- •' \()x (JK -^ j 

Dans ce cas, en appliquant la méthode déjà indi(]uée, on a 

t)-i' d'-v Ofi ôv ùfi ôç Of\ 



n 



(ivy^-i- 



ôx- Ut- I ôv \ i)x 






h = (), 



04 Pin: M 1 1: K !•: iwktii:. 

el ('Il iiil('t;r;itil |)ar jjailios 



fir"-m'~(M- 



0J\ ih- d/'i (Jv Ofi 

dv \ O.r I Ov \ ùy ' di' 



"'r.)- "(£) 



f 



I^a coikIiIioii iK'cessaire et siiffisanlc pour que la forme enlre 

, àv àv ■ . 1, 

crocliels en r, — > — > soil essentiellciiienl |)OMlive est 
0.r Ov ' 






ô.r 



I <)/\ I 0J\ ÙJ\ 

O.r 



\0x) 



<l) 



Oi- 4 



<lfi 



Oi^ 
Or 



o(!!l 

\ o.r 



c esi-ii-diic 



4^ 



l O.r I 



0J\ 



Ov 



I^orsfuie la fonction /', esl de façon à satisfaire à la précédente 

inécalité, si r et —- sont nulles sur .v, la formule (>" ) nous donne 

" ^ On \ j .■ 

p = G en tout t; donc I inl<''i;rale est uni(|U('. 

En particulier, si la (onction /", ne contient pas les dérivées 
premières, savoir si elle est fonction de r, J7, y^ seulenienl, la 
condition pr('c('dcii|c de\icnt 



àjx 



o, 



laquelle nous inoiilrc (pie la /", croh avec le eroissemenl de i". 



CO.MI'IHS m- NU US liT A N A I. VSK S. Cn 

COMPTES IlENDUS ET ANALYSES. 

Œuvres complètes de Ciiiustivn IIi vce.ns, imbliécs |);ir la S )ciclc hollan- 
daise des Sciences. Tome VII, Correspondance, lOyo-ifi;'». Paris. Gaulliier- 
Villars el fds, 1897. 

La publication des OEuvres de Hujgens se poursuit avec régu- 
larité. Le septième Volume de la Correspondauce se termine à 
la 12082® Lettre, datée du 26 décembre 1675. La perte du regretté 
Biérens de Hahn, dont les premiers Volumes attestaient le grand 
savoir et le zèle infatigable, n'a ni ralenti la publication, ni 
cbangé le plan adopté. Nous retrouvons la même conscience, la 
même érudition, la même abondance d'éclaircissements solides 
et précis. ^L Bossclia a accepté la lourde tàcbe que nul mieux 
cpie lui ne pouvait mener à bien; Christian Huvgens recevra, ses 
admirateurs n'en doutent plus, le monument le plus achevé qui 
ait honoré la mémoire d'un homme illustre. 

Aucun document n'est omis, tous ont leur Importance; le génie 
de Hujgens est assez grand pour que, dans sa vie, où la Science 
lient une si grande place, on prenne plaisir au\ plus pclils dé- 
tails. S'inléressant à tout, aimé et respecté de tous, excellent 
frère, excellent fils, homme du monde très recherché à la ville, 
bien accueilli à la Cour, admiré des savants sans alTecter jamais 
une supériorité que nul ne contestait, Hujgens est resté assez 
grand pour que les attaques dirigées contre lui, tout en troublant 
quelquefois sa vie, n'aient amoindri que ses adversaires. 

Le septième Volume commence avec l'année i6~o. Christian 
Huvgens est atteint d'une maladie peu moins que niorlelle; la 
Correspondance scientifique est interrompue, et les alarmes de la 
famille remplissent les |)remières lettres. Le père et les frères, 
quoique fort émus, dissertent avec une entière liberté d'esprit. 
La perte d'un si digne enfant serait très sensible à Constantin, 
mais à son âge, ajant si peu d'espoir d'en jouir longtemps, il lui 
semble que le monde j perdrait plus encore que lui. Constantin 
Huvgens était un poète latin renommé et habile; il semble qu'il 
médite une élégie sur la perte prochaine dont le pronostic des 
médecins le menace. 

Bull, des Sciences nialhcni., 1' ■r,iv\c, l. Wlt. (Avril iSçiS.) a 



(•)<ï l'KE.Mii: ui- PAirni-. 

Le ircre aîné de Clirislian, <[ui, comme le père, se nomme Con- 
slanlin, dans une lellre au jeune frère Lodowlck, le plus aimable 
et, à ce qu'il semble, le plus aimé de Clirislian. se monlre déses- 
|)éré des mauvaises nouvelles du bon frère; il consulte les méde- 
cins hollandais sur le Irailoment de la Melancholia Jiypocon- 
drica inera et pura, c'est lenom que les médecins de Paris 
donnent à la maladie de Christian, qui porte aujourd'hui le nom 
de mélancolie hypocondriaque ; c'est la forme mentale de l'hv- 
pocondrie. Les facultés intellectuelles de Hujgens ne semblent 
pas avoir été atteintes ; mais elles étaient menacées. Les médecins 
de Paris conseillent I air natal, aussitôt que le malade sera trans- 
portable ; ceux d Amsterdam proposaient le lait de femme, s'il 
peut le su|)porter. Constantin en a vu de très heureux effets ; 
plaise à Dieu cpiil |Miisse ramener le bon frère à la vie ; mais, quoi 
qu'il advienne, il lui sait l'âme assez grande pour se résoudre 
avec courage au passage dans l'autre vie. Il espère le meilleur, si 
toutefois il peut y avoir quelque chose de meilleur que l'éternelle 
béatitude. Les senlimenls de Christian sont plus naturels et plus 
humains. La vie mortelle lui est chère; il trouve la mort redou- 
table et mauvaise; il ne veut pas qu'on lui parle de la vie future, 
elle est incertaine, l^e (rèrc aine s'en désole. La jierte de son 
frère lui cuirail bien davantage s'il mourait dans de tels senti- 
ments. 

Dès que Christian jnil su|)portcr le vovage, conduit jiar Lodo- 
wick qui était accouru à Paris, il alla se reposer chez son père. 
Heureux de revoir son cher Archimède, mais toujours besogneux 
au milieu d'une vie somptueuse, le vieux Constantin hésite à 
paver les dépenses fail(;s. Le frère ain(' écrit à Lodow ick (pielques 
jours avant le retour à la Haye : « J'ai parlé au signor padrc 
louchant voire «lépcnse chez le frère, sans en tirer rien de positif. 
Il dil taiil(~il i|ii il fallait lui dire fpi'il aurait soin de reconnaître 
cela, tantôt i|tril ii était pas déraisonnable ([n'étant à son aise 
comme il I est il logeât un frère venu pour l'assister, et enfin 
s'est ('icnda éloquemment sur la nécessité présente, le mauvais 
payement de tous c(')tés. » 

Le jour même où son fils aîné lui demandait ses intentions, le 
père écrivait à Lodowick à Paris : « N'aurie/.-vous |)as l'esprit 
entre vous deux de faire sentir oinnipolcnli par vutre monsieur 



co.Mi'Ti'S i{i-:mjus \lï .\nalvsi;s. (I7 

iV'i'i'aiill, ou iUiliH'S, ([iK' i:ctle iiialiulif est de si i^raiid prix, (|iic le 
Koy |)oinraiL avoii- la bonté de vous soulager de (juel([u«'s sub- 
sides? D'autres auraient bien soin de se procurer adroitement de 
telles choses. » 

Louis XIV alors préparait la j;uerre à la Hollande et lui-même 
avait grand besoin d'argent. 

Christian, quoi qu'en puisse juger son père, ne se trouvait 
jamais fort à son aise; il aimait le luxe, et, espérant sans doute 
s'enrichir par ses inventions, d(''|)ensait au delà de ses revenus, 
dont le plus clair était la pension de six mille livres payée par le 
Koi. Cela suffisait alors |)our bien \ivre, non pour faire (igure. 
Logé à la bibliothèque du Iloi, Iluygens faitparqueter l'appartement 
à ses frais, achète de beaux meubles, et fait ses visites en carrosse. 
« J'avais déjà deux laquais, écrit-il à i^odowick, et voilà un 
cocher de surplus; je vois bien que j'aurai de la peine à soutenir 
toute cette dépense, mais cela pourra toujours durer quelque 
temps, et intérim fiet aliquid. » 

Hujgens compte sans doute sur le |)rivilège obtenu pour ses 
inventions d'horlogerie. Beaucoup de déceptions l'attendaient. 
Christian n'aimait ni à solliciler, ni à épargner, et ne s'entendait 
guère aux affaires d'intérêt. Peu empressé à réclamer l'honneur de 
ses inventions, il l'était beaucoup moins encore à en disputer le 
profit. 

Il écrit à Lodovvick, cpii a admiré sa perruque blonde et le prie 
de lui en envoyer une semblable : « Si vous voulez, je vous ferai 
encore faire une perruque, mais il faut aussi que vous ayez soin de 
m'envoyer de l'argent, car je n'en saurais plus débourser sans en 
faire venir de celui que le frère me garde, et même, sans rien dé- 
bourser, je pense que j'en aurai affaire bientôt. Six personnes et 
deux chevaux que j'ai à nourrir font aller ma dépense extrêmement 
vite. M Les perruques coûtaient six louis; c'était la seconde que 
demandait Lodovvick, et il devait encore la première. Ciliristian 
l aimait beaucoup, mais le savait mauvais payeur. 

Pendant que Lodowiek commandait des |)erruques à Paris, 
espérant les faire payer par il signor padre, qui souvent le faisait 
attendre, Christian avait profité de son séjour à la Hâve pour 
commander au tailleur de sa famille un habit de couleur pour son 
lacpiais; la note lui arriva à Paris. 



68 PKi:.Mii:in{ i'aktiii. 

« Pourquoi, ('ciil-il à son frri'C, dans une Icllic où il lui décrit le 
télescope de Newton, ne pas mettre cet habit au compte du signo/- 
padre aussi bien que l'étolTe de ceux qu'il fait j)Our les valets de 
vos seigneuries, car, étant en Hollande, je me suis cru de même 
condition et je ne pense pas que le signor padre l'entende autre- 
ment. » 

Christian, dans ses lettres à Lodowick, parle avec abandon et 
sans aucun apprêt de ses relations mondaines à Paris, des sou\e- 
nirs laissés en Hollande, des belles demoiselles, parentes ou amies, 
qui veulent bien ne pas l'oublier et auxquelles il souhaite d'heu- 
reux mariages; il assiste à une séance de réception à l'Académie 
française cju'il nomme V Académie française de M. le Chan- 
celier. Charles Perrault prononça sa harangue de remercîment 
au grand contentement des auditeurs, et reçut pour réponse autre 
harangue de M. Chapelain, directeur de la (Compagnie. Huygens 
prit grand plaisir à se trouver parmi les vieux poètes et auteurs, 
Corneille, des Marets, ( hiinault. Cottin. Chapelain félicite surtout 
le nouvel élu de I honneur cpi il aura de ciintrd)uer au travail de 
I Académie sous les auspices de Monseigneur le Chancelier, son 
illustre protecteur, avec les comtes, les marquis, les gouverneurs 
de province, les conseillers d'Étal, les maîtres des requêtes dont 
elle est remplie, sans compter les ducs et pairs, les ministres d'Etat 
et les secrétaires de commandements (pii ajoutent un si grand 
lustre à l'éclat de cette (x)inpagnie. 

Huygens entretient avec Oldeuburg une correspondance très 
active. Ji^mjiressé et bienveillant pour tous, ayant rarement une 
opinion personnelle, le secrétaire de la Société rovale joue à peu 
près pour (Christian Huygens le rôle du P. Alersenne près de 
Descaries; il le tient au courant, le plus souvent par l'envoi de 
leurs Mémoires, des travaux mécaniques de W renn, des subliles 
inventions mathématiques de Wallis, des découvertes de Newton 
en Optique, (\e> idées ingénieuses et des prétentions de Robert 
Hooke, de l'ignorance de Hobbes dans la Sci<'nce, et de son imper- 
lurbable confiance. 

Oldeuburg prêche à tous la tolérance pour les illusions des in- 
venteurs, à la bonne foi des(piels il voudrait toujours croire. « Je 
vous assure, écril-il à Huygens, à loccasion de réclamations (jui 
1 avaient iroissé. cpie ceux de voire connaissance ici ne manquent 



coMi'iiis hi-:m)Us in axai. V si-: s. 09 

[)iis (If conliiuicr la même allrclKm cl cslimr |i<)iii- volir |)Orsonne 
et méi'ite, cl (m'ils ne f.uil ncii iiiilrc ([iic de |irfii(lrc la même 
lihcrlé envers vous que nous piciiey, envers eux, (|iii esl de dire 
avec (raneliise leurs senLiincnls sur vos Ouvrages el de reeLifier 
quelquefois les hi'-vues (ju'ils y pensent èlre commises louchant la 
propriété de quelques inventions. \ enuini cUtnius prliinusque 
vicissim. Cela se pratique de part et d'autre ; il faut, ce me semble, 
entretenir constamment la même amitié et ne commettre rien qui 
puisse émousser ni détruire les forces des esprits qui travaillent à 
l'avancement des Sciences. » 

Rien n'est plus impalientant que cette impartialité ignorante et 
niaise, qui ne veut j)as se taire et croit sage de s'annuler; on a le 
droit de garder le silence, il est iiuperlinent de le conseiller à ceux 
qui se sentent insultés ou blessés. Huygens était accusé, et crojait 
ses accusateurs de mauvaise foi ; on comj)rend que de tels conseils 
aient rendu ses rapports avec Oldenburg plus rares el plus froids. 
J.es prétentions de Ilooke à la priorité de l'invenlion des horloges 
à pendule et du ressort spiral des montres l'entraînaient bien au 
delà des limites imposées par la courtoisie. Hooke alla jusqu'à 
insinuer, contre le conhant et naïf Oldenburg, l'accusation de 
complicité et de trahison. Le secrétaire de la Société rojale avait, 
suivant lui, communiqué à Huygens les idées et les projets dont 
ses fonctions le faisaient dépositaire. 

Robert Hooke, très instruit de toutes les sciences, sans faire 
sa spécialité d'aucune, agité d'une activité (ébrile, abordant lous 
les problèmes avec un esprit d'invention souvent heureux, mais 
n'achevant aucune solution, est resté non moins célèbre par son 
caractère querelleur et défiant que par son mérite très réel. 

On peut ouvrir au hasard l'un des quatre Volumes de VIJisloire 
de la Société royale parBiuk, il esl rare qu'on tombe sur une 
page de laquelle le nom de Hooke soit absent; il prenait la parole 
sur lous les sujets, sans que jamais on l'accusât d'ignorance. Sur 
toute découverte im|)ortanle, Hooke élevait de bonne loi une récla- 
mation de |)riorilé, el rappelait une idée analogue produile anté- 
rieuremenl, sans développement, sans précision et sans |)reuves. 
Hooke a disputé à Newton la découverte de l'attraction univer- 
selle, et à Huvgens celle des liorloges isochrones; il esl certain 
que, sans avoir alleinl le bul et sans êlre assez géomèli-e pour 



70- PIIF..MIÉKK PAHTH-. 

liiller contre Irs dllficiillés du j^j-u'ulèinc. il l'avail netlcnienl 
])Osé. 

M. Ijossclia a léiini, à roccasion <lii hcau Livre d'Hiiygens De 
horologio oscillalorio, ])iiljlié en 1672, des documenls très inté- 
ressants et peu connus sur la découverte de l'attraction. Quoique 
Huygens ail toujours refusé de croire à l'action à dislance, il a joué 
dans riiistoire de la découverte un rùle de grande importance. 
Newton s'est plu à le reconnaître. La théorie de la force cenlriluge, 
révélée à la (in du beau Livre de Iluvgens, a rendu possible la dé- 
monstration, (pu (levait tarder (juin/e ans encore. 

Les idées de Hooke, cpioi(pie certainement connues deNewlon, 
ne pouvaient lui éire d'aucune utilité. Hooke crojail fermement à 
rallraction, mais il ne prouvait rien, et se bornait à déclarer cer- 
taine une idée (pic plusieurs autres, Roberval par exemple, avaient 
énoncée avant lui. 

Hujgens avait envové à \ev\ton un exemplaire de son Livre, 
sans lettre d'envoi. Les remercîments furent adressés à Oldenburg, 
avec lintenlion évidente que la lettre fût communiquée à Huygens. 
Oldenburg envoya la copie à Paris, en supprimant quelques 
lignes qui sont précisément celles que Newton citait vingt ans 
plus tard pour pr(juver (pie, dès celte époque, quinze ans avant la 
publication de son Livre, ses idées étaient déjà dirigées vers la 
théorie mécanique des mouvements célestes. Dans la copie envoyée 
à Huygens par Oldenburg, Newton se borne à louer le discours 
sur la force cenlriluge dont la conception peut être utilisée dans 
la PhilosopJiie naturelle et en Astronomie. La lettre originale, 
conservée j)or la Société royale, conlient un développement qui 
ne le montre pas dans la bonne voie : « Si Ion admet, dit-il, que 
la raison pour laquelle la Lune tourne toujours la même face vers 
la Terre est due à l'ellort plus grand de l'aulre côté pour s'en 
éloigner, il en résulte (en admettant le mouvemeul de la Terre 
autour du Soleil) (pie la plus grande dislance du Soleil à la Terre 
ne peut être à la plus grande distance de la Terre à la Lune dans 
un ia|)porl plus grand que celui de i 0000 à 56, et par consé([uent, 
la parallaxe du Soleil supérieure à -^-~^ de celle de la Lune, parce 
fpie, si la distance du Soleil était moindre, la Lune serait attirée 
vers le Soleil avec plus de force que vers la Terre. J'ai pensé ainsi 
rpic la libralioi) de la Li.mo dépend du ra|i|iorl de ses tendances 



(U).MI'II«S HKNDUS in A N A I, VS liS. 71 

\ors le Soleil cl vers l<i 1"cire, jiis(|ir;'i te <|iie je trodve une e\|)li- 
c;»li(Mi meilleure. » 

Il faut eilei- le le\te anglais : 

Tliii*. ftif instance, il tlio roa?on. \\\i\ ilio «aine sidc oT llie .Moon is cvcr 
lowards tlie Karth, be llic grealcr conalus of tlic ollier «ide lo recède from 
it, it \vill follow (upon siip|)Osition of ihe Earllis motion about the Sun) 
thaï the greatest distance of tlic Snn fiom the Eaith is to tlie greatest 
distance of the Moon from the Eaiih, iiot greater ihan 10000 to 5G, and 
iherefore the parallax of tlie Sun not le-- llian yo^jjVô of tlie parallax of ihc 
Moon, because were the Suns distance Icss in proportion to tliat of ihc 
ÎVIoon, she \YOuld bave a greater conatus from the Sun than from the Kartli ; 
I thougiit aiso sometimes that the Moons libration might dépend upon tin; 
conatus from the Sun and Earth compared together till I apprehend a better 
cause, 

M. liosscha s'élonne, sans jn'oposer d'explication, que. conlrai- 
rement à ses liabiiudes de correclion et d'exaclilude, 01deni)iir"' 
ait supprimé ce passage. « Quelle est la main, dit-il, qui a soustrait 
aux jeux de Huygens les réflexions de Newton sur la force cen- 
trifuge, suscilées à la lecture de V Horologiiun oscillatoriuni et 
dont Ne\vlon a voulu faire part à Tauleur? » Je ne hasarderai |)as 
de conjecture. On ferait trop d honneur à la perspicacité d'Olden- 
burg en admettant qu'il ait compris l'inextricable obscurité des 
lignes supprimées. Elles sont d'autant plus incompréhensibles 
quon voudra supposer Newton plus avancé sur la voie de sa grande 
découverte. S'il est vrai, comme on Ta souvent répété non sans 
vraisemblance, qu'il ait, non pas découvert, mais démontré la loi 
de l'atlraction universelle en v pensant toujours, on ne doit pas 
oublier, en lisant les lignes précédentes, qu'entre elles et la publi- 
cation du Livre des principes il se place quinze années de médi- 
tation. 

Newton, sans doute, les citait de mémoire et n'en avait qu'un 
imparfait souvenir. Gomment, en elfet, sans avoir aucun indice 
sur le rapport de la masse du Soleil comparée à celle de la Terre, 
former une conjecture, moins encore proposer un raisonnement, 
sur la grandeur relative des actions exercées sur la Lune, et sur 
le rapport des distances? L'influence sur la libration du rapport 
de ces deux forces ne se comprend, d'ailleurs, ni avant ni après 
la découverte du principe. 



72 Pin-.MIFJM- l'AUTII'. 

Il semljlerail loiil naturel aiijoiirdliiii ([iTapirs avoir lu le livre 
de }hivgens, et avant eu, comme sa lettre le démontre, l'idée 
d'appli(]uer à 1 élude des mouvements plaiiélaires la lh('orie de la 
force centrifuge, Ae^vton en ait déduit la loi de l'attraction solaire 
inversement j)roporlionnelle au carré de la distance. Le calcul à 
faire ne dépassait pas même la science de Ilooke, pourvu que l'on 
acceptât, comme première approximation, le mouvement circu- 
laire des planètes autour du Soleil comme centre. 

Soit, en effet, a le ravon d'une orbite circulaire parcourue uni- 
formémenl dans un temps T; la force centripète, d'après la loi 
de Huygens, doit être par unité de masse, la vitesse étant V, 



y. TTcA^ I 4"'' 



L'attraction, si on laccepte comme cause de mouvement, est donc 
proportionnelle à -,p7,; mais, en verlu dune loi de Kepler, s.^ fist 

constant, et ?^; proportionnel a — ;» est en raison inverse du carre 
1 - ' ' a- 

de la distance. 

Pourcpioi Newton n'a-t-il pas aperçu ce raisonnement? Pour- 
cpioi Iluvgens ne l'a-t-il pas fait lui-même? A la seconde question 
la l'éponse est facile : Iluvgens n"a jamais cru à l'attraction; l'in- 
lluence exercée à distance lui semblait impossible à comprendre 
et à accepter. On peut ajouter, quoifpie la première raison suffise, 
que Huygens, faisant connaître les lois de la force centrifuge, et 
les démontrant d'une manière si ingénieuse, n'a jamais parlé de 
la force centripète. C'est par elle que nous commençons aujour- 
d'hui; la force centrifuge s'en déduit, quand il y a lieu, et le mé- 
canicien le plus attentif à ne supprimer aucune explication et 
aucun (l('lail, en explupianl la tliéone du mouvement circulaire 
ou elliptique des planètes, n'a pas occasion d'v introduii'e l'idée 
de force cenirifuge. La force centrifuge, dans la tliéorie de 
Huygens, est la diminution apparente de |)esanleur due à la ro- 
tation de la Terre, ou l'accroissement de la tension exercée eur 
un fil (piand il contraint un poids à décrire un cercle dont il est 
le rayon ; c'est l'action du |ioids sur le fil, sans qu'on y associe 
celle du (il sur le |)oids. L'égalité de laclion à la réaction, si fa- 
milière à Ions au joiird liui, a t'ié inlrodiiile par JNewton : lidée 



COMPTIIS RRNDUS !• T A N A I. V SKS. 7J 

de force cenlri|jrLc', en i6-a, élaillrès dilléreiile de celh; de (orée 
centrifuge. La pensée de rapprocher l'élude des uiouvemenls pla- 
n(''laires des ihéorèmes énoncés par Iluygens iic |)()uviiil uiiître 
alors que dans Tespril de Newton. 

Les revendications de Hooke au sujel du p<'ii(liilc n'c'laienl pas 
sans fondement; Huvgens ne lui a\ail rien einpriinlé, personne, 
je crois, n'en a jamais douté; mais Mooke avait le droit de rappeler 
ses anciennes idées. Les soupçons injurieux et les accusations 
dépourvues de vraisemblance ont mis tous les torts de son côté. 
Ni les plaintes de Hooke, ni les allégations mensongères de l'hor- 
loger Thuret, ni les Mémoires juridiques de l'abbé Hautefeuille 
ne doivent diminuer la confiance dans l'entière bonne foi de 
Huvgens; elles lui ont ce|)endant donné beaucou]) d'ennui. Dési- 
reux avant tout de tranquillité, il renonça au privilège que Col- 
bert lui avait fait obtenir, et aux légitimes espérances de lortune 
accueillies un instant avec une joie paisible. Peu soucieux du 
lucre, il avait abandonné à Oldenburg les avantages espérés de 
son privilège en Angleterre; la calomnie voulut voir dans cette 
générosité la preuve d'un marché honteux. « Si Huvgens a re- 
noncé à ses droits, c'est qu'il a reconnu la vérité des accusations 
portées contre lui; s'il a abandonné à Oldenburg des avantages 
considérables, c'est le salaire du secret trahi sans lequel Huvgens 
n'aurait rien inventé. » De telles insinuations ne méritaient que 
le mépris. Oldenburg en fut vivement ému; il pria Hujgens de 
vouloir bien déclarer que sa générosité envers lui, comme il était 
vrai, n'avait eu d'autre motif que l'intérêt excité par la fortune 
étroite de son ami, dont il connaissait /-em aiifiuslam doini. 

La célébrité de Newton commençait alors avec la découverte 
des réfrangibilités inégales et du télescope qui s'y rattache, la 
substitution de la réflexion à la réfraction supprimant la colora- 
tion des images. Hujgens accueille ces recherches avec des 
louanges sincères. La théorie nouvelle des couleurs lui paraît 
tout d'abord fort ingénieuse; il faudra voir si elle est compatible 
avec toutes les expériences. Il approuve fort linvenlion du téles- 
cope, dont il rend compte dans XeJouinal des Scuants, ainsi que 
de celui de Cassegrain vanté peu de temps après comme plus 
commode et j:ilus ingénieux. 

Huvgens, après aAoir re\cndiqiié les droits de priorité de Gré- 



74 l>I{F..MFKHI-: PARTI li. 

gory, (Ji5ciil(3 les avantages prétendus sur Finslriimenl deJNevvlon, 
aïKliicl il donne la |)iérétenee. ÏM. ^Newton, suivant lui, traite le 
prélciidii imenleur jdus doueeincnt (|u d ne mérite. Plusieurs 
leltres sor)l éeliangées, de |)lus en plus favorables aux théories' et 
aux lijpolliùses de Newton. La doctrine nouvelle se confirme de 
plus en plus; toutefois, il semble que l'auteur doit se contenter 
que ce qu'il a annoncé passe pour une hypothèse fort vraisem- 
blable. « De plus, ajoute le futur auteur du Traclatus de lu- 
mine, quand il serait vrai que les rayons de lumière, dès leur 
origine, fussent les uns rouges, les autres bleus, etc., il resterait 
encore la grande difficullt'- d'expli(pier en quoi consiste cette di- 
versité de couleurs. » La discussion s'échauffe peu à peu, et 
Huygens renonce à la continuer. 

« Pour ce qui est des solutions de M. Newton aux doutes que 
j'avais proposés touchant sa théorie des couleurs, il y aurait de 
([uoi répondre et former encore d'autres diffîcidtés, mais, voyant 
(pi'il soudent son opinion avec tant de chaleur, cela m'ôte l'envie 
de dis|)uler. Que veut dire, je vous prie, qu'il assure que, quand 
même je lui aurais montré fpie le blanc peut se composer de deux 
seules couleurs primitives, je n'en pourrais cependant rien con- 
clure contre lui? Et cependant il a dit que pour composer le blanc 
toutes les couleurs primitives sont nécessaires. Après cela il n'a 
garde de demeurer court à aucune objection qu'on lui puisse 
faire. » 

Les relations de lluygens avec Leibnilz paraissent pour la pre- 
mière fois dans le septième Volume. Oldcnburg écrit à Huygens : 
« Je ne sais, Monsieur, si vous connaissez un certain D' Leibnitzius, 
à Mayence, (|iii est conseiller de cet Electeur, mais avec cela se 
mêle fort de philosophie. » Leibnitz était alors âgé de vingt- 
(piatre ans. Oldcnburg fait preuve de pénétration; il joint à sa 
leltie la copie d'une dissertation de l^eilinitz sui' le mouvement. 

i/ingénieiix jeune homme n'était encore ni géomètre, ni méca- 
nicien. On le reconnaît en lisant son éci'it. Oldcnburg, dont l'in- 
struction était |)eu proloiiile, a reconnu riiomme supérieur sans 
être choqué des ignorances qui n'ont |)as pu échapper à Huygens, 
(|ui n'a rien répondu. Je doute fort que, sur ce premier indice, il 
ait conçu de grandes espérances. Leibnitz disait j)ar exemple : 
" Lai);ilure des pf)mls es! une chose admirable; s'il est vi'ai (pi'iiii 



CO.MPTKS Rl'XDUS l'T A NA I, VSli S. -/> 

point lu; soll ptis tlivisiblc in parles fnjsilas extra partes, il est 
cependant divisible in partes antea non posifas intra partes, 
c'est-à-dire en jiarlies (jui se pcînèlrent, se// in fxirles antea se 
pénétrantes. Un angle, en elTel, nest rien autre cliose (jiie la 
seclion d'un point [puncti seetio) et la théorie des angles est celle 
des quantités du point {doctrina de quantilabus puncti). » 

Ni Oldenburg ni Iluygens ne comprenaient, cela est certain; 
mais, plus défiant de lui-même, Oldenburg inclinait à jnger favo- 
rablement; Huvgens, il faut le croire, levait les épaules; et c'était 
lui cependant qui se lroni[)ait. Leibnil/ avait inlininiciil [)iiis d(; 
confiance encore. Ses idées sur la Mécanifpie le remplissent d'au- 
tant de joie que s'il avait trouvé la quadralure du cercle ou le 
mouvement perpétuel. « Je m'efiforce, dit-il de tout explicjuer. La 
circulation de l'éther, c'est-à-dire de la lumière ou du Soleil autour 
de la Terre, circulationi Terra'- contraria, explique la gravité, 
l'élasticité, le magnétisme; les svmpathies et les antipathies, c'est 
ainsi quon les nomme, les solutions, les précipitations, les fer- 
mentations, les réactions, les efTets les plus extraordinaires de la 
nature sont dus à cet éther; il faut y rattacher la force non moins 
étrange des muscles, celle de la poudre, les efl'els des matières 
vénéneuses. 

Leibnitz, Oldenburg l'affirme, n'est pas un esprit du commun. 
« Il semble juger, éciit-il à Hujgens, que ni vous ni ^^ renn 
n'avez assez assigné les causes des phénomènes que vous avez 
considérés en établissant vos règles sur la théorie du choc. C est 
à vous à cette heure d'en juger, ajoute-t-il, avec une parfaite 
impartialité. » Huvgens crovait aux corps parfaitement durs, sa 
théorie pouvait inspirer peu de confiance, mais celle de Leibnitz 
ne reposait sur rien. 

Le jeune philosophe n'en trouva pas moins chez Huvgens un 
accueil empressé. Leibnitz, dès sa première entrevue, fit paraître 
sans embarras une très grande ignorance; il connaissait impar- 
faitement la définition du centre de gravité. Huvgens lui fit présent 
de son Livre récemment piildié : De horoiogio oscillatorio, et, 
pour le lire, il fallut commencer des études sérieuses et précises. 
Hujgens prit plaisir à les diriger. Dès l'année suivante, Leibnitz, 
devenu Géomètre, envoyait à son maître, sous le nom de quadra- 
ture arithmétique du cercle, une découverte considérée comme 



76 PIW^MIÈRE PARTIE. 

très étrange, rexpression du rap|iort de la circonférence au dia- 
mèlre par une série indéfinie. Hiivgens le félicile cordialement 
d une décou\erle qui le rendra célèbre parmi les Géomètres. 

Lue lellre de 1676 sur le calcul des expressions imaginaires, 
introduites dans l'Algèbre par la règle de Cardan, non seulement 
justifie les espérances de Huygens, mais suffirait à elle seule pour 
donner rang à Leibnilz parmi les grands Géomètres de l'époque. 
Hujgens avoue que depuis longtemps il a négligé les spéculations 
de ce genre; il v prend plaisir cependant, et en reconnaît lorigi- 
nalité et I intérêt. A des calculs tiès exacts et très nou\eaux sur 
ces expressions mystérieuses dont il proclame l'entière généralité, 
I^eibnitz, comme il faisait souvent, laissant courir son imagination, 
annonce des résultats brillants, dont certainement il n'avait pas la 
preuve. 

« Il n'y a personne, dit-il à Huvgens, qui puisse mieux juger 
que NOUS de la qualité de deux inventions qui sont, l'une, une 
méthode de tirer en nondjres véritables ou approchants, les racines 
des binômes où il entre des imaginaires; et l'autre, du compas des 
équations, qui donne sans aucun calcul, tout à la fois, les racines 
d'une é(|uation pro|)()sée de quelque degré et de quelque formule 
d'un degré donné qu'elle puisse être, soit géométriquement en 
ligne, soit arithméliquement en nombres approchants, dont on 
peut iuconlinent tirer les véritables, s'il j en a, sans aucun calcul. 
H semble qu après cet instrument, il n'y a quasi plus rien à désirer 
pour l'usage que l'Algèbre peut ou pourra avoir dans la Aléca- 
nique ou dans la praticpie. » 

J^eibnil/. |)r()met beaucoiq) plus que n'ont jamais réalisé depuis 
deux siècles les immenses progrès de l'Algèbre. 

La correspondance de Huygens aborde tous les sujets; des 
'Jables très bien faites, à la fin du Volume, donnent le détail des 
richesses qui s'y trouvent réunies, sans ordre et comme au hasard. 
La liste des personnages cit(>s contient plus de cinq cents noms, 
presque tous uu grand nombre de fois. Le nom d'Alhazen revient 
viiigl-huil lois, (■(■lui de lîoyie quarante et une fois, celui de Des- 
cartes viiigi-deux fois, de Colbert quarante cl une l'ois, de Robert 
Ilookesoixante-dix-neuCfois, deXewton treutc fois, de Louis XIV 
ciiKjuanle-cpiatrc fois. 

Le nombre des (Juvragcs mentionnés déj)asse trois cents; sur 



COMI'THS UKiNDUS I;T ANAI.VSI-S. 77 

cliacim d'eux, les savaiils cl iiil'al ii;iil)l('s édilciiivs domieiil au has 
de la i)ai;e une nolicc subslanllelle el préeise. 

A ceux qui voudraienl, en ([uelques heures, se ("aiic une idée 
du j;rand inlérèt que |)r('"scnle le nouveau \ Olinue, je conseillerais 
de jeler un coup d'œil sur la dernière lable inlilulée : Malièrea 
traitées dans les lettres. On y énumère plus de trois cents sujets, 
presque tous abordés un grand nombre de fois. M. Bosscha, sui- 
vant rexeinplc donné par son savanl prédécesseur, a marqué d'une 
éloilc les articles les plus intéressants. C'est une grande responsa- 
bilité qu'il accepte. Les goûts sont divers, les curiosités capri- 
cieuses, il s'expose à plus tl'un désaccord avec le lecteur. Le savant 
et judicieux, éditeur ne l'ignore pas et, pour froisser le moins 
possible, il montre une indulgence extrême. Sous le titre de 
Chromatique des lentilles, par exemple, vingt-cinq pages sont 
indiquées dans la Table; dix-neuf sont recommandées à l'attention 
du lecteur. C'est la pro|>ortion habituelle. Joseph Bertuano. 



PASCAL (E. ). — Repertorio di Matematiciie superiori. — Dcfinizioni. 
Fonnole. Teoremi. Ceiini biblio,ara(lci. — I. Jnalisi. — Un vol. in-iG: 
xv-6:Î2 p. (Collection des Manuels Hd'pli). Milan. Hœpli. iS(j^S. 

Il est assez difficile d'analyser un livre qui n'est lui-même qu'un 
abrégé et comme un dictionnaire méthodique; on ne peut qu'es- 
sayer d'en donner l'idée. Tout d'abord, a la première page, on 
trouvera le sous-titre suivant, qui fera connaître les matières 
traitées : 

Algèbre supérieure. Substitutions. Déterminants. Equations 
algébriques. Calcul différentiel. Calcul intégral. Équations dillé- 
renlielles. Groupes de transformations. Différences finies. Calcul 
des variations. Théorie des invariants. Variables complexes. Fonc- 
tions automorphes. Intégrales abéliennes. Fonctions elliptiques. 
Fonctions abéliennes. Fonctions Jijj)erboliques. Fonctions sphé- 
lupies. Fonctions cylindriques. Fondions hypergéomélriques. 
Série de Fourier. Théorie des nombres. Calcul des probabilités. 
-Machines analytiques. 

Un est un peu ('■Lojiik'- (iiiau I (jn lit tous Cl-s Litres (;l qu ou se 



78 l'Ul-.MIEUl- IWKTIR. 

représente les gros Ouvrages sur lesquels ligurenl seulement quel- 
qu'un d'entre eux. LV^onnement augmente lorsque, en feuilletant 
le livre, on voit qu'il tient les promesses du lilre.et qu'il donne les 
renseignements essentiels sur les matières (ju'il annonce. Bien en- 
tendu, on ne rencontre aucune démonstration, mais les définitions 
sont claires, intelligibles pour un mathématicien, et sur chaque 
sujet M. E. Pascal énonce des propositions vraiment fondamen- 
tales. Sur chaque sujet, sans doute, il a fallu se limiter et, plus 
d'une fois, 1 auteur a dû hésiter. Il ma paru, à la lecture de plu- 
sieurs Chapitres, f[u'il avait su très bien garder la mesure. Ajou- 
tons que c'est bien de la Science actuelle que M. l'ascal a voulu 
donner un répertoire. 

L utilit*' d'un pareil livre est évidente : l'Auteur parle modeste- 
ment, dans sa préface, des services qu il peut rendre aux étudiants, 
il faudrait dire à tous ceux qui étudient; c'est encore plus à ceux 
qui savent, peut-être, (pi'à ceux qui apprennent que ce répertoire 
sera utile. 

Qui est-ce qui n'a rien oublié, qui n a pas de lacune dans ses 
connaissances, qui n'a pas eu besoin de letrouver rapidement soit 
l'ensemble d'une théorie, soit une proposition particulière, soit 
une simple Ibrmule? Le plus souvent, un trouvera ce dont on 
a besoin dans ce Répertoire, commode et peu encombrant, et, ce 
qui est singulièrement précieux, on trouvera aussi les principales 
références. 

.M. E. P.iscal nous annonce un second \ oiunie sur la Géuinélrie: 
il sera aussi bienvenu que le premier. 



SCHLESIN'GER (L.). — IIanobuch der Théorie der linearex Differen- 
TiVLGLEiciiiNGEN. Iii zwci Bantlcii : zweilen Bandes erslcr Theil ^xviii- 
ji.i p.). in-8°. Lcipziir, Tcutincr; 1897. 

On a dit ICI iiième (') 1 intérêt cpii s attache à l'Ouvrage 
d'exposition dans lequel AL Sciilesinger développe, sous ses divers 

(') L'iinalvse tlu prcmi-r Voliiine a été f.iile par M. J. Taiinery {Bulletin des 
Sciences mathémai.i'jues, Dcuxictne série, loine .\I\, année 1S95, pages 201-208). 



CUMPTHS KKNDUS l'T ANAI.VSKS. 7<, 

;is|»(M.ls, la llu'oric des (''(iiialions didV'rciil icllcs liiiraircs. L'al)on- 
tlaiicc des inalières à Irailer a ("orcé railleur à diviser son second 
N'ohime en deux Parlics, et la première, qui l'ornie à \rai dire un 
ininortanl \ ohimc, est la seule parue eneore. Elle eonlienl des 
(liéories, doni [)lusieurs ne paiaisscnl. avoir reçu jusqu'ici ni leur 
extension, ni leur forme définitive. C'était done une tache péril- 
leuse, mais singulièremeiil utile, d'en enlrej)rendre un e\|)osé di- 
dactique : on reconnaîtra que Tauleur y a apporté beaucoup de 
netteté, de conscience et d'érudition. 

I. Le Livre est divisé en quatre Sections (Sections IX, X, XI et 
XII de l'Ouvrage complet). La pi-emière est consacrée à la théorie 
générale du groupe de transformations d'une équation linéaire. 

On sait que rintroduction de ce groupe est due à M. Picard, 
qui donnait, en [883, le beau théorème suivant : A chaque éfiua- 
lion différentielle linéaire d'ordre n^ à eoeffieients rationnels, 
correspond (relativement à un système fondamental déterminé 
d'intégrales : ri, }'■>•, • • • , Vu) i"i groupe continu algébrique de 
transformations linéaires homogènes ci n variables. Toute 
fonction rationnelle de la variable indépendante x^ de y^., 
j'2, . . •,J'/t et leurs dérivées, s\'a'pri/fiant rationnellement en 
fonction de x., reste invariable quandon effectue su/- j^t, j'j, .... 
y,i les substitutions de ce groupe G. M. Picard y joignait la pro- 
position suivante : 

Toute fonction rationnelle de x, <:/<? j-,, 7%, . . .,j'« et leurs 
dérivées, qui reste invariable par les substitutions du groupe G, 
est une fonction uniforme de x. Je montrai plus lard que celle 
seconde proposition lesle \ raie, quand on y remjilaee le mot uni- 
forme par le mot rationnel, ce cpii me permit de développer la 
théorie de l'intégralion des équations linéaires, publiée en 1892 
aux Annales de V Ecole ISormale. C'est cette théorie, analogue 
à celle qui est due à Galois, dont l'auteur s'occupe ici, en niel- 
lant aussi à profit les développements (pii ont été donnés sur ce 
sujet par M. Klein, dans ses Leçons autographiées et par M. Pi- 
card, dans son Traité d' Analyse. 

M. Schlesinger définit d'abord la notion de groupe, en prenant 
comme exemple le groupe de monodromie d'une écjuation 
linéaire; ou sail (pie loutes ses ()p('Tal ions s'obliennenl par la répé- 



8o r in: M 1 1: lUi i'auhk. 

lllion (jjrodml K dans un ordre (|iiclc()nqiie, des suhstitiilions fon- 
damenlales associées aux divers poinis singuliers de réqualion;ce 
qui conduit à définir ce que Ton entend par une base d'un tel 
groupe et par un groupe dénombrable. L'auteur introduit ensuite 
les groupes continus (finis) de transformations, de M. Sophus 
Lie, et expose, dans ses points essentiels, la théorie de ces 
groupes. 

Puis il passe à I élude des fondions rationnelles des intégrales 
jKi, y->i '• • , J'/i dun SNSlènie fondanienlal d'une équation linéaire 
d'ordre n, et de leurs dérivées : à une telle fonction \ correspond 
le groupe des transformations linéaires homogènes cpii laissent 
cette fonction formellement invariante; le nombre /• des para- 
mètres de ce grou|)e F détermine le degré (n- — /■) de la trans- 
formée de l'équation linéaire proposée, dont V^ dépend; et la 
relation (|ui lie deux de ces fonctions dépend essentiellement de 
la comparaison de leurs groupes. C'est ainsi (pie Ion arrive au 
théorème suivant, (jui est l'analogue du théorème de Lagrange 
pour les fonctions rationnelles de n indéterminées : 7 ou te fonction 
(le la même nature que \\ c/ui admet toutes les transforma- 
lions du groupe F de V, s'exprime rationnellement au moyen 
des coefficients de V équation, de \ . et de leurs dérivées. 

l/auleur donne alors, d'après i\L l^icard, la définition du groupe 
de transformations, ou groupe de rationalité, dune équation 
linéaire à coefficients rationnels et la démonstration de la double 
propri('té de ce groupe, (jue nous énoncions tantôt, et (|iii le 
caractérise pleinement. C'est ce quil ap])elle le théorème de 
MM. Picard et \ essiot. 

M. Schlesinger insiste avec juste raison, après ^L Klein, sur la 
différence enhe I invariance n umérique dont il est pailé dans cet 
énoncé, avec l'invariance formelle qui intervenait tlans l'étude 
précédente. Mais on revient au point de vue formel, le seul 
au fond (pli intervienne dans les application-, (piand, an lieu de 
considérer des fonctions A isolées, on envisage les familles de 
fonclicms, dont chacune est constituée par toutes les fonctions qui 
ont le même groupe. C'est l'idée féconde introduite en Algèbre 
par Rronecker, et qui condiiil ici à considérer une équation 
linéaire particidière comme l"é<pialion générale du même ordre, 
modifiée par V adjonction de la famille de fonctions V^ correspon- 



CO.MPTI'S HENDL'S l'T ANAI,VSI«S. 8i 

(lanl au i;roupe de Iransformalions (Je l'équalion donnée. On esl 
ainsi amené à ehercher à réduire progressivement ce groupe de 
rationalité, |)ar l'adjonetion de nouvelles fonelions V, ce qui 
se fait en intégrant une suite d'équalions auxiliaires, dont les pro- 
priétés, et en particulier les ordres résultent de la ualure du 
groupe de rationalité primitif. 

L'application de ces principes fournil en j^articulier la condilioii 
nécessaire et suffisante pour qu'une équation linéaire soit inté- 
grable par une suite de quadratures. C'est que le groupe de trans- 
formations soit, au sens de M. Lie, un groupé intégrahle. Il en 
résuJte que les équations linéaires, d'ordre supérieur au piemier, 
ne sont pas, en général, intégrables par quadratures. 

L'auteur indique ensuite divers problèmes qui se ratlacbent à 
la théorie précédente; en particulier, l'intégration d'une «'-quation 
linéaire pour laquelle on connaît une relation algébrique liant 
certaines de ses intégrales et la recherche des équations linéaires 
intégrables algébriquement. 

En général, le groupe de rationalité n'est pas dénombrable, et 
l'on peut dire seulement qu'il contient le groupe de nionodromie. 
Un cas extrêmement remarquable est celui des équations de 
M. Fuchs (à intégrales régulières) : le groupe de rationalité est 
alors le plus petit groupe algébrique continu qui contienne le 
groupe de monodromie, et est, par suite, entièrement déterminé 
par ce dernier. Cette remarque de M. Klein explique pourquoi 
l'étude du seul groupe de monodromie donne, pour cette classe 
d'équations, la clef de toutes leurs propriétés. Tandis que, dans le 
cas général, il faudra encore avoir recours au groupe de rationalité, 
comme M. Schlesinger en donne un exemple en traitant de la ré- 
ductibilité des équations linéaires (au sens de M. Frobenius). 

IL La Section suivante contient, sous le titre commun de : Pro- 
blèmes spéciaux de la théorie des groupes des équations 
linéaires, des questions assez diverses. Se plaçant au point de vue 
de Riemann, d'après lequel on doit prendre comme point de 
départ les points singuliers des équations linéaires à étudier, et les 
substitutions linéaires qui y sont attachées, l'auteur étudie une cer- 
taine classification des équations linéaires d'un même ordre n. On 
y considère comme appartenant à une même classe celles qui ont 

Bull, des Sciences inathém., 2" série, l. XXII. (Aviil iSçiS.) (i 



piu: M 1 1: in-: paiitii:. 



les mêmes poinls de laiiiilicalioii, avec les mêmes subslilulions 
fondamentales correspondanles ; les intégrales correspondantes de 
deux équations de la même classe sont liées par une relation réci- 
j)r(t(juc (le la forme 

où les 13, sont des fonctions uniformes de la variable indépen- 
dante X. La réductibililé d'une équation est alors caractérisée par 
l'abaissement (d'ordre) de l'une des équations de la classe. 

Si l'on considère uniquement des équations de M. Fuchs, les 
coefficients B/ sont des fonctions rationnelles, et l'on a ce que 
M. Poincaré a appelé des équations de même espèce : elles ont, 
en particulier, le même groupe de rationalité. Un exemple inté- 
ressant d'équations de la même esj)cce est donné par les équations 
linéaires dont dépendent les mineurs, de même degré /«, du dé- 
terminant 

Yi 



y\ 



y-i 



y» 
y'n 



y\" 



y\ 



y.^ 



où j',,j'2, . . . , 7',/ sont les intégrales d'un système fondamental 
quelconque d'une équation linéaire d'ordre n. On peut prendre 
pour représentant de l'espèce l'équation transformée dont dépend 
le déterminant 



y\ 



J'2 

y'-i 



j 1 



r-r 



C'est la (/? — ni)"^^""' associée de la proposée; elle jouit de pro- 
priétés intéressantes, étudiées par de nombreux auteurs, et que 
M. Schicsinger expose en détail. Ces équations associées ont une 
signification géomélri(|ue remarquable, quand on considère la pro- 
posée comme définissant, en coordonnées homogènes, dans l'espace 
à (n — i) dimensions, une courbe (courbe intégrale); par 
exemple, la (/? — i)"^""' associée, qui ne diffère pas essentiellement 
de l'adjointe, représente la même courbe au point de vue tan- 
gent ici . 



COMl'IKS HKNDU^ 1' l" A N A I. V SI'S. Si 

l ne ;i|)|tli(.;ili()ii im|)()rl;nil(' des (''(|iialions associées a été laite 
|);ir .M. Fuclis, (|iii a (oncle sur elles une mélhotle pour reconnaître 
si une équation linéaire donnée est réduetihie. Le proMènie est 
liiniené au siii\aiil : Reconnaître si une éfiualion linéaire admet 
une intégrale dont la dérivée logarithmique soit rationnelle. 
M. Scidesinger en donne la solution détaillée, en supposant l'équa- 
tion donnée à coefficients rationnels; dans le cas particulier des 
équations de ^I. Fuchs, on arrive à un énoncé élégant, dû à 
M. lieffter. 

L'auteur a eu déjà, à diverses re|)rises, l'occasion de signaler 
l'intérêt cpi il y a. dans mainte question, à étudier, au lieu des 
intégrales de l'équation linéaire, les quotients intégraux, c'est- 
à-dire les quotients de n — i de ces intégrales par la /i"""^. Les 
groupes de uionodromie et de rationalité sont alors remplacés par 
des groupes projectifs isomorphes. Ces quotients intégraux véri- 
fient une équation linéaire d'ordre in — ^ i, dont M. Schlesinger 
donne pour ii^=i (et plus loin pour /i = 3) la forme bien connue. 

La considération de ces quotients revient, au fond, à regarder 
comme équivalentes deux équations qui dérivent 1 une de Tautre 
par une transformation 

et conduit à la recherche des invariants de l'équation, vis-à-vis 
de telles transformations. Après avoir montré comment les mé- 
thodes générales de M. Lie interviennent ici, l'auteur expose les 
résultats généraux que l'on doit sur la question à Î\L Forsyth et à 
M. Brioschi. 

L interprétation des invariants trouvés amène enfin M. Schle- 
singer à étudier les équations dont les intégrales sont liées par 
des relations homogènes, et plus spécialement celles dont la courbe 
intégrale est algébrique. 

IlL Un intérêt tout particulier s'attache à la section de 
l'Ouvrage, où l'auteur s'occupe de l'étude générale de ce difficile 
problème de l'inversion des équations linéaires, illustré par les 
travaux de M. Schwartz, de M. Fuchs, de M. Klein, et surtout 
par les mémorables et décisives recherches de M. Poincaré. 
M. Schlesinger j conduit le lecteur en considérant les équahons 



84 I' 1', H M I i: Kl' PAHTIE. 

(lu (|iialrième ordre, duniia courbe intégrale, sans être algébrique, 
esl I racée sur une surface algébri(|ue; on reconnaît, en effet, que 
les \alcurs de la variable indépendante, qui correspondent à un 
même point de la courbe intégrale, sont, |)Our ces équations, en 
nombie limité, et il est dès lors naturel de rechercher toutes les 
équations, d'ordre quelconque, jouissant de la même propriété. 
On voit de plus que, si l'on se borne à des équations de 
M. Fuchs, on peut se limiter à celles pour lesquelles la variable 
indépendante x est fonction uniforme du point de la courbe in- 
tégrale. 

Dans le cas où l'équation s'intègre algébriquement, IM. Fuchs 
a montré que x peut s'exprimer en fonction rationnelle des 
coordonnées de ce point, c'est-à-dire des quotients intégraux 
r,,, Tjo, . . ., '/■,//! d un svstè;ne fondamental; et le problème ana- 
logue serait de trouver, dans le cas général, l'expression effective 
de X sous la forme d'une fonction uniforme de rii, YI2, . . ., '^«_), 
considérées comme des variables indépendantes. Tel est, en 
effet, le problèine de l'inversion uniforme. Mais il présente des 
difficultés telles qu'il faut se borner à le discuter |)our les équa- 
tions du second ordre. Il ny a alors qu'un seul cpiolient intégral 
Yi ; et X sera, au sens ordinaire du mot, la fonction inverse 
de y,, cette fonction inverse avant cette propriété remarquable 
de rester invariable quand on effectue sur r, l'une quelconque 
des transformations du groupe projectif (de monodromie) de 
l'équation. 

L'auteur montre d'abord comment on trouve des conditions 
nécessaires pour qu'une équation du second ordi-e, à coefficients 
rationnels, de la classe de M. Fuchs, soit susceptible d'une inver- 
sion uniforme. En suj)posant , ce cpii n'est qu'une restriction 
apparente, qu'elle est de la forme 

on trouve qu'elle ne doit avoir aucun point à apparence singu- 
lière, et que les différences des racines des équations fondamen- 
tales déterminantes doivent être nulles ou être des inverses de 
nombres entiers. Mais un exemple extrêmement instructif, dû à 
IM. Fuchs, montre que ces conditions algébriques ne sont, en 



COMPTI'S iMuNDUS i: 1' A N A I, VSI'S. 83 

général, suffisantes ([iie si on leur adjoini d'aiilrcs coiidilions <lc 
nature transcendante. 

Or) a nn l'ésnllal d'nne iin|)()ftaii((' (Mpilalc, si l'on (';tudle le 
groupe projectif (de nionodroniic) de r(''(|ua[ion eoMsIdc'TC'e : c'est, 
comme l'on sait, que ce groupe doit être discontinu , dans le 
cas d'une inversion uniforme. Avant d'établii- cette proposition, 
M. Schlesinger fait une étude (h'-ladiée des translorniat ions pi'cj- 
jectives d'une varial)le : la définition des groupes discontinus, des 
groupes improprement discontinus, jest donnée avec grand soin. 
L'auteur indique ensuite comment la nature de la fonction inverse, 
supposée uniforme, est entièrement déterminée par le grou|)e de 
l'équation, qui donne à la fois le domaine d'existence et les points 
d'indétermination de cette fonction. 

Le résultat essentiel de la discontinuité du groupe, dans le cas 
d'une inversion uniforme, subsiste pour les écpiations d'ordre 
supérieur. Un exemple d'un tel groupe se présente dans l'étude 
des intégrales hyperellipliques de première espèce : la disconti- 
nuité du groupe est alors une conséquence de la solution du pro- 
blème de Jacobi, au moyen des fonctions .S? de M. Weierstrass, 
solulion que l'auteur rappelle rapidement. 

Il s'agit maintenant d'ap[)ro(bndir les relations qui existent 
entre une équation linéaire, de la classe de M. Fuchs, et son 
groupe de monodromie. L'énumération des constantes montre 
immédiatement que pour les équations d'ordre supérieur au 
second, sans points à apparence singulière, le groupe ne peut 
être quelconque; tandis qu'il y a autant de paramètres arbitraires 
dans les coefficients d'une équation du second ordre (de la classe 
de M. Fuchs et sans points à apparence singulière) que dans les 
substitutions fondamentales de son groiq)e. Ce cas sera donc [)lus 
facile à traiter, et l'on s'y bornera. 

La méthode suivie par M. Schlesinger consiste à étudier la 
représentation conforme fournie par le quotient des intégrales, 
quand on l'applique au plan de la variable indépendante, modifié 
par des coupures joignant les points critiques de l'équation. On 
arrive ainsi très naturellement au domaine fondainenlal cor- 
respondant à l'équation, et au théorème relatif à la somme des 
angles, pour les sommets de ce domaine, qui constituent un 
cycle. Ce domaine fondamental est complètement déterminé par 



SG Pin-.MltHli l'AliTli:. 

le ^M-oiipc de réijualion, de même qu'il définit enlièremenl ce 
f.M-oiipe. De plus, en le Iransformanl , suivant le procédé de 
.MM. Klein et Poincaré, en une surface fermée, on reconnaît qu'il 
ne peut appartenir à deux équations essentiellement distinctes. 
On en conclut, en particulier, que les paramètres de l'équation 
sont fonctions uniformes des paramètres du g^roupe. 

Une question fondamentale se pose maintenant: celle de savoir 
si tout irroupe, donné |)ar son domaine fondamental Fq, est efifec- 
tivement le ;^roupe de monodromie d'une équation linéaire du 
second oi'dre, de la nature considérée. L'auteur traite seulement 
le cas où le «groupe n'est formé que de substitutions elliptiques 
ou paraboliques. Il établit alors, par l'emploi du procédé alterné, 
l'existence de fonctions, uniformes dans Fo, et n'ayant dans ce 
domaine (pi'un seul infini. On voit (Misuite, par un procédé bien 
connu, qui parait remonter à Piiemann, que l'existence d'une 
lelle fonction entraîne celle d'une équation linéaire satisfaisant à 
la (pi(slii)M. Le cas, ainsi traité, [)résente ce grand intérêt que 
c'est celui rpii se présentera, si le groupe donné doit appartenir 
à une équation susce|)lible d'une inversion uniforme. On a donc 
prouvé par là (en admettant certains résultats de M. Poincaré 
sur les groupes discontinus) qu'il existe, pour cliaque groupe 
discontinu, ne contenant rpie des substitutions elliptiques ou pa- 
rabolitpies, des équations linéaires correspondantes conduisant à 
urjc fonction inverse uniforme. 

l^es derniers Chapitres de cette Section sont consacrés à di- 
verses éludes, (pii se rattachent au problème de l'inversion. C'est 
d'altord celle des fainilles d'équations linéaires, (jue l'on doit à 
M. Poincaré. On sait que deux équations appartiennenl à une 
iniMiK^ famille, si leurs variables dépendantes sont liées |)ar une 
relation de la fornie 

où la (h'-nviM- logaril limicpie de A et les coefficients C2/ sont des 
fondions i al loiinellcs de la variable indi'pendaiile : elles ont les 
mêmes points singuliers pro|)rement dits, mais non pas nécessai- 
l'eiiKMil les mêmes points à apparence singulière; leurs groupes 
pi(tjrclil> de lalionalilé et de monodromie sont les mêmes. Ij'aU- 
li'iir molli ic, (I après M. Poincarc', comment on |)eut, dans le cas 



COMPTES lU; M) US IW A N.\ I. VSI'S. S; 

(l'cqiialions du second ordre, délinli- poiii- cliiKuic liiiiiille uni; 
('•(|ualion réduite, ayant le nombre niininiuni de points à appa- 
rence singulière. Une élnde analogue peut être laile pour les 
é(|ualions dune même classe, d'ordre (pielconcpie, comme l'a 
nionlré M. Fuclis. 

M. Schlesinger donne en(in quelques indications sur celle im- 
portanle el diflicile question : E\isle-t.-il des é(pialions linéaires 
ayant des points singuliers (proprement dits) donnés, avec des 
substitutions fondamentales données? La réponse exigerait une 
étude approfondie des relations qui existent entre les affixes des 
points singuliers et les paramètres des substitutions fondamen- 
tales. M. Fuchs a du moins fait une étude spéciale du cas où le 
groupe de monodromie est indépendant d'un paramètre arbi- 
traire ligurant dans les coefficients de l'équation : il est arrivé à 
ce résultat curieux que, dans le cas où l'équation est d'ordre pair 
2m, la m."^'"'' associée est réductible. 

IV. La dernière Section contient une étude approfondie de 
la transformation d^ Euler, qui se déduit de la transformation 
de Laplace, en j substituant, à la place de l'exponentielle e^^, la 
fonction [z — .r)-~'. L'auteur s'attache, en particulier, à montrer 
comment on peut choisir, pour les intégrales définies auxquelles 
elle conduit, des chemins d intégration tels qu'on puisse déduire 
de l'intégration de la transformée un système fondamental d'inté- 
grales de la proposée. Il fait ensuite l'application de la méthode 
à l'équation de Tissot et Pochhammer, dont un cas particulier est 
l'équation de Gauss. L'étude d'un autre cas particulier, où l'équa- 
tion est vérifiée par les modules de périodicité d'une intégrale 
abélienne, considérés comme fonctions de l'un des points de 
ramification, conduit l'auteur à établir, d'après M. Fuchs, la 
relation qui lie les modules de périodicité des intégrales hyper- 
elliptiques, et qui est la généralisation de la célèbre relation de 
Legendre entre les périodes des intégrales elliptiques de première 
et de seconde espèce. 

Enfin, dans le dernier Chapitre, M. Schlesinger expose com- 
ment M. Fuchs est arrivé, par l'extension aux équations linéaires 
du théorème de l'échange du paramètre et de l'argument dans les 
intégrales abéliennes de troisième espèce, à établir deux équa- 



88 PUEMIÈRE PARTIE. 

lions londamentales qui s'oflTrent ainsi comme les analogues de la 
relation de Weierslrass et de Riemann liant les modules de 
périodicité des intégrales abéliennes, et semblent dès lors devoir 
servir de base à une solution générale du problème de l'inversion 
pour les équations linéaires d'ordre supérieur. 

La dernière Partie de l'Ouvrage, qui reste à paraître, aura 
|>our objet l'étude des fonctions triangulaires [Dreiecks-Func- 
lion(fn) à inversion uniforme, en particulier des fonctions mo- 
dulaires, la tbéorie générale des fonctions fuchsiennes, et celle 
des équations linéaires à coefficients doublement périodiques. 

Eraest Vessiot. 



I. .USANT (C). — Lv Matiikmatiqli;. Philosophie, Enseignement. 
I vol. in-8°: ■i()x p. Paris, Georijes Carré. 1898. 

iM. Laisant présente son Livre de la façon la plus modeste. Il 
se défend de rien vouloir apprendre aux savants, et, bien qu'il 
traite de Philosophie, de connaître la langue des philosophes; il 
devrait dire de quelques philosophes, car il a lu Leibnilz, Des- 
cartes, Pascal, d'Alembert, Diderot, Condorcet, Auguste Comte 
et il avoue qu'ils lui ont appris quelque chose. Ces gens-là étaient 
sans doute philosophes, et c'est Têtre déjà que de se plaire dans 
leur commerce. Il est de ceux d'ailleurs qui souhaitent la récon- 
ciliation des Mathématiques et de la Philosophie et ce désir est si 
\if chez lui qu'il accuse les mathématiciens d'être les auteurs de 
lit rupture; s'il en est ainsi, les philosophes auront le beau rôle en 
faisant les premiers pas. Quoi qu'il en soit, notre éminent colla- 
borateur avait bien le droit d'inscrire le mot Pliilosopliic dans le 
litre de son Livre; on fait de la Philosophie toutes les fois que 
I nu rcimie des idées générales, et que l'on donne à penser. Est- 
er parce qu'il écrit clairement et dit nettement ce qu'il pense, 
(pi il a cru devoir s'excuser de son sous-titre? Je ne le soupçonne 
pas de cette ironie, et cependant il est vrai que le talent de 
lioiiver obscur ce (pie d'autres trouvent clair est une partie de 
I fspni pliilosopliifpic. 



(:()MPTi':s ui'NDUS i-:t analyses. «ç, 

Son Livre esl divisé en trois Parties : la Mallirnuilniuc puro, lu 
Malhémalique appliquée^ V Enseignement. 

Tout en reprenant cette vieille forme « laMalliéniatiquc »> (|ui 
inar(|ue mieux l'unité de la Science, M. Laisant reconnaît avec 
raison qu'il est impossible de définir cette Science, défaire tenir 
tout ce qu'elle contient dans une courte phrase qui soit intelli- 
i^ible : c'est en l'étudiant (iiTon apprendra ce (pTelIc est. Il en 
affirme énergiquemcnt l'origine expérimentale : « Sans la pré- 
sence du monde extérieur, aucune connaissance mathématique 
n'aurait jamais pu pénétrer' dans le cerveau de l'homme ». Il y 
aurait bien à dire sur ce point, et je regrette que l'auteur se soit 
borné à une affirmation. Tout d'abord, une condition nécessaire 
n'est pas forcément une origine; puis, si l'expérience est néces- 
saire à la constitution des Mathématiques, quelle expérience est- 
elle nécessaire? Est-ce bien l'expérience du monde extérieur? 
Veut-on dire qu'il ny a pas d'autre expérience? (^-e ne serait pas 
le lieu de discuter ici cette affirmation; mais tout changement 
dans la pensée n'est-il pas une expérience, d'où il est possible de 
faire sortir la notion de nombre? Cette notion suppose-t-elle autre 
chose que le divers et l' unité, que la faculté de séparer et de 
réunir qui est le fond même de notre intelligence? Un peu pins 
loin, M. Laisant dira : «... A la réalité des choses, nous substi- 
tuons des êtres de raison, créés par notre cerveau, sur lesquels le 
raisonnement et les procédés mathématiques pourront librement 
s'exercer ». N'est-ce pas ces êtres-là qui sont le véritable objet de 
la Mathématique pure? C'est bien notre cerveau, ou mieux notre 
raison, qui les a créés, et cette création mérite d'être étudiée par 
les philosophes. Elle comporte peut-être un peu [)lns que l'ab- 
straction, que l'oubli des complications phénoménales, puisque 
les idées qui en résultent sont, par leur perfection et leur pureté 
absolues, infiniment éloignées des images confuses qui les ont 
suscitées. Ces idées, il importe de les préciser, de les distinguer, 
de distinguer surtout les parties de la Science où elles inter- 
viennent, et de n'introduire que celles qui sont nécessaires : 
autrement, on cache le véritable caractère des faits mathématiques, 
et, en introduisant dans leur démonstration des éléments qui ne 
sont pas dans la nature des choses, on la complique, et Ton risque, 
en oulrc, de masquer ridcnlité de propositions qui se retrouvent 



(jo l'UEJili' HH l'AKTIE. 

les mêmes, avec des mois difTérenls, dans des Chapitres difrérenls 
de la Science. M. Laisant en donne, à propos de la Mécanique, 
un exemple excellent, quand il observe (|ue l'idée de force n'in- 
tervient pas dans ce Chapitre de la théorie des vecteurs qui con- 
stitue la plus grosse partie de la Statique du corps solide, au sens 
de l'oinsot; celle même théorie se retrouve mot pour mot dans 
Kl (cinématique, quand on élndie la composition des rotations. Il 
y a donc intérêt à la séparer, comme il le propose avec raison, de 
la Statique ou de la Cinématicpie, et iVen faire un Chapitre de 
Géométrie, auquel on se référera, quand on en aura besoin. 11 y 
a mlérêt aussi à constituer à part une Géométrie des niasses, où 
ii'iiiicivient pas le sens physique de la masse, du nombre que 
loiii'iiiL la balance, mais où la masse n'est qu'un coefficient numé- 
rique qui aflecle des éléments purement géométriques. Il est vrai 
aussi que la Cinématique n'est qu'un Chapitre de la Géométrie, 
où le caractère réel du temps n'importe nullement, où ce temps 
est une variable quelconque, et où Ton conservera, si l'on veut, 
les mois vitesse et accélération, à moins qu'on ne préfère dire 
dérivée géométrique. Ces éléments interviennent d'une façon 
nécessaire, quand on traite de la tangente et de la courbure, et, 
à \rai dire, la Cinématique n'est qu'une partie de ce qu'on appelle 
habituellement les Applications géométriques du Calcul diileren- 
liel. Tous ces Chaj)itres divers de la Géométrie, doivent, comme 
le demande M. Laisant, être enseignés avant la Dynami(pie et la 
Statique proprement dites, où interviennent ces postulats expéri- 
mentaux (pic Ton désigne d'habitude sous le nom de lois de 
Newton et, sur ce point, M. Laisant trouvera moins de contra- 
dicteurs que, peut-être, il ne se l'imagine. C'est bien ainsi que la 
Science s'organise, suivant les éléments essentiels qu'elle met en 
jeu; une partie de la Science n'est réellement constituée que 
lorsqu'elle a éliminé les éléments qui ne lui sont pas nécessaires 
et qui cependant ont contribué à sa formation. Si cela est vrai, 
n'est-il pas légitime de vouloir fonder la Science du nombre, c'est- 
à-dire toute l'Algèbre et toute l'Analyse sur la pure notion de 
nombre, même de nombre entier? Il semble que M. Laisant, si 
je l'ai bien compris, voie dans une pareille tentative, comme une 
aiieinte à la /o/, dont il prend chaudement la défense. De quelle 
loi p;irlc-l-il. cl ;'i quelle inquisition vrii|-il livrer ses confrères? 



COMI'TKS KKNDUS l- T ANAI.VSKS. 91 

l);iiis la Science. la foi n'csl neiiL-cIrii (|ii*iin oreiller, jiliis coin- 
mode qne le sce|>licismc. Mais M. Laisanl a raison s'il veut dire 
que les diverses parties des Mathéinaliqnes s'éclairenl inulutdie- 
ment, qne le même iail malliémali(|ne ([ui apparail ici ciiloiiif' diiii 
lourd appareil logique, revêt là une clarté intuitive et tpic la puis- 
sance d'intuition, plus encore que la puissance logicpie, est la partie 
vraiment belle et essentielle de l'esprit mathématique. Encore 
faut-il (aire (pichpies réserves : la clarté même de rinluilion cni- 
pêciie souvent de dislinguer des choses qu'il faut cependant dis- 
tinguer; la minutieuse logique y sert, c'est un rôle modeste, mais 
légitijue. Et il se peut aussi que la facilité plus ou moins grande 
qu'odre une méthode ou une autre pour aborder une question ma- 
thématique soit purement subjective et comme un résultat d'habi- 
tudes contingentes de l'esprit. Il se peut que, bien employées, ces 
méthodes se valent toutes ( ' ) et qu'elles se heurtent aux mêmes dif- 
ficultés, qui sont dans la nature des choses et qui sont seulement 
revêtues déformes verbales difTérentes. Pai^fois des modes d'expo- 
sition, qui semblent très divers, sont, au fond, identiques, ou 
plutôt se correspondent exactement, dans toutes leurs parties. 
Cela est manifeste dans certaines démonstrations géométriques et 
analytiques, qui se recouvrent entièrement, en employant un 
symbolisme différent, et dont l'identité même semble marquer la 
perfection définitive; de deux expositions dont l'une est plus 
simple, l'autre plus compliquée, l'une est sans doute imparfaite, 
et c'est quelquefois la première, dont la simplicité n'est qu'appa- 
rente, et dont on n'aperçoit pas les lacunes. 

Dans une centaine de pages, IM. Laisant passe en revue les di- 
verses branches de la Mathématique pure, en les rangeant dans 
leur ordre de complexité croissante : cette revue est forcément 
un peu rapide, et, sans le talent de l'auteur, sans la verve qui 1 a- 
nime, elle serait' un peu sèche: mais il trouve le moyen de loucher 
à la plupart des points essentiels. 

Pour le nombre, l'auteur emprunte à M. H. Laurent la définition 
suivante ; a On appelle nombre vuie locution et un signe qui servent 
à désigner avec précision une quantité cl toutes celles qui lui sont 



(') J'ai enlendu M. RaiTy développer ingénieusement ce paradoxe, qui ni 
semlîlc contenii- une gi-andc pai't de \crili'. 



égales, de manière à les distinguer netlenicnL de toutes celles qui 
sont didérentes ». Sans critiquer celte définition, ni marquer les 
termes qui, comme quantité et égalité, auraient grand besoin 
d'explication, je me demande si une définition générale du nombre 
est plus utile qu'une définition de la Mathématique, et si les dé- 
linilions de ce genre ne sont pas de ces ingénieuses devises, fort 
iliflicilcs à trouver el à comprendre, (|ui disent trop de choses en 
Irup peu (le mots, La vraie définition du nombre est la svnlhése 
des définitions des diverses espèces de nombres, et, ce qui importe, 
c'est que ces (h'Iimiions jiarliculières soient claires. M. Laisant 
raconte qu'il a trouvé un mathématicien qui se demandait si y/a 
existe; il a raison de se moquer de ce mathématicien-là : il ne 
s'agit pas de savoir si y/a existe, il s'agit d'avoir une idée claire 
de y/2, et ce n'est pas non plus en disant que y/2 existe qu'on en a 
une idée claire. 

M. Laisant emprunte à Auguste Comte la définition de l'Al- 
gèbre; c'est, d'après lui, le calcul des fonctions. Cette définition 
me semble beaucoup trop vaste. On l'a dit, il y a longtemps, 
l'objet propre de l'Algèbre, c'est le polynôme, la fonction entière. 
La théorie des équations est l'étude des valeurs particulières des 
variables qui annulent le polvnome, ou l'étude des fonctions in- 
verses des fonctions entières. Au reste, M. Laisant ne s'est nulle- 
ment trompé sur le caractère particulier des fonctions qu'étudie 
l'Algèbre, puisque, après avoir donné d'intéressantes indications 
sur l'objet du Calcul infinitésimal, il a consacré un Chapitre de 
son Livre à la théorie des fonctions définies par les équations 
<lill< rcmtielles, théorie à propos de laquelle il expose, d'après 
M. Painlevé, la conception moderne de l'intégration d'une équa- 
tion dilTérentielle. 

A jiropos de la Géométrie, M. Laisant s'élève conlre l'appareil 
suranné d'Euclide. On sait assez que les avis sont |)artagés; il 
reste encore beaucoup d'excellents géomètres qui admirent la per- 
fection logique de cet appareil et tpii estiment que son étude est 
une cxccllenlL' discipline pour les commençants, et il est vrai que, 
dans les pays dont les écoles gémissent sous la tyrannie d'Euclide, 
im ne voit pas que la Géométrie moderne soit négligée. Tout en 
respectant des divisions consacrées, et qui ont l'avantage de bien 
se (ixcr dans la mémoire, il est cependant h'gitime de montrer le 



CO.MPTI-S Ur.iNDUS K T ANAI.VSliS. (, 5 

lien qui lail une lliéoric crnn faisceau de lliéorèmes, cl iroiiciilci- 
Ja Gc'oniéliie dite éU' ment aire vex'S la science moderne, en y faisani 
pénétrer, comme le demande M. Laisani, lidée de la iransforma- 
lion des figures; mais il me semble cjue celle orienialion se pro- 
duil loule seule et qu'elle se manifesle suflisammenL dans les 
livres qui paraissent. Faut-il aller plus loin? Cela n'est pas dé- 
fendu : je ne crois pas, par exemple, que les idées profondes dé- 
veloppées par M. Klein dans son Programme cl' E rlangen, soient 
inconnues dans notre pays et il se peut qu'elles aient eu sur l'en- 
seignement de quelque modesle professeur une influence discrète. 

Je me trouve avoir déjà parlé de quelques-unes des idées de 
M. Laisant sur la Mécanique rationnelle. 

Ses observations sur les applications sont intéressantes : il 
distingue trois degrés dans tout problème de Philosophie natu- 
relle : le passage du concret à l'abstrait, qui substitue à la réalité 
les êtres de raison des mathématiciens : c'est, en gros, la mise en 
équations; puis, la résolution mathématique du problème; enfin, le 
passage de l'abstrait au concret, qui comporte essentiellement, 
comme le fait remarquer l'auteur, une discussion approfondie de 
l'approximation sur laquelle on peut compter, des limites entre 
lesquelles sont comprises les erreurs de la solution, inévitables à 
cause des erreurs que comportent les données. On ne saurait ré- 
péter trop souvent, semble-t-il, que les Mathématiques ne peuvent 
transformer des données approchées qu'en résultats approchés, et 
qu'il convient de conformer l'exactitude des calculs à celle des 
données. M. Laisant passe rapidement en revue les principales 
applications du calcul, du dessin géométrique, de la Mécanique. 

C'est avec une grande chaleur que M. Laisant parle de l'ensei- 
gnement : on sent vraiment, dans cette partie de son Livre, le 
maître qui aime la Science : seulement, je ne puis m'empêcher de 
penser que bien des professeurs en le lisant, avec l'attention qu il 
mérite, se diront plus d'une fois : <( Mais on nous reproche de ne 
pas faire précisément ce que nous faisons, de ne pas introduire 
dans la Science les méthodes que nous enseignons ». Je suis per- 
suadé que si M. Laisant était chargé d'une inspection générale, il 
ne changerait rien à ses idées, dont la plupart sont excellentes, 
mais qu'il modifierait la manière de les exprimer. Bien entendu, 
sur ses idées mêmes, j'aurais quelques réserves à indiquer, par 



,,î PUE Mi EUE P A in II-:. 

(.•xcmijle sur riilllilc- (très doiileusc à mon sens) de rinlrodiiclion 
(les iinai,n'nalres dans renseignement élémentaire, ou de la nota- 
lion dilTérentielle dans la classe de Mathématiques spéciales; si je 
crois, comme M. Laisant, qu'il est à la fois utile et commode d'in- 
troduire, comme on le fait de plus en plus, les éléments du calcul 
des vecteurs, je serais un peu plus sceptique à l'égard des qualer- 
nions; mais, pour ce qui est des quaternions, un peu de partia- 
lité lui est sans doute permise. 11 me semble aussi que l'amusante 
sortie à laquelle il se livre contre la Trigonométrie n'est pas bien 
iusliliée : ce que l'on enseigne sous ce nom, c'est, d'une pari, un 
Chapitre de l'application de l'Algèbre à la Géométrie, et dans ce 
Chapitre la théorie des projections a sa place marquée, d'autre 
part, les principes de la théorie des fonctions circulaires. C'est, 
à coup sûr, deux des plus beaux Chapitres de la Science élémen- 
taire, et s'ils fournissent l'occasion d'applications numériques, il 
ne faut |)as s'en plaindre. Quoi qu'il en soit, j'espère que les 
lecteurs de M. Laisant ne prendront pas pour de la mauvaise 
humeur ce qui, sans doute, n'est que de la verve. 

Assurément, notre enseignement mathématique est loin dêtre 
|)arfait et je souhaite que le livre de M. Laisant contribue à l'amé- 
liorer; l'auteur a raison quand il se plaint de la façon dont on né- 
glige le calcul numérique, des classes tro|i rares et surtout trop 
espacées; ce sont des défauts qu'il n'est pas impossible de 
corriger; dans les parties élevées, c'est surtout de la préparation 
hâtive aux concours que vient le mal et, malheureusement, je ne 
connais, pas plus que M. Laisant, de remède à ce mal nécessaire. 

J. T. 



MÉLANGES. ,,-, 

MKL\N(;i:s. 

NOTE SUR LE PENDULE SPHÉRIQUE; 
l'Ai! M. A. ni: SMNT-GKKM \IN. 

Quand lin pendule sphériqiie va de l'un des sommels de sa tra- 
jectoire au sommet suivant, son azimut varie d'un angle M' com- 
pris entre - et -; la limite inférieure a été donnée par V. I^iiseux, 

l'autre par Halphen. Dans une Note, insérée au liullclin des 
Sciences mathématigues en mai 1896, j'ai montré cpie la limite 
supérieure s'obtient aisément à l'aide du théorème de Caucliy : 
l'analyse serait utilement complétée si l'on en déduisait aussi la 
limite inférieure de W. 

Or, dans la Note citée, je trouve la relation 



, /•'■ ldzs/{l-—a'^){l^--b'^) 



L^{r^- z^-)^( a ^ b){a - z){z - b)(z - c)' 



l désigne la longueur du pendule, rt, b ses cotes maxima et minima 

1 1 -il • I ■ . 1- -^ ah 
au-dessous du point de sus|3ension, c la quantité —• 

Tous les éléments de l'intégrale étant négatifs, ^^ est -< -; pour 

prouver qu'il est >> ^% il suffira de montrer que la valeur absolue S 

de l'intésrale est <' -• Remplaçant ;; par -r— ^ puis c par — /., 
k étant >> /, je trouve 

/ coso do\/ k{ l- — a'^){/- — b-) sin^cp 



r' l coso do\/ k{ l 

■h ( r^' — /2 si 11^ Ci ) Jla^bVk 



{k- — /2 si 11- ç. ) /( a -j- 6 ) ( /i -+- a si n Ci ) ( >t -t- 6 sin cp ) ( I — sin œ ) 
Sous le radical en dénominateur, figure le produit 

( A" -I- a sin co )( /i -h 6 sin c? ) = k- -f- ab sin^ cd -+- /v ( a -f- 6 ) sin z ; 

si j'y remplace k- |)ar la quantité plus petite /- sin-cp, S sera rem- 
placée par une intégrale Si >> S; en tenant comple des relations 

l-i-^ab = k(a -hb), {k^ — a''-){l'- — b'^) = {a + b)Hk'-— l'-). 



,,0 l' m: M 1 f: lu- paiitik. 

on trouve, a|)rt'S ilc siinpics réduclions, 

Tare langcnlc étaiil dans le premier quadrant. Donc S| et, a for- 
tiori, S sont << - > M' >> - ; on voit même que W est plus grand que 

l'arc du second (jiuidiant dont le sinus est y- En diminuants, on 
aurait des limites supérieures de W. 



COMPTKS RENDUS ET ANALYSES. 97 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



WHITEIIEAD (A.). — A Tre.vtisk on univers.vl Algebu.v with applica- 
tions. Tome I; Gr. in-S"; xxvi-58G p. Cambridge, UnivcrsiLy Press, 1898. 

h' Algèbre universelle, telic que Fentend l'aulcur, est un en- 
semble de raisonnements et de calculs fondés essentiellement sur 
les idées d'addition et de multiplication. Le développement 
abstrait de ces théories est légitinie en soi, indépendamment des 
interprétations et des applications, pourvu cpie ce déveloj)pcment 
soit cohérent et que les définitions ne comportent aucune contra- 
diction interne; mais l'auteur pense avec raison que, tout en pré- 
sentant d'abord les choses sous forme abstraite, de façon qu'aucun 
doute ne subsiste sur l'indépendance entre les développements 
des théoi^ies et leur interprétation, il convient de ne pas éloigner 
l'interprétation de la théorie; cette théorie, toute seule, bien 
qu'on soit assuré de sa légitimité, semble un jeu, qui fatigue vite 
l'esprit, à cause du vide des symboles. Dans les interprétations, 
qui sont déjà fort abstraites, il subsiste quelque place solide pour 
l'intuition, où l'on peut se reposer, et s'assurer contre le vertige. 
Le mode d'exposition adopté par M. Whitehead semble bien le 
meilleur possible. 

Considérons un ensemble d'objets (Hlanifold), déterminé, si 
l'on veut, par quelque caractère commun à ces objets. Supposons 
qu'à chaque couple a, a' d'objets de cet ensemble, on fasse cor- 
respondre un objet (a, a') du même ensemble, qui, ainsi, pourra 
être regardé comme la réunion des deux objets «, a'. Chaque 
mode de correspondance définira une opération elfectuée sur un 
couple d'objets, et cette opération méritera le nom d'addition, si 
elle est commutative et associative, c'est-à-dire si l'objet (a, «')de 
Tensemble qu'on fait correspondre aux objets a, a' de l'ensemble, 
rangés dans l'ordre même que l'on vient d'écrire, est le même que 
l'objet (rt, a') que l'on fait correspondre aux deux objets a', a et 
si l'objet [rt, («', a")] que l'on fait correspondre aux deux objets 
rt, {a', a") est le même que l'objet [{cr, «'), a"] que l'on fait cor- 
respondre aux deux objets {a, «'), a". Pour une addition, au lieu 

BulL des Sciences inathéni., ■?.' série, t. XXII. (Mai 1898.) 7 



,,8 PUliMlEUE PAUl'IR. 

du svmbolc («7, a') on emploiera le symbole a -h a'. S"il y a dans 
l'ensemble un objet spécial qui, combiné par addition avec n'im- 
porte fiucl objet de l'ensemble reproduise ce dernier objet, cet 
objet spécial s'appellera l'objet nul el se représentera par o. De 
la définition de l'addition, résulte celle de la soustraction qui, bien 
entendu, n'est pas toujours une opération possible. l;n ensemble 
où l'addition est définie est dit algébrique. 

La définition de l'addition concerne ainsi les objets d'un même 
ensemble. La définition de la multiplication concernera les objets 
de deux ensembles algébriques A, B qui toutefois peuvent être 
identiques. Nous représenterons par a, a', a", . . • les objets du 
premier ensemble, par b, b\ h\ ... les objets du second ensemble. 
Imaginons que l'on puisse former un troisième ensemble C, aussi 
algébrique, dans le sens que l'on vient de dire et dont chaque élé- 
ment correspondra à un couple d'éléments pris l'un dans l'en- 
semble A, l'autre dans l'ensemble B, ou à un couple d'éléments 
pris l'un dans l'ensemble B, l'autre dans l'ensemble A, en sorte 
que chaque objet de C puisse être regardé comme étant de l'une 
ou de l'autre des deux formes («, b), (b, a), en désignant par a, b 
les objets des ensembles A, B que l'on associe, el que à chaque 
association («,/>) ou (6, a) de tels objets cori-esponde un objet 
déterminé de C. Cette opération qui, avec un objet de A et un 
objet de B, crée un objet de C, méritera le nom de multiplication, 
si elle est disiributive, c'est-à-dire si l'on a 

( a, b ->r b' ) = (a, b) -h (a. b'), 
(a -h a', b ) = {a. b) -h (a. b), 

( b, a-{- a') = {b. a) -^ {b, a' ), 
(b-i-b', a ) = (b, a) -h {b', a). 

Les trois ensembles A, B, C étant supposés algébriques, le 
signe -h a, dans ces égalités, une signification définie. La défini- 
tion gf'mérale de la multiplication ne suppose ni la loi associative, 
ni lu loi eommutalive. La multiplication se représentera par le 
signe X placé entre les deux éléments que l'on associe ou par la 
simple juxtaposition de ces éléments. 

Si la multi|)licalion peut être définie pour un seul ensemble A, 
c'est-à-dire si la définition précédente s'applique en regardant 
comme identiques les deux ensembles A, B, l'ensemble A sera dit 



COMPTES KEN DUS ET ANALYSES. .,., 

(lu premier o/Y//c;par la imilliplicalion des ohjris (|iil IccDiisliluc, 
pris deux, à deux, il engendrera un cnsendjie A, (l'cnsendjlc (] de 
la délinilion générale), ([ui sera dil du second ordre. Si la mulli- 
plicalion peut être définie pour les deux ensembles algéhricpies A, 
A,, on définira par là même nn ensemble Ao qui sera dit du iroi- 
sième ordre, etc. On ])eut sup|)oser (pie l'on continue ainsi, 
chacun des ensembles A, A,, Ao, . . . étant susceptible de multi- 
plication tant avec lui-même qu'avec ceux qui le précèdent : l'en- 
semble complet du />?''^""' ordre contiendra tous les objets obtenus 
en mulliplianl un objet d'un ensend)le (pielconque tlu y/'""' ordre 
par un objet d'un ensemble d'ordre m — p. 11 peut d'ailleurs 
arriver que l'ensemble d'ordre m soit identique à l'ensemble du 
premier ordre; l'ensemble d'ordre m -^ i est alors identique à 
l'ensemble du second ordre, etc.; l'Algèbre est dite alors de 
l'espèce m — i; TAIgèbre de première espèce est dite aussi 
Algèbre linéaire. 

C'est là les définitions générales que V Algèbre universelle 
devra mettre en œuvre : en les particularisant, on créera les 
Algèbres spéciales. 

Il est clair que la multiplication sera beaucoup plus riche que 
l'addition en variétés de formes. 

Pour l'addition, une variété importante est le cas bien familier 
où, la soustraction étant toujours possible et unlvoque, les objets 
de l'ensemble forment, au sens précis du mot, un groupe pour la 
composition par addition : telle est l'addition algébrique des 
nombres ordinaires, ou l'addition géométrique des vecteurs. 

Une variété qui s'éloigne beaucoup de celle-là, est la variété où 
l'on fait l'hypothèse formulée ])ar l'égalité 



« -t- «= «, 



a étant un objet quelconque de l'ensemble. En d'autres termes, 
si l'on se reporte aux définitions précédentes, à chaque couple 
formé par la répétition d'un même objet du groupe on fait cor- 
respondre ce même objet. Cette hypothèse caractérise le seul 
mode d'addition qui soit essentiellement difierent de l'addition 
ordinaire ; elle est à la base de la logique symbolique, dont l'expo- 
sition est condensée dans le Livre II de l'Ouvrage deM. Whitehead. 
L'Algèbre de la logique symbolique concerne un ensemble 



lOO 

a 



PllLMIÈIlE PAIITIE. 



Igébrique et linéaire au sens que Ton a spécifié plus liaul, dont 
les objets a, b, c, ... obéissent, pour ce qui est de l'addition et de 
la muiliplicalion aux lois formelles que voici : 



rt -+- 6 = ô-h 


- a. 


a-\- b -h c = 


(a-^b)' 


a -h a— a, 




a -T- — a, 




c{a -\- b) = 


ca -\- cb, 


{a -1- b)c = 


ac -+- bc, 


ab = ba. 




abc = {ab)c = a{bc) 


aa = a. 




a -\- ab = a 


> 


ai — a. 





(b^c), 



(1) 

(2) 

(3) 
(4) 
(5) 

f«) 
(7) 
(8) 
(9) 

(10) 

«0 

Les lois (i), (2), (5), (6) ne sont autres que les lois générales 
de l'addition cl de la multiplication. La loi (4) exprime qu'il y a 
dans l'ensemble un objet nul; la loi (3) est ce caractère spécial de 
l'addition dont j'ai déjà parlé, caractère qui est contenu comme 
cas particulier dans la loi (10), connue sous le nom de loi d'ab- 
sorption : les lois (7), (8), (9) n'ont pas besoin d'explication; la 
loi (i 1) enfin se rapporte à un objet i de l'ensemble dit universel; 
si l'on réunit, par multiplication, cet objet à un objet quelconque 
de l'ensemble, on reproduit ce dernier objet. Notons encore l'hj- 
pothèse suivante : à chaque objet a de l'ensemble correspond un 
objet supplémentaire b : deux objets «, b sont dits supplémen- 
taires si l'on a à la fois 

a -\- b =^ i, ab = o. 
Quant aux pro|)riétés qui e\|)riment les égalités 

XO = o = 037, 

x-i-i=i=i-hx, 

elles sont des conséquences des lois supposées. 

Comme conséquence immédiate de ces lois formelles, le lecteur 
observera la ])arfaile réciprocité de l'addition et de la multiplica- 
tion : loulc propriété concernant l'addition et la multiplication 
pcul élrc aussi bien envisagée comme concernant la multiplica- 



COiMPTES RENDUS ET ANALYSES. mi 

lion. Cette réciprocité; a clé remarquée liulépendanimcnl par 
M. Peirce et par M. Scliroder. On conçoit que sur ces lois on 
puisse établir tout un calcul, le calcul de la logique symbolique 
fondé par Boole (Lmvs of Tliougt, i854), développé par Venu 
{Symbolic logic, 1881, 1894), levons (Pure logic, 1864), 
Veivcc [Proceedings of tlie American Academy of Arls and 
Sciences, Vil, 1867, American Journal of Mathemaiics, III et 
VII), Scliroder (Operationskreis des Logikcalciils, i8yy, 
Vorlesungen iiber die yilgebra der Logih, t. I, 1890, t. II, 
1891, t. III, 1895), Miss Love et D"" Milcliell {Studies in 
Deductive Logic, i883), W. Johnson [The Logical calculas, 
dans le Minci, 1892), M'' CoU {Proceedings of tlie London Ma- 
thematical Society, IX, X, XI, XIII), elc. On trouvera l'inté- 
ressant développement de ce calcul dans le Livre de M. Wliile- 
head ; je ne veux que dite un mot d'une des interprétations qu'il 
comporte. 

Appelons région une portion continue de l'espace, ou la réunion 
de plusieurs de ces portions. L'ensemble que nous considérerons 
sera formé de toutes les régions possibles. La somme de deux ré- 
gions sera la région formée par la réunion des portions d'espace 
qui les constituent. Si les deux régions que l'on ajoute sont iden- 
tiques, il est clair que l'addition reproduit l'une de ces régions. 
Le produit de deux régions sera la partie commune à ces deux ré- 
gions, leur intersection. La région o, c'est l'absence de toute 
région. Le produit de deux régions qui n'ont pas de partie com- 
mune est o. La région universelle est l'espace tout entier. Si l'on 
ajoute à une région a la région commune à cette région et à une 
région 6, on ne fait que reproduire la région rt, c'est la loi d'ab- 
sorption (10). La région supplémentaire d'une région donnée est 
l'espace extérieur à cette région. Toutes les lois et liyj)Olhèses 
formelles qui ont été introduites plus haut, et toutes leurs consé- 
quences, s'interprètent donc avec la plus grande facilité. 

Il y a d'ailleurs longtemps qu'Euler a identifié la théorie du 
syllogisme avec la théorie géométrique du contenant et du con- 
tenu; on conçoit donc une interprétation des lois et hypothèses 
du calcid qui nous occupe dans le domaine de la logique déductive. 

Passant ensuite aux théories dont Grassmann est le fondateur et 
dont les développements essentiels se trouvent dans les deux édt- 



I09. PREMIERE PARTIE. 

lions de V Ausdehn u ni:^leh re , M. A\hilehead Iraite des ensembles 
de situation [positional manifolds). Voici comment est constitué 
un Ici ensemble (I) : considérons, d'une part, v objets e,, Co, . . ., 
<7v <|iie Ion désignera sous le nom (ïanil/'S fondamenta/es el, 
d'autre part, l'ensemble des nombres ordinaires (réels ou imagi- 
naires), qui seront désignés systématiquement par des lettres 
grecques : un objet de l'ensemble (I) s'obtiendra en associant à 
chacun des objets Cp un nombre y.p et se représentera par 

l'association d'un élément y.p à l'objet e^ doit d'ailleurs être 
regardée comme une multiplication, jouissant par conséquent de 
la propriété dislribulive, et le signe + a, dans le précédent sym- 
bole, les propriétés exposées dans la définition de l'addition. Si ap 
est nul, le symbole apCp disparaît de l'expression précédente si ap 
est le nombre i, apCp peut être remplacé par Cp, en sorte que les 
objets e,, Co, •••, e^ sont eux-mêmes des objets de l'ensemble. 

L'objet 

a, e 1 -^ a2 ^2 -^ ■ • • -^ 5tv ev 

peut d'ailleurs être multiplié par un nombre À; il devient alors 
l'objet 

On admet que ces deux objets correspondent au même élément, 
au même point de l'espace à v — i dimensions, si Ton veut. Ce 
sont deux objets congruents, mais d' intensité différente. Deux 
objets de l'ensemble peuvent d'ailleurs être ajoutés, en ajoutant 
les coefficients numériques des e; un objet de l'ensemble s'appelle 
d'après M. Cayley un extraordinaire et se représente par une 
lettre italique, les lettres grecques, encore une fois, étant réservées 
aux purs nombres, p extraordinaires, x,, ^25 • • • , ^p seront dits 
dépendants ou indépendants suivant qu'on pourra ou qu'on ne 
pourra pas trouver n nombres X,, ).o, . . . , )vp tels que l'on ail 



X, 



.+ lpXç,= o ; 



il faut entendre par là que le premier membre, ordonné par rapport 
à (?), e-2. ..., Cv, a tous ses coefficients numériques nuls. De là une 
théorie (pii reproduit mot |)our mot la théorie des formes linéaires, 



COMPTES lUiNDUS li r ANALYSES. i„i 

et sur laquelle il est iuiilile dinsisler. Si J'i, x.,, •■■, ^"v tlésigrienl 
V extraordinaires indépendanls, l'ensemble de tous les éléments 

conslilue la région complète définie par ces extraordinaires; elle 
est la niènic (jue la réj^ion coniplélc définie par ^i , e^, ..., c^. 
C'est une région à v — i dimensions; si les extraordinaires indé- 
pendants Xx, X2, •.., -Xq sont en nombre p<Cv, ils définissent une 
sous-région à — 1 dimensions, constituée par les éléments 

contenue dans la région complète; par exemple, si l'on ne consi- 
dère que deux extraordinaires indépendants X\, x-,-, ils définiront 
une droite joignant les deux éléments X\, x-^ et constituée par 
les éléments ai jc, + a^x-^- 

En supposant que x^^ x-i, ..., x^ désignent v extraordinaires in- 
dépendants, l'ensemble des extraordinaires ^|.r, H- q^^jH-...-!- ^^x^ 
dont les coefficients numériques ^1, ^o^ • • • t ^v sont liés par une 
ou plusieurs équations homogènes constitue un heu. S'il n'y a 
qu'une seule équation, le lieu est une surface. L'auteur étudie, en 
particulier, les surfaces du second degré au point de vue des 
sous-régions qu'elles contiennent; c'est la généralisation des géné- 
ratrices rectilignes des quadriques. 

On n'a défini jusqu'ici V intensité que comme une sorte de 
qualité numérique qui distingue deux objets 

a i e i -{- 01.1 6-2 -r- . . . ^ y.^j evi ^'1 ej -1- a', ej -!- . . . + av Cv 

de l'ensemble défini par les unités fondamentales e^, Co, . . ., t'v, 
dans lesquels les coefficients a',, a',, . . ., a,'^ sont proportionnels 
aux coefficients a,, ao, . . ., a,^, c'est-à-dire deux objets qui cor- 
respondent au même élément, au même point. Il convient tout 
d'abord de regarder les unités fondamentales e,, c^, •.., <?v comme 
étant d'intensité i, puis l'objet a/c/ comme étant d'intensité a/, 
enfin l'intensité d'un objet a, e, + a^eo + • • • -^- ^-v<?v comme étant 
une fonction liomogène du premier degré de a,, a^, .-., y-/- L'au- 
teur se borne au cas où celte fonction est la racine jj."'""^ d'un 
polynôme du fj."'"" degré en a,, a^, . . . , a,^, poiynoine dans lequel 
les coefficients des puissances '^."''""^ sont Tunilé et dans lequel 



io4 PREMIÈRE PARTIE. 

Ions les antres coefficients sont égaux- Les cas |J. = i, ;jt.= 2 offrent 
lin intérêt particulier. La considération du lieu des éléments d'in- 
tensité nulle simpose d'une façon nécessaire et se relie à la con- 
sidération des éléments à l'infini. 

Arrivons maintenant à la multiplication de deux objets ^apgp, 

V '■'jr^Cr (o = I, 2, . . ., v) d'un même ensemble (I), du premier- 
ordre. A chaque couple (Cp, e^^ d'unités fondamentales, faisons 
correspondre un objet d'une seconde espèce que nous désignerons 
par {^CrC^') et que nous regarderons comme le produit de e^ par e^; 
le produit de l'objet a^^p par l'objet a^e^ sera, par définition, 
"J-ù'^-ai^CrC,^) ^ c'est-à-dire l'ol)jet de la seconde espèce (cpe^) affecté 
du coefficient numérique obtenu en multipliant les deux coeffi- 
cients numériques a.p, aj^; dès lors, en vertu de la dislributivité, 

le produite ap<?p par^ [iipep devra être^ap [^(^(epea). Les v- objets 

de la seconde espèce (epC^), s'ils étaient indépendants, pourraient 
être regardés comme définissant un ensemble de situation de la 

dimension v- — 1. Le produit de/ apgp par 7 ^pCp serait alors 

im objet de cet ensemble, non d'ailleurs un objet quelconque, 
puisque les v- nombres ap [3^^, f[ui ne dépendent que de 2v nombres, 
ne peuvent pas être identifiés à v^ nombres quelconques. On est 
d'ailleurs libre de ne pas regarder les objets de la seconde espèce 
(^pCç) comme indépendants, c'est-à-dire de poser entre eux des 
relations linéaires. Le cas vraiment intéressant est celui où ces 
relations sont invariantes : supposons que, au lieu des unités 
fondamentales <?i, Co, ..., Cv, on se serve, pour définir un objet de 
l'ensemble (I), de v extraordinaires indépendants x^^ Xo, . . ., x.,\ 

les deux objets à multiplier seront de la forme 7 ap^^p, N ^p.rp et 
leur produit de la forme \a'^ [i^Tp.rç; les Xi^x^, s'expriment 

d'ailleurs linéairement au moyen des (cpCo), et toute relation 
linéaire entre ces dernières quantités entraîne une relation linéaire 
entre les premières; les relations linéaires entre les (Cpec) seront 
dites inçarianles%\\ç,?> relations qu'elles impliquent entre lesiCpXç 
s'obtiennent simplement en remplaçant les x par les e. On dé- 



COMPTI'S lU-NDUS KTANALYSES. ,o'> 

montre aisément que les seules relations possibles qui aient ce 
caractère sont du type 

(epgp) = o, (epe<T) -T-(e(jep) = o 
ou du type 

le premier type de relations donne naissance à la multiplication 
combinatoire progressive, définie par ces relations mêmes et par 
la relation d'associativité 

(61^2 • • • ep)(<Jp+iep+2 . . . e^r) = (eie-i . . . epep+i . . . e^), 

qui permet de définir le produit d'un nombre quelconque d'objets 
de l'ensemble du premier ordre. Si l'on considère |J(. de ces objets 
définis par les ^ expressions 

^ap^gp (7 = 1, 2, ..., [x), 

leur produit 

( y^^oi er^j (_2 ap,epj . . . (y^^^oaC^J 

sera, en vertu des hypothèses précédentes, de la forme 

^1 ap^ I (ep.ep, ... ep,^), 

où p,po. . .Ojj, est une combinaison des nombres i, 2, . . ., v pris 
[Jt. à [Ji. et où I apç I est un déterminant d'ordre u. où l'indice doit 
prendre les valeurs 0, , Oj, . . . , Ou. et l'indice 7 les valeurs i , 2, ..., 
u.. Si deux des nombres 0,, p^, . . ., pp_ sont égaux, le produit 
(^pi^p.- • •^oa) 6st nul; il en serait de même, d'ailleurs, du déter- 
minant correspondant ; si donc on a iji. >> v, le produit est toujours 
nul ; si l'on a ijl < v, il y aura 

V ( V I ) . . . ( V — [J- -^ l) 



combinaisons distinctes (ep^ep^...ep ) dans lesquelles on sup- 
posera p, <; p2<.-.<. pa- Tous les produits (ep^e^^. . .Cp^ obtenus 
de cette manière sont indépendants : en désignant, pour abréger, 
ces produits par les svmboles Ejj., E,j., .... on voit qu'ils définissent 



loC, PREMIÈRE PARTIE. 

un ensemble dont les objets pourronl être représentés par 

aEjji-h a'E|x-i-. . .; 
cet ensemble est dit dérivé du [jl"""" ordre : il est à 

v(v — i)...(v — ;^-l- i) 
i .1. . .\x 

dimensions; le produit des y. objets de l'ensemble (I) du premier 
ordre sera nul ou non suivant que ces objets ne seront pas indé- 
pendants. Ce produit est un objet de l'ensemble dérivé du 
jj^icnic ordre, mais non d'ailleurs un objet quelconque de cet 
ensemble. Le caractère invariant des relations fondamentales 
permet aisément d'étendre ces résultats au cas où les objets de 
l'ensemble (I) cjiic l'on multiplie entre eux sont donnés sous la 

forme > Çp.î'p en désignant par x^^ x^, • • -, oc^^ v extraordinaires 

indépendants, au lieu d'être exprimés au moyen des unités fonda- 
mentales C), Co, . . . , Cy. 

Considérons, en particulier, a extraordinaires indépendants «^ , 
a.y, . . ., <7(j. ([J. <C v), la sous-région qu'ils définissent et [a objets 
de l'ensemble (I) appartenant à cette sous-région; ils auront des 
expressions telles que 

rt'i = Xn«i M- \i^_ai -f-. . .-+- Xj|j:«a, 

^2 = X21«l -+- X22a2 -H. . .-h X2|j.<7jx, 



a'\s. = Xp,i «1 -h X[x2 «2 -t- • • • + ^ 



lJ.!J."(j.i 



et leur produit {a\a.^. . .a^) sera égal au jiroduit [a iCi-,- . .o^) 
niullq)lié par un facteur numérique égal au déterminant 

i^p<t! ; 

\(7 = I, 2, ..., î^/ 

les deux produits («',«!,. . .a'^) et {uta-,. . .r/|j.) représentent donc 
le. Miruie r/rnic/U de l'ensemblc dérivé du p.''""' ordre, mais non, 
en g('néral, le même objet, puisque les intensités sont différentes, 
(piand le déterminant | )^pff | n'est pas égal à i. Quoi qu'il en soit, 
si un ol)j(i (le l'ensemble dérivé du y.'"'"' ordre peut être regardé 
eouime le produit de [j. objets indépcndauls de rensembic ([), il 



COMPTES IIKNDUS HT ANALYSES. 107 

peut aussi bien, d'après ce que l'on vicnl de dire, elre regardé 
à un facteur numérique près, comme le produit de jj. autres objets 
indépendants quelconques ap[)artenant à la sous-région délinie 
par les [a premiers objets, en sorte que rien n'empêche de l'iden- 
tifier avec celte sous-région, que l'on doit toutefois, en tant qu'on 
la regarde comme un produit d'objets de l'ensemble (I) du premier 
ordre, ou comme un objet de l'ensemble du jj."""' ordre, regarder 
comme ayant une intensité, comme affectée d'un coefficient numé- 
rique. Une sous-région ainsi considérée comme un produit sera un 
objet régional, d'ordre a : c'est un objet simple de l'ensemble dé- 
rivé du If.''""" ordre. Les objets de ce dernier ensemble qui ne sont 
pas simples sont composés avec des objets simples. Deux objets 
régionaux peuvent être multipliés : leur produit définit une sous- 
région qui contient les deux sous-régions définies par les deux 
facteurs. Si A et B sont deux objets régionaux d'ordres respectifs p, 
o-(p > <t) et si la sous-région A contient la sous-région B, il existe 
un objet régional G, d'ordre p — o-, tel que l'on ait A = (BC). Le 
produit de plusieurs objets régionaux est nul s'ils ont un objet 
régional commun ; c'est ce qui arrivera forcément si la somme de 
leurs ordres est supérieur à v. Si cette somme est égale à un, le 
produit sera égal à (e, <?2...(?v) multiplié par un nombre ordinaire. 
Il est commode de regarder un tel produit comme purement numé- 
rique, en convenant de regarder (e, eo...<?v) comme étant égal à un. 

La multiplication combinatoire définie comme ci-dessus est 
dite progressive, et les produits qu'elle engendre sont dits pro- 
gresslfs. Le produit progressif de deux objets Sp, S(j dont les 
ordres 0, o- ont une somme supérieure à v étant nul, on peut con- 
venir de ne le faire jamais figurer dans une équation, et alors il 
devient loisible d'adopter pour un tel produit telle autre définition 
que l'on voudra. On va définir la multiplication régressive, à 
laquelle conduit la notion importante de supplément. Jusqu àce 
que cette définition soit donnée, et tant qu'on ne préviendra pas 
du contraire, les produits dont il sera question seront progressifs. 

Considérons une combinaison multiplicative Eu. obtenue en 
multipliant u unités e, , e^, . . . , Cj;. des v unités fondamentales e,, 
Co, . . ., Cv, il existera une combinaison multiplicative supplémen- 
taire Ev_u. formée avec les éléments ev+i, ^'.^^O) • • • ? «'[j. fj^'i ne 



,oS PREMIÈRE PARTIE, 

figurent pas dans Ejj^, en sorte que Ton aura 

(EjiEv_5j-)=::^(eie,...ev) = =: i . 

en adoptant la convention spécifiée plus haut. Le supplément de 
Ejj. ne sera autre chose que Ev_a, en supposant les facteurs de Ev_a 
rangés dans un ordre tel que le produit (Eu,Ev_.j.) soit-f-i. Le 
supplément d'un objet s'indique en plaçant un trait vertical | 
devant le symbole de cet objet : ainsi | E^j,. est le supplément de E,j., 
et, d'après la convention précédente, on peut écrire 

I Ejj, = (Ejj.Ev-u.)Ev-ji. 

en regardant le produit (E5j,,Ev_|x) comme un simple nombre (dzi). 
Le supplément d'un nombre est ce nombre lui-même. En dési- 
gnant par Ejj., EL Eu, . . . des combinaisons multiplicatives tou- 
jours formées avec u. des unités e,, e>, . . ., ev, on aura par défi- 
nition 

i(aEjji,-f- oi'E',^-T- a"E'^.-f-. . .)— x\ Ejj.-f- gt' I E[jl^- a"E|l-i- 

Dès lors, le supplément dun objet quelconque Ajj. de l'ensemble 
dérivé du iji.'*^""= ordre est défini. En prenant le supplément du 
supplément d'un objet, on reproduit cet objet, au signe près ; d'une 
façon précise, on a 

II A5j, = (— i)!A(v-!x)Au,. 

Si maintenant l'on considère deux objets Ap, A^ dont les ordres 
respectifs o et a- ont une somme supérieure à v, le produit régressif 
ApAç sera par définition l'objet d'ordre p -4- t — v dont le supplé- 
ment est le produit (progressif) des suppléments | Ap, | A^^ des 
objets Ap, A^y. Ces suppléments ayant respectivement les ordres 
V — p, V — 7 ont bien un produit progressif puisque l'on a 
V — ? + '^ — ^ <! V. On peut donc écrire svmboliquement 

I ApA(7= I Ap I A(y 

en désignant par Ap A^ le produit régressif des objets Ap, A^y. 11 
suit de là que tandis qu'un j)roduit progressif ApA,^ ( p -7- 3- <[ v) 
représente la sous-région qui comprend les sous-régions Ap, K^i 
un produit régressif Ap Ap (p H- 3- >> v) représente la sous-région 



COMPTES HIÎNDUS ET ANALVSIiS. 109 

commune aux deux sous-régions Ap, A^. Lorsque p + o- est égal 
à V les définitions des produits progressifs et régressifs con- 
cordent. 



Si l'on a alors 



Ap= «pEpH- apEp-H. 



A^ = a^ I Ep -f- a^ I Ep -4- . . . , 
on aura pour l'un ou l'autre produit le nombre 

apXff-i- apa^-!-. . -■ 

Observons encore que l'égalité 

I ApA^= I Ap I A(y 

subsiste, soit que le produit ApA^^ soit régressif, soit qu'il soit 
progressif; dans le second cas, c'est le deuxième membre qui est 
un produit régressif. 

On est amené maintenant à distinguer les produits purs et les 
produits mixtes. Un produit est pur quand toutes les multiplica- 
tions qui y sont indiquées sont toutes progressives, ou toutes 
régressives; dans le premier cas il est purement progressif, dans 
le second purement régressif. Autrement il est mixte. Ainsi le 
produit AB.CD, où l'on doit entendre qu'on fait le produit de A 
par B, le produit de C par D et que l'on multiplie le premier 
produit par le second, sera un produit purement régressif si le 
produit AB est régressif ainsi que le produit CD et que le pro- 
duit de AB par CD. La multiplication pure est associative, non la 
multiplication mixte. 

Le calcul des produits progressifs s'effectue au moyen d'une 
proposition connue sous le nom de règle [gétiéralisée) du 
facteur moyen, et que voici : Soient Ap, B(7 deux objets régionaux 
des ordres p, 0-; on suppose pH-a- = v-}-v, v étant plus petit que v. 
Ap est, par hypothèse, le produit de p facteurs de l'ensemble (I) du 
premier ordre. Désignons par Cy", Cy"', ... les différents produits 
formés en prenant y des facteurs qui forment Ap, on peut écrire 

en désignant par Ap"y, Ap-^y, . . . des produits de p — y facteurs 



,,o PREMIÈRE PARTIE. 

(In premier ordre; on aura 

où, clans le second membre, les produits (A|>'J.yBc^), . . . sont pure- 
iucnt numériques. De même, si l'on désigne par DS^", D!j,-', ... les 
différents produits formés avec y facteurs du premier ordre qui 
ligurenl dans U^ on pourra écrire 

cl 1 on aura 

ApB<,= (ApB^Uy)D'y"+(ApB^!!y)Di/' + .... 

l'ar exemple, dans le cas où v est égal à 3, on aura 
pq.rs — (prs)g —{qrs)p = (pqs)r — i pr/r)s. 

M. Whiteliead développe diverses autres propriétés de ces pro- 
duits, entre autres un théorème important du à jM. E. Mûller 
[jMallieinatisclie Annalen, «897). Outre les produits progressifs 
et régressifs qui constituentles produits extérieurs, ily a encore 
lieu de considérer ce que Grassmann a appelé les produits inté- 
i-ieurs. Ce sont les produits formés au moyen de deux objets P, Q 
en multipliant l'un par le supplément de l'autre. Ce mode de 
multiplication donne encore lieu à des règles simples. Enfin, 
signalons le lien étroit cju'il y a entre la théorie des régions sup- 
plémentaires et la théorie des polaires réciproques, étendue à un 
espace à v — i dimensions. 

Telles sont, rapidement esquissées, les idées fondamentales 
(dues presque toutes à Grassmann) qui seront le lien des nom- 
breuses applications que va maintenant parcourir M. Whitehead. 
Les premières concernent ce qu'il appelle la Géométrie descrip- 
tive : l'épithète descriptive ne doit pas être entendue dans le sens 
restreint auquel nous sommes hal)itués depuis AJonge, mais dans 
son sens général; il s'agit, dans le Chapitre auquel l'auteur a donné 
ce litre, de la description de constructions géométriques, planes 
pour le plus grand nombre. 

Ainsi l'égalité 

(sbc)(sea)(s/b) = (sdb){sec){sfa) 
exprime celle propriété des deux triangles abc, clef que si les 



COMPTI'S UKNDUS i: T ANALYSES. m 

droites sd, se, 5/ coupent, respcclivenienl les trois côtés 6c, ca^ ah 
en trois points situés en ligne droite, les trois droites sa^ sb, se 
couperont en trois points situés en ligne dioilc; les cùlés e/,/(/^ 
de du second triangle. Une importante application concerne la 
Conslruction de von Slaudt, (|ui joue \\n rôle essentiel dans 
l'exposition de la Géométrie projeclive et dont Tohjct est de 
montrer, étant donnés trois points a, 6, c d'un plan, non en ligne 
droite, et deux points c/, e situés respectivement sur les droites 
f/c, bc, que tout point de ae |)eul être obtenu j)ar la multiplica- 
tion des points considérés, ou, en d'autres termes, être construit 
par des opérations qui consistent à joindre les points donnés par 
des droites, à prendre les intersections de droites ainsi menées, 
à joindre par des droites les points ainsi obtenus, etc. Il faut 
entendre dadleurs que les opérations peuvent être poursuivies 
indéfiniment et qu'elles conduisent alors à un point limite. D'autres 
applications concernent la théorie delà projection, et les construc- 
tions de coniques et de cubiques planes. Puis M.Whitehead expose 
la théorie des matrices, d'après Grassmann et M. Bucheim 
(^Proceedings London Math. Soc., XVI, i885). Deux intéres- 
sants Chapitres concernent la théorie des systèmes de forces, indé- 
pendamment de toute notion métrique, une force étant regardée, 
dans l'espace à trois dimensions, comme le produit (progressif) de 
deux points ou le produit (régressif) de deux plans. Les proposi- 
tions concernant le A ull-System se présentent là de la façon la 
plus naturelle. La théorie des matrices trouve d'ailleurs dans cette 
théorie des systèmes de forces d'importantes applications. 

Jusqu'ici les propriétés métriques n'ont été jamais introduites 
ni invoquées. Entrant en quelque sorte dans les Géométries parti- 
culières, l'auteur développe la théorie de la distance, d'après 
Cayley et M. Klein, les piopositions fondamentales de la Géométrie 
elliptique et de la Géométrie hyperbolique, les propriétés mé- 
triques des systèmes de forces; la théorie du déplacement, fondée 
par M. Klein sur la considération des transformations (eon- 
gruentes) qui changent l'absolu en lui-même, les notions fonda- 
mentales de la Mécanique, la théorie de la courbure des courbes 
et des surfaces. 

Les derniers Chapitres se rapportent à la Géométrie euclidienne. 
On y trouvera tout d'abord une élégante théorie du \ecteur consi- 



M, PREMIÈRE PARTIE. 

(léré comme un point à linfini, du vcclcur-airc et du vecleur- 
volumc; diverses propositions de Géoméirie et de Mécanique, 
et l'application de la théorie des vecteurs aux svstèmes défor- 
mablcs, en particulier aux fluides (hvdrodvnamique). 

L'Ouvrage considérable que vient de publier M. Wbiteliead, 
outre qu"il apporte sur divers points des contributions importantes 
à des théories difficiles servira certainement à répandre des idées 
qui, déjà vieilles d'un demi-siècle, ne semblent pas avoir pris 
toute l'extension dont elles sont capables : parce que les méthodes 
de Grassmann ne sont pas de celles dont on ne peut pas se passer, 
il ne faut nier ni leur profondeur, ni leur fécondité, ni l'unité 
qu'elles apportent dans des théories diverses, ni Texlrême con- 
densation qu'elles permettent dans l'exposition de ces théories. La 
îirande clarté avec laquelle ces méthodes sont décrites dans le livre 
de M. Whitchead contribuera à les faire mieux connaître, et plus fa- 
cilement. Il suffira au lecteur de ne pas se laisser rebuter par leur 
inévitable symbolisme : les mille et une nuits racontent riiisloire 
d'un pauvre homme à qui un riche seigneur persan fait servir un 
repas imaginaire; le ])auvre homme se prêle à cette fantaisie et 
pendant longtemps, consciencieusement, il mâche à vide; mais il 
est récompensé de sa patience et finit par bien dîner, avec des 
mets substantiels. J- ^• 



lîHAllV (E.). — Exercices méthodiques de Calcul intégral. Un vol. iii-8, 
vui-Soi p. Paris, Gauthier-Villars et fils; 1895. 

Le livre de M. Brahy est un de ces livres modestes qui rendent 
des services. L'auteur n'a pas la prétenlion d'apprendre à ses lec- 
teurs les hautes théories de l'Analyse; il veut seulement les rendre 
familiers avec les procédés les plus élémentaires du Calcul intégral 
avec ces règles qu'il faut savoir appliquer comme les règles du 
Calcul iuini('rique. La disposition adoptée dans chaque Chapitre 
est la suivante : l'auteur rappelle d'abord rapidement les méthodes 
classiques; il donne ensuite plusieurs exemples, puis il indique 
un irrand nombre d'exercices avec les résultats : ce sont des cxer- 
ciccs dans le vrai sens du mot, non des problèmes. 



COMPTES KENDUS lîT ANALVSES. i,:j 

M. Brahy s'allend à ce qu'on lui rcproclic des oniissiuns (lui 
ont été, dit-il, « volontaires et réilécliies » et ([ui tieiuiciil à ce 
qu'il a voulu rester très élémentaire. 

Rester élénienlairc, c'est, à coup sur, le droit d'un auteur, et 
les livres élémentaires ne sont sans doute pas les moins utiles. 
Que l'auteur, par exemple, ait voulu rester dans le domaine du 
réel et ne rien dire des intégrales prises entre des limites imagi- 
naires : c'est ce qui se comprend parfaitement et ce n'est assuré- 
ment pas aux. variables imaginaires que l'auteur pensait lorsqu'il 
a parlé des (( théories qui, si belles et si ingénieuses qu'elles 
puissent être, ne présentent pas assez d'applications ». Mais 
pourquoi, lorsqu'il traite des procédés qui permettent de rendre 

rationnelle la quantité sous le signe / , ne dit-il rien des courbes 

unicursales? Quelques lignes auraient suffi et les applications 
ne manquaient pas. 

L'auteur connaît sans doute par expérience la classe de lec- 
teurs auxquels il s'adresse, son livre en est la meilleure preuve; 
je regrette de ne pas y avoir trouvé quelques remarques bien 
utiles pour les commençants et qui auraient pu leur éviter des 
fautes dans lesquelles ils risquent de tomber constamment. Par 
exemple, la formule 



/ 



— -i ^!l 



s'applique, si a et b sont tous deux positifs ou tous deux néga- 
tifs ; dans la formule 






= arc taiiir b — arc tanira. 



1 -!- x- 



ie symbole arc lang désigne toujours un arc compris entre — - 



et H — > etc. 

2 



Quelques indications sur les précautions qu'il convient de 
prendre, quand on change la variable sous le signe / dans une 

intégrale définie, seraient aussi les bienvenues. 

Quoi qu'il en soit, le livre de M. Brahy, qui contient des exer- 
cices sur toutes les théories essentielles du Calcul intégral (re- 

Bull. des Sciences mathém., i" série, l. WII. (Mai i8<j8.) S 



,,4 PUEMIÈIIF. PARTIE. 

clicrches des fonctions primitives, intégrales définies, quadratures 
cl cubaturcs, équations difTérentîelles ordinaires ou aux dérivées 
jjarlielles), rendra de grands services aux étudiants qui voudront 
bien s'astreindre à traiter les exercices proposés par l'auteur; ils 
seront sûrs d'acquérir ainsi cette habitude des méthodes qui est 
indispensable soit pour les applications pratiques, soit pour l'étude 
ultérieure de la Science. .1. T. 



KŒPERT (L.). — Grlndriss der Differextial uxd Intégral Recunuxg. 
I. Tlieil : Differential Recliniing. Achte volstàndlg ungearbcitete und vcr- 
melirte Aujlagti des glelchnninip^cn Leitfndcn von ived. Dr. Max Siege- 
inanu. ( vol. in-S", xviii-6(3o p. Haiinovcr, Hclwing : 1897. 

T/esl la huitième édition d'un Livre dont il a été plusieurs fois 
question dans le Bulletin : livre d'une nature élémentaire, 
approprié aux besoins des hautes écoles techniques, qui se 
recommande par sa clarté et que, d édition en édition, ^I. L. 
Kiepcrt a considérablement amélioré. 



.M.\1)DIS0N (J. ). — Ox SIXGULAU solutions OF differential EQUATIONS OF 
THE FIRST ORDER IN TWO WARIABLES, AND THE GEOMETRICAL PROPERTIES 
OF CERTAIN INVARIANTS AND COVARIANTS OF TIIEIR COMPLETE PRIMITIVES. 

L objet de 1 auteur est 1 t'iude des équations diHérenlieiles du 
premier ordre obtenues en partant d'une équation de la forme 

T- ^ / . 'i( n — I ) 



où Q est une constante arbitraire, et oîi les coefficients «, b, c, ... 
sont des fonctions de x,y (qui ne sont pas nécessairement algé- 
l)riques), puis en éliminant la constante entre cette équation et 
I ('qualion 

^ ^ c)U _ 

Ox dy ' 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ni 

où /> est mis à la place tie -.- : on loriiK; ainsi une ('■(|uali()ii «lidV;- 

renliellechi premier ordre v.idu //"'""' degré en/>, dont on suppose 
en outre que les cocfficicnls soient des fonctions entières en x,y. 
(^ette équation diflérentielle est étudiée au point de vue des solu- 
tions singulières. C'est l'un des deux points de vue si nellemcnl 
distingués par M. Darboux dans sa JNote Su/- les solulion.'i stn- 
gulièrcs des équations aux dérivées ordinaires du premier 
ordre ('). L'auteur regarde les premiers membres U et V des 
équations en et p comme des formes binaires aux variables tî, 
I ou/?, I. Tout d'abord les discriminants de ces deux formes, 
leurs modes de décomposition en facteurs simples et multiples et, 
en particulier, les facteurs communs aux deux discrimiiianrs, 
joueront le rôle essentiel dans cette étude, où interviendront 
aussi le lieu des contacts, en un point duquel se touchent deux 
courbes de la famille U^o correspondant à deux valeurs 
distinctes de Q, le lieu des points doubles ou des j)oinls de 
rebroussement des courbes de la même famille, à sup[)oser que ces 
lieux existent. 

Dans le cas où n est égal à 2, l'étude des solutions singulières a 
été poussée très loin par M. Casorali (-) ; elle a été poursuivie par 
M. ^\orkman (3); M. Maddison la reprend à son tour pour la 
compléter sur quelques points et développer en particulier les cas 
où les coefficients «, b, c sont du pi^emier, du deuxième ou du 
troisième deffré. 

Les cas où n est égal à 3 ou à '4 n'avaient pas été étudiés 
jusqu'ici. Pour /i = 2 la forme en ne présente qu'un invariant, 
son discriminant; tandis que pour n = 3, par exemple, il y aura 
lieu d'introduire, outre le discriminant, qui jouera toujours le 
rôle principal, le hessien et le covariant cubique ; en égalant à zéro 
ces covariants, on définira de nouvelles familles de courbes, 
familles dont M. Maddison montrera le rôle géométrique. Les cas 



(') Bulletin, 1" série, t. l\, 187.3, p. i58. 

(-) Voir, en parliculier, Bulletin, t. III,, 1879, p. '|8 : Nouvelle théorie des 
solutions singulières des équations différentielles du premier ordre et du 
second degré entre deux variables. 

(•') Tlieory of singular Solutions of integrablc différent inl équations of 
tlie first order {Oiiarterly Journal. Wll). 



u6 PHI'.MIKUI-: PAKTIK. 

oîi les coefficients «, />, c, cl sont du premier ou du second degré 
en ./■, y sont considérés à part. L'étude du cas où /? = 4 t:st faite 
dans le même ordre d'idée. 

Lintérèl du liavail de M. Maddison est augmenté par les nom- 
breux exemples numériques ([u'il donne, où les calculs sont 
poussés jusrprau hoiit. J. T. 



LÉVV (L. ). — Précis élémentaire de la théorie des fonctions ellip- 
tiques AVix Tables numériques et applications. Un vol. in-S"; xn-237 p. 
Paris, Gaiilliier-Villars et fils; 1898. 

Le Précis cléinenldirc de M. Lucien Lévy rendra d'incontes- 
tables services en raison même de son caractère simple et pratique 
et de la clarté avec laquelle il est rédigé; ce caractère pratique se 
manifeste en particulier par les Tables numériques qui terminent 
le Volume : la première de ces Tables donne avec cinq décimales 
les valeurs de iv et de E pour les diverses valeurs de l'arc 9 dont 
le sinus est égal à A", supposé compris entre oet i. Les intervalles 
ont été clioisis de manière que l'interpolation par parties propor- 
liounelles fournisse une approximation égale à celle de la Table; 
les valeurs de R ont été calculées par ls\. G. Humbert, professeur 
à l'École Polytechnique. La Table 11, extraite par M. Humbert 
des Tables de Legendre à dix décimales, est à double entrée; elle 
lournil, avec cinq décimales, les valeurs de u pour les diverses 
valeurs de l'amplitude cp = arc sin (sn«), et de l'angle 8 ; les valeurs 
de » inscrites dans la Table vont de degré en degré et les valeurs 
de; 'j de cinf| degrés en cinq degrés. La Table lil, extraite par 
M. ij(-vydes Tables de Legendre, donne les valeurs de 



/•? 

E ( 'j, /■ ) = / y/i — k- sin^ Ç/ c/ti; 
«-'0 



dans des conditions semblables, elle permet le calcul de la fonc- 
tion X^u. La Table IV est empruntée au Calcul intégral de M. J. 
Fiertrand ; elle donne les valeurs du logarithme vulgaire de q pour 
les diverses valeurs de 0, de cinq minutes en cinq minutes. L'uti- 



COMPTES !ii:NI)US MT ANAI.VSIiS. 117 

lilé de ces Tables n'esL pas conleslahie; à la vérité, elles pcuvenl 
être remplacées par les séries si convergenles que l'on trouve dans 
les Formules et propositions pour l'emploi des fonctions ellip- 
tiques de M. Schuarz, séries qui fournissent dans tous les cas, 
avec une approximation très supérieure aux besoins de la pi\itique, 
les résultais dont on a besoin. ]Mais il ne pouvait entrer dans le 
plan de M. Lévy d'établir les fonmilcs sur lesquelles reposent ces 
développements en série, dont les Tables qu'il a mises à la lin de 
son Volume tiennent lieu, dans une certaine mesure; au reste, ces 
Tables conservent, dans tous les cas, leur valeur et leur utilil(; 
propres. Il eût toutefois été légitime de citer, sans démonstration, 
quelques-uns de ces développements en série, en raison même de 
leur valeur pratique; l'objet propre d'un précis élémentaire 
— et il m'a bien semblé que c'était là l'opinion de l'auteur — 
est de faire connaître au lecteur les fondements de la théorie et de 
lui en permettre l'application : il me semble qu'un dévelojipe- 
ment en série, même non démontré, peut être admis au même litre 
qu'une Table numérique qui, elle aussi, ne conlient, après tout, 
que des résultats sans démonstration. 
L'auteur part de la série 

TV-/ - . ^— ly^- '■' - '■ > 

établit les propriétés relatives aux périodes ird et la. et montre 
que ces propriétés définissent complètement la fonction cp(^) si on 
la suppose développable en une série entière en z, toujours con- 
vergente. Cette proposition même suffit à établir la décomjiosilion 
en facteurs. L'équation à trois termes est établie par la multipli- 
cation des séries. On a dès lors le moyen d'établir les propriétés 
essentielles des fonctions 3, d'où se déduisent les propriétés de 
la fonction a: celle-ci engendre par difïerentiation les fonctions ^, j). 
à côté desquelles M. Lévy définit les fondions su, en, dn. L'équa- 
tion différentielle de la fonction p est déduite du lliéorèmc d'ad- 
dition, et cette équation différentielle conduit ensuite aux équa- 
tions différentielles relatives aux fonctions sn, en, dn. Les variations 
de ces diverses fonctions ainsi que delà fonction O/sont étudiées 
avec soin, en supposant la variable réelle, ainsi que les nombres 
^ij^'a-'^s! clés tracés gi^aphiques figurent ces variations. M. Lévy 



iiH PREMlÈKli PAIITIE. 

aborde ensuite le problème de l'intégration au moyen des fone- 
tions elliptiques. 

Pour ramener, en particulier, une intégrale de la forme / —-11 

J v/x 

où X est un polvnome du quatrième degré en x, à la forme / — =y=r> 

où Y est un polvnome du troisième degré, polynôme que, dansée 
qui suit, je supposerai de la forme 4jk' — f^i}' — gz-, i' indique 
trois métbodes, dont les deux premières consistent dans une trans- 
formation fractionnaire du premier degré et supposent la connais- 
sance d'une ou de deux racines de X, dont la dernière, qui ne 
suppose pas cette connaissance, est la belle méthode fondée sur 
lidcnlilè 

• < 1 1 1 ' P" V'^ T • 1 

ou X est mis a la iMace de - ' — La comparaison de ces pro- 

cédés suggère quel(|ucs observations qui, sauf une remarque pré- 
liminaire, sont implicitement contenues dans rOu\rage même de 
M. Lévy. 

La remarque préliminaire consiste en ce que la détermination 
d'ime substitution de la forme 



ay 



3 



Y7 + 
telle que Ton ait 

en supposant que Y ail la forme indiqiu'c, 4y^ — giY — ^:(,estun 
problème entièrement déterminé quand on se donne la racine 
de \ dont dépendent les coefficients de la sulistilution ; en dési- 
gniuil j)ar x^ cette racine, et par X^, X^,. . . ce que deviennent 
les dérivées de X', X", ... de X, cette substitution est 

' X' 



mais les coefficients ^.. et «3 ne dépendent pas de la racine x^, ce 
sont les mêmes invariants g., et ^3 de la forme du quatrième degré 
\ qui > iiitiddiiiscMl dans la troisième méthode; pour calculer ces 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. m.) 

invarianls, lonclions cnlières «les coefficienls de X, il n'osi pas 
nécessaire de résoudre l'équalion X = o, en sorle qu'il ne semble 
pas utile de distinguer le cas où l'an connaît deux racines de X 
de celui où l'on n'en connaît ([uiine. l{!nfin, (|u and on dit que la troi- 
sième méthode ne sujipose pas la résolution de récjuation X = o, 

il faut s'entendre; le calcul de la valeur de lintécrale / — '—— 

revient au calcul de u connaissant p«, ce qui, comme la détermi- 
nation des périodes^ exige la résolution de l'équation ^ =o; or 
cette résolulion, sauf des extractions de racine carrée qui, ici, sont 
manifestement insignifiantes, est exactement le même problème 
que la résolution de l'équatiorv X = o. D'ailleurs, que l'on em- 
ploie la première ou la troisième méthode, la ([uantité sous le 

signe / est la même; c'est seulement le calcul des limites qui 

diffère, calcul où, dans la première méthode, intervient effective- 
ment une racine de l'équation X ^ o. C'est plutôt, à ce qui me 
semble, dans la forme élégante des résultats auxquels conduit la 
dernière méthode que réside l'intérêt de cette méthode. 

Quoi qu'il en soit, l'Auteur explique très clairenient les opéra- 
tions à faire pour effectuer les intégrations et calculer les con- 
stantes dont on a besoin, en se plaçant surtout au point de vue de 
la fonction jd, tant dans le cas du discriminant positif que dans le cas 
du discriminant négatif, ainsi que l'usage des Tables, dont j'ai 
déjà parlé, pour les calculs numériques. Des applications sont 
ensuite faites aux problèmes suivants : pendule simple, élastique 
plane, mouvement d'un projectile dans un milieu où la résistance 
est proportionnelle au eube de la vitesse (Greenhill), pendule 
sphérique, arc de l'ellipse, aire de l'ellipsoïde, résolution numé- 
rique d'une équation du quatrième degré. Revenant à la théorie, 
M. Lévj montre comment, lorsque l'on a calculé q, on peut se 
servir des séries 2r pour trouver sn«, en?/, . . . connaissant //, ou 
pour résoudre les problèmes inverses. Un dernier Chapitre con- 
cerne les applications du théorème de Cauchj sur les intégrales 
prises le long d'un contour; on y trouvera, en particulier, la for- 
mule de décomposition en éléments simples. 



Diverses Notes concernent les intégrales 



riifi ris 






,,,0 PHKiMIÈHE PARTIE. 

où X est un polynôme du quatrième degré (d'après M. de Sparre); 
la dégénérescence, quelques remarques sur l'inversion au moyen 
des fonctions de Jacobi, l'application des fonctions elliptiques 
(d'après ^I. de Sparre) à l'étude du tir des projectiles dans le cas 
de la résistance proportionnelle à la quatrième puissance de la 
vitesse et où la tangente à la trajectoire fait avec Thorizon un 
angle supérieur à 70". 

Les dilTérents Chapitres sont suivis d'exercices destinés, soit à 
familiariser le lecteur avec l'objet du Chapitre, soit à accroître ses 
connaissances en lui faisant démontrer des résultats importants 
fpii n'avaient pu trouver place dans le Précis. Enfin, les Tables 
numériques sonl précédées d'un Résumé des principales formules. 
On sent (jue l'Auteur a eu le souci de faire un livre vraiment 
utile et commode. .1. 1- 



W.-W. UOUSE BALL. — Récréations et Problèmes MATirÉMATiQiES des 
TEMPS ANCIENS ET MODERNES. 3^ édition. traflullG par .M. y. Fitz-Patrick. 
Un vol. in-8". iv-Sr? p. Paris. A. Ilermann: iBg8, 

.lai (h'jà eu le plaisir de signaler, ici même, en rSi).! ('), la 
seconde édition des inVéressdinles Récréations inathémalirjues àe 
M. W.-W. Rouse Rail. 

M. Fitz-Patrick, l'auteur-tradiicleur bien connu, vient de faire 
j)araître à la librairie Hermann une traduction de la troisième 
édition de cet Ouvrage. Ce n'est pas une traduction que je devrais 
dire mais une excellente adaptation française, car M. Fitz-Pa- 
Irick ne s'est pas contenté de transcrire le Livre de M. Rouse Bail, 
mais il y a ajouté de nombreuses et élégantes Notes qui augmentent 
encore l'intérêt de cet Ouvrage, déjà fort curieux par lui-même. 
Au risque de me répéter, et dans un pareil cas la récidive es-t 
presque de rigueur, je ne puis résister au désir de parler encore 
de ce Volume. 

W se compose de deux Parties distinctes : l'une qui contient des 
récréations mathématiques, l'aulrr réservée à l'exposition de 



(') Bulletin des Sciences nialliénialiques. i. \\ir. ^^'y- prcmicic Parlic. 
p. 105-107. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ivi 

quelques qiicslions célèbres ou de ihéories d'un cariiclère général 
quelque peu pliiloso])liique. 

LMnlcrèl delà première l^arlie réside surloui dans la variété des 
sujets et leur choix judicieux. En sept Chapitres l'Auteur passe 
en revue les paradoxes les plus fameux, des artifices arithmétiques 
et géométriques dont plus d'un est presque classique, des pro- 
blèmes de Géométrie de situation et de position, des questions 
de mécanique, de jeux, des tours de cartes. Puis, encore, les cé- 
lèbres carrés magiques, qui eurent tant de vogue au dix-huitième 
siècle, et ces problèmes de tracés continus, comme le j)roblèmc 
d'Euler sur les ponts de Kiinigsberg, qui ont donné lieu à de vrais 
travaux de haute Science. 

En relisant tout cela, j'ai été singulièrement frappé par ce fait 
que tous les auteurs, même les plus modernes, n'ont guère 
tiré parti, en traitant ces questions, des puissantes ressources que 
nous offre l'Analyse dans son état actuel. Ainsi, pour ne citer qu'un 
exemple, comment se fait-il quon ne trouve pas trace, au moins 
d'une façon apparente, d'applications de la théorie des substitu- 
tions de n lettres aux problèmes de jeux de caries? Toutes ces 
questions de déplacements, de transports, d'échanges de cartes ne 
sont-ce pas des substitutions plus ou moins déguisées? L'une des 
plus simples, de ce genre, est, me semble-t-il, la suivante : on 
prend un certain nombre de cartes; supposons, pour fixer les 
idées, quatre cartes : as, roi. dame et valet. On les place au 
hasard en ligne, face en bas, et l'on se propose de les ranger dans 
l'ordre naturel en procédant comme il suit : On tire une carte, 
mettons que ce soit la seconde (celle qui occupe la |)lacc du roi) 
et que ce soit le valet. On transporte celte carte à la quatrième 
place (celle du valet) en enlevant la carte qui s'j trouve et qui est, 
par exemple, l'as. On transporte l'as à sa place en enlevant la 
carte qui l'occupe et l'on continue de la sorte jusqu'à ce qu'on 
soit amené à tirer le roi, c'est-à-dire à tirer la carte qui doit oc- 
cuper la seconde place qui est libre. Le rapprochement de l'ordre 
initial des cartes avec l'ordre final définit une certaine substitu- 
tion et, par lopéralion que nous venons de décrire, on a mis 
un certain nombre de cartes en place en parcourant un cvcle 
de la substitution. On peut, par exemple, admettre qu'il y a 
réussilc. si Ion arrive à ran:^rr toutes le> cartes en un seul 



,•22 PIIEMIKIIK PAiniE. 

cycle ou en un nombre donné à l'avance de cycles. Une formule 
de Cauchy ('), bien connue, permettrait, dans cbaque cas parti- 
culier, de calculer la probabilité de la réussite. Mais on pourrait 
se poser, à ce sujet, des questions très variées et souvent fort dif- 
ficiles. En voici une qui se pose naturellement, si l'on veut avoir 
un jeu équitable. Soit n cartes rangées en file, au basard, qu'il 
s'agit de placer dans \\n ordre déterminé par la méthode de substi- 
tution précédente. Il y aura réussite s'il faut au plus p cycles 
pour amener les cartes dans l'ordre donné. Peut-on choisir n et/> 
de façon que la probabilité de réussite soit .7? 

Celte observation ne s'adresse évidemment pas à Al. Ilouse 
Hall que nous ne saurions, au contraire, trop féliciter pour la sim- 
plicité et l'élégance de son exposition. 

La seconde Partie du A olume comprend cinq Chapitres. L'un 
traite des trois fameux problèmes de la duplication du cube, de 
la trisection de l'angle et de la quadrature du cercle. Un autre 
est réservé à l'astrologie, un troisième à l'hyperespace, l'avanl- 
dernier au temps et à sa mesure; le dernier aux hvpothrses sur la 
matière et sur l'éther. 

Le mouvement vers la Philosophie mathémalique, qui se dessine 
actuellement en France, fera que plus dun lecteur s'intéressera 
plus spécialement à ces derniers (chapitres. Je regrette même que 
M. Rouse Bail, ou M. Fitz-Patrick, ne leur ait pas donné encore 
plus d'ampleur. 

Il y eût eu place pour plus d'un extrait des articles récents 
parus sur ces sujets, en particulier pour les remarquables articles de 
iM. IL Poincaré dans la Revue générale des Sciences et la Revue 
de Métaphysique et Morale, pour ne parler que des [)lus fameux. 

Je n'insiste pas, car je ne Aoudrais pas, en quoi que ce soit, di- 
minuer le désir que je veux inspirer âmes lecteurs de lire et relire 
cet intéressant Ouvrage. G. Bouulet. 



(') Cauciiv, Exercices d'Analyse, l. III. p. \y 



MftLANGI'S. i>3 



MELANGES. 



SOLUTION COMPLÈTE D'UNE QUESTION PROPOSÉE PAR FERMAT; 

[*AR M. 1!. I.Il'SCIIITZ. 

Fermât, dans une lettre qui est datée du 18 octobre i6'4o, mais 
dont l'adresse est supj3rimée, lettre publiée (') p. i6:>. des Varia 
opéra matheniatica D. Pétri de Fermai, a formulé le iIiéort;me 
qui portera son nom dans les mots suivants : a Tout nondjre 
premier mesure infailliblement une des puissances — i de quelque 
progression que ce soit (c'est-à-dire géométrique) et l'exposant 
de ladite puissance est sous-multiple du nombre premier donné 

— I . » 

Après avoir éclairci ledit théorème par plusieurs exemples, il 
continue ainsi : 

« Mais il n'est pas vray que tout nombre premier mesure une 
puissance -f- 1 en toute sorte de progressions. Car si la première 
puissance — i qui est mesurée par ledit nombre premier a pour 
exposant un nombre impair, en ce cas il n'j a aucune puissance 
-h 1 dans toute la progression qui soit mesurée par ledit nombre 
premier. » Et plus tard : <( En un mot il faut déterminer quels 
nombres premiers sont ceux qui mesurent leur première puissance 

— I et en telle sorte que l'exposant de ladite puissance soit un 
nombre impair, ce que j'estime fort malaisé, .... 

» ... Voici une de mes propositions . .. que j'estime beaucoup, 
bien qu'elle ne découvre pas tout ce que je cherche .... 

» En la progression double, si d'un nombre quarré, généralement 
parlant, vous ôtez 2 ou 8 ou 82, etc., les nombres premiers 
moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesu- 
reront le reste, feront l'efiet requis; comme de 2,0, qui est un 
quarré, ôtez 2, le reste aS mesurera la 1 1^ puissance — 1 ; otez 2 
de 49j le reste f\- mesurera la iZ'^ puissance — i . 



(') Dans l'édition de MM. Paul Tannery et Charles Henry (t. II. p. 206). celte 
Icllrc est portée comme adressée à t^rcniclc. 



lii l'IlK.MltHIî PARTIE. 

» Olez 2 de 2'.î5, le reste 22.3 mesurera la 87* puissance — i , olc. 

» En la progression Iriple, si d'un nombre quarré, ul supra, 
vous ôlez 3 ou 27 ou 243, etc., les nombres premiers eL moindres 
(le rmiilt- (ju lin nmllipledu qunlernaire, qui mesureront le reste, 
feront leirct requis. Comme de 25 otez 3, le i-este 22 est mesuré 
par II, qui est j)remicr et moindre de l'unité qu'un multiple 
de 4l aussi 11 mesure la o*^ puissance — i. 

» Otez 3 de 121, le reste i 18 est mesuré par 09, moindre de 
l'unité, etc., aussi 5(j mesure la 29" puissance — 1 . 

» l']n la progression quadruple il faut ôter 4 ou 64, etc., et à l'in- 
iiiii (Il loutes progressions en procédant de même façon. » 

(^omme l'on verra, la question proposée par Fermât jieut être 
décidée absolument en faisant usage des racines primitives rela- 
tives à un nombre premier impair. 

Que soient a un nombre donné quelconque positif ou négatif, 
/> un iionibic premier impair, qui ne divise j^as le nombre a; il 
s'agit de trouver la condition nécessaire et suffisante qui comporte 
l'impossibilité ou la possibilité de la congruence 

(i) «^H-i = o (modp). 

Désignons par g une racine primitive relative au module p. 
Parce que l'on a toujours 

— > = ô - {modjj), 

la congruence (1) peut être remplacée par la suivante 

o-l 1.1(1,(^3 ^. 2 ( 1110(1/; ), 

qui entraîne la congruence 

(2) :r- i lul a = :^-- (riiod/; — 1); 

d'adlcurs celle-ci n'est autre cbose (|uc l'équalion 

C^) x'\nda=i^ (i-l-.^j-^ 

poiii- les (\c[i\ nombres entiers x et r. 



.Mf:i. ANGF'S. ,25 

Que l'on dénote par -i'- la plus liauLe puissance de 2 contenue 
dans/> — I, par P un nombre impair, de manière (jue l'on ait 

/)- I = 2>-l'; 
pareillemenl soit 

indrt = gi^Q, 

où Q désigne un nombre impair. Alors l'équalion ('>) prend la 
forme 

( 4 ) t^i.''' Q = 2' -' P ( I ^ ly ). 

Cette équation est évidemment impossible ou possible, selon 
que la dillerence des exposants À — 1 — x est négative ou non. 
Donc la condition nécessaire et suffisante, sous laquelle la con- 
gruence (1) devient impossible, c'est l'inégalité 

(5) \U. 

Supposons que cl soit le plus grand commun diviseur des deux 
nombres impairs P et Q, de façon que l'on ait 

P = d?', Q = f/Q'. 

Alors l'équation {\) devient 

(6) x-i^C^=-?-n"{\^iy). 

Partant, dans le cas qu'elle est possible, où /.>>/.. les nombres 
les plus petits, qui satisfont, sont ceux-ci : 

( 7 ) X = ct'-i--''- P ■, I — 2 >' = Q'. 

Pour V comparer Ténoncé de Fermât, soit z le nombre le plus 
petit pour lequel on a 

a- — I ss o (mod^). 

Il est clair que z est déterminé par l'équation 

.; iwAa = irf/> — i ), 

iv étant un nombre entier. Cela veut dire 

ou bien 



,,^0 FIIEMIÉKE PARTIR. 

Or les nonil)rcs les plus petils z et w y sont délerminés comme 
il suit : 

Pour A^y-, on a 

poiii- ), >■ •/. 

z = ?:'--^V', (r = Q'. 

Dans le premier cas, où la congruence (i) est impossible, :; est 
im[)air; clans le second, où la congruence (i) est possible, z est 

|);iir. cl - exprime selon ( j) la valeur la plus petite du nombre x, 

comme Fermai Ta dit. 

IV^iir arriver au but de déterminer, le nombre a étant donné, 
tous les nombres premiers impairs/), qui font impossible la con- 
gruence (i), on peut maintenant enfder le chemin suivant. Si, 
à jjropos de l'équation ind^^a'^Q, nous désignons par u le 
nombre correspondant à l'indice impair Q par rapport au module 
premier/?, il est évident que u doit être un non-résidu quadra- 
tique respectivement au module/?, et que réciproquement à un 
non-résidu // appartiendra toujours un indice impair. 

Cela étant, de l'expression mentionnée de l'indrt décoide la 
congruence 

(8) "'-''■ — « iis o (modp), 

où le nombre u est nécessairement non-résidu quadratique par 
rapport au module p. Comme, de l'autre côté, on a/? — i =: a^P, 
où P est impair, et que la congruence (i) devient impossible sous 
la condition (5) et seulement sous celle-ci, les nombres premiers/?, 
pour lesquels la congruence (i) est impossible, sont ceux et exclu- 
sivement ceux chez lesquels, dans la congruence (8), u est non- 
résidu quadrati([ue par rapjjort au module/? et rex|)osant ), plus 
pclil ou égal à Texposanl •/.. 

\u (pic l'exposant A a sa valeur la plus pctile, cesl-à-dire de 
l'unité, l'exposant /. doit être de même égal à l'unité ou plus 
grand qu'elle. On est conduit par là à formuler avec le nombre 
donné a l'expression s- — «, où l'on pose pour 5 successivement 
tous les nombres i, a, 3, — Admettons que la décomposition du 
i('sull;il (Il puissances de nombres premiers diUV-rcnts donne 



MELANGES. 

['('^([iial ion 



yVu cas où s csl égal à mi carré, on |)oiiL cxpi-inier s à l'aide de 
la base de ce carré cl, s'il le faut, ainsi de suite, jusqu'à ce que 
l'on ait pour 5 une expression l-^^ où t n'est pas égal à un carré. 
En l'introduisant, l'expression mentionnée (y) prendra la forme 

(9*) t^^^'~a=±;^p^.p%.... 

Pour rapprocher celle équation de la congruence (8), il l'aul 
examiner le nombre t successivement par rapport aux nombres 
premiers impairs /?(, /^^ •••• Après j avoir élu un nombre fpiel- 
conque/>,„, supposons que t soit résidu quadratique respectivement 
au module/)/^; alors on peut remplacer t par rapport à ce module 
par le carré d'un nombre convenablement choisi, et ainsi de suite, 
jusqu'à ce que l'on ail remplacé t par une puissance ;/,;f"', où i/,„ 
est non-résidu quadratique pour le module/),,,. L'équation (9) 
donnera alors la congruence 

(10) ?/ 2 ;"*^^"' ^ ' — « = o (m o dp ,„ ) : 

donc en supposant y>,„ — 1 = a^-mP,,,, où P,„ est impair, pour le 
nombre premier p,n la congruence (i) sera impossible on non, 
selon qu'on aura À,„^T + P/«+i ou non. Efant traités de ladite 
manière tous les nombres premiers y?, , /;j, ..., la question pro- 
posée se trouvera complètement résolue. 

La solution complète expliquée de la question proposée par 
Fermai permet une conclusion générale. Vu que les nombres dé- 
notés par T ou par p,,^ sont positifs ou nuls, mais jamais négatifs, 
la condition X^^^t -{- p,„+ i se trouve toujours remplie, au cas où 
A,„ est égal à l'unité, c'est-à-dire où p,,/ — i = 2P,„, P,,^ étant 
impair = 2R„, + 1, partant au cas où /j,,, = 4 R,7,+ 3. Voilà le cas 
de la règle exprimée par Fermai, que p„i soit un nombre premier, 
qui est moindre de l'unité d'un multiple du quaternaire, et qui 
mesure l'expression s- — a. 

Pour les valeurs a = zt 2, ±3, ±5 j'ai discuté les valeurs de 
l'expression s- — a pour la série des nombres naturels .v = i , 
2, ..., 3i. Le terme 3i a été Indiqué par le dessein que la valeur 



,^8 PKEAlli-llE PAllTIH. 

(Je 5- — a ne surpasse pas la valeur de looo, le calcul étant bien 
facilité par l'aide du Canon arithmeticus de Jacobi. Les nombres 
premiers p résultant du calcul désigné, pour lesquels la con- 
gruence a^-\- i^o (mod/>) devient impossible, et qui ne sont pas 
embrassés par la règle de Fermât, sont les suivants : 

Pour 

a = V», p = 89, 337, 

a = — 2. p — -iSi, 

^f = 3, /> = i3, 

a =^ — 3, P = ^7-1 137, 61, 

a = 5, T' = '09, 181. 

a = — '). p = Qi, ug. 



C.OMPTHS HKxNDUS KT ANAI.VSIIS. . 7.) 

coMj^TES ki<:ni)us et analyses. 



LILIENTIIAL ( IL v.i. — Grlndi.agkn kinkr Kiuj.mmi N(;si,KmiK i)i:n Ciuvkn- 

sciiAAHKN. In-8", vii-iiî p. Lei|)ziii;, Toubiier, \HtjG. 

Si l'on considère dans l'espace une série de courbes dcnendanl 
d'un ou de deux paramètres, elles l'orment une suile siniplcnient 
infinie el engendrent une surface lorsqu'elles dépendent d'un seul 
paramètre; elles forment une suite doublement infinie el engen- 
drent une congruence de courbes lorsqu'elles dépendent de deux 
paramètres. 

L'étude d'une suite simplement infinie de courbes se confond 
évidemment avec celle de la surface qu'elles engendrent et des 
diftérents s_yslènies de coordonnées curvilignes propres à définir 
les points de cette surface ; au contraire, la théorie des congruences 
de courbes est relativement nouvelle et elle peut donner naissance 
à un grand nombre de propositions intéressantes. 

Dans l'Ouvrage qu'il vient de publier, M. v. Lilienlhal s'est 
occupé des deux séries de courbes que nous venons de définir et 
s'est proposé plus parliculièrement d'étudier les propriétés qui 
concernent la courbure. Une première Partie très courte fait con- 
naître ce qui concerne les familles à un seul paramètre, soit dans 
le plan, soit dans l'espace; nous j signalerons les notions essen- 
tielles sur la courbure normale, la courbure géodésique, sur la 
courbure totale de Gauss, sur les paramètres différentiels de Lamé 
et de Beltrami. Cette première Partie doit être considérée comme 
une espèce d'introduction propre à préparer le lecteur à l'étude 
plus difficile des congruences de courbes. 

La seconde Partie traite des congruences de courbes, consi- 
dérées comme définies par des équations en termes finis. L'auteur 
y développe une théorie nouvelle, toute semblable à celle d'Euler 
sur la courbure des surfaces. Cette théorie repose surtout sur 
l'emploi des trajectoires orthogonales des courbes de la congruence. 
Il y a ici des lignes analogues aux lignes asymptotiques, il y a 
deux espèces difTérentes de lignes de courbure, des théorèmes 
analogues à ceux d'Euler sur la théorie des surfaces, etc. J^'Au- 

Buli. des Sciences inathém., 2' scrie, l. Wll. (Juin iSijS.) i» 



,3o PUEiMIËRE PARTIR. 

leur applique celte théorie aux systèmes de rayons rectilignes et 
retrouve ainsi comme cas particulier de ses propositions i^éné- 
rales les belles propriétés tpie la Science doit à Kumnier sur ce 
sujet. Peut-être ces propositions fî^énérales auraient-elles gagné en 
intérêt et en simplicité, si M. v. Lilienthal les avait rattachées à 
celles do Kummer sur les rayons rectilignes. H suffit pour cela 
d'opérer de la manière la plus simple et d'introduire pour chaque 
point de l'espace la congruence rectiligne suivante. On construit 
le plan normal en ce point à la courhe de la congruence et l'on 
mène les tangentes aux courbes infiniment voisines dans le point 
même où elles rencontrent ce ])lan. On obtient ainsi la con- 
gruence rectiligne que nous voulions indiquer et dont toutes 
les propriétés infinitésimales conduisent à celles qui ont été si 
bien étudiées directement par l'Auteur. Après la théorie générale 
viennent d'assez nombreuses applications dans lesquelles l'Auteur 
choisit des coordonnées spéciales ou démontre des propositions 
de MM. Guichard, Ribaucour et Weingarten. 

l.a troisième Partie de l'Ouvrage traite encore des congruences 
de courbes; mais on les suppose maintenant définies par des équa- 
tions dill'érentielles. Il y a là des applications de la théorie nou- 
velle instituée par l'Auteur, des déterminations directes des élé- 
ments définis dans la seconde Partie, l'indication des moyens 
par lesquels on exprime que la congruence de courbes rentre dans 
certaines catégories spéciales, etc. 

La méthode suivie par l'Auteur est purement analytique; elle 
repose principalement sur l'emploi de la dlfTérentiation suivant les 
courbes considérées et par rapport à leur arc, opération qui pré- 
sente un cai^actère invarialif et permet d'écrire les formules avec 
simplicité. 

Ce compte rendu permettra à nos lecteurs de se rendre compte 
de la nature et des caractères distinctifs du nouvel Ouvrage de 
Géométrie infinitésimale de M. v. Lilienlhal. G. D. 



COMPTI'S RKNDUS K T ANALVSIÎS. 



WOLFGANGI BOLVAI DE BOLVA Ti;nt\mi:n juvkntutem studiosam in 
elementa Matlioscos ])ur;o elemenlaris ac suhliinioris melhodo iiiluiliva evi- 
dentiaque huic propria introduccndi cum appondi(-c Iriplici. — Edilio 
secunda, tomus I : (lonspectiis arillimcliciP gencralis niaiidato Acadomia; 
Scienliarum llungarica> suis adiiotationibiis adjectis ('didcrunt Jli.ils Konk; 
et jMaliucus Rktiiv. Ac. Se. Ilung. Sodales. Acccdil cfligics aiictoris. 
MDCCCXCVII, in-4", xii-679 p. XF Tab. Budapestini, sum[)libiis Academiac 
Scientiarum Hungaricœ (Paris. GauUiier-Villars); 

Tous ceux qui suivent avec attention le dévelo])pement de Ja 
Science mathérnalique peuvent constater quelle place, de plus en 
plus grande, prennent dans l'attention des géomètres les recherches 
de toute nature relatives à la Géométrie non euclidienne. Le temps 
est loin où notre regretté collaborateur J. Hoiiel était presque 
seul à signaler la haute importance des travaux de Gauss, de Lo- 
batchefsky, de Boljai. Tout le monde se rend compte aujourd'hui 
que les études entreprises sur les fondements même de la Géomé- 
trie ont la plus haute importance philosophique ; que, seules peut- 
être, elles sont de nature à nous donner des clartés nouvelles rela- 
tivement à l'origine et à la formation de nos connaissances. On 
se rappelle les honneurs que, sur l'invitation de la Société physico- 
mathématique de Kasan, les géomètres du monde entier rendaient 
à N. Lobalchefskj ('). On ne s'étonnera donc pas que l'Académie 
hongroise des Sciences de Budapest ait considéré comme un 
devoir de mettre en lumière les travaux jusqu'ici trop peu connus 
des deux Bolyai et ait songé à nous donner tout d'abord une édi- 
tion du Tentamen de Wolfgang Bolyai. 

Déjà, dans la traduction que notre collaborateur M. Laugel a 
donnée ici même en août dernier de l'article quelMM. l\iul Stâckel 
et F. Engel ont consacré à Gauss, aux deux Bolvai et à la Géo- 



(') Dans sa séance du 3 novembre dernier, la Société de Kasan vient de dé- 
cerner pour la première fois le prix Lobalchefslîy et, sur le rapport de M. F. 
Klein, elle l'a attribué aux importantes recherches de M. Lie sur les principes de 
la Géométrie contenus dans le Tome III de la Théorie der Transformations- 
gruppen. Elle a décerné des mentions honorables à M. L. Gérard pour sa Thèse 
sur la Géométrie non euclidienne, à M. E. Cesaro "poxiT ses Lezioni di Geomelria 
intrinseca et à .M. G. Fonlené pour son Ouvrage L'hyperspace à n — i dimen- 
sions. 



,3,. PRE.MIÉIIE PARTIE. 

mélrie non euclidienne, article qui nous apporte tant de rensei- 
gnements intéressants, tant de documents inconnus jusqu'ici, il 
avait été dit un mot de cette édition du Tentamen. Bien qu'elle 
ne soit pas encore complète, nous nous reprocherions cependant 
de ne pas la sig^naler dès à présent, et d'une manière tout à fait 
particulière, à nos lecteurs. Rarement une œuvre de savant a été 
éditée avec autant de luxe et autant de soin, et MM. J. Kœnigs et 
Réthv, auxquels l'Académie des Sciences avait confié le soin de 
publier cette seconde édition du Tentamen, ont justifié de la ma- 
nière la plus éclatante la confiance qui leur était témoignée. Dans 
une préface écrite en latin, ils indiquent avec le plus grand soin les 
règles qu'ils ont suivies dans la publication nouvelle, et qui n'ont 
d'autre but que de respecter la pensée de l'Auteur en rendant aussi 
facile que possible la lecture de l'Ouvrage. Pour la publication, le 
Tentamen a été divisé en Sections. Celles qui sont publiées au- 
jourd'hui et qui forment le premier ^ olume tout entier embras- 
sent l'ensemble de l'Arithmétique. Elles contiennent les premiers 
principes de l'iVrithmétique, du Calcul différentiel et intégral, de 
la théorie des équations. Les signes et les notations de Boljai ont 
été scrupuleusement respectés. Les annotations nombreuses des 
éditeurs, ainsi que les figures dessinées par ^L le professeur To- 
tossj, ont été rejetées à la fin. 

Nous reviendrons sur l'ensemble quand la Géométrie aura paru. 

G. D. 



Gaston DARBOUX, Membre rie l'InslitiU, Doyen de la Faculté des Sciences. 
— Leçons sur la Théorie générale des surfaces et les applications 
géométriques du calcul infinitésimal. t. iii et iv. 

1. Depuis deux ans que sont parus les deux derniers Volumes 
des Leçons sur la Théorie des surfaces, le public mathématicien 
a pu apprécier quelle somme de matériaux se trouve accumulée 
dans cet Ouvrage et quel art a présidé à la coordination d'élé- 
ments parfois disparates. Grâce à cette œuvre, qui marque l'étape 
accomplie dans ce siècle par la Géométrie infinitésimale, depuis 
les Traités de Monge et de Dupin, les géomètres ont aujourd'hui 



r.OMPTMS lU'NDUS I- l' ANALVSI'S. i33 

sous la main les résultats jusque-là dispersés dans des centaines 
de Mémoires et publiés dans les Recueils périodiques français ou 
étrangers les plus divers. 

Mais ce qui frappera certainement le plus vivement, c'est la 
façon dont l'auteur a su rattacher à quelques idées ou j)rincipes 
simples l'ensemble innombrable des faits épars; c'est le savoir 
et aussi le savoir-faire qu'il aura su y déployer sans prétention, 
sans emphase, sans dogmatisme excessif, en évitant surtout 
cet écueil banal de l'esprit de système où l'on voit parfois une 
main savante mais lourde faire tomber le gouvernail. 

La question du goût dans les écrits mathématiques arrête rare- 
ment la critique. On est plus pressé de louer les résultats acquis, 
la solidité de la forme, les généralisations hardies. Cependant l'es- 
prit de système, les généralisations inutiles, la lourdeur, la diffu- 
sion, que l'on confond quelquefois avec la rigueur logique, té- 
moignent d'un manque de goût. C'est l'absence de goût qui rend 
parfois indigeste, ennuyeuse telle doctrine mathématique jusqu'à 
ce qu'un homme de goût lui donne la base la plus accessible à la 
raison et la forme qui plaît à l'esprit. Mais il n'est pas fréquent de 
trouver uni à la force, qui peut démontrer et trouver, ce goût qui 
sait discerner. 

Ceux qui auront lu ces Leçons auront été mis à même d'appré- 
cier ce que peut donner l'esprit de généralisation appliqué avec 
puissance, mais aussi avec justesse et mesure. Ils auront eu 
des exemples de rigueur élégante. Ils auront éprouvé les surprises 
des rapprochements inattendus, mais que devait naturellement 
amener une science plus ingénieuse et plus profonde. Ils auront 
vu à l'œuvre une méthode alerte et forte, cherchant droit son 
but et l'atteignant avec grâce. 

2. Les deux, derniers \ olumes dont nous allons rendre compte 
contiennent les Livres \L Wl et \ III de l'Ouvrage. 

Le Livre VI traite des lignes géodésiques et de la courbure géo- 
désique. 

Le Livre VII a pour objet le problème général de la déformation 
des surfaces. 

Enfin, le Livre ^ III, d'une étendue exceptionnelle, puisqu il 
occupe à lui seul tout le Tome l\ , a trait à la déformation infini- 



,J4 PREMIÈRE PARTIE. 

ineiil nelile et à ses connexions avec la représenlalion sphé- 
riqiie, question loute récente et qui doit à l'auteur ses prin- 
cipes les plus essentiels. 

Livre VI. — Lignes géodésiques. 

3. Rappelons d'abord que dans le Tome II, au Livre V, con- 
sacré aux lignes tracées sur une surface, la question des lignes 
'-codésiques avait été déjà abordée, ainsi que la question connexe 
des familles de courbes parallèles. L'extension de celte question 
aux cas de plusieurs variables avait conduit Fauteur à écrire une 
iniportautc digression eu trois Chapitres sur la méthode de Jacobi, 
sur sou interprétation géométrique et sur les équations générales 
de la Dynamique. 

Dans le Livre Vî, M. Darboux rc[)rend la question des lignes 
géodésiques, pour s'attacher, en premier lieu, aux procédés d'in- 
tégration de l'équation différentielle de ces lignes et aux pro- 
blèmes divers que soulève l'étude de ces procédés. 

Ainsi, la méthode de Jacobi amène naturellement les géodé- 
si([ues des surfaces de révolution et plus généralement de celles 
dont le ds- est réductible au type de Liouville. L'ellipsoïde rentre 
dans ce type, qui prête du reste, par ailleurs, à une généralisation 
des propriétés des coniques, par le moyen de ce que Dini appelle 
des coniques géodésiques. 

i. La recherche d'une intégrale fait naître toutes les questions 
relatives aux cas où l'une ou mcme plusieurs de ces intégrales 
sont algébriques et, plus particulièrement, linéaires ou quadra- 
tiques par rapport aux vitesses. Ces divers cas donnent lieu à 
d'importants développements qui tiennent plusieurs Chapitres, où 
se trouvent résumées les recherches de Bour, Bonnet, TMaurice 
Lévy, sur les intégrales algébriques homogènes par rapport aux 
vitesses. 

Nous ne saurions passer sous silence l'élégant Chapitre qui a 
pour litre : /)e la représentation géodésique de deux surfaces 
r une sur V autre. Le problème dont il s'agit consiste à repré- 
senter, point par point, deux surfaces l'une sur l'autre avec cor- 
respondance des lignes géodésiques. Ce jiroblème, liaité d'abord 



r.OMPÏIÎS HKNDUS l'T ANALYSES. \ii 

par Bellrami clans le cas des surfaces à courbure conslanlc, Ta él('^ 
ensuile dans le cas général, par Dini. On relombe sur les ds- de 
I^iouville, sauf le cas d'exception de Lie. L'auleur ne se borne pas 
à la solution élénioulaire et classique qui repose sur un beau lliéo- 
rcnic dû à M. Tissol; il porte la question sur un terrain beaucoup 
plus étendu et la généralise en la forme suivante : Trouver toutes 

les fonctions fin, *', f') <>à r' z= -^ , telles que le problème de 

variations relatif à I intégrale 



j f(u, (', v' ) du 



se résolve par l' intégration d'une é<iuation du second ordre 

DO>']NF.E 

v" = '-^i II, V, v'). 

La conséquence remarquable à laquelle on parvient, c'est que 
si l'on sait intégrer cette équation du second ordre, la détermina- 
tion générale de la fonction /' n'exigera que des quadratures. 
L'application aux problèmes de Bellrami et de Dini en fournil les 
solutions sous une forme élégante et presque intuitive. 

5. La question du plus court chemin entre deux points sur une 
surface a exercé la sagacité des plus habiles géomètres. J^'auteur 
l'analjse en un Chapitre extrêmement instructif et dont la porlée 
pourrait sans aucun doute être étendue à d'autres questions de va- 
riations. L'auteur expose en premier lieu les résultats classiques 
de Jacobi et d'Ossian Bonnet qu'il complète eu certains points. 
Notons l'emploi qui est fait en cette étude des recherches, un peu 
oubliées, de Sturm sur les équations différentielles du second 
ordre et principalement sur le zéro des solutions de ces équations. 

G. Dans le Chapitre consacré aux cercles géodésiques, AL Dar- 
boux a, ou peut le dire, renouvelé et donné un véritable corps à 
la théorie de ces lignes avant lui peu étudiées, et qui offre cepen- 
dant un si profond intérêt. Élargissant son point de vue, l'auteur 
arrive à généraliser le problème sans augmenter sensiblement sa 
difficulté : le problème généralisé se formule en ces termes : 

Trouver les lignes (F) dont la courbure géoclésiquc est, en 



jîC, ï> |{ F. M 1 i: IU-: PARTI H. 

cluKIiii' point (le la surface, une fonction donnée des coor- 
données de re point 1' ( U, r). 

Il est loiil à tai[ cligne de remarque que l'on puisse, comme le 
nionlre rauleur, (aire dépendre la question d'une équation aux 
dérivées j)arlielles du premier ordre et du second degré, comme 
l'avait fait Jacohi tians le cas particulier des géodésiques, cas 
où F est nul. Le cas où F est constant est celui des cercles géodé- 
siques. Les analogies avec les lignes géodésiques sont d'ailleurs 
iiouihreuses et mthiie dans le cas où F est une fonction quel- 
coiirpie, les courbes (F) fournissent la solution de certains pro- 
hlèines de variations, f^e lecteur admirera dans ce Chapitie 
comment, avec l'appareil le plus simj)le. sans compliquer pour 
ainsi dire les formules, en conservant presque toutes leurs pro- 
priéi(-s, l'auteur a su pousser la question à sa suprême généralisa- 
tion. 

7. .Signalons encore deux Chapitres qui complètent et para- 
clirvent cette féconde théorie des lignes géodésiques, qui aura 
fourni d'aussi beaux motifs à l'auteur. D'abord le Chapitre 
([iil iiaite de la courbure géodésique en général et contient le 
beau théox'ème de Gauss d'après lequel la courbure totale d'un 
triangle géodésique est égale à l'excès sur tz de la somme de ses 
angles. En second lieu, le Chapitre consacré aux triangles géo- 
di'siques et au théorème de Gauss sur les petits triangles géodé- 
si(pies. L'auteur est naturellement amené à parler des nombreuses 
et |)i()fondes recherches qui ont été faites dans ces vingt dernières 
années sur les triangles géodésiques. 

Dans son Ali'-moire inséré en i8()8 aux Abhandlungen de 
Berlin et iiiiiiiih* : Allgenieine Théorie der geodâtischen 
hrciecLe, M. ChrislofTel a émis, entre autres idées neuves, celle 
de classer les surfaces d'après le nombre des relations pouvant 
exister entre les six éléments (angles et côtés) d'un triangle géo- 
désique; il proposait quatre classes selon qu'il existait o, i , 2 ou o 
relations entre ces six éléments. L'idée était ingénieuse et pro- 
fonde puisqu'elle tendait à classer les surfaces d'après un de leurs 
éh'mcuts les plus essentiels, les triangles géodésiques. Malheu- 
reusement celte classification de ChristoflVI conduil prnliquement 



COMI'TKS Kl' M) Il S Kl A N A I. VSKS. 137 

à un résultat qui lui ùfc heaucoup de son intérêl. l£n i88st, 
-M. \Veint;arten a en ellcl dénionlrt' qu'il n'y a en réalité que 
trois classes et non pas quatre et que les troisième et quatrième 
classes de ChristofTel n'en forment (ju'une, à savoir celle des sur- 
faces de courbure constante. IMus tard, M. von INlangoldt a (ait voir 
que la seconde classe de ClirislofTel ne comprend que les surfaces 
applicables sur les surfaces de révolution. De la sorte, en dehors 
des cas des surfaces de courbure constante et des surfaces appli- 
cables sur des surfaces de révolution, il n'y a généralement 
aucune relation entre les six éléments d'un triangle géodésique. 
M. Darboux tire de considérations géométriques aidées de déve- 
loppements en série une démonstration relativement courte de 
ces propositions si cachées. 

Livre \U. — La défonnalion des surfaces. 

8. Poinsot a mis, en tète de sa Théorie nouvelle de la rota- 
tion des corps, cette première phrase : u I oici une des questions 
qui m'ont le plus occupé et, si l'on me permet de parler ainsi, 
une des choses cpie j\ii le plus désiré savoir en Dynamique. 

Combien de géomètres en ont pu dire autant de la déformation 
des surfaces, à commencer par l'illustre Gauss qui se proposa le 
premier le problème et lui apporta les contributions les plus 
essentielles. Pas un n'y a trouvé cette satisfaction complète et 
presque orgueilleuse qui éclate dans les pages où l'habile et élé- 
gant Poinsot a exposé sa désirée et presque irréprochable solu- 
tion. 

Le progrès de la Science recule chaque jour l'accès de ces sa- 
tisfactions parfaites. On sait aujourd'hui aller plus vite au fond 
des choses et ce sont les vraies difficultés que l'on élreint. La 
déformation des surfaces est de celles-là. L'impossibilité aujour- 
d'hui reconnue d'intégrer l'équation différentielle du problème 
dans le cas général, le nombre si restreint des cas où cette intégi'a- 
tion aboutit, les difficultés mêmes des questions connexes, tout 
cela, heureusement, n'a pas découragé les géomètres. 

On a étudié le problème sous les faces les plus diverses; à 
son propos on a introduit les conceptions les plus ingénieuses et 
les plus imi^révues, créé des méthodes fécondes; aussi est-il vrai 



i38 PREMIÈRE PARTIE. 

de dire que sur celle équation inintégrable, sur ce roc stérile, les 
géomètres les plus illustres ont élevé un monument génial, un 
temple à la Géométrie cachée, Deo ignoto! 

*J. L'élude de la déformation des surfaces implique des calculs 
considérables qui seraient inabordables sans l'emploi des para- 
mètres difTérentiels dont l'étude remonte à Lamé et Bellrami. 
C'est par l'étude de ces paramètres que s'ouvre le Livre VIL 
L'auteur les fait immédiatement servir à la solution de ce pro- 
blème résolu par O. Bonnet : deux surfaces étant données, recon- 
naître si elles sont applicables l'une sur l'autre. 

D'après le célèbre théorème de Gauss, la courbure totale doit 
être la même aux points correspondants. Alors s'offre naturelle- 
ment la distinction du cas où la courbure totale est partout 
constante et a même valeur pour les deux surfaces. Il se trouve 
qu'en ce cas l'applicabilité s'ensuit d'elle-même et que celte 
applicabilité peut être réalisée d'une infinité de façons. La solu- 
tion du problème repose sur la connaissance supposée des géodé- 
siques de la surface. Or, d'autre part, la détermination des géo- 
désiques d'une surface donnée, dont la courbure est constante, 
dépend d'une équation de Riccali. C'est donc d'équations de 
Riccali que dépendra l'application effective l'une sur l'autre de 
deux surfaces qui ont même courbure constante. 

Si la courbure des deux surfaces S, ^, n'est pas constante, l'éga- 
lilé des deux courbures aux points correspondants fournira une 
première équation 

?(", (•) = çi(«i, t'i). 

Si ']>(//, r) est un autre invariant, représenté par 'i;)(//i, Ti ) sur 
la seconde surface, on devra avoir 

et alors, en représentant par Acp, A(cp, -L), A-i/ les paramètres dif- 
férentiels relatifs aux fonctions cp, <l sur les surfaces S et en met- 
l;iril l'indice i pour les mômes invariants sur la surface S,, l'appli- 
cabilité exige qu'on ait 

Ao = A,o,, A(-^,';.) = A,('fi,'^i ), A']/ = Ai'Li; 

ces équations supposées vérifiées assurent du reste l'applicabilité. 



CO-MPIES KI;M)US Kï ANALVSKS. lîf) 

Tout revicnl donc à Irouver un in v.iriiiiiL 'l(i(, i), dislincl de la 
courbure o. On pourra prendre 'l = \o, '!;, = A, cp,. Il n'y aurait 
d'objection que si l'on avait A'^ = J(cp). Mais la iho^orie des para- 
mètres difTérentieis vient encore aisément à bout de ce cas parli- 
culier. 

Comme a|iplication, laulcur étudie les eondilions d applicabi- 
lité d'une surface réglée sur une surface de révolution. Il cherche 
ensuite dans quel cas deux surfaces réglées peuvent s'appliquer 
l'une sur l'autre sans correspondance des génératrices rectilignes. 
Le résultat, c'est que ces deux surfaces sont toutes deux appli- 
cables sur une même surface réglée du second degré, avec cor- 
respondance des génératrices rectilignes aux génératrices recti- 
lignes de fun des systèmes de la quadrique. 

10. Après ces intéressantes applications, l'auteur pénètre au 
cœur du sujet en reprenant la démonstration des belles et capitales 
formules que Gauss a données dans son Mémoire : Disquisitiones 
circa superficies car^'as. 

M. Darboux rappelle d'abord que la question de la détermina- 
tion des surfaces applicables sur une surface donnée ou qui ont 
un ds- donné fut mise au concours en 1 809 par l'Académie des 
Sciences. « // est curieux toutefois, ajoute-t-il, de remarquer 
qu^ une étude attentive du Mémoire de Gauss devait conduire 
immédiatement et sans effort à l'équation aux dérivées par- 
tielles du second ordre des surfaces applicables sur une sur- 
face donnée ». Et, en effet, après avoir établi les formules de 
Gauss, M. Darboux montre qu'il suffit d'un léger complément 
pour obtenir un ensemble équivalent aux fameuses formules de 
Codazzi. 

Il suffit, pour cela, de prendre comme variables auxiliaires les 
trois déterminants D, D', \^" de Gauss qui interviennent dans l'é- 
quation différentielle 

E) f/?/,- -f- -2 D' du dv -4- D" dv- = o 

des lignes asymptotiques. Par l'élimination de ces trois auxiliaires 
on arrive, au contraire, à l'équation aux dérivées partielles du se- 
cond ordre que vérifient les coordonnées rectangulaires d'un point 
de la surface. Il y a du reste bien des façons de former cette équa- 



,,',o PHH.MIEHE PAiniK. 

lion du second ordre, aussi bien que celle que vérifie le rajon 
vecteur d'un point de la surface. L'auteur lui-même, dans son 
-Mémoire : Sur une classe remarquable de courbes et de sur- 
faces a indiqué, il y a déjà longtemps, une méthode très simple 
qui consiste à exprimer que le ds- 

cIj- -^ dy- = ds- — dz- 

convient au plan ot le ds- 

jc\« • o A 7 r/s-'— d/-^ 

du-— SI 11- 6 ao- = 

/•- 

à la sphère de rayon i. Ces mélhodes diverses font l'objet du 
Chapitre l\ . 

11. Le Chapitre qui suit est un des plus importants de cette 
Partie; il a traita l'étude fondamentale de l'équation du second 
ordre dont nous parlons plus haut et au rôle que jouent les carac- 
téristi(|ues qui, dans l'espèce, sont les asymptoliques de la surface. 
I^e problème de Cauchy est la clef de cette théorie; selon la façon 
dont on le présente, il prend des formes et des interprétations 
géométriques difTérentes et donne ainsi la solution de questions 
très variées. Comme par exemple : Une surface (S) étant donnée, 
Ja déformer de sorte qu'une courbe (F) tracée sur (S) vienne 
coïncider avec une courbe (D) donnée. Ou bien encore : 

Etant donnée une courbe (D) et une développable (A) circon- 
scrite à (D) est-il possible de déformer une surface S de sorte 
f|u'elle vienne passer par (D) tout en étant tangente à (A) en 
chaque point de la courbe (D)? Si ( D) est l'arête de rebrousse- 
menl de A, il y a impossibilité, à moins que la courbe (D) ne 
vérifie une certaine relation de la forme 

do d-. r/2- d^-z 



r d^ _ d-. r/2 - d^-z \ 
y ^ ds '' ds ds'^ ds^ ) 



où 5, p, t sont Tare et les deux courbures de la courbe (D). 
CiOmme alors la courbe (D) est une asymptotique sur la surface, 
on voit que les asymptoliques des surfaces applicables sur une sur- 
face donnée vérifient toutes une même relation de la forme ci-dessus 

<I> =; o. Si la courbure de la surface est constante et éffale à r> 

O rit 



COMPTHS HLÎNDUS KT ANALYSES. i.|, 

réqualion ci-dessus se réduit à la fonne simple 



Nous indiquons on passant cet exemple dans son détail pour 
bien marquer combien l'auteur sait à propos appliquer les théories 
les plus générales et choisir dans le nombre les applications 
qu'elles donnent avec le plus d'élégance et de facilité. Au fond, 
il n'y a pas de théorie générale si parlaite qu'elle s'applique égale- 
ment à tout : chacune s'adapte à des problèmes d'un caractère 
déterminé, et c'est l'art du géomètre de savoir les choisir. 

Le rôle que jouent les asymptotiques dans la question de la 
déformation amène l'auteur à se poser le problème suivant : 

Un ds- étant donné 

ds- — E du- -f- 2 F du dv — G di'-, 

que faut-il pour que u, c soient les paramètres des asymptotiques 
de l'une des surfaces qui admettent ce ds'-? Les paramètres diffé- 
rentiels fournissent les deux équations de condition sous une 
forme relativement simple. 

Parmi les conséquences qu'en tire l'auteur, signalons celle-ci : 
La connaissance d'une famille d'asymptotiques d'une surface qui 
a un ds- donné entraîne la connaissance de la seconde famille. 

12. Après un élégant Chapitre sur la déformation des surfaces 
réglées, question tout à fait classique et que les recherches d'une 
quantité de géomètres semblent avoir épuisée, l'auteur aborde 
l'étude beaucoup plus neuve des beaux théorèmes où M. Wein- 
garten a fixé le rôle, dans le problème de la déformation, des sur- 
faces dont les rayons de courbure sont liés par une relation. 
Après avoir démonlré par l'Analvse et par la Géométrie ces cu- 
rieuses propositions, M. Darboux fait voir comment elles condui- 
sent à la détermination complète des surfaces applicables sur le 
paraboloïde de révolution. 

Gomme les propositions précédentes mettent en jeu la surface 
des centres, l'auteur, en vue de poursuivre diverses conséquences 
de ces propositions, consacre au préalable tout un Ghapitre à 
l'étude de la surface des centres dans le cas le plus général. Il 
donne notamment un Tableau de formules qui seront de la plus 



,4^ PUEMIERE PARTIE. 

«Grande utiliu- aux géomèlres qui voudront enlreprendre sur ce 
suiel des rechcrclies de Géom(.Hrie générale. M. Darboux en lire 
diverses propositions concernant Tordre du contact des deux sur- 
faces de centres de deux surfaces qui ont elles-mêmes un contact 
d'un ordre donné. 

Le cas où les lignes de courbure se correspondent sur les deux 
nappes de la surface des centres amène cette remarque de Ribau- 
cour : (lue la difl'érence des ravons de courbure principaux est 
alors constante. 

Au même ordre d'idées peuvent être rattacliés les théorèmes 
de Laguerre et de Beltrami concernant les congruences de nor- 
males définies en fonction du point où chaque normale perce une 
surface donnée. Ces considérations trouvent une extension dans les 
systèmes cycliques qui, après les recherches de Ribaucour et de 
M. Darboux, ont pris une place si importante dans le problème 
de la déformation. 

Si des cercles tracés chacun dans le plan tangent d'une 
surface'ï. et formant, par suite, une congruence ou ensemble 
à deux paramètres, sont normaux à une famille de surfaces, 
ils restent encore normaux à une famille de surfaces lorscjue 
la surface - se déforme en entraînant ses plans tangents avec 
les cercles qui y sont tracés. Ce beau théorème de Ribaucour a 
été complété de la manière la plus élégante par cet autre théo- 
rème de -M. Darboux : 

Pour trouver le système cyclique le plus général formé de 
cercles situés dans les plans tangents dune surface S, on 
prendra une surface cjuelconciue -' applicable sur ^, et l'on 
construira tous les cercles C qui sont à V intersection des plans 
tangents à S' et dUine sphère fixe de rayon nul. Si la sut face 
S' se déforme pour venir coïncider avec S, la congruence des 
cercles C se transforme dans le système cyclique cherché. 

Par cette construction, la recherche des systèmes cycliques 
dont les plans des cercles enveloppent une surface Z donnée se 
trouve ramenée à celle des surfaces applicables sur cette surface. 

Après cette belle digression sur la Géométrie générale, M. Dar- 
boux revient sur les surfaces de Weingarten pour leur appliquer 
1rs ronsKlération'^ cpiil virnl do dévrlop[)rr. Signalons en premier 



COMPTRS RENDUS F/F ANALYSES. ij! 

lieu le théorème d'ilalplien concernant ces surfaces, la détermi- 
nation par quadratures de leurs lignes de courbure et la propriétt' 
si curieuse de correspondance des lignes asjmptotiques sur la sur- 
face des centres, dont l'auteur nous montre la véritable origine; 
elle réside en ce fait que ces lignes asvm|)totiques sont les carac- 
téristiques de l'équation aux dérivées partielles dont dépend le 
problème de la déformation. Le Cha[)itre se termine par une dé- 
termination dii'ecte et ex|)licite des surfaces applicables sur le 
paraboloïde de révolution. 

13. Parmi les surfaces de Weingarten, celles dont la courbure 
totale ou la courbure moyenne est constante avaient depuis long- 
temps attiré l'attention des géomètres. M. Bonnet notamment avait 
démontré que toute surface à courbure constante est comprise 
entre deux surfaces qui lui sont parallèles et dont la cotirbure 
moyenne est constante. L'application à ces surfaces des propositions 
de Weingarten ne pouvait manquer de conduire à des méthodes 
élégantes et à des résultats importants : c'est à quoi l'auteur s'at- 
tache dans les (Chapitres X et XI, ce dernier particulièrement 
consacré à l'étude de la surface de révolution à courbure con- 
stante né^aùve a.\)]ie\ée pseudo-sphère. Cette surface, engendrée 
par la révolution de la tractrice, possède des géodésiques pleines 
de propriétés curieuses qui ont été utilisées par divers géomètres 
pour donner une image sensible des conceptions de la Géométrie 
plane non euclidienne. 

14. Les surfaces à courbure constante sont des surfaces 

a- 

de Weingarten puisque leurs rayons de courbure principaux sont 
liés par la relation 

mais, comme elles sont applicables sur des surfaces de révolution, 
chacune peut aussi être regardée comme une nappe de la surface 
des centres d'une autre surface de Weingarten. La relation qui 
lie les rayons de courbure de cette nouvelle surface de Weingar- 
ten est la suivante 

(2^ P, — R'=rr. 



,44 PHE.M1KIU-: PAHTIF. 

On est donc amené ainsi à a|)pliquer, sous une autre forme, aux 
surfaces de courbure constante les propositions de \\ einyarten. 
Celte voie fait retrouver une série de belles découvertes dues à 
Bianchi, Lie, Ribaucour, Backlund. 

D'abord, si Ion part d'une surface S à courbure constante 

!-, et si l'on conslriiil une famille (F) de géodésiques dont les 

langenles soient normales à une surface de \\ eingarten pour 
laquelle est vérifiée la relation (2), on trouve que la seconde 
nappe de la surface focale est une autre surface -' de même cour- 
bure constante — — Le passade de S à S' constitue une transfor- 
malion duc à Bianchi, cpii permet de déduire dune surface à 

courbure constante r une autre surface de même nature; la 

a- 

quostion se ramène à la détermination de la famille (F) de géodé- 
siques. D'après Lie, celte détermination n'exige qu'une quadra- 
ture qui introduit dans la question une constante arbitraire. 
En réitérant l'opération, on pourra donc obtenir des surfaces à 
courbure constante dépendant d'autant de constantes arbitraires 
que l'on voudra. 

M. Darboux fait justement observer que, bien anlérieurement à 
Bianchi, Ribaucour avait fait connaître une proposition qui con- 
tenait virtuellement celle de ce géomètre. Si autour d'un point 

d'une surface de courbure totale constante et négative r on 

décrit, dans le plan tangent, un cercle G de rayon «, les cercles C 
ainsi construits forment une congruence et sont normaux à une 
famille de surlaces. Ces surfaces ont leur courbure constante et 

égale à -> comme la proposée. Elles présentent en outre celte 

particularité de constituer l'une des familles de surfaces d'un 
système triple orthogonal. On retombe ainsi sur une proposition 
générale relative aux systèmes cycliques, qui ont fait l'objet d'une 
étude approfondie au Tome II de l'Ouvrage et dont nous avons eu 
à reparler déjà au n" 12. 

Les conséquences géométriques des théorèmes de Ribaucour et 
de Bianchi sont si nombreuses, dit l'auteur, qu'elles introduisent 
peut être quelque confusion. Aussi, pour donner plus de netteté 
à son exposition, a-t-il recours à la méthode analytique fondée, 



CO.MPTiïS UKNDUS Kl ANAI.VSliS. ifô 

bien enlendii, siii- Iriiiploi du tiièdi-e de réféieiice mohile. Il esl 
ainsi conduit, enlif antres résnitats, à la tcnnsfornialion de liac- 
klund, qui se l'amène, au fond, à une transforniation de Bianclii 
accompagnée d'une autre Iransfornialion due à M. IJe. 

Dans le Cliapilre Xlll, l'auteur a|)[)lii|u(' les méihodes précé- 
dentes à des surlaees de courbure constante m'^ativc parti- 

culières. Notons, en passant, l'élégante méthode par laquelle est 
traité le problème (]ui consiste à exprimer qu'une surface, rap- 
portée à ses lignes de courbures, a les lignes de courbure d'un 
système spliériques. L'application du résultat obtenu aux surfaces 
de courbure constante négative rappelle les reclierclies d'Enneper, 
complétées par Dobriner, sur les surfaces à courbure constante 
dont les lignes de courbure sont planes ou spliériques. Parlant de 
ces surfaces, M. Darboux se propose ensuite d'en déduire d'autres, 
par l'application des transformations de Lie et de Bianclii. La so- 
lution de ce problème donne lieu à des dévelo[^[)ements analy- 
tiques du plus vif intérêt pour lesquels nous ne pouvons que ren- 
voyer le lecteur au Livre lui-même. 

lo. Les rapprochements entre les surfaces à courbure con- 
stante et les surfaces minima avaient déjà occupé l'auteur dans des 
Communications faites à l'Académie des Sciences et réimprimées 
il y a quelques années dans les Annales scienti flques de i' Ecole 
Normale. L'auteur reprend cet intéressant sujet dans le XIV" et 
dernier (^diapitre du Livre VIL La base de ces rapprochements ré- 
side en la remarque suivante : Si l'on cherche les suriaces minima 
en Géométrie non euclidienne, lorsque l'absolu est une quadrique 
quelconque, on est conduit à l'équation 

à- M 

or c'est précisément de cette même équation que dépend la dé- 
termination sous forme finie des surfaces à courbure constante. 

Ces derniers Chapitres du Livre VII forment, comme on voit, 
dans leur ensemble une belle monographie des surfaces de cour- 
bure constante où se trouvent condensés, sous la forme la plus 
élégante et la plus compréhensive, les résultats acquis à la Science 

Bull, des Sciences nuttliëin. , 2° série, l. WII. (Juin i'S()S.) lo 



i4G PltEMIl-JU<: PARTIE. 

par les ^éomrlres unlérieuis et par l'auteur lui-même. C'esL là un 
di^^iie pendant à la belle Théorie des surfaces minima sur laquelle 
se lerminail le |)remier \ olunie. 

Li\i!i; VIII. — Défornialion infinimenl petite 
et représentation sphérique. 

IG. Laulcur s'e\|)riine en ces termes au début du Livre Vlll : 
(' // ressort (iK'ec évidence des dé^-eloppenienls contenus dans 
les Chapitres précédents fine, jusqu'ici, le problème de la dé- 
formation des surfaces na pu être résolu d'une majuère com- 
plète que dans un petit nombre de cas. Pour faire connaître 
tout ce cni il y a d'essentiel dans les travaux des géomètres 
sur ce beau et difficile sujet, il nous reste à exposer toute une 
série de recherches relatives ci la déformation infiniment 
petite, reclierches qui conduisent, soit dans la théorie des sur- 
faces, soit dans celle des congruences, à des propositions du 
plus haut intérêt. » 

Expliquons d'abord en quoi consiste la déformation infiniment 
j)elite. 

Soit S une surface que l'on défoiine iidîniment peu, c'est-à-dire 
(pic Ton amène à ac(piérir la forme d'ime surface S' infiniment 
vciisine de S et applicable sur S. Les coordonnées d'un point M 
de S ('tant -c, >*, ^, celles du point correspondant M' sur la surface 
S' aui'onl les expressions suivantes : 

X-^ZXx, y-^~yii Z-hZZi, 

où e désigne une conslante infiniment petite elx^,')'^, z-i des fonc- 
tions de .T, I', z. En exprinnint l'applicabilité l'une sur I autre 
des surlaces S et S' on est conduit à l'équalion 

( 1 ) dx dxi -\- dy dy^ -i- dz dz i — o, 

Mais cette équation exprime aussi que la surface Si, lieu du point 
M,(x,, r,, :;,), correspond point par point à la surface S avec 
oitlioyoïialilé des éléments; daulrc |)art, en posant 

X =.rH-^,, Y =y^y^^ L ^ - _4_ ;,^ 

Xi = a-— .ri. \^— y — y^, Zi=;; — ^1, 



(HKMI'Tl'S HKNDUS KT ANALYSES. 147 

rt'(|iialioii (1) s'éci'il aussi 

d\i -i- d\ ] -+- dZi = d\-^ + rfY2 -f- d'//i, 

elle exprime encore l'applicabilité l'une sur l'aulre des deux sur- 
faces S et îl!, qui sont rcspeclivcment le lieu des points (X, Y, Z) 
et (X,, Y,, Z,). 

Ainsi se trouve établi un double lien entre la déformation infi- 
niment petite d'une part, la correspondance ponctuelle avec 
orthogonalité des éléments linéaires correspondants en deuxième 
part et, en troisième part, avec la détermination de couples de sur- 
faces applicables. 

L'auteur montre, dans le Chapitre I, que ces trois problèmes 
é(|uivalenls entre eux sont aussi équivalents à un cpiatrième : 
Trouver une surface S,, telle que les lignes asymplotiques de S 
aient comme perspective conirjue sur So un réseau conjugué. 
(]ette transformation du problème a l'avantage d'en rendre intui- 
tives certaines solutions : tel est le cas où S est une surface du se- 
cond degré. 

Le cas particulier où S est une sphère conduit à un résultat 
élégant pour la définition des surfaces S) susceptibles de corres- 
pondre ponctuellement à S avec orthogonalité des éléments; il se 
trouve, en efi'et, que la surface S, la |)lus générale est alors la 
surface moyenne d'une congruence isotrope. On retrouve ainsi 
ces congruences si curieuses qui s'étaient déjà présentées dans la 
théorie des surfaces minima. 

17. Le rôle que jouent les lignes asymptotiques dans la résolu- 
tion de l'équation (1) amène naturellement une méthode qui con- 
siste à supposer que, dans cette équation (i), .r,^, z ont été ex- 
primées en fonction des paramètres des lignes asymptotiques de la 
surface S. Les belles formules dues à M. Lelieuvre seront la clef de 
cette seconde méthode. Si 8|,Bo, O3 sont trois solutions d'une 
même équation à invariants égaux 



i48 PRKMIEHH PARTIR, 

les quadratures suivantes 

fournissent les coordonnées x,j-, :• dun j)oint d'une surface en 
fonction des paramètres des lignes asymptoti(|ues. Les cosinus di- 
recteurs de la normale sont proportionnels à 8,, Qo, O3 et c, c', c" 
désignant ces cosinus directeurs, on a 

( 4 ) 61 = c y/— RR', 0, = c' /^RlV, 63 = c" y/— RK', 

où I{, R' sont les rayons de courbure principaux. 

Si l'on |)arl alors de la représentation de la surface S par les 
furriiules (3) pour résoudre I équation (i), on trouve que les coor- 
ilonnées .r(, _}', , r, d'un point de la surface S, s'expriment par 
les quadratures 

dans ces formules, (o désigne la solution générale de Téquation (2), 
en sorte que l'intégral ion de celle équation de Laplace à invariants 
égaux équivaut à la résolution générale de l'équation (i) et des 
divers problèmes de Géométrie qui s'j rattachent. 

Les formules [précédentes et les propositions géométriques qui 
en découlent prélcut à des développements étendus qu'augmen- 
teront sûrement les recherches ultérieures des géomètres. Signa- 
lons, par exemple, les propriétés des réseaux plans (pii sont la 
perspeclive des lignes asymplotiques d'une surface. 

On ne manquera pas d'observer (pie les formules (3) mettent 
en jeu Irois fonctions h,, Oo, H3 qui sont proportionnelles aux co- 
sinus directeurs de la surface. Elles fournissent la solution de ce 



COMPTES lUÎNDUS KT ANAI.YSKS. 149 

problème : Déterminer une surface dont la représenlalion sphé- 
lique, à la manière de Gaiiss, des lignes asjmploliqucs soit un ré- 
seau de courbes spbériques données. 

Par là la représenlalion spb('rique des lignes asymplotiques de 
la surface se trouve élroilemcnl liée aux problèmes de Géométrie 
atlacliés à l'équation (1). 

M. Darboux applique les formules (3) et (5) au cas des sur- 
faces de courbure constante — i. Les formules (4) prouvent 
qu'alors 8,, Ô^, Ô3 sont précisément les cosinus directeurs et l'é- 
quation (2) admet ainsi trois solutions dont la somme des carrés 
est constante. Entre autres résultats, signalons le suivant, parli- 
culièremenl saillant : Lorsqu on sait résoudre le problème de la 
déformation infiniment petite pour une surface de courbure 
constante — i, on sait aussi le résoudre pour toutes les sur- 
faces de même courbure qu on peut en déduire par V applica- 
tion de la transformation de M. Blanchi. 

Les formules (5) témoignent que les lignes a = const., 
P ^ consl. figurent sur la suiface S, un réseau conjugué à inva- 
riants égaux. Cette remarque a une réciproque d'après laquelle, 
si l'on connaît sur une surface (S,) un réseau conjugué à inva- 
riants égaux, on pourra déterminer par de simples quadratures 
une surface (S) correspondant à (S,) avec orthogonalité des élé- 
ments et dont les asjmptotiques ont pour image sur (S,), préci- 
sément le réseau conjugué. 11 en résulte immédiatement que : 
A tout réseau conjugué à invariants égaux tracé sur une sur- 
face correspond une déformation infiniment petite parfaite- 
ment déterminée de cette surface. 

18. En conservant les notations précédentes, si Ton pose 

0, , 0, O3 

a = —■> 13 = —, c = —} 

OJ w tu 

on trouve que les quantités ^, r, 5, ^1, Ji, -1 sont liées par les 
équations 

( 6 ) dx = c dyi - b dz^, dy = a dzi — c dxi . dz = b dx^ — udy^. 

Posons alors 

(7) X = j — cji-f- 6^1, Y =_/ — «3,-H cri, 'L=. z — hxx^ ay^\ 



i5o PREMIERE PARTIE. 

le point (X, Y, Z) ainsi défini décrit une surface (S) tandis que le 
point («, 6, c) en décrit une autre (A), et l'on vérifie aisément, en 
tenant compte des relations (6), que les surfaces (A) et (S) se 
correspondent avec orthogonalité des éléments. 

Les relations géométriques entre les surfaces (S), (S,), (S), 
(A) sont des plus nombreuses: ainsi (S) et (S) sont les focales 
d'une congruence et les lignes asymplotiques se correspondent sur 
ces deux surfaces focales. Les congruences que Ton obtient ainsi 
sont les plus générales parmi celles qui présentent cette dernière 
propriété. 

On peut observer que les surfaces (S), (S|) qui se correspon- 
dent avec orthogonalité des éléments sont dans une relation qui 
est symétrique par rapport aux deux surfaces. En échangeant les 
rôles (|ue les formules ci-dessus font jouer aux surfaces (S), (S) ), 
on arrivera à définir deux autres surfaces (A,) et (-1) analogues à 
(A) et (5). 

On observera à cet cdet que, comme contre-partie des rela- 
tions (G), on a des relations de la forme 

(8) dx\= Cidy — bidz^ dyx^=(is,dz — Cydx^ dzi = bidx — a^dy, 
et l'on posera 

( Z, — :; — 6i.r-i- a^y. 

Le point (\| , Y,, Z, ) décrit (ï,) et le point («r/,, ^,, c, ) décrit 

(A.)- 

Les surfaces (A,) et (2,) se correspondent avec orthogonalité 
des éléments comme (A) et (S), l^es surfaces (A) et ( A( ) sont po- 
laires réciproques par rapport à une sphère de rayon y/ — i , ayant 
pour centre Toriginc des coordonnées. 

Observons maintenant que dans le système des six surfaces (S), 
(S,), (A), (A,), (S), (S,), le couple (S), (S,) n'est pas le seul 
couple de surfaces qui se correspondent avec orthogonalité des 
éléments. 

Nous avons encore les couples (A), (I) et (A,), (S,). La mé- 
thode de déduction déjà aj)pliquée au couple (S), (S,) |)eut être 
appliquée aux deux autres et l'on obtient ainsi six nouvelles sur- 
faces (So), (S3), (A2), (A3), (lo), (-3) formant avec les six pre- 



CO.MPTKS IIKNDUS KT ANAI.YSHS. i5j 

niièies une très rcinaicjiinhlo conlii^iiralioii de douze siiiImccs iloiil 
les rehilioiis soni léiinies (hins le Taltle;m siilvaiil : 

Couples de sui-faces qui se correspondent point par point . 

j" Avec 4° Comme focales 

orlhogonalilc 2° Par d'une 

des plans langenLs 3" Par polaires iiièiiie congruenco 

éléments. parallèles. réciproijucs. rcrlili;;ne. 

(S) (S,) (A) (S,) (A) (A,) (S) (Xi 

(A) (S) (A..) (S) (S,) (S,) (S,) (X,) 

(A,) (I,) (S) (S,) (S) Cl,) (A) (A,) 

(A,) (S.,) (S,) (SO ^(S,) (S.,) (A,) (A.,) 

(A3) (S3) (Sa) (A3) (S.,) (S) {-!,) (S3) 

(S,) (S3) (S3) (Ao) (A.) (A3) (Xo) (So) 

Le système des douze surfaces précédentes forme une configu- 
ration complexe où abondent les faits et les pro|)Ositions géomé- 
triques. Entre autres déductions qu'on en peut tirer, signalons 
d'abord celle-ci : 

Si Von sait résoudre le pi-oblème de la déformation infini- 
ment petite pour une surface on sait résoudre le même pro- 
blème pour toute suif ace c/ui s'en déduit par homographie ou 
par dualité. 

Parmi les correspondances entre les diverses surfaces, celles qui 
existent entre les surfaces (S), (S,), (So), (S3) sont particulière- 
ment remarquables. On passe du couple de surfaces (S), (Sj) dé- 
crites parles points M(.r,y, :;), M, (x , , j', , :;, ) au couple de sur- 
faces(S2), (S3) décrites parles points Mo(.r.j,_)'o, z-j)-, M^^x^.y-i, ^3) 
par la curieuse transformation suivante 



^i y\ ^1 '«•2 yi -2 xx^^jyx-^ zz^ 

qui fait correspondre au couple de points (M, Mi) le couple de 
points (]\Jo, M3). La forme des relations (10) rappelle les formules 
de l'inversion. AL Darl)oux; donne à celte transformation le nom 
à' inversion composée. 

L'inversion composée possède la propriété fondamentale sui- 
vante : Elle transforme un couple de surfaces qui se correspon- 



132 PHK.MIEIU-: PAKTIE. 

dent avec oi'lhoi,^onalilé des élônienls en un autre couple ana- 
logue. 

L'application de ces n'sultat.s généraux à des cas particuliers, et 
notamment au cas ries surfaces à courbure constatite. fournit des 
propositions nombreuses pleines dintérôt et d'élégance. 

11). Le l'oidciiH'iii liitic sur Taulre de deux surfaces est lié à la 
théorie des surfaces applicables |)ar le théorème de Kibaucour re- 
latif aux mouvements à deux paramètres que l'on obtient en fai- 
sant rouler lu ne sur l'autre deux surfaces applicables. Les consi- 
dérations développées dans les Chapitres précédents fournissent 
de nouveaux éléments pour l'étude de cette intéressante ques- 
tion. 

D'après le lli(''orème de Hd)aucour. on sait que déformer une 
surface revient à lui imprimer un certain mouvement à deux pa- 
ramètres dans lequel elle roulera sur une surface applicable. La 
solution de ce problème introduit trois paramètres qui, par un de 
ces retours curieux si fréquents dans cet Ouvrage, ne sont autres 
que ceux (pi'amènerait précisément TiMiiploi des formules de 
Gauss. 

Lorsque deux surfaces se correspondent point par jioint, il v a 
toujours un réseau conjugué sur lune qui a pour image sur 
l'autre un réseau conjugué. Le cas où la correspondance ponctuelle 
entraîne l'application des deux surfaces ne fait pas exception et 
Ribaucour a signalé depuis longtemps le rôle de ces réseaux con- 
jugués dans la déformation. 

Si l'on désigne par w, v les paramètres de ces réseaux, il se 
trouve cpie les coordoiuK-es (.r, j', z), (x^ .y,, z-t ) des deux points 
correspondants de deux surfaces applicables vérifient iine même 
équation de J^aplace de la forme 

du dv du ' dv 

l'expression x- -h y- -f- z- — x] — j-] — :;"; est une septième solu- 
tion de cette équation. Cette propriété n'est certainement pas ca- 
ractéristique des correspondances ponctuelles qui entraînent l'ap- 
plicabilité, pas plus d'ailleurs que la propriété fpii consiste dans 
l'égalité des courbures; mais, malgré le défaut de réciproque, 



COMI'Tl'S lu: M) US HT ANALYSES. i ',3 

celle [)i()|)()silion irouve dans la lliéorie de la (^'lonnalidii tin rôle 
utile à jouer ( ' ). 

Elle confine, en eOV'l, à celle tléperulance (iiie Ton a déjà re- 
connue entre les syslèines cjcliques el Je |)rol)lènie de la déforma- 
tion. l/(''lnde de celle dépendance fiil rohjel, dn reste, d'un Clia- 
[)ilre S|»(''cial. 

20. L'auteur reprend d'abord le problème de la délerminalion 
des surfaces qui ont même représentation spbérique pour leurs 
lignes de courbure et établit, par un |)rocédé qui se rallache directe- 
ment à ses propres méthodes générales, ce théorème de Ribaucour : 

Si deux surfaces S, S' ont mèinp repfésenlotion sphérirjue 
de leurs lignes de courbure, chacune peut être considérée 
comme normale aux cordes de contact d'une famille de 
sphères ayant leurs centres sur l'autre surface. 

De là résulte une nouvelle solution du problème proposé. 

Si l'on considère alors deux surfaces ï, S' se correspondant par 
parallélisme des plans tangents avec conservation des lignes de 
courbure (ce qui revient à dire qu'elles ont même représentation 
spbérique pour leurs lignes de courbure) le |ilan qui contient les 
deux normales N, N' (parallèles) en deux points correspondants 
enveloppe une surface 0; maintenant que l'on déforme 0, de ma- 
nière que les plans tangents entraînent les deux normales N, ]N', 
celles-ci resteront normales à deux surfaces S,, S, qui ont même 
représentation spbérique pour leurs lignes de courbnre, comme 
auparavant le couple des surfaces S et 2'. 

L'auteur montre que c'est dans les sjstèjnes cycliques qu'il 
faut chercher la raison de cette dépendance inattendue entre le 
problème de la déformation et la question de la représentation 
spbérique des lignes de conrbure. Nous ne pouvons malheureuse- 
ment pas entrer ici dans le détail des nombreuses déductions 
géométriques qui sortent en foule de ces divers rapprochements 
et qui assurent, nous en avons la certitude, une ample moisson de 
découvertes à ceux qui suivront les voies si largement ouvertes 
par M. Darboux. 

(') Cette remarque paraît avoir échappé à M. P. Stfrckel dans l'article : Ueber 
Abbildungen qu'il a inséré aux Matliematisclic Annalen, et où il a inexacte- 
ment rapporte un théorème que j'ai iiioi-nièinc donne sur cette question. 



i54 l'Hi:.MlJ-:iU- PAUTIR. 

l21. Sig'nalons une nouvelle ('111(10 du |)roblème de la représen- 
tation spli(^rif|ue, rapplication aux cas spéciaux si étu(Jiés et tou- 
jours si nouveaux des surfaces dont les lignes de courbure 
sont |)lanes ou spli('-ri(pies. J^'auteur rappelle à leur sujet l'élé- 
gant lliéorènie du à M. Blutel, qui amène à conclure que Ton pourra 
toujours, par des constructions géométriques débarrassées de tout 
signe d'intégration, faire dériver toute surface à lignes de cour- 
bure s|)li('ri(jues des surfaces à lignes de courbure planes. 

22. Dans les deux derniers Chapitres, l'auteur a conden.'é les 
belles et récentes recherches de M. Weingarten sur la déformation 
des surfaces. Dans son exposition, qui rattache les recherches de 
M.AN eingarten aux principes généraux |)récédemment développés, 
M. Darboux fait usage d'une notion nouvelle, celle de i-ésultante 
de plusieurs surfaces entre lesquelles on suppose exister une rela- 
tion ponctuelle. Celte résultante est la surface lieu de l'extrémité 
du vecteur issu de l'origine, égal à la résultante de translation de 
tous les vecteurs issus de l'origine et aboutissant aux points cor- 
respondanls des surfaces proposées. L'idée est simple et léconde, 
elle a été ultérieurement reprise par IM. Thjbaut dans son excel- 
lente ihf'se de Géométrie. 

Le théorème fondamental, dans la nK'lhode de ^L ^^ eingarlen, 
est le suivant : 

Soit p la distance de l'origine au plan tangent d'une sur- 
face'^, 'iq le carré du rayon vecteur issu de l'origine au point 
de contact, o', z" les rayons de courbure principaux de S et 
cp(/?, cj) une fonction de p, q : on suppose que - vérifie l'équa- 
tion différentielle 

, ^ à'^^ , , „. à-o , „à-o 

^ dp^ ' ^ 'dp Oq ' ' dq-^ 

alors, si l'on considère la surface (-), lieu du point (^, )', ;), 



COMPiriS HKXDUS ET ANALVSKS. i5î 

X, Y, Z élanl les coordoniircs du point de 1" et C, C, C" les 
cosinus divecAeurs de la normale à 1' en ce point (X, Y, Z), la 
surface admet comme ds- V expression 

D'après cela, la recherche des surfaces dont le ds- a l'expression 
ci-dessus se ramène, par le moyen des quadratures (12), à la dé- 
terminalion des surfaces S qui vérifient l'équation (i i). 

En s'appuyant sur ce théorème, M. \\ eingarlen et, avec lui, 
MM. Baroni et Goursat ont pu donner des cas nouveaux dinté- 
gration du problème de la déformation des surfaces. 

23. L'Oiivraoe se termine par |)lusieiirs Notes. 

Dans la Note T, M. Picard a développé les principes de la mé- 
tiiode d'approximations successives dans la théorie des équations 
différentielles, méthode qui s'est montrée si féconde entre ses 
mains et qui lui a fourni la clef de tant de démonstrations élé- 
gantes. 

Dans la Note II, j'ai résumé les résultats essentiels de mon ÎMé- 
moire sur les lignes géodésiques. Inséré au Recueil des Savants 
étrangers. Le problème que je me suis proposé consiste à 
trouver tous les ds- dont le |)roblème des géodésiques admet plu- 
sieurs intégrales quadratiques; de la solution de cette question 
j'ai déduit la solution complète de cet antre problème partiellement 
traité par M. Lie : Trouver les ds^ dont les géodésiques admettent 
des transformations infinitésimales. 

Dans la Note IIL ^L Cosserat, dont le nom revient fréquem- 
ment dans l'Ouvrage, a étudié une intéressante et délicate ques- 
tion de la théorie des équations aux dérivées partielles du second 
ordre. 

Dans un Mémoire présenté en 1870 à l'Académie des Sciences, 
M. Moutard s'était proposé « l'étude minutieuse de la forme la 
plus élémentaire dont soit susceptible l'intégrale générale des 
équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables 
indépendantes, à savoir : celle qui consiste en une relation 
unique entre les trois variables, deux fonctions arbitraires de 
quanlilés dislincles formées ex|)licilement avec les trois variables, 



i56 rUE-MlÈRR PAtlTlE. 

et les dérivées en iiom])re limité de ces fonctions arbili'aires, les 
arbitraires n'entrant d'ailleurs sous aucun signe d'intégration )>. 
M. M(julard a énoncé le résultat suivant : 

Celles des équations cherchées qui ne sont réductibles, ])ar un 
changcnient de variables, ni aux équations linéaires de Laplace, 
ni à r<''(|ualion de Liouville, sont toutes, en cxce|)tant deux cas 
particulièrement simples, réductibles à la forme 

ôx dy ox dy 

où A, B sont des fonctions des seules variables indépendantes, as- 
sujetties elles-mêmes à vérifier certaines conditions ; de plus, l'in- 
tégration de cette équation peut être ramenée à dépendre unique- 
ment de celle d'une équation linéaire de la forme considérée par 

Laplace, à savoir : 

d^-z ()Ios;A dz 
Ox oy ox dy 

C'est au développement de cette proposition et à sa démonstra- 
tion préalable qu'est consacrée la Note de M. Cosserat. 

24. A iennent ensuite huit Notes de M. Darboux lui-même : 

l\ . Sur la torsion des courbes gauches et sur les courbes à 
torsion constante. 

V. Sur les formules clEuler et sur le déplacement d' un so- 
lide invariable, Note oiî apparaît l'utilité des renversements, 
c'est-à-dire des rotations de i 80" autour des diverses droites de 
l'espace. 

VI. Siii- une (''ijualion différentielle et sur les surfaces spi- 
rales. 

Vil. Sur la forme des lignes de courbure dans le voisinage 
dun ombilic. Cette Note présente un intérêt particulier parles 
exemples géométiiques qu'elle contient de la discussion des solu- 
tions d'une équation di (rérentielle dans le voisinage d'un point 
singiiluîr. 

\ III. Sur les lignes asymptol icjues et sur les lignes de cour- 
bure de la surface des ondes de Fresnel. 



COMPTES MI:M)US KT ANAI.VSHS. iO; 

L'aiileiir reprend dans eelte Noie une queslion dont il s'est plu- 
sieurs fois occupé tant dans les Comptes rendus de l' Académie 
des Sciences que dans les Annales de V Ecole A'ormale. On sait 
(|iie Lie a démontre'' f|uc les lignes asvniploii(|ues de cette surface 
sont algébriques; elles s'obtiennent par l'intégration de l'équa- 
tion d'Euler. M. Darbou\ rappelle les relations qui existent entre 
la surface de l'onde et le complexe quadratique de Chasles. 

La (picstion des lignes de courbure est beaucoup plus ardue. 
Ainsi l'on sait déterminer ces lignes quand la surface diffère peu 
d'une sphère, et ces lignes ne sont pas algébriques. Ce résultat a 
une certaine importance, car dans les applications, la surface de 
l'onde est sensiblement sphérique. 

IX. Sur la Géométrie cayleyenne et sur une propriété des 
surfaces à génératrice circulaire. 

X. Sur les équations aux dérivées partielles. 

L'auteur résume dans celte Note les résultats personnels (|u il a 
autrefois obtenus sur celte difficile queslion et qui constituent un 
complément aux méthodes de Monge et d'Ampère, particulière- 
ment précieux dans les cas où ces méthodes tombenl en défaut. 

XL Sur lécjuation auxiliaire. 

Celte Noie de quelques pages contient le germe d'une idée qui 
permettrait de reprendre, par une mélhode toute différente de 
celles qui ont élé suivies dans l'Ouvrage, le problème de la défor- 
mation infiniment jietite. La même mélhode peut, du reste, s ap- 
pliquer à tous les problèmes de Géomélrie qui conduisent à des 
systèmes d'équations différentielles. Celle idée consiste en ceci : 
supposant connue une solution, chercher les solutions infiniment 
voisines. Si le problème se ramène à rintégration d une équa- 
tion différentielle 

fK^.y> ^-^p, q. ''••f^ = 0, 

on sera conduit à écrire l'équation auxiliaire relative à la solution 
« -|- 0;; voisine de la solution c et pour laquelle /?, cp r. s, t sont 
respeclivemenl p-{-op., ..., t-\-ot: celle équation auxiliaire 



,58 PllEMIEIlli PAUTlli. 

sera la suivante : 

àj. àf. 0/ ^ df 

-— 05 -t- -^ op — v^ or/ -T- . . . -T- ^ 0? = o. 

C'est de la discussion de cette équation auxiliaire que dépend 
la recherche des solutions infiniment voisines d'une solution 
donnée. 

Dès l'année i883, Tauteur avait fait connaître le principe de 
cette nouvelle méthode; il l'applique dans celte Note à la re- 
cherche des surfaces infiniment voisines d'une surface donnée et 
qui forment avec elle une famille de Lamé; il l'applique ensuite 
au pruhlème de la déformation et retrouve ainsi d'une manière 
nouvelle les propriétés les plus essentielles de la déformation in- 
linimcnt petite. 

25. Nous n'ajouterons rien à celte analjse déjà longue et cepen- 
dant bien incomplète, lanl est grande la variété et la richesse des 
matériaux amassés dans l'Ouvrage. Celte variété même suggère 
cependant une réflexion. L'appareil analvticjue employé, par un 
contraste fra|)panl, est à peu près partout le même; l'équation 
de Laplace est, en effel. la form«> nnalvlicpie dominante. 

Ce n'est donc pas dans l Analyse qu il faut chercher la source 
de celle si grande variété de faits géométriques; ils découlent plu- 
lôl d'inspirations puisées dans la considération atlentive de la 
Géométrie elle-même. El l'on reconnaît ainsi, une fois de plus, 
qu'en raison même de sa généralité, qui lui permet de donner le 
même vêtement aux faits les plus dissendjlables, 1 Analyse est par 
elle-mém<' iin|)uissanle à créer celle diversité des formes qui est 
un (les j)lus grands attraits de la Géométrie. Pour si élevée et si 
parfaite (piellc soit, l'Analvse ne dispensera jamais ceux qui 
>oudroiil > appliquer à la (léoméliie d'être des géomètres. 

G. KoKMGS. 



MftLANGKS. i5g 



\ii:l\n(;i:s. 



REMARQUES SUR LES GROUPES DE TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS 

LINÉAIRES; 

Pau m. Kmii.i. l'ICMll). 



Dans Faiialyse que M. Vessiot a réceinmeiil faite, dans ce />'if/- 
letin, ilii Tiailé de M. Schlesinger (page -8 de ce \ oliinie), se 
trouvent qiielcjnes remarques sur la théorie des groupes de Iraiis- 
forination d'une écpiation linéaire, que je demande la permission 
de compléter. M. Vessiot indique très exactement la première 
forn)e que j'ai donnée aux deux théorèmes fondamentaux, le se- 
cond énoncé contenant le mot unifornie ; il aurait pu seulement 
ajouter que, pour les équations de hi classe si étendue de M. Fuchs, 
je retnarrpiais déjà <[ue ce mot j)Ouvait être remplacé par le mot 
ralionnel. On sait que M. Vessiot a dans son excellente thèse 
approfondi ces questions; mais il abandonne l'extension du point 
de vue de Galois, telle (pie je l'avais proposée; il lui avait paru, 
comme à moi. impossible, en restant à ce point de vue, de com- 
bler la lacune ipii subsistait dans le second théorème. 

En rédigeant le troisième Volume de mon Traité cV Analyse, 
je repris l'étude du Travail de M. Vessiot, et des objections, rela- 
tives au j)oint de \we formel où se plaçait l'auteur, se présen- 
tèrent à moi, et j'ai vu depuis qu'elles avaient été déjà faites par 
^I. Iviein dans ses Leçons. J'ai donc cherché, en restant à mon 
ancien point de vue, à lever les difficultés qui m'avaient autrefois 
arrêté, et je lus tout surpris de voir alors que la lacune pouvait être 
très facilement comblée, de sorte que, en ne faisant guère que 
calquer la marche de Galois, sauf les modiiications commandées 
par la nature du sujet, et en n'em|)runtant rien à la théorie des 
groupes de M. Lie, on a une démonstration extrêmement simple 
et com[jlètement rigoureuse des points fondamentaux de la nou- 
Aclle théorie : c'est celle que j'ai exposée dans le ïome 111 de mon 
Traité {\i. 53-) et <pie reproduit J\L Schlesinger. Je dois dire que 
je persiste dans mon opinion sur les difficultés que j'ai signalées 
{^loc. cit., |). .")i4) relalivement à la manière dont AL A'^essiot in- 



i6o PREMIÈRE PARTIE. 

Irodiiit la notion de groupe de Iransformalions. Je n'entends pas 
d'ailleurs, par cette légère critique, diminuer en quoi que ce soit 
la valeur du beau travail de M. Vessiot, car, une fois admise la 
notion de groupe de transformations d'une équation linéaire, la 
théorie, telle qu'il la développe, se trouve présentée de la manière 
la plus pratique pour les applications. 

Je me permettrai une dernière observation. Le point de vue 
auquel je me suis placé en i883 dans la théorie des équations dif- 
férentielles linéaires est tout à fait distinct de celui où s'était 
placé M. Lie dans des études antérieures sur l'intégration des 
équations différentiel les, et mon illustre ami m'écrivait en i885 : 
(( Votre point de vue est tout à fait nouveau pour moi. » Il en est 
de même des généralisations si étendues et si intéressantes de la 
notion de groupes de transformations d une équation dilféren- 
llelle linéaire faites par M. l^rach dans plusieurs ?Sotes et dans 
la remarquable Thèse qu'il soutiendra prochainement. On pourrait 
craindre qu'une confusion ne tendît aujourd'hui à s'établir entre 
deux catégories de questions en réalité très distinctes, mais l'étude 
des travaux originaux ne peut laisser aucun doute au lecteur 
attentif. 



C()MI>ri-:S HKNDUS KT ANALVSKS. i6i 

COMPTKS H i: NI) US i: T ANALYSES. 

UIEMANN. — (EuviiKS MATiiK.MvriQuiis, liaduiles par L. Laugel. avec une 
Préface de M. Hennite et un discours do M. Félix Klein. In-8", xxxv-453 p. 
Paris. (îautliier-VilIars cl fils; i8<)8. 

L'édilion française des OE itères de Rie nicuin, que nous devons 
à M. L. Langel, recevra, nous en sommes assuré d'avance, le meil- 
leur accueil auprès de nos lecteurs. Comme la deuxième édition 
allemande, elle se divise en trois Parties comprenant : la première, 
les Mémoii'es publiés par Piiemann; la seconde, les Mémoires 
publiés après sa mort; la troisième Partie, les fragments pos- 
thumes que nous devons aux soins pieux des amis de l'illustre 
géomètre. 11 nous suffira, pour compléter ce compte rendu et 
pour indiquer dans quelles conditions s'est faite la publication 
nouvelle, de reproduire ici la Préface dont M. Hermite a bien 
voulu la faire précéder. 

« L'œuvre de Bernhard Pviemann est la plus belle et la plus 
grande de l'Analyse à notre époque : elle a été consacrée par une 
admiration unanime, elle laissera dans la Science une trace impé- 
rissable. Les géomètres contemporains s'inspirent dans leurs tra- 
vaux de ses conceptions, ils en révèlent chaque jour par leurs 
découvertes l'importance et la fécondité. L'illustre géomètre a 
ouvert dans l'Analjse comme une ère nouvelle qui porte l'em- 
preinte de son génie. Elle s'ouvre avec un vif éclat par la disser- 
tation inaugurale si célèbre qui porte pour titre : Prineipes fon- 
damentaux pour la Théorie générale des fonctions d' une 
grandeur variable complexe. Kiemann a été, dans cet ordre de 
recherches, le continuateur de Caucliy; il l'a dépassé, mais la 
reconnaissance des analystes associe étroitement à ses travaux ceux 
du premier élaborateur de la Théorie des fonctions, qui avait ou- 
vert la voie et surmonté des obstacles longtemps infranchissables 
dont l'histoire de la Science a conservé la trace. Les principes de 
liiemann sont d'une originalité saisissante; ils donnent, comme 
instrument à l'Analyse, ces surfaces, auxquelles est attaché le 
nom de l'inventeur, qui sont à la fois, une représentation et une 

Bull, des Sciences inatheni., i' <,ér\ii, t. WH. ( Juillcl i8<j8. ) ii 



iG'2 1MU>.M1È1\K PAirriE. 

l'orce nouvelles; ils niellenl en j)leine lumière, parles nolions 
profondes de classes et de genres, la nalure inlinie, restée 
jusqu'alors inconnue, des fonctions algébriques ; ils conduisent à 
ce nonilne exlrèuiement caché des modules ou des constantes qui 
ap|)artiennent essenliellement à chaque classe; ils définissent, 
dans le sens le plus général, les intégrales de première, de se- 
conde et de troisième espèce. Puis, une éclatante découverte : la 
soliilioii. an moyen des fonctions (■) généralisées, du problème 
général de l'inversion de ces intégrales, problème résolu seule- 
ment dans des cas particidiers, et au prix des plus grands elTorts, 
|)ar (i()|)(;l et Kosenhain, par les intégrales hyperellipliques de 
première classe, et par \V eierstrass, pour les intégrales hjperel- 
lipti(pies d'ordre quelconque. Jamais, dans aucune publication 
malhémali(pie, le don de l'invention n'était apparu avec plus de 
puissance, jamais on n'avait admiié autant de belles conquêtes dans 
les plus difficiles cpiestions de l'Anal^'se. Ces découvertes ont eu 
sur le mouvement de la Science une influence qui ne s'est pas fait 
attrndie: par une heureuse fortune, fjui a manqué à Cauchy, nos 
plus éminenls gc'OJnèlies contcnq)orains se sont efTorcés à l'envi de 
développer les principes de Hiemann, d'en poursuivre les consé- 
(piences cl d'applnpier ses méthodes. I^a notion de l'intégration 
le long (I une courbe avait été exposée, sous la forme la phis 
simple cl la |)lns facile^ avec de nombreuses et importantes appli- 
cations ipii en montraient la portée, dès 1826, dans nn Mémoire 
i\r Cancliv ayant |)Our titre : Si//' les f/i/i's;/f//('s définies prises 
cnLii'. (les liniiles imaginaires ; mais elle reste dans les mains de 
l'illustre Auteur; elle n'est connue ni de Jacobi, ni d'Eisenstein, 
et l'on constate avec regret maintenant combien elle leur a fait 
défaut; il faut attendre vingt-cinq ans, jusqu'aux travaux de Briot 
et Boufpict, pour qu'elle |)renne son essor et rayonne dans l'Ana- 
lyse. La notion profonde des surfaces de Riemann, qui est d'un 
accès difficile, s'inli-oduit sans retard et domine bientôt dans la 
Science pour y rester à jamais. Un instant, je nie suis arrêté à la 
Disserlalion inaugurale et à la Théorie des fonctions ahé- 
liennes qui suffiraient à immortaliser leur Auteui-; mais sur com- 
bien d'autres sujets, pendant sa trop coui'te carrière, se porte le 
génie du grand géomètre. Dans le Travail Sur la théorie des 
fonctions représentées j)ai- la série de daiiss, il fait connaître. 



COMPTKS IIKNDUS liT A N AI, VS KS. i63 

noiii' l;i première fois, cornnieiil se eoinporleiil les snliilioiis (Tiiik; 
équation clillérenliellc liiK-aire du sceond ordre, lorsf|iie la va- 
riable décrit un contour fermé comprenant une discontinuité, et il 
j)arvienl comme eonsé(|ucnce à la notion de i^ioupc pour une 
telle éf| nation. Le Mémoire Sur le noinhre des nombres pre- 
miers inférieurs à une grandeur donnée traite, sous un point 
de vue tout dillerent et du plus haut intérêt, une question célèbre 
qui avait occupé Legendre et Diriclilet. L'idée, entièrement nou- 
velle, (le l'extension à tout le plan d'une quantité qui n'a d'exis- 
tence fpie dans une r(''>^ion limitée se trouve déjà dans le |)récé- 
dent travail; elle sert de fondement, elle joue le |)rincipal rolc 
dans celte reclierclie arithmétique sur les nombres premiers. Rie- 
mann l'applique à une S('rie depuis longtemps considérée par 
Euler, qui est soumise à une condition déterminée de conver- 
gence. J^a série devient l'origine d'une fonction uniforme, elle 
donne naissance à une nouvelle transcendante se rapprochant à 
certains égards de la fonction gamma. C'est un nouveau Cliapilre 
qui s'ajoute ainsi aux théories de l'Analyse et où M. Hadamard et 
M. von Mangoldt ont trouvé l'origine de leurs belles recherches. 
Le Mémoire Sur la propagation d'ondes aériennes planes, 
ayant une amplitude de vibration finie, concerne les questions 
délicates et difficiles auxquelles ont donné naissance les célèbres 
découvertes de von Helmholtz en Acoustique. Le grand géomètre 
était aussi un physicien, il connaissait les nouvelles méthodes ex- 
périmentales et les plus récents progrès de la Science; il dit ce- 
pendant, avec cette modestie qui est le fond de son caractère, 
avoir surtout en vue une question de Calcul concernant les équa- 
tions aux déri\ées |)artielles. A cet égard, on doit signaler des 
résultats qui sont toujours de grande importance, une Méthode 
|)our la recherche des intégrales des équations linéaires du second 
ordre, sous la condition qu'elles passent par une courbe donnée, en 
ayant des plans tangents donnés, puis aussi la notion de l'équa- 
tion adjointe qui joue un rôle essentiel dans beaucoup de ques- 
tions intéressantes. 

» Je m'étendrais trop en voulant encore passer en revue les 
^iémoires Sur i évanouissement des fonctions 0, Sur les sur- 
faces d'aire minima pour un contour donné, Sur la possibilité 
de représenter une fonction par une série trigonométrique ; il 



k 



i64 l'HH.MlEllE PAHTIR. 

sérail trop loiiy de (yire ressortir l;i j;rancleur el la beauté des dé- 
couvertes, den montrer la portée, de parler des nombreux travaux 
auxquels elles ont donné lieu. Je ne ferai que mentionner en 
(pielipies mots ladmlrable travail Sr/r les hypothèses qui ser- 
vent de fondement à la Géométrie. 

» I^'Auleur dépasse infiniment la question du postulalum d'Eu- 
clide (pii, après des siècles de vaines tentatives, avait trouvé une 
solution dans les recherches de Lobatscheffskj, de Bolyai, et 
qu'on a appris, par une publication du plus grand intérêt due à 
M. Sliickel, avoir été, pendant toute sa vie, l'objet des médita- 
tions (le Gauss. P»icmann aborde la considération de l'espace ou 
d'une multiplicité à un nombre quelconque de dimensions, il en 
établit le caractère essentiel consistant en ce que la position d'un 
point dépend de ce même nombre de variables, et il étudie les 
mesures dont cet espace est susceptible. C'est tout un monde in- 
connu intéressant à la fois le philosophe et le géomètre, que 
s'ouvre avec une extraordinaire puissance d'abstraction le merveil- 
leux invenleur. Un domaine parliciilier s'y trouve qui se rap- 
proche des réalités accessibles à notre existence, dans ce sens 
qu'on V peut déplacer une figure sans altérer ses dimensions et 
fond(;r des démonstrations sur la méthode de superposition. Et 
c'est là que vient s'offrir, pour le cas de deux dimensions, en 
même temps que la Géométrie de Lobatscheffskj et de Boljai, où 
la somme des ang^les d'un triang'le est inférieure à deux droits, 
celle de Riemaiin où elle lui est supérieure. 

^) Mettre à la disposition des lecteurs français le riche trésor 
sur lequel j'ai jeté un coup d'œil a été le but de cet Ouvrage. 11 
paraît avec l'autorisation de M'"" Uiemann et de l'éditeur allemand 
M. Jî.-G. J'eubner. 11 est offert à M""' Riemann comme un hom- 
mage à une mémoire immortelle et le témoignage de la plus res- 
pectueuse, de la plus |)rofonde sympathie. 

). L'impression s'est faite avec les soins consciencieux que la 
ntaison Gauthier-Villars consacre à ses publications mathéma- 
tiques, et les épreuves ont été revues avec la plus grande obli- 
geance |)ar .M. (joiirsat. 

.. D'illustres disciples du grand géomètre, ^L Ivlein, MM. We- 
bcr el Deilckind, M. Mird\ovvski ont encouragé el secondé par 
leur l)i(ii\cillaiil c<)nc()Ui> h; travail du Iraducteur, >L Laugel. 



COMI'TKS UKNDUS KT A N A I. V S KS . i()5 

Qu'ils rcçoivenl riissuraiicc d'une hicn sincèie graliluclo, cl le 
vœu que les Oftin-res de liicnutnn scr\enl de plus en plus, en 
propageant la gloire du Maîlre, au progrès, à la marclu; en avant 
tie la Science ! » 



H. BROCARD. — iNotes de bibliocuaphik des Colkbes géométriqi i:s. Iii-S", 
296 pages autographices. Bar-le-Diic, imprimerie et lilliograi)liii' Coinle- 
Jacquet, 1897. 

« Ce n'est pas, dit l'auteur, un Ouvrage livré à la jxihiieité; 
c'est lout simplement un cahier de notes, dont j'ai voulu avoir 
quelques copies, afin de pouvoir les conimuni(|uer aux amateurs 
du sujet, à qui je serai heureux d'en adresser l'hommage, en les 
priant de me faire connaître toutes les modincations (|irils juge- 
ront devoir v apporter. » 

Ces JSotcs sont rédigées par ordre alphabétique, et M. Brocard 
les présente comme extraites d'un Vocabulaire inaihémalique en 
préparation. Du reste, le répertoire ne se borne pas exclusivement 
aux courbes géométriques, comme semblerait 1 indiquer le titre; 
il s'étend à la nomenclature des Arls et à celle des Sciences phy- 
siques; d'un autre côté, il comprend également celle des lignes 
considérées non eii elles-mêmes, mais en relation avec des figures 
(par exemple, dans la Géométrie du triangle, cercle d'A|)ol]onius, 
cercle de Brocard, cercle d'Euler, etc.). On voit quelle peut être 
l'utilité d'un tel répertoire. 

Quoique l'Auteur ne le présente que comme un avant-projet, 
son travail me semble déjà amené à une forme digne des honneurs 
de l'impression. Je ne doute pas, en tout état de cause, qu'il n'excite 
assez d'intérêt pour être effeclivement imprimé ajircs une refonte 
facilitée à jM. Brocard par les communications qu il réclame. Mais 
si j'avais un désir à exprimer, ce serait de le voir, non pas dé- 
velopper son répertoire dans le sens d'une monographie des 
courbes (ce qui peut être au contraii^e le vœu de nombre de ses 
correspondants), mais de l'étendre de façon à donner une partie 
plus considérable du Vocabulaire mathématique. 

La monogra|)hie des courbes avant reçu un nom spécial me 



i66 Pi^E.MlkRK PAIMIK. 

parail en cllcl, |)()ur préseiilor un ensemble salisfaisanl . réelanier 
un ordre inétliocli(|ne, non alpl)al)rlif|iic. (j'est au reste sous celte 
forme (ju'en \S[)\ rAcaclémle des Sciences de Madrid a jjroposé 
(sans succès) ce sujel détudes. I.e choix d'un principe mélliodique 
de classement nest point d'ailleurs sans présenter de sérieuses 
difficultés, soit qu'il s'agisse des courbes spécialement dénom- 
mées, soit fpi'il s'agisse des fox'mes de générations applicables à 
loule courbe (comme développée, |)odaire, etc.). L'œu\re doit^ 
|)ar là même, présenter un caractère nettement personnel et exiger 
des recherches approfondies, qui peuvent même conduire à mo- 
difier, compléter ou sinq)li(ipr la nomenclature en usage. Elle 
peut donc, si elle est réussie, honorer grandeiuent son auteur^ 
mais il s'agit, en tout cas, d'un travail de très longue haleine et 
qui ne me paraît point correspondre à un besoin pratique urgent. 

Personne au conti-aire, en présence du développement extra- 
ordinaire de la littérature mathématique, ne peut nier l'utilité 
d'un « A'ocabulaire destiné à remettre |)rom|)tcnienl sur la voie 
un lecteur momentanément arrêté par un terme qui ne lui est pas 
familier ». C'est l'objet que s'est proposé 1\J . Brocard pour ce Vo- 
cabulaire, mais il semble désespérer de pouvoir le réaliser com- 
plètement. Ne pourrait-il au moins étendre aux surfaces et aux 
ligures solides le répertoire qu'il a rédigé? Ne pourrait-il y com- 
prendre tous les termes mathématiques qu'il aura employés? Nous 
aurions ainsi un Vocabulaire géométrique à peu près complet, ce 
qui serait déjà beaucoup, en attendant un Vocabulaire analytique. 

Une définition précise |iour chaque tei'nie, l'énoncé (sans dé- 
monstration) des |)ropriélés essentielles, les références bibliogra- 
phitpies suffisantes pour orienter le chercheur, voilà tout ce qu'on 
|)eut demandera ce Vocabulaire. Ne pas vouloir être trop complet 
au premier essai et comprendre qu'il faudra toujours des supplé- 
ments serait, je crois, une condition essentielle pour aboutir. 

J'ajouterai deux dcsidevald qui me sont personnels. Nombre de 
termes n'ont qu'un intérêt historique et sont tombés en désuétude, 
ou n'ont jamais été adoptés couramment. 11 conviendrait de les 
distinguer en les marcpianl d'un astérisque. En second lieu, il 
serait intéressant d'avoir, pour chaque terme qui ne se transcrit 
pas simplement, le mol correspondant dans chacune des princi- 
pales langues mathématiques. De la sorte, un Vocabidnirc publié 



COMPTAS UKNDIJS KT A N A I. VSiiS. i(\y 

en français, par exemple, poiinaiL èlic laei^'inerU nlilisé par les 
travailleurs des autres pays. Pail Taninfuy. 



LOREXZ (L.)- — Œlvrks sciextifiqii-s. rcviios el annoléos |)ar H. Valen- 
tiner, i. I. ■i" fascicule iri-8", •^i3-529 p. Copenlioiïiie, Lciimaiin et Stage; 
.898. 

Le fascicule que nous annonçons aujourd iiui termine le pre- 
mier \ olume des OEuvres scientifiques de L. Lorenz. Il coiihCnt 
quatre Mémoires. Les deux premiers sont consacrés à des recher- 
ches expérimentales et théoriques sur les indices de réfraclion. 
Ils ont été publiés en 1869 et 18-;") dans les Videnslcabernes 
Selskabs Skrifter de Copenhague; ils sont accompa<;nés d'un ré- 
sumé écrit par Lorenz lui-même et inséré dans le Tome XI des 
Annales de Wiedemann. Le volume se termine par un Mémoire 
sur la théorie de la dispersion et un travail très étendu sur la 
lumière réfléchie et réfractée par une sphère trans|)arente. C'est un 
sujet dont Clebsch s'était occupé, sans lélueider complètement, 
dans un Mémoire |)ubiié en i8()5 au Tome LXI du Journal de 
Crelle. Il a une grande importance pour la théorie de l'arc-en- 
ciel. Tous ces travaux sont accompagnés de nombreuses Notes 
dues à M. \ alentioer; elles éclaircissent ou complètent différents 
points du Mémoire original. 

Ainsi entendue, la publication des OEuvres de Lorenz est de 
nature à contribuer aux progrès à la fois de la Physique mathé- 
matique et de la Physique expérimentale; car, dans tous les Ira- 
vaux dont nous venons d indiquer l'objet, le développement du 
Calcul et de l'Analvse mathématique est toujours poussé jusqu'au 
point où les résultats obtenus peuvent êlre contrôlés par les expé- 
riences des physiciens. G. D. 



i68 IMn-.MlERE PARTIE. 

CZUBEIl ( E. ). — VoHl.KSl NGKN VBER DIFFERENTIAL- l ND INTEGRAL-ReCIIM NG. 

Erslcr Band ; xiv-5'.6 p. in-.S". Leipzig. Teubner, 1898. 

Ces leçons sur le Calcul difTérentiel el intésjral ont été rédigées 
en vue des élèves des hautes Ecoles techniques, auxquels elles 
setnhlent très bien appropriées ; d'autres, assurémeni, peuvent en 
profiter; les notions fondamentales y sont développées avec dé- 
tail; elles sont, autant qu'il est possible, interprétées géométri- 
quement. Celte interprétation géométrique est, à coup sûr, néces- 
saire pour tous ceux qui étudient les Matliémaliques ; elle suffit 
presque à ceux qui apprennent surtout les Mathématiques pour 
les applifpier. De nombreux exemples permettent au lecteur de se 
familiariser avec les méthodes. Le niveau du Livre est d'ailleurs 
assez élevé : on j trouvera, par exemple, les propositions fonda- 
mentales sur les séries procédant suivant les puissances entières 
d'une variable imaginaire el la définition des fonctions élémen- 
taires d'une variable complexe. 

Tout en interprétant géontétriquement les noiions el les pro- 
positions fondamentales, l'Auleur n'a pas craint d'introduire cer- 
taines notions d'ordre abstrait, nécessaires pour donner toute leur 
rigueur à certaines démonstrations : il ne craint pas, par exemple, 
d'établir f|u'une fonction continue dans un intervalle est uni- 
formément continue dans cet intervalle; mais il ne montre pas 
qu'une fonction continue atteint sa limite supérieure. Bien 
que celle proposition soit indispensable pour rendre entière- 
ment rigoureuse la démonstration, aujourd'hui classique, du 
théorème de Rolle ( ' ), que l'on doit à O. Bonnet, et qui suppose 
seulement l'existence de la dérivée, il n'y a nullement lieu, dans un 
Li\ re tel (ju(,' la vcmiIm !M . (Jzuber, de regarder comme une omission 
l'absence d'une telle proposition. J'ai voulu seulement signaler, 
par cet exemple, ce qu'il y a de nécessairement arbitraire dans la 
mesure à garder lorsqu'on expose les sujets de cette nature. 

La division de l'Ouvrage est conforme aux habitudes classiques : 
une première l'arlie se rapporte au Calcul dilTérentiel proprement 



(') Cette ohseivaliun u (-té faite, il y a une vinglaine rrannécs. par M. Dar- 
lnui\, dans son enseignement à lÉcolc Normale. 



COMPTES RENDUS ET ANAI.YSES. 169 

d'il : dérivées, dint-renliclles des fondions d'iiiic ou de |)lusleiirs 
variables, séries en général, séries de Tajlor cl de JNIaclaurin, 
fondions dune variable complexe, niaxiiiia d minitna. Une 
seconde Partie contient les applications géométriques aux courbes 
et aux surfaces : tangentes, asymptotes, élude d'une courbe 
autour ilim de ses points, contact de deux courbes, longueur 
d'un arc, courbure, courbes enveloppes; courbes gauches, pre- 
mière d seconde courbure, formules de Frenet, enveloppes, sur- 
face polaire d'une courbe gauche, courbure des surfaces, lignes 
de courbure, lignes asymptotiques, lignes géodésiques. 

J. T. 



CAYLEY (A.)- — CoLLECTED MATHEMATiCAL Papers. Supplemeiitary Voluiiie 
containing tilles of papers and index. Iii-4°, vi-t4i p. Cambridge, Univcr- 
sity Press, 1898. 

Nous annoncions dernièrement la fin de la publication des 
OEuvres de Cayley. M. Forsjth a pensé que, pour faciliter les 
recherches dans les i3 Volumes compacts qui composent cet en- 
semble magistral, des Tables rendraient les plus grands services ; 
et dans le Volume supplémentaire qui vient de paraître et que 
nous annonçons aujourd'hui, il a réuni d'abord la liste complète 
des 967 Mémoires de Cajlej, puis un index des matières et de? 
auteurs, composé par M. F. Howard Collins, à qui tous les géo- 
mètres sauront gré de l'utile travail qu'il a bien voulu s'imposer. 
Ainsi se trouve complétée, en moins de dix ans, une publication 
commencée par Ca^-ley lui-même, et que M. Forsjth a tenu à 
cœur d'achever. 



SCHRUTER (F.). — Jacob Steiner's Voklesungex ueber svxTiiETrsciiE Géo- 
métrie. Zweiter Tlieil. Die Théorie der Kegelschnitte gestïttzl auf projec- 
live Eigenschaflen. Auf Grand von Universilatvortragon und mit Benulzung 
hinterlassener Manuscriple Jacob Steiners. Drille Aiiflagc durckgesehen 
von R. Sturin. Un vol. in-8\ xvii-JJ8 p. 

On sait que c'est M. Schruter qui a publié en 186- la première 
édition des Leçons de Sleinersur la Géométrie synlbi'-tique ; une 



I70 PHH.MIÈRE PARTIE. 

seconde édition a |)aru en 187G; elle est aujourd'hui épuisée : 
M. Schroler est mort en 1892, après une vie consacrée tout entière 
à la Géomélrie. M. Rudolpli Sturni s'est chargé de ))ublier la troi- 
sième édition; il était assurément tout à fait désigné pour cette 
lâche; c'est d'ailleurs de la façon la plus modeste qu'il parle de sa 
collaboration : quehpies abréviations, quelques remaniements, 
qiichjues changements dans la terminologie, devenus indispen- 
sables, parce que la langue de la nouvelle Géomélrie s'est j)eu à 
peu fixée, voilà, d'après lui, quelle est sa part. 

Quoi qu'il en soil, en parcourant la troisième édition de cet 
excellent Livre, on se convainc bien vite (pie sa réimpression s'im- 
posait, en elTet; qu'il est de ceux qui ne doivent pas disparaître 
sitôt de la circulation, et que les deux éditions qu'il a eues n'ont 
j)as ('puisé les services qu'il peut rendre : le génie créateur qui Ta 
inspiré par son enseig^nement l'a sans doute empêcdié de vieillir, et 
cependant, une bonne partie des matières qu'il contient a passé 
dans l'enseignement élémentaire, directement sans doute en 
Allemagne, tandis que, en France, elles provenaient le plus sou- 
vent de la Géométrie supérieure ou du Traite des sections co- 
niques de notre illustre Chasles. Si l'exposition que l'on doit à ce 
dernier ne laisse rien à désirer pour la richesse, l'élégance et la 
clarté, celle qu'on trouve dans les Leçons de Steinera un caractère 
plus systématique. C'est ainsi, par exemple, que Steiner repousse, 
pour l'étude des coniques, l'emploi du cône à base circulaire, 
parce qu'il oblige à sortir du plan, et que la démonstration de la 
proposition récijjroque, tout cône qui a pour directrice une co- 
nique peut être coupé suivant un cercle par un plan, ne se pré- 
sente pas d'une façon naturelle : pour lui, la conitpie doit être 
regardée comme l'intersection de deux droites passant chacune 
par un point fixe et qui se correspondent homograpliiquement, 
ou comme l'enveloppe d'une droite qui joint deux points situés 
sur deux droites fixes et qui se correspondent homograpliique- 
ment, 11 faut établir alors l'identité des courbes ainsi définies et 
montrer comment elles peuvent être engendrées d'une infinité de 
façons par les deux modes (pi'on vient dédire. La même tendance 
se retrouve continu(;llcment, et relfort |)Our constituer une scien(;e 
toute pure, fpii u'em|)rnnle rien aux autres sciences, est j)arlout 
visd)lc : il nCn f;iul conteslei" ni le méi-ilr, ni l'éclalaiil succès. Il 



COMPTAS lUsNDUS ET ANAI.VSRS. 171 

rcsle loulefùis permis do se dcmaniler si rexlrcme ingc'-niosilé 
qu'il a f.illii dépe-nser pour inlrodiiire, d'une façon loule géornc'- 
Iriqiie el rigoureuse, les éléntcnls imaginaires dans la (îéomélrie 
svnthéliqne, où ils jouenl un rôle si essentiel, n'est pas la preuve 
qu'il y a un peu d'arlilice dans la pureté originelle de cette 
science; mais celle observation ne concerne pas les Leçons de 
Sleiner. 

Une fois la définition des coniques justifiée, leurs propriétés 
se développent dans une ])elle ordonnance. C'est tout d'ahord les 
propriétés d'une seule coni(jue, puis celles d'un faisceau (ponc- 
tuel ou tangentiel) de coniques, à propos desquelles il convient de 
signaler l'étude des points d'intersection et des tangentes com- 
munes, les problèmes sur la construction des coniques, el l'inté- 
ressante solution de la question suivante: étant données deux co- 
niques C, C, trouver une troisième conique F telle que la polaire 
réciproque de C ou de C par rapporta F soit C ou C; puis lélude 
du système polaire, de celte correspondance entre les points et les 
droites d'un plan, et des involutions attachées à chaque point et à 
chaque droite, qui résultent de la théorie des pôles et des polaires, 
mais qui |jeut, comme le fait Stciner, en être détachée et être 
présentée a prioti, au moven de deux involutions portées j)ar deux 
droites, cl qui permet ainsi de définir la conique lieu des points 
qui se trouvent sur les droites corresj)ondantes, et enveloppe des 
droites qui contiennent leurs points correspondants, lors même 
que cette conique est imaginaire; puis enfin l'étude d'un réseau 
de coniques el de la courbe du troisième degré (jacobienne) qui 
hii est attachée. J. T. 



172 PREMIÈRE PARTIE. 

MÉLANGES. 

SUR LES SYSTÈMES CYCLIQUES: 
Pau m. g. TZITZÉICA. 

Considérons une congriience telle que la sphère S décrite sur 
le segment rocal FF' comme diamètre soit orthogonale à une 
sphère fixe (O). Nous allons démontrer que la congruence est cv- 
clique, et que les plans des cercles du système correspondant 
passent par le centre O de la sphère (O). 

Pour cela, supposons que FF' décrive une développable dont 
l'arête de rebroussement soit tangente en F à FF'. A.lors, la 
sphère ^ décrite du point F comme centre et orthogonale à la 
sphère (O) enveloppe une certaine surface à lignes de courbure 
circulaires, qu'elle touche suivant un cercle C, dont le plan per- 
pendiculaire à FF' passe évidemment par le point O. 11 est clair 
encore que le cercle C est l'intersection des sphères S et S. 

En considérant de même les sphères li' ayant le point F' pour 
centre et orthogonales à (O), et en supposant que FF' décrit la 
développable dont l'arête est tangente à FF' en F', on voit que le 
cercle de contact sera encore le cercle C Comme le cercle C se 
trouve à chaque nu)menl sur la sphère S décrite sur FF' comme 
diamètre, les sphères 1' et i^' sont orthogonales. 

On a donc deux, familles de surfaces qui se coupent à angle 
droit suivant des lignes de courbure. On sait qu'alors ces lignes 
de courbure, qui dans notre cas sont les cercles C, sont normales 
à une troisième famille de surfaces. Les cercles C forment donc 
un système cyclique. 

Le système cyclique ainsi obtenu est le svstème général, com- 
posé de cercles orthogonaux à une sphère fixe et à une surface ar- 
bitraire, étudié [)ar llibaucour (Darboux, Leçons siii' les systèmes 
oi(liogoii(in.r, t. I, p. 5G). 

Le théorème que nous venons de démontrer prouve que les 
normales des surfaces qui sont telles que la sphère décrite sur le 
segment compris entre les centres de courbure principaux soit 
orlhogonalo à une sphère (ixc ou |)assc par un poiiil (ixc (C. L)aii- 



Mf^LANGI-S. ,ri 

«oux, Leçons de (léoniélrie, l. IV, p. 3■>.:^), foi-incnl uik; coii- 
gruence cjciiquc, el, par conséquenl, que ces surfaces onl, tl';n)rès 
un lliéotèuie connu, luèuie rcprésctilallou splicricpie qu'une sur- 
lace à courbure lolale conslante. 



FONDATION BENEKE. 



La Faculté de Philosophie de l'Université George-Auguste, de 
Gôttingue, publie l'avis suivant : 

Fondation Beneke. 

Le 1 1 mars 1898, anniversaire du jour de la naissance du Fon- 
dateur, Charles-Gustave Beneke, conseiller au Consistoire, il a été 
publié que, pour le concours de 1897, aucun Mémoire n'a été 
présenté. 

En même temps, la Faculté de Philosophie a proposé, pour 
l'année 1901, le nouveau sujet suivant : 

« Le principe de continuité, ou encore, jjIus spécialement, la 
représentation par des fcjnctions indéfiniment différentiables, ont 
été longtemps considérés comme universellement applicables à 
l'étude mathématique des phénomènes naturels. Ce postulatum a 
été introduit comme allant de soi par les inventeurs du Calcul dif- 
(erentiel et intégral; mais les progrès des recherches mathéma- 
tiques ont démontré de plus en plus qu'il impliquait une grande 
quantité d'hypothèses tacites auxquelles, dans l'état d'inexacti- 
tude toujours existante de nos perceptions sensibles, on n'est pas 
forcé de se tenir. Cette conception est d'ailleurs en contradiction 
avec l'hypothèse de la constitution moléculaire de la matière. 

» La Faculté désire qu'un travail, prenant pour base l'état actuel 
de la Science, expose d'une manière généralement intelligible les 
([uestions relatives à ce sujet et soumette à un examen approfondi 
la légitimité et l'opportunité des théories babil uclles. Ce Mémoire 



174 PKE.Mlf^UE PAirilR. 

pourra èlre conçu j)lus spécialeinenl au point de vue nialhéma- 
lique, philosopliique ou jisvcholo£;ique ; on désire également des 
éludes liistoriques, mais sans les exiger. 

» Les manuscrits doivent être rédigés dans une des langues mo- 
dernes et nous être cnvovés avant le .3t août 1900, pourvus d'une 
devise sur la page de titre, avec une lettre scellée, portant à Tex- 
térieur la devise du travail, à l'intérieur les noms, profession et 
domicile de l'auteur. Le nom de l'auteur ne doit pas être indiqué 
d'une autre façon. Sur la j)age de titre doit êlre indiquée en outre 
l'adresse à laf|uelle le travail doit êlre renvové dans le cas où il ne 
serait pas jugé digne de prix. 

» Le jiremicr prix s'élève à Sfoo marks, le second prix à 
680 marks. 

» L'allrihulion dos prix aura lieu le 11 mars 1901, en séance 
publique de la Faculté de Pliilosophie de Gottingue. 

» Les travaux couronnés restent la proj)riété exclusive de leurs 
auteurs. 

» Les autres sujets, pour lesquels les manuscrits doivent être 
envovés avant le 3i août 1898 et 3i août i8()9. ont été indiqués 
j)récédemment ( ' ). » 

(jiiLliiiguc, le II iiiyi's i8ij8. 

L(i Faculté de Philosophie. 
Le Doyen, 

G. Coiix. 



SUR LA TRANSFORMATION DE M. LIE ET LES SURFACES ENVELOPPES 

DE SPHÈRES; 

l'Ait .M. Alpiionsk I>1;M0ULI\. 

|{i'|iilii(ui- à ri riivcisiLù de Gand. 

\. Los deux lliéorémes suivants sont i)icn connus : 

Sur lotilc surface réglée, quatre asymptotir/ue.s curKitianes 
rencontrent une génératrice reclillgne variable en quatre 
points dont le rapport anharnionique est constant. 



{') Nachrichtcn von (ter Koniglichen Gesellschaft der Uissensr/ia/le». 
(Jeschcifllichc MiltheUungen: iJ^yO, S. GO; 1897, "^''^l I- ^- "'G. 



M f. LAN G 11 s. 175 

S//r toute surface emeloppe d'une infinité simple de sphères, 
quiUre lignes de courbure non circuUiires rencontrent une 
ligne de courbure circulaiie x^ariable en (juatre points dont 
le rapport (inharnioni<pie est constant . 

On a observe depuis lonijleinps ([iie la Iransfonnalion de 
M. Lie, qui clianye les droites en splières, fait correspondre à 
loiile siirl'ace réglée une surface enveloppe de splirres, et aux gé- 
néi'alrices reclilignes de la première les lignes de courbure circu- 
laires de la seconde. Nous nous proposons de compléter cette 
remarf|ue en montrant que la même transformation permet de 
déduire l'une de l'autre les deux propositions rappelées plus liaul. 

2. La Iransformalion de M. Lie établit entre les éléments [m, t) 
(m désignant un point quelconque et t un plan quelconque [)as- 
sant par ce point) d'un espace (e) et les éléments (M,T) d'un 
espace (E) une correspondance telle qu'aux éléments tangents 
d'une droite d de l'espace (e) correspondent les éléments tangents 
d'une sphère S de l'espace (L). 

Les coordonnées (^,J% ^) et (X, Y, Z) des points m et M sont 
liées parles deux relations (') 

I X -1- j Y -f- j' Z — .T = o. 

Ces équations font correspondre à tout point ni(_.v,}', z) une 
droite isotrope A, et à tout point ^I(X, Y, Z) une droite apparte- 
nant à un certain complexe linéaire C. 

La sphère S, qui correspond à la droite d, est le lieu des 
droites A relatives aux différents points de cette droite; elle est 
également le lieu des droites A' relatives aux différents points de 
la droite c/', conjuguée de d par rapport au complexe G. Enhn, 
sur la sphère S, tout point ]\l, correspondant à un élément (/;?, t) 
de la droite d, est à l'intersection des droites A et A' relatives au 
point /// et au point m', intersection du plan / et de la droite d' . 

3. A ces différentes propriétés de la transformation de ^L Lie, 
nous ajouterons la suivante, qui est peut-être nouvelle : 



(') Voir Cl. Daucocx. Leçons sur la Théorie des surfaces f I\ ■ Partie, p. I7^ 
L-L .-- ni va II tes). 



176 PUEMIÈUE PARTIE. 

Soient (nit^t,), {m.,, t.,), (/»:i, /s), (m.,, (.,) qiialic êlémenla 
tangents cr une droite d tels (jac {m i, m.,^ ni-^, in',)=^{lx, t.,^ ^a, t.,,). 
A ces quatre éléments, il correspond, sur la sphère S, quatre 
points M,, M;., M3, Mi situés sur un cercle et tels que 

(:\I,, Mo, I\I,i, Mi) =: (mi, wo, /«3, «'v). 

Soient m\ le point d'inlerscclioii du pian ti et de la droite d\ 
et A/, A'- les droites isotropes qui correspondent aux points /;i/, m\. 
Ces droites se coupent au point M/, lequel, on l'a vu, correspond 
à l'clénicnt (////, tj). 

Les équations (i) étant linéaires par rapport aux coordonnées 
{x,y,z), on a 

( A), A2, A.3, Ai) = (/??,, m.2, in^i, mj), 
et de même 

(A'i, a;, a;, a;) = (m;, ni'.^,m'.^, m[). 

Or, par hypothèse, 

(m,, m,, /??3, Wi) = (ti, ti, /s, ti) = i'»'n "^'i^ "A, m\). 

l'ar suite 

(2) (A„A„A3, Ai)-(A',,A;,A'3,A',). 

Pour achever la démonstration, nous invoquerons une propriété 
connue des surfaces du second ordre : 

Toute conique tracée sur une quadricjue rencontre quatre 
génératrices rectilignes a j>par tenant à un même système en 
quatre points dont le rapport anltarmonique est constant et 
égal au rapport anharmoniijuc des quatre génératrices. 

J)e là résulte ce corollaire : 

Soient, sur une (juadrique, A,, Aj, A;t, A., quatre génératrices 
apparicnani éi un même système et A',, A'.,, A',, A',^ «juatie géné- 
ratrices appartenant an système opposé. Si Cou a 

(A,,A2,A:;,Ai) = (A;,A;,A;,A:^), 

les points cV intersection des génératrices (A,, A',), (A,, A'.,), 
(A:,, A',), (A,, A',) sont sur une conique de la. surface et leur 
rapport anharmoinquc est égal au rapport anltarmonique pré- 
cédent. 



MKLANGKS. 177 

Celle cleiiin'rc |)i'()|)ii(''t('', rapproclice de la iclalion (v.), nous 
permet de conelure le lliéorèine énoncé, el celui-ci met plcinc- 
nienl en évidence le i'ap|)orl annoncé entre les deux propositions 
rappelées au début. 



SUR LES QUESTIONS DE MATHÉMATIQUES PURES QUE SOULÈVE L'ÉTUDE 
DE LA NOMOGRAPHIE; 

F^ui M. Mal'ukie d'OCAGXE. 

1. Le corps de doctrine qui, sous le nom de Nomograpliic, a 
pour objet Tétude de la représentation plane, au moyen d'élé- 
ments (lignes et points) cotés, des équations à un nombre quel- 
conque de variables, puise surtout sa raison d'être dans les appli- 
cations très nombreuses dont il est susceptible aux branches les 
plus variées. L'adaptation des divers modes de représentation aux 
types d'équations les plus fréquents dans la pratique, tel est, 
avant tout, son but. Pourtant, quand on le considère dans sa partie 
théorique, il soulève des problèmes qui, au point de vue purement 
mathématique, ne sont pas absolument dépourvus dinlérét. 

2. Sous ce rapport, on y rencontre trois ordres principaux de 
questions. Le premier vise la détermination des différents modes 
de représentation plane applicables à des équations d'un nombre 
donné de variables. 

Ces divers modes de représentation dérivent d'une double 
notion : 

1" Celle des éléments (lignes ou points) dimplan à un nombre 
quelconque de cotes; 

2" Celle de la variabilité de position les uns par rapport aux 
autres de plusieurs systèmes plans superposés, position définie 
pour chacun d'eux par un triple contact. 

Un Mémoire paru récemment (') donne une solution absolu- 



(') Bull, de la Soc. math, de France, t. WVI. p. 16. 
Bull, des Sciences rnathdni., 2' série, I. WII. (Juillet iS(j8.) 



178 PREMIÈRE PARTIE. 

ment j^éncTale et complète de la question, avec application à la 
représentation des équations à trois et à quatre variables au moyen 
de deux plans superposés. 

Une notation fort simple permet, par application du principe 
mis en évidence par cette solution, de donner, au moyen d'un très 
petit nombre de signes, le schéma complet de chaque mode de 
représentation. 

La détermination du nombre de ces modes de représentation, 
applicables à des éfjnations contenant un nombre donné Ji de 
variables, constitue un diflicile problème de partition dont la solu- 
tion complète a été donnée, dans le cas de deux plans superposés, 
parle Major P.- A. Mac-Mahon ('). La méthode suivie par le 
savant algébriste anglais peut d'ailleurs s'étendre à un nombre 
quelconque de plans. 

3. Lorsque 1 on considère un mode de représentation appli- 
cable à des équations contenant un certain nombre de variables, il 
est très facile de construire, au moyen de fonctions arbitraires, le 
type correspondant de ces équations. 

S'il s'agit, par exemple, du type des équations à trois variables 
représentables par l'alignement de trois points à une cote, on a 
immédiatement 

/lOi) 'fi(^i) 'r^iC^i) 



(0 



/2(a,) ç,(ao) -i.ÇaO 
/s (as) ?3(a.i) '^3(3^3) 



Si deux des trois systèmes de points à une cote sont distribués 
sur deux droites parallèles, on a le type 

S'ils sont distribués sur trois droites parallèles, on a enfin 

(3) /l(=t, )-+-/,(«,) -^/3(==3) = 0. 

Quand il s'agira d'équations à un ])lus grand nombre de varia- 
bles, et d'autres modes de représentation, la forme des équations 
correspondantes pourra être plus com[)liquée, mais il sera tou- 
jours facile de l'obtenir. 



(') Bull, de In Soc. math, de France, t. XWI, p. 5-. 



MÉLANGES. 179 

L'étude de détail, qui fait le principal objet de la Nomographie, 
permet de reconnaître, pour les équations de forme usuelle, les 
types auxquels on peut les rattacher et, par suite, les modes de 
représentation qui leur sont ap[)licablcs. 

Mais, théoriquement au moins — et c'est en cela que consiste le 
second ordre de questions visé plus haut — , le problème peut se 
poser de déterminer les équations aux dérivées partielles qui 
doivent être satisfaites pour qu'une équation quelconque donnée 
puisse être mise sous la forme correspondant à un mode déterminé 
de représentation. Ces équations aux dérivées partielles résultent 
de rélimination des fonctions arbitraires du type proposé. Théo- 
riquement, le Calcul différentiel offre le moyen d'effectuer une 
telle élimination, mais la mise en œuvre de ce moyen comporte 
généralement des calculs d'une complication rebutante et dont on 
ne peut guère venir à bout que grâce à des artifices spéciaux. 

De telles solutions ont été obtenues respectivement pour le 
type (2) ci-dessus par M. Massau (') et par M. Lecornu (-), pour 
le type (3) par le comte Paul de Saint-Robert (■''). 

La question reste encore à résoudre pour le type (i) qui com- 
porte, comme on voit, l'élimination de six fonctions arbitraires. 

4. Enfin, un troisième ordre de problèmes dérive de la consi- 
dération suivante : on peut, dans un type donné d'équation, com- 
portant un certain mode de représentation, particulariser la nature 
des fonctions arbitraires qui y interviennent; supposer, par 
exemple, que ce sont des polynômes algébriques de degré déter- 
miné, mais dont les coefficients restent quelconques, polynômes 
que nous appellerons composants du type considéré. Si l'on déve- 
loppe alors le premier membre de l'équation, on obtient un cer- 
tain polynôme et la question se pose dès lors de chercher, une 
équation algébrique de même forme étant donnée, à obtenir les 



(') Mémoire sur V Intégration graphique, Liv. III, Cliap. III, n» 178. 

(-) Comptes rendus, t. Cil, p. 8i5; 1886. Le type (2) est envisagé à ces deux, 
endroits comme celui des équations auxquelles est applicable le principe de l'ana- 
morphose de Lalanne. 

(3) Memorie délia R. Ace. di Torino, t. \XV, p. 53 (1871). Le t3pe (3) est 
envisagé dans cette Note comme celui des équatifms représoninliles au moyen de 
règles à calcul. 



i8o PKEMIÈUH PARTIE. 

polynômes composanls et à reconnaître sous quelles conditions 
tous leurs coefficients sont réels, ce qui, en Tcspèce, est évidem- 
ment indispensable. Celle recherche conduit à des problèmes 
d'Algèbre qui ne laissent pas d'être délicats. Elle se trouve poussée 
à fond en ce qui concerne les équations si importantes du Ijpe (i) 
ci-dessus [dont les types (2) et (3) ne sont que des cas particu- 
liers], lorsque tous les polynômes composants sont du premier 
degré, dans un Mémoire inséré Tan passé aux Acta mathema- 
tica ('). En se reportant à l'endroit cité, on verra combien, même 
en ce cas relativement simple, la discussion du problème exige de 
soins. 

Il s'en faut de beaucoup que ce qui précède comprenne toute la 
part qui revient aux Mathématiques pures dans le domaine de la 
Nomographie. Mais ce sont là les questions d'un intérêt primor- 
dial auxquelles elles doivent surtout s'attacher, le but de la Nomo- 
graphie pouvant être entièrement défini par les deux énoncés que 
voici : 

i" lleconuaîlrc et classer tous les modes possibles de représen- 
tation plane des équations; 

2° Une équation étant donnée, voir quels sont ceux de ces 
modes qui lui sont applicables, de façon à choisir parmi eux celui 
qui olïVe, en l'espèce, le plus d'avantages. 

La mise en (inivrc, dans chaque cas particulier, des principes 
ainsi découverts exige encore l'intervention de notions mathéma- 
tiques qui olFrent aussi un intérêt intrinsèque, mais nous ne pou- 
vons, dans celte courte Note, entrer dans aucun détail à ce sujet. 

(') T. \\I, p. 3oi. 



CO.Ml'THS KKNDL'S KT ANALVSiïS. i«i 

I - /'e^Tù ■ 

SCIIELL (W.)- — AiJ-GUMEiNK Ti!i:oR[E I)i:r Cikvi:n i)oppi:i.ti:ii Kuimminc; 
i.\ Ri:i\ geomethisciii:r Daustklling zur EiNEtiiiRUNG i\ DAs Studiim 
ih;r Cluventheorie. Zweitc erwcilcrlc Auflagc. Iii-S", viii-iGJ p. I>eipzig, 
TeiibiHM'; 1898. 

Il nous suffira de signaler celte deuxième ëdllion d'un Ouvrage 
dans lequel j\[. W. Schell, professeur à l'Ecole Technique de 
Carlsrulie, et bien connu de nos lecteurs par son Traité de Mr- 
crniiqtie {'), c\\)o?,e, sans faire ap[)ei aux niétliodes analytiques et 
par une voie pui'einent synthétique, les principales propriélés in- 
iînilésimales des courbes à double coui'bure. 

Après avoir signalé les propositions qui se rattachent à Finlro- 
duction de la tangente, du plan osculateur, de la normale princi- 
pale, l'auteur étudie l'enveloppe des plans normaux, les dévelop- 
pées, la sphère osculatrice, la surface rectifiante, la surface des 
normales principales dans une courbe absolument arbitraire. Il 
apj)lique ensuite les résultats obtenus à l'étude des courbes dont 
la courbure est constante, et plus généralement à l'étude des 
courbes de M. Bertrand, etc. L'Ouvrage se termine par deux Cha- 
pitres, dont l'un traite des surfaces développables passant par la 
courbe, et qui sout telles que par leur développement sur le plan 
la courbe se transforme en un cercle. L'autre traite des dévelop- 
poïdes de Laucret, c'est-à-dire des courbes dont les tangentes 
rencontrent une courbe donnée sous un angle constant. Cette 
théorie aurait gagné en intérêt et en simplicité à être rapprochée 
de celle des développées des surfaces enveloppes de sphères; mais 
l'auteur avait annoncé l'intention de limiter son étude aux 
courbes gauches. Cette nouvelle édition de son Ouvrage sera lue 
avec intérêt par lés étudiants qui désirent ne pas se livrer aveu- 
glément au Calcul et s'initier à la connaissance des méthodes 
synthétiques. 



(') Théorie der Beweguiig und dev Kràfte. Leipzig, Teubner: 1879. 



liull. des Sciences nuif/iéin., 2" série, t. \XII. ( Aoùl i8().S.) 



i82 P |{ K M I E H 1-; PARTIE. 

WEBER (H.;. — Leiirbicii der Algèbre. Un vol. in-8". xv-joà p. Biaiin- 
schwcig. Vieweg. 1898. 

C'est un heureux résultat, pour un Traité d'Algèbre, que 
d'arriver en quatre ans à une seconde édition. La faveur qu'a ren- 
contrée le Livre de M. Weber n'étonnera pas ceux qui ont lu cet 
important exposé de questions trop peu étudiées en France : il 
est permis de regretter que i on ignore à peu près, dans notre 
pays, cette théorie des corps algébriques, où les mathématiciens 
allemands ont trouvé la matière de si nombreuses découvertes, et 
de souhaiter (|ue la lecture de l'Ouvrage de M. Weber contribue 
à faire cesser celle ignorance. 

Les sujets auxquels est consacré le premier \ olume : délermi- 
nanls, propriétés des équations algébriques, et même théorie de 
Galois, sont plus familiers aux lecteurs français et, d'autre part, 
les changements qu'y apporte la seconde édition sont moins im- 
porlants que ceux qui nous sont annoncés pour le Tome second. 

JNéanmoins, en même temps que plusieurs Chapitres ont été 
revus au point de vue de la rigueur ou de la clarté, un certain 
nombre d additions intéressantes ont été opérées, particulièrement 
dans la théorie de réiiminalion, où l'on remarquera une manière 
nou\elle et intéressante de présenter l'élimination de deux incon- 
nues entre trois équations. 



.1. TaN'XEUV cl .1. MOLK. — Éléments de lv tiiéoiue des fonctions el- 
IJPTIQLKS. Tome III : Calcul intégral (I" Partie). — Théorèmes généraux. 
Inversion, i vol. in-8", VI11-2G8 p. Paris, Gaulliicr-Villars et fils, 1898. 

Les deux premiers Volumes de l'Ouvrage de j\OL Tannery et 
Molk étaient consacrés au Calcul différentiel, c'est-à-dire que 
les résultats oljtcnus étaient, d'une façon presque exclusive, dé- 
duits de la définition de la fonction -i u . au m()vcn didentilés 
anal\ tujues. 

Dans ce nouveau \ olunie, les auteurs suivent une tout autre 
\()ie : ils ap|)li(|uenl à hi théorie des fonctions doublenuMil |)éi-io- 



COMPTKS UENDUS ET ANAI,YSES. ,Hi 

ili(|ues les propositions londainenlales de Cauclij sur les inlégrales 
prises entre des limites imaginaires et retrouvent tout d'abord les 
lliéorèmes généraux de Liouville et la proposition capitale de 
M. Hermite relative à la décomposition des lonctions doublement 
périodiques en éléments simples. 

I^a première Partie du Volume, intitulée : Théorèmes qéné- 
raiiXi est consacrée aux a|iplicalions des propositions que nous 
venons de rappeler, en particulier aux développements en séries 
entières et en séries trigonométriques. Elle se termine par un Cha- 
pitre dans lequel les auteurs traitent magistralement le problème 
général de l'intégration d'une fonction doublement périodicpie le 
long d'un chemin arbitrairement fixé. 

La seconde Partie est consacrée à VJnversio/i. Ce problème dil- 
ficile est résolu par MM. Tannery et Molk d'une façon rigoureuse 
autant que sim|)le dans tous les cas possibles, et les formules sont 
appropriées aux calculs numériques. 

On peut dire sans crainte que cette partie de l'Ouvrage est faite 
pour satisfaire absolument les esprits avides de précision, qui ne 
se contentent pas d'apercevoir une solution, majié qui veident aller 
au fond des choses et arriver au calcul effectif des inconnues. La 
part personnelle des auteurs y est considérable, et si, comme il 
semble, ils se sont attachés d'une façon plus particulière à donner 
du problème de l'inversion une solution claire et générale, leurs 
efforts ont été complètement couronnés de succès. Comme pré- 
cédemment, nous allons analyser successivement d'une façon suc- 
cincte les différents Chapitres de l'Ouvrage. 

La première Partie : Théorèmes généraux, comprend six Cha- 
pitres. 

Chapitiie L — Applications du théorème de Cauchy sur les 
intégrales d' une fonction d^ une variable imaginaire. 

\. On obtient une égalité fondamentale en appliquant le théo- 
rème de Cauchv au parallélogramme des périodes, dont les som- 
mets successifs sont u^^ ^/^H- -îoj, , Wo + ^to, -f- 2 toj, ;/o + 2 W3 ; la 

partie réelle de — -. est supposée positive, afin que le parallélo- 
gramme soit ainsi parcouru dans le sens direct. 



iSi PREMIÈRE PARTIE. 

En particulier, si l'on applique celte formule à la fonction 
Ç(«), on retrou\e l'égalité 

-i 

Une fonction (loiihlciiicnl périodique ordinaire est une fonc- 
tion univoquc (pii n'a diuilres singularités que des pôles. Pour une 
telle fonction y( u), la somme des résidus à l'intérieur du parallé- 
logramme des périodes (et dorénavant nous sous-entendrons ce 
fait qin- Ton reste à l'intérieur de ce parallélogramme) est nulle; 
le nombre des zéros est égal à celui des pôles (deux au moins); la 
somme des zéros diminuée de la somme des pôles est congrue à 
zéro (modd. 2W|, aœ.j); l'équation /(?<) — C^o, C étant une con- 
stante, a autant de racines quey ( w) a de pôles, et la somme de ces 
racines est constante. 

Ce sont là les théorèmes de I^iouville. 

2. L"aj)plication de la formule fondamentale à la fonction 
J\u)'C{.r — If), .r étant quelconque, conduit à la formule de 
M. Ilciinite, ou de d(''Conq)Osition en éléments simples, 

i= I 

les ai ('tant les v pôles distincts de /(;/), d'ordres de midliplicité 
7./, et les zV'^ étant tels qu'aux environs de «, on ail 

/(«, + /„ = A." 1 --A /.(^J + A- (yV...^Aï:L,(i)'"-' +à'(/,). 

l!('(iproquemenl, eett<! formule délinil une fonction doublement 
ix-riodique si la somme des résidus i] :\''^ est nulle. 

Cette décomposition est uni(|ue; elle permet l'intégration de 
/( w) puisque 'Ç{ 11 — (i) est la dérivée de log3'( « — a). 

\\. Une fonction doublement périodique de seconde espèce est 
une fonction univo(|ue, sans autres singularités que des pôles, 
telle (pie 

.î( a -1- 2 oj, ) = ;j., -T ( u ), 4{ « -}- ). 0J3 ) ~ \s.^ J( u ). 

f.ii iiiull iplianl la loiiclion pai' une exponentielle con\enable. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i8j 

on |)(Mil loiijoiirs l;i rendre réduite, c'esl-à-dire telle que [i., = i. 

La dérivée logarlllimique de ^' {u) est doublement périodique 
de première espèce; donc, pour J(m), le nombre des zéros est 
égal à celui des pôles. 

L'exponenlielle e^'""^^ est la seule fonction transcendante entière 
doublement périodique de seconde espèce. 

Si l'on a 

C= — (-^1 l0S|Jt3— T^3log[JL, ), «0 = ^ (Wslog.Ui —tOi 10^(^3), 

on obtient pour rf(//) une décomposition en éléments sijnpies, 
identique à celle du numéro précédent, l'élément simple "C (i/) 
étant remplacé toutefois par 

(j Wi Uq 

Ceci suppose du^ /^ o ; mais si l'on avait du^ = o, ■?(«) serait le 
produit d'une fonction de première espèce par une exponen- 
tielle. 

Si les pôles et les zéros de ^ (a) sont les a et les b, on a 

\ a — \ 6= — (0J3 logi^i— wi log[^3) (modd.aw,, atoj). 

Si A,{u, Uq) désigne ce que devient A^[a) pour C= — ^(wq), 
on a une fonction particulière jouissant de propriétés intéressantes 
indiquées par MM. Tannei'j et Molk. 

4. Une fonction doublement périodique de troisième espèce est 
une fonction univoque, sans autres singularités que des pôles, 
telle que 

on a 

IMi W3 — 1M3 co] = /iTzi, 
h étant entier. 

Si M, = N, = o, la fonction est réduite : on peut toujours ré- 
duire ^'(u) en la multipliant par une exponentielle de la forme 
gA«°-+BH+c_ j^g nombre h est l'excès du nombre des zéros sur le 
nombre des pôles de W(u); si les a et les b désignent les pôles 



i8ti PREMIÈRE PARTIE, 

et les zéros de W («), on a 

> a — y b = hioi '-^r^ (modd. ^t»!, -2103). 

On trouve ces théorèmes en appliquant la formule fondamen- 

W( a) W( u ) 

taie de Cauchv aux fonctions —. et iir-r^, — -• 

^ ( u) ^ (u) 

La fonction transcendante entière de troisième espèce la plus 
générale est de la forme 

où <!>(« H- C) est la fonction <ï> de M. Hermite pour // zéros. 
Si Ion pose 

F u, w) = — ^ > c/"-'' ; , 

i TZ iTZ w 

où .r = e*^', y = e ^' ^ on définit une fonction de u propre à ser- 
vir d'élément simple pour la décomposition des fonctions de 
troisième espèce, ainsi que l'a montré M. Appell. 

Si // >■ 0, et si la fonction ^' {u) est réduite aux multiplica- 

tcurs I et e *"• , on a, comme antérieurement, 



W{ 



l = V 

•«^ r àF r)* — ' FT 

«) = *(«)+> A'/' F ^ AV 3- -^- • • + A'a'.L, -— -- 



^{li) étant une fonction <I> de jNI. Hermite à h zéros. 

Si /i<^o, on a, pour une fonction ^'('0 réduite aux mêmes 
multiplicateurs, la formule 

"^'('0 =-2[Bl,'' F(a,-, u) + B''>F'(«,-, «)+..• + By.L, Fi='.->-'(«,-, u)], 

les B''^ étant, comme les A''^ de la formule précédente, des con- 

II T-/r,^/ \ 1. • 1 1 j âPF(u,iv) 
slantes convenahles et r '^ ( a,, a) désignant la valeur de ^ 

quand on y fait 11 = Oi, (v= a. 

Le cas de h = o est inutile à considérer, et des formules précé- 
dentes on peut tirer la forme générale des fonctions de troisième 
espèce. 



COMPTIiS HENDUS KT ANALYSES. iS; 

5. En melUinl à la fois les zéros el les pùlos en évidence, l'ex- 
pression générale d'une fonction de première on de seconde es- 
pèce est 

„ Ci a — 61) ■i{u — bi). ..'^{u — 6v) 



gC«+C' 



(j{u — ai)j(u — a-i). . .(j{u — flv) 



Si la fonction est de première espèce, et si -a=^i]6|, on a 
C=o. 

Une fonction de troisième espèce sera de la forme 

3" ( M — ai ). . .:j(u— tty) 
OU encore 

*,5,(7< -7- D) 

*(■/) ( « H- G ) 

<Ï>(A,(/^) désignant la fonction de M. Hermite à h zéros. Pour les 
fonctions de première espèce, on a 

A = B = o, C = D. 

Chapitre II. — Applications de la formule de décomposition 
en éléments simples. 

1. Les conséquences de la formule de décomposition en élé- 
lîienls simples sont nombreuses. En particulier, elle conduit direc- 
tement auv relations connues 

a' ( u -^ a) ^y ( a — a) 

- = |j a — ,p a , 



a'- u -j-a 
V'- « = 4 P-^ " — g± V " — h'i ■ 

De même, les formules relatives à la division par n de l'une des 
périodes se présentent comme d'elles-mêmes, et l'on en déduit les 
formules de multiplication pour les fonctions i, ^, j); ces dernières 
formules peuvent être obtenues tout aussi facilement par une voie 
directe. 

2. Les fonctions ^, sn, en, dn, traitées de la même manière, con- 
duisent de la façon la plus simple aux formules déjà connues et à 
des formules nouvelles intéressantes. 



iS8 PREMIERE PAKTIE. 

3. Dans ce paragra|)he, les auteurs indiquent comment on dé- 
veloppe suivant les puissances de ^^ les fonctions p ii^'Ca, ^u^da^u, 

plus généralement y(//, f/„) = e-"'"» — — —, A^[i/,i/u); com- 

ment on trouve l'expression de p" u en fonction linéaire de pu et 
de ses dérivées ; les expressions de J3-"' u en fonction de pu el p' u ; 
comment enfin on exprime j3"'(w — «) en fonction de p«, pa, 
p' u, p'o, et comment on en déduit les valeurs des intégrales 

du 



A = ç ^ 



•4. Des dévelop|.ements précédents, on déduit les développe- 
ments en séries entières des fonctions ç, sn, en, dn; les expressions 
linéaires des dérivées de ces fonctions au moven de leurs puis- 
sances, et inversement les expressions linéaires des puissances de 
ces fonctions au moyen de leurs dérivées, el, par suite, les inté- 
grales de ces puissances. 

o. Ici, MM. Tannery et Molk montrent comment M. Hermite a 
pu calculer le développement en série entière de la fonction en 
et, par suite, de dn et de sn, en se servant de la transformation de 
Landen. 

6. Dans ce dernier paragraphe, la méthode de décomposition 
en éléments simples est appliquée aux fonctions de Jacobi. Les pé- 
riodes sont aK et a/K', et il est convenable d'introduire comme 
élément simple la fonction Z(«), facile à dévelo[)per en série. En 
même lemps, on introduit les notations E, E', de Legendre. 



Chapituf, III. — Suite des théorèmes généraux. 

MM. Tannery et Molk démontrent d'abord que toute fonction 
doublement périodique du second ordre vérifie nne équation de 
Tune des deux formes 



COMPTIiS IIKNDUS KT ANALYSES. 



189 



ou 



ar-"- 



A)(7-B)(j-C), 



suivant que ses pôles sont distincts ou confondus. 

Si maintenant '^(if) est une fonction du second ordre, toute 
fonction doublement périodique ^(u), aux mêmes périodes, s'ex- 
prime rationnellement au moyen de o(u) et de cp'(//). 

En particulier, on a 

A, B, D étant des polvnomes en pu. 

Entre deux fonctions doublement périodiques, admettant les 
mêmes périodes, existe une relation algébrique. 

Si deux fonctions doublement périodiques, à périodes non 
identiques, sont liées par une relation algébrique, les quatre pé- 
riodes se réduisent à deux, c'est-à-dire qu'elles sont des fonctions 
linéaires à coefficients entiers de deux périodes. 

Si deux fonctions doublement périodiques ont les mêmes pé- 
riodes, une troisième fonction de même nature s'exprime ration- 
nellement au moyen des deux premières (en général). 

Toute fonction doublement périodique a un théorème algé- 
brique d'addition, c'est-à-dire que F{u -+- r) est une fonction 
algébrique de F(u) et F(r). 

Toute fonction doublement périodique a un théorème algé- 
brique d'addition univoque, c'est-à-dire que F(w-}- r) est une fonc- 
tion rationnelle de F(//,), F(p), F'(w), F'(t'). 

Tels sont les théorèmes fondamentaux établis dans ce Cha- 
pitre sans faire appel à la théorie des fonctions analytiques. 

Chapitre IV. — Addition et multiplication. 

1. Après avoir rappelé les formules d'addition relatives à pu 
et déjà établies, les auteurs développent les conséquences de 
l'identité 



I p II p a 
I fia p' a 
I p6 ,p'6 



i-j{a — b) :f{it — a) a'(u — b) j(u -i- a ^ b) 
a'^a ^^b :j^ u 



[<)o PREMIÈRE PARTIE, 

cas particulier de litlcntilé plus générale 



[ j-i«o p "0 
I pui p'Ui 



I Pliii p Un ■ 
= (—l)"l\2\ . 



p"-"Uo 



(r ( «0 -H Ui 



Un) n3'(<fa— U^) 



C"-'-' W-o C'*-^' Ui. . . 0"''+' Ua 



(^>?)- 



2. l^our u^^=^ u, //, = « -i- A, ..., u„=i II -\- iili, et A lendant 
vers zéro, lidenLilé précédente devient 



, ^(/m) (-0''-' 



P « 


p " 


p" « 


p'" u 


(«-l'« 


pi"' « 



p'"'« 



Après avoir mis en évidence les propriétés des (onctions W„{ji), 
et les moyens de les calculer, MM. Tannerj et Molk déduisent de 
la foimulc précédente la formule de multiplication pour pf/,soil 



p{iiu) — pa = 






3. Les généralités sur les théorèmes d'addition relatifs aux 
fonctions ^, sn, en, dn, terminent le Chapitre. 

Chapitre V. — Développements en séries trigonométiiques. 

\. Après avoir défini une fonction ls((^), qui est formée avec 
les valeurs de logsin p, de façon à devenir une fonction holomorphc 
dans le j)lan coupé j)ar les segments qui vont de o à — o) et de i 
à + oo suivant l'axe des quantités réelles, MM. Tannery et Molk 
établissent les développements trigonométriques des fonctions 

]og3«(r), logc^?/, W^d^u,'^"^, Zif, Cj,(/, p//, p(;/ + tOa), etc. 

Les conditions de convergence de ces séries sont établies avec le 
plus grand soin, et la signification des s^ymbolcs ambigus qui 
peuvent y entrer est fixée de la façon la plus précise. 



2. Dans ce paragraphe sont établis à l'aide du calcul d'une 



COMPTKS UKNDUS KT AXAl^VSI-S. k), 

iiilcgrale définie, Irois développemciils trigonomcLri(|iK:s difï'c- 

1 I • f . • Sq( ( t" -h IV ) 

renls pour cliaciine des seize loriclions — ^ — -: parmi ces 

développenienis, il en existe de 1res rapidement convergents, 
qui conviennent, par suite, aux calculs numériques. On en 

1 ' 1 • I 1 ' 1 1 /• • S'a ( (^ ) S) (^ <0 / y \ 

déduit des developijements pour les tondions f ' -r^ — - (u.^!), 

3. Les développements précc'deminent obtenus en fournissent 
d'autres en grand nombre pour les constantes successivement intro- 
duites dans la théorie des fonctions elliptiques; ces nouvelles for- 
mules trouvent leur place dans ce paragraphe. 

Chapitre \ 1. — Intégra/es des fonctions cioiiù/cment 
périodiques. 

1. 11 suffit de savoir intégrer la fonction ^(a — a), d'après la 
formule de décomposition en éléments simples : en cfî'et, les 
parties d'une intégrale qui sont fournies par les termes tels que 
^^"^{u — a) ne dépendent que des limites et non du chemin d'in- 
tégration. 

Comme on a 



où i( := 2f co, il suffit de savoir intégrer la fonction ^ 



•20J1 3-i(p) 

Dans ce premier paragraphe, iMM. Tannerj et Molk montrent 
comment on calcule les intégrales des fonctions que nous venons 
d'indiquer, prises le long d'un segment rectiligne joignant deux 
points congrus (modd.9. (o,, atos). 

2. Quand le chemin d'intégration est quelconque, ne passant 
par aucun pôle, bien entendu, il est facile de calculer l'intégrale 
à un multiple près de 2i- : c'est ce multiple qu'il faut déterminer. 

Dans certains cas simples, la solution est immédiate. Dans le 

cas général, pour calculer f ^i( dit^ on ramène cette intégrale à 



Kja PREMIÈRE PARTIE. 

une intégrale analogue prise le long d'un chemin C situé toul 
enlier dans une région B,, où Ion puisse définir logjw comme 
une fonction holomorphe ainsi qu'on l'a fait précédemment : cette 
réduction peut se faire de diverses façons. On peut ensuite quand 

il s'aËfit de / ^ V cIk- calculer STi ii) nu mériciucment à l'aide du ne 

° J ^\{V) V / I 

série très convergente, et obtenir ainsi log.C7|(t); quant au mul- 
tiple de 2/- qui Taccompagne, il est déterminé par le calcul 
approximatif fort rapide de la valeur de log27((i) fournie par une 
série obtenue antérieurement. 

3. Dans le cas normal, c'est-à-dire si -. est réel et positif, on 
peut pour calculer les intégrales / — — -^ dv employer une nouvelle 

méthode, qui a l'avantage de fournir d'utiles renseignements sur 
la fonction '^^ ( r). 

D'abord, il suffit de supposer le chemin dintégration contenu 

dans un rectangle R dont les sommets ont pour affixes ~ ~ ' ; si 

le point .^i(i') est l'image de r, l'aire de ce rectangle a pour 
image une aire à contour simple K'. En faisant dans R' une cou- 
pure convenable, on définit sans ambiguïté largument de ?j^{v)\ 
en faisant dans R la coupure correspondante, on définit log Si, (t») 
comme une fonction univoque; il. est alors facile de calculer l'in- 
tégrale proposée, en ayant soin de tenir compte de la coupure. 

Plusieurs exemples, souvent utiles dans la pratique, font bien 
comprendre la méthode. 

La seconde Partie : I iiversion, comprend deux Chapitres. 

Chapitrf. \ II. — On donne k- ou g^, gi\ trouve/- - ou co,, W3. 

On a toujours supposé donnés jusqu'à présent les nombres co, 
et {03 ; c'est avec eux et leur rapport qu'ont été construites toutes 
les fonctions précédemment définies et étudiées. 

Mais dans les problèmes qui dépendent des fonctions elliptiques, 
ce ne sont pas ces nombres qui sont immédiatement donnés: la 
solution de ces problèmes se ramène à l'intégration de l'équation 



COMl'TIiS UKNUl'S li T ANALVSIiS. ,,,{ 

dillV'ri'iiliellc 

y-2 Cl V;, élanl des nombres donnés, tels que y:! — '^-T^'^ ne soil pas 
nul. 

On aura une solution de eelte équation si Ton connaît deux 
nombres to, et (1)3, à rapport imaginaire, tels que les fonctions fi;-.^ 
et «:, de ces nombres aient les valeurs données Vo et •':(. On peut 
aussi bien considérer Féqualion 



(^)'" = ('-->"^^'- •"-•>")' 



X étant un nombre donné différent de o et de i; il faut alors 
trouver un nombre imaginaire -: dans lequel le coefficient de / soit 
positif, et tel que la fonction Â'-(t) soit égale à x. Il s'agit donc de 
déterminer toutes les solutions des équations 

ou bien 

dans les conditions précédentes. 

MAI. Tannerj et Alolk montrent d'abord que la dernière équa- 
tion a une solution si x est un nombre réel, positif et plus petit 
que un; ils en déduisent, en s'appu\ant sur ce que deux fonctions 
analvtiques d'une même variable ne peuvent coïncider sur une 
ligne sans être partout identiques, que la même équation a une 
solution, SI X est un nombre cpii nesl ni négatif, ni positif et plus 
grand que un. 

Celte solution est définie avec toute la précision nécessaire. 

Connaissant cette solution t,, il est facile d'obtenir toutes les 
solutions de l'équation; elles sont de la forme 



(i et cl étant des entiers impairs, c et d pairs. On obtient ensuite 
toutes les fonctions analytiques de la variable x qui, mises à la 
place de t, changent identiquement />-(t) en x. 

Les premières é([ualions se ramènent aisément à la dernière. 



I9i PKH.MIKRE PARTIE. 

2. Dans ce paragraplic. les auteurs éUidient de plus près les 
fonctions 

X(-/.)= / . ^ (>'■)= / ' —.— ■> 

• yi — ■/. sin^o ^/q yi — (i— y, )sin*© 

OÙ la variable d'intégration est réelle, et où les radicaux ont leurs 
parties réelles positives; ces fonctions, qui sont essentielles dans 
la résolution de l'équation A--(-:) = x, sont lioloniorplies dans le 
plan eonvenablenient coupé. 

Elles v(''rilirnl léquatioii du second ordre 

les auteurs étudient les solutions de cette équation, puis les fonc- 
tions analytiques de x que l'on obtient en continuant les séries 
entières qui, aux environs d'un point du plan coupé, coïncident 
avec les développements de X(x) et X.'(x). 

3. Ce paragraphe est consacré au calcul elléclif de t, to,, 0)3. 
Des séries convenables permettent de calculer t pour | x | -< 1 5 les 
autres cas se ramènent à celui-là, en vertu des propriétés des 
fonctions X(x) et X'(x). 

Mais il est préférable de calculer q; car alors on a, par une 
série très convergente en général, 

X = '^ {\ -^ -xcj -^ iq* ~ 7.q'^ ^ . . .)-, 
puis 

où If Idgarilhiue doit recevoir sa valeur )jnncipale; largunicnt 
de cj doit être lui-même choisi eiiirc — — et 7:. 

Pour I X I << I , il est facile de trouver des séries entières four- 
nissant q et les puissances j)0sitives de q \ ces séries sont intéres- 
santes, et Ion peut déterminer la limite de Terreur commise 
quand on s'arrête à un terme de riiiii; (pielconquc. On |)eut aussi 
obtenir des formules générales. 

M M . ! aniicrv et Molk se sont attachés à montrer commetjl. dans 
tous les cas |)ossibles. on peut s'ari'angcr de façon à calculer avec 



CUMPTIiS KliNDUS KT ANAI.YSKS. k,} 

des séries rapidemenl coincri^enles el à ohleiiir pour y une jx^lile 
valeur absolue : des Uil)leaMX melleiil en évidence les Iransfor- 
nialions (|u'il faut, (aire dans les dillérents cas. Ils Irailcnt, en par- 
liculier, le cas très imporlanL en pratique où y^ ^^ 7.1 sonl réels, 
et indiquent des procédés de calcul spéciaux pour ce cas. 



Ghapitue VIII. — I n\ersion des fond ions doublcnicnl 
prriodùiKcs du second ordre. 

1. L'é(piation ; = su « délinit a comme une (onction de c cpii 
peut èlre représentée explicilement par une intégrale délinie l)ien 
connue. Les auteurs consacrent quelques pages à l'étude directe 
de cette intégrale définie, origine de la théorie des fonctions 
elliptiques. 

Celte propriété d'inversion se généralise pour toute fonction 
doublement périodique du second ordre. 

2. Dans ce dernier paragra[)he, MM. Tannery et Molk résolvent 
les questions suivantes avec leur précision liabiluclle : 

i" Calculer à l'aide d'une série convergente l'intégrale 

/ "" prise le long d'un chemin déterminé; 

•^'r,, V^' — ^- V ' — k- Z' 

2" z et z' vérifiantla relation z--=^{\ — ^")(' — /*'"^')^ trouver 
une valeur de 11 telle que sn;/ = ;, sn'w =:; z' . 

Après avoir obtenu des séries répondant à ces questions dans 
le cas de I /» I < I j et qui ne convergent rapidement que si la quan- 
tité I /,• I est très |)elite, ils en déduisent, au moyen d'une double 
transformation de Landen, de nouvelles séries très bien appro- 
priées au calcul numérique, el qui, de plus, conduisent facilement 
à la détermination d'une solution des équations y>u = P, j)'?/ ::=P', 
Pet P' vérifiant la relation V'-^^^V^ — giV — ga. Ce Chapitre 
et le précédent contiennent la démonstration de la plupart des 
formules données par M. Schwarz dans les n''^ 40-50 de ses For- 
mules et propositions pour remploi des fonetions elliptiques. 

H. AisnoYEr. . 



196 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



DiRiCHLET (G.-L.). — Dirichlel's Werke, herausgeg. auf Veranlassg. 
der kônigl. preuss. Akademie d. Wissenscliaften von L. Kronecker ii. 
L. Fuchs. ■> l'Scliliis'i-) B(l. Gr. in-8", x-4ia f>. Berlin, G. Reiincr. 18 m. 

DïCK (W.). — Ueber die wechselseitigeii Beziehungen zwischen der 
reinen u. der angewandten MatJiematik. Festrede. Gr. in-j", 38 p. 
Mijnchen, Fran/.. i m. 20 pf. 

IIai.i, ( \\'.-S.). — Eléments of tJie Dijferoitial and Intégral Calculas. 
In-8". î\e\v-Y(jrU. Relit'-. \>. sh. 

IIaentzsciikl (E.). — Ueber die verschiedenen Grundlegungen in der 
Trigonométrie. Eine historiscli-kritische Stiidie. Gr. in-8", 8 p. avec 
I fig. Lei|)zijï, Durr. 40 pf. 

Ki.EiN (F.). — Ausgewàhlte Kapitel ans der Zahlentheorie . i. u. -x. 
Vurlesurif;. I11-4". Leipzig, Teubnor. 14 111. 5o pf. 

1 : v-;^9'( p. autogr. avec fig. — 2 : v-o54 p. aulogr. 

Richard (J.). — Leçons sur les méthodes de la Géométrie moderne. 
In-S", 9.42 p. avec fig. Pari.'^, Société d'édiiioiis scientifique?. G fr. 

Bravais (A.). — Abhandlung iiber die Système von regel mâssig auf 
einer Ebene oder im Raunie vertheilten Punkten (1848). Ucbersetzt u. 
iicrausgeg. von G. m. I*]. Blasius. In-8", i4'.'. p. avec 2 pL Leipzig, Engel- 
inann. Cart. .>. m. 

(Ostwaifl's Klassikcr der exaUlen ^^'isscns^l)aflen. ()0. Bdchn.) 

BiHAi.i-FoRTi (G.). — Introduction à la Géométrie différentielle, 
suivant la métliode de H. Grassmann. In-S". xi-166 p. Paris, Gaulhier- 
Villars et fils. 

BuRNSiDE (VV.). — Theory of Groups' of Finite Ordcr. I11-8". Gam- 
bridge Univ. Press, ij sli. 



COAIPTliS UENDUS ET ANALYSI-S, i<)7 

COMPTES HENDUS ET ANALYSES. 



CANTOR (-MoiUTz). — Vorlesunoex iekeii Ges<:iiiciite ijeii IMatiiejiatik. 
Dritter (Schluss-) Band, voni Jalirc 1668 bis zumJalirc ijâS. Dritte Abtlici- 
lung. Die Zcil voa 17 '.7 bis 17)8. In-8". 4'3G p. Leipzig, Teiibner. i8()S. 

Le premier fascicule du troisième cl dernier \ olume des Vor- 
lesiingen avait paru en iSg/î» 'e second en 1896; l'illustre histo- 
rien de la ]Malliématique a enfin achevé la tâche qu'il avait 
assumée il y a déjà vingt ans. Le succès mérité de son ouivre l'o- 
bligera d'ailleurs à réserver le reste de sa carrière pour soigner 
une nouvelle édition (dont le premier \ olume est déjà paru); il 
laisse donc à d'autres l'entreprise de continuer son histoire après 
la date où il l'a close, au moment de l entrée en scène de La- 
grange. 

Il est inutile de dire que le dernier fascicule est à la hauteur de 
l'œuvre tout entière et que, loin de trahir le moindre affaiblisse- 
ment de la pensée, il nous montre M. Cantor, à soixante-huit ans, 
en pleine maturité de talent. S'il n'avait plus cette fois à raconter 
des disputes célèbres, comme celles de Newton et de Leibniz, ou 
des frères Bernoulli, il a laissé à ses futurs continuateurs un vé- 
ritable modèle, par la façon dont il a su analyser, avec précision 
et exactitude, Tœuvre d'Euler, pour lequel il ne cache pas au reste 
sa prédilection, tout en relevant avec soin les singulières incerti- 
tudes de doctrine en ce qui concerne l'emploi des séries. 

Voici la liste des dix-huit Chajiitres que contient le fascicule : 

101. Histoire de la Mathématique. Editions classiques. Dic- 
tionnaires. 

102. Calcul, particulièrement en Allemagne (M. Cantor re- 
grette, à bon droit, le défaut, pour les autres pays de l'Europe, 
d'Ouvrages qu'il aurait pu utiliser pour cette question). 

103. Livres élémentaires de Géométrie. Théorie des parallèles. 
Saccheri. 

104. Recherches particulières en Géométrie élémentaire. 

105. Algèbre de 1727 à i745- 
100. Algèbre à partir de 1746. 

Bull, des Sciences matlictn., -2"^ série, t. WII. ( Scptcmlji'e 1898.) Uf 



KjS P m: .Ml KHI- PARTIE. 

lUT. 1 lii'diic (lr> nonihrcs. 

lOS. riK'orif des coiiihiiiiiisons. Calcul des ]iro])al)iliu'-s. 

10'). Les séries (jusqu'en 1706). 

110. Les séries (à partir de 1787 jusf|tren iji'S). 

111. \J Introductio [in analysin in/i/ii(o/u/n) d'Eu\er, \ o- 
luMie 1 . 

ll!2. Les séries (de l'iij à ijoi)- FondcnienLs du Calcul dille- 
renliel . 

1 1;^ Le Crf/ciil <li[]'('renliel (rEuler. 

lli. Céomélrie analvli(|ue jusiju'cn ij'î*^». Clairaut. Braiken- 
rid^e. De Gua. 

\\o. Géninélrie analytique de 1740 à 1 7 i8. Maclaurin. L7//- 
Irodaclio d'iMiler. \'olunie IL 

1 1(). Géométrie analytique de \~/\^ à 1706. Cramer. 

117. Problèmes de maxiina et niinima. La Melhodus in^e- 
nicndi d l-.uler. 

I 1<S. Intégrales définies. E([uations diirérenlielles. 

M. Cantor est donc resté fidèle au jdan qu'il avait adopté et 
accusé de ])lus en plus à partir du commencement de son second 
Nolume : couper l'Histoire par périodes bien définies, pouvant 
donner lieu à une conception d'ensemble; dans cbacune de ces 
périodes, suivre un ordre déterminé de matières, en reprenant 
dans chaque Cha[)itre Tordre chronologique. Ainsi, pour le se- 
cond Volume, Jes limites des périodes sont 1200, i3oo, i4oo, 
[45o, ijoo, i55o, 1600, iG()8; pour le troisième, ces limites sont 
1668, 1700, 1727, 1758. On voit que l'intervalle, d'abord de cent 
ans, est tombé bientôt à cinquante, ])uis à trente en moyenne. Il 
est évident ([ue pour continuer Ihi^toire de la Mathématique avec 
le même détail (et il est indispensable, à mon sens), il faudrait 
réduire de plus en plus les périodes, et alors elles perdent leur 
utilité, de représenter une génération définie, qui a été dominée 
par certains hommes, et obéit à certains courants intellectuels. A 
l'extrême limite, on arriverait à de simples annales méthodiques. 

]3éià, dans le dernier fascicule, l'inconvénient est sensible. 
Euler semble le remplir, et cependant nous n'avons là que la 
moitié de sa carrière, puisqu'en lyaS il avait encore vingt-cinq 
ans à vivre. De plus, son œuvre est morcelée, puisqu'il a touché 



COMI'I'I'S KHiNDUS in ANAI-VSI':S. 199- 

à loiik's les i)iMii(Iics de la Science, et si, dans cliacune de ses 
hranclies, M. Canlor s'est allaché avec succès à faire ressorlir l'é- 
volution intellectuelle, il lui a fallu sacrifier l'histoire propre de 
l'esprit d'Euler, puisque, pour ses diveis travaux, l'ordre des ma- 
tières l'emporte sur l'ordre (■lironoIoi^i(pie. 

i3ans sa pr(''face, M. Cantor ne s'est nullement dissimulé cetin- 
convéjiient, et il se demande si, pour continuer son Histoire, il ne 
serait pas préférable d(.' l'écriie |)ar j)lus longues périodes pour les 
branches distinctes de la Science. Peut-être y a-t-il une autre 
question à poser et un autre desideratum à exprimer. 

Sans aucun doute, il y a grand intérêt à entreprendre dès 
maintenant de continuer l'histoire de la Mathématique pour cent 
ans au moins après la date à laquelle s'est arrêté M. Cantor. Si 
l'on veut la poursuivre jusqu'à nos jours, Tordre par branches de 
la Science s'imposera forcément. Si l'on se limite à trente on qua- 
rante ans en arrière, on pourra bien encore continuer par pé- 
riodes, et le succès, pour l'avenir, de l'un des deux systèmes sur 
l'autre dépendra surtout de la valeur de ceux qui tenteront de les 
appliquer. Mais si ]M. Cantor a amplement prouvé que l'histoire 
de la Mathématique abstraite se suffit à elle-même, du moment 
où l'on étudierait séparément chacune de ses branches, il vaudrait 
la peine d'introduire aussi dans le programme l'histoire des Ma- 
thématiques appliquées. 

Le plan de Montucla, qui embrassait même l'Astronomie, était 
décidément trop vaste pour être repris, dans notre siècle, par un 
homme seul. Mais M. Cantor lui-même laisse une lâche qui sera 
peut-être mieux accomplie, si plusieurs se la partagent. Ce serait 
là un motif pour prévoir, sinon pour désirer le système de l'flis- 
tolre par branches spéciales. Dans ce cas, comment ne pas ré- 
clamer que la part soit faite à la Mécanique et à la Physique ma- 
thématique, pour ne pas parler d'autres sujets? J/analyste n'a-t-il 
pas autant d'intérêt à être renseigné exactement sur les idées, 
même abandonnées, émises dans des domaines étrangers, mais où 
il peut toujours faire une excursion, que sur les origines des pro- 
cédés de calcul avec lesquels il est familier. 

D'autre part, au-dessus de l'histoire de la Mathématique pure 
ou appliquée, il y a celle de la Science qui ne peut être constituée 
tant que les histoires particulières ne sont pas suffisantes, mais à 



■ion P H h: M 11- HE PAUTIE. 

laquelle il laul Icndrc néanmoins, car seule elle peut représenter 
sous ses divers aspects le développement de l'esprit humain. Si la 
spécialisation s'impose, par suite de l'accroissement de la littéra- 
ture scientifi(jue, il n'est que plus nécessaire de ne pas isoler la 
iMalhématiquc pure des questions qui lui ont donné naissance el 
(|iii n'ont pas cessé de provoquer son essor. El précisément, lors- 
que, en achevant la lecture du dernier fascicule de M. Gantor, je 
inc suis demandé s'il donnait une impression bien nette de la 
science mathématique de cette époque du wm*^ siècle, il m'a 
semblé qu'il v manquait une caractéristique saillante; c'est que 
les problèmes que proposent les Académies des Sciences sont le 
j)lus souvent d'ordre pratique ou au moins concernent une appli- 
cation; ccst qii'Euler, Dalembert, Clairaut, Daniel Bernoulli 
emploient à des questions de ce genre la majeure partie de leur 
temps, c'est qu'ils constituent la Mécanique rationnelle, la Méca- 
nicpie céleste, l'Hjdrodvnamique, qu'ils s'essaient à appliquer les 
Mathématiques à la Phvsique, que c'est de là que naissent les 
problèmes de théorie pure qui renouvellent le champ des études; 
qu'enfin c'est dans ce travail d'application que consiste le prin- 
cipal progrès mathématique de l'époque. 

Dans l'Ouvrage de M. Gantor, cette lacune est voulue; aussi 
n'est-ce point une critique que je lui adresse; mais, jusqu'au 
(li\-liuilième siècle, cette lacune n'était pas réellement sensible. 
Les PrincÀpia de Newton appartiennent encore, pour partie au 
moins, à l'histoire de la Mathématique pure; ensuite le lien se 
brise. Un jour ou l'autre, il faudra le rattacher. Pour notre siècle, 
un éniinent penseur vient d'essayer de le faire ('), mais j)Our le 
dix-huitième la tâche reste entière et elle mérite de ne pas être 
ni'^liiiée. Pacl Ïakkeky. 



(') John Tiikoijou .Mkhz. .1 hisiory of european Ihouglil in the nineleenth 
rentury. \o\. 1, Inlnxlaclion : Scientijîc lliougkt. Pari I. lùliiiilxîurs cl Loiulic;^, 
William iîlackwood and Sons, 1896. 



COMPTES UKNDUS K T ANALYSES. 



HAC.IIMANX (P.)- — ZAïiLKNTiiKORif:. Versiicli ciiicr riosammldarslelliini^ 
(liescr Wissenschafl in ilircn Ilaiipllhcilcn. Vierlcr Tlieil; Die Arhhuictik 
(1er quadratlschen Formen. Ersle Ablliciliiiii:. Un \ol. iii-8"; wi-GSS p. 
Leipzig. Teubncr, 1898. 

M. BacKinann poursuit la belle exposition d'ensemble des diverses 
parties de la théorie d(îs nombres qu'il a entreprise. Le Bulletin 
a déjà rendu compte de deux Parties de l'Ouvrage de M. Bachmann 
consacrées, l'une aux éléments de la théorie, l'autre aux recherches 
analjticjues qui ont leur origine dans les travaux de Lejeune- 
Dirichlet. C'est une réédition du Livre fclassique de l'auteur sur 
la division du cercle et les théories arithmétiques connexes tnii 
formera la troisième Partie de son Ouvrage, dont la quatrième 
contiendra la théorie arithmétique des formes quadratiques. Le 
|)remier fascicule de cette quatrième Partie vient de paraître. Il est 
à peine utile de dire que ce Livre sera bien accueilli et qu'on j 
trouvera, comme dans les volumes précédents, une pai-falte clarté 
dans l'exposition, une grande richesse d'information, et cette 
habituelle élégance dans les démonstrations que le lecteur, familier 
avec les modèles admirables qu'ont laissés Gauss et Lejeune-Di- 
richlet, est disposé à exiger de tous ceux qui écrivent sur la 
théorie des nombres. 

^L Bachmann expose tout d'abord la théorie des formes qua- 
dratiques ternaires : sans être l'esclave de la méthode historique, 
il estime que l'exposition doit suivre, dans ses grandes lignes, le 
développement de la Science, et que rinlelligence d'une théorie 
particulière et, en quelque sorte, concrète, doit faciliter singuliè- 
rement l'intelligence de la théorie générale. 

Il établit d'abord quelques propositions algébriques : formes 
adjointes, identités fondamentales, propriétés des substitutions 
linéaires, transformation d'une forme quadratique en elle-même : 
sur ce dernier point, il utilise surtout les recherches de M. G. 
Cantor; passant ensuite aux propriétés arithmétiques, il se bor- 
nera d'ordinaire au cas où le discriminant est impair. 11 distingue 
tout d'abord Tordre, l'espèce, la classe. L'ordre (li, A) d'une forme 
quadratique 

rt.r^-i- «'j-'--i- a" x"'-^ ■?.b x' x" -{- ib' x" x -r- 'ib" xx' 



'202 i"iui.\iil:i;i-: i-Ainii:. 

dépend de deux enliers il, A liés au discriminant D pai- la relation 
D = Q-A, et dont le premier est le pins <;rand commun diviseur 
des coefficients de la forme adjointe. L'espèce, au sens d'Eisen- 
stein et de S. Smitli, se définit par certains caractères quadratiques, 
la classe par i'éqnivalence des formes qui la constituent. Ces no- 
lions acquises, l'auteur traite de la représentation d'un nombre 
par une forme, puis de la transformation d'une forme en elle- 
même, par nne substitution entière. La définition de res[)èce 
conduit immédiatement à une limite supérieure du nombre d'es- 
pèces contenues dans un ^^cnre; mais la détermination des espèces 
(jui existent réellement n'est pas sans difficulté. 

Après s'être occupé de cette question, .AL Bachmann introduit 
la notion de masse, due à Eisenstein : la mesure d'une forme 
j)0sitive (ou de la classe de cette forme) est l'inverse du nombre B 
des substitutions entières qui changent celte forme en elle-même; 
de celte notion, on passe à celle de la mesure d'une espèce, ou 
d'un ordre; c'est la somme des mesures des formes distinctes 
contenues dans celle espèce ou cet ordre. Après s'être occupé de 
la forme x- -\- x'- -\- a:"''^ et démontré les propositions classiques 
sur les décompositions en trois carrés, en cpiatre carrés, en nom- 
bres polygonaux, l'auteur consacre un important chapitre à la 
détermination (pour des forines positives) de la masse d'une 
espèce ou d'un ordre par les méthodes d'Eisenslein et de Smilb. 

Jusqu'ici, sauf pour les généralités, c'est des formes positives 
(|iril a ('-té question. M. Bachmann passe maintenanl à l'étude de 
léqualion 

a-x--+- a'x''--{- a" x"- — o 

et expose les recherches de Legendre, de Gauss, de ALM. Dedekind 
cl Cantor à ce sujet, recherches dont il fait ressortir en passant 
l'intcrôt historique (démonstration de la loi de réciprocité par 
Legendre) : le th('orrme de Oauss sur la duplication des classes, 
établi antérieurement sur de tout autres piinci|)es, peut aussi, 
comme l'a montré ^L Arndl, être regardé comme une conséquence 
de la résolution de cette équation. 

Le reste de la première Partie est consacré à l'exposition ou à 
l'analyse des recherches d'Arnold Mayer sur la difficile question 
du nombre de classes d'une espèce donnée. 



COMPTAS UHNDUS ET ANALVSI-S. io5 

La seconde Partie est consacrée aux formes (jiia(lrati(|iu's à iiti 
nombre quelconque de variables. L'élude de ces formes doit èLie 
précédée de l'étude des IVjrmes linc'aires : on renconirera fl'abor<l 
quelques propositions fondamentales sur les déterminants elsur la 
composition des formes bilinéaires d'après .M. Frobenius, puis un 
important Chapitre consacré aux cluiseu/s élémentaires d'un 
système de nombres 



en désignant par dy_ le plus grand commun diviseur d<; tous les 
dt'termiuants de degré a lires du Tableau précédent, les nondjres 



'^-è 



a— 1 



sont ces diviseurs élémentaires ; ils doivent être regardés comme 
nuls dès que a dépasse le rang du tableau, c'est-à-dire le degré 
maximum d'un déterminant non nul. Les recherches de Kronecker, 
de Smith, de ]\OL Frobenius, Hensel, etc. ont montré le rôle 
essentiel que joue celte notion dans la théorie des équations, des 
congruences du premier degré, et des formes bilinéaires; par 
exemple, la condition nécessaire et suffisante pour que deux 
formes bilinéaires à coefficients entiers soient équivalentes con- 
siste en ce que les systèmes de leurs coeflicients aient le même 
rang et les mêmes diviseurs élémentaires. 

M. Bachmann développe ensuite les propositions algébriques 
fondamentales relatives aux formes quadratiques; l'auteur traite 
des substitutions linéaires, de l'équation aux inégalités séculaires, 
des formes adjointes et de leurs généralisations (Smith, ^1. Dai- 
boux), de la transformation d'une forme quadratique en elle- 
même (Cajlej, MM. Hermile, Rosanes, Frobenius), de la loi de 
l'inertie, etc. Puis viennent la définition de l'ordre, de l'espèce, 
de la classe. La division en espèces des formes qui appartiennent 
à un même ordre est d'abord fondée sur les caractères quadrati- 
ques, puis, dans un tout autre sens, sur la théorie des congruences 
quadratiques, d'après !NL Poincaré et !\L Minkowskl : dans ce 



•2o4 iM'. i<: Mij:in-: pautik. 

dernier sens, lespùce esL formée des classes de formes qui ont 
même nombre de variables, même indice d'inerlie eL qui sont 
conj;ruentes pour n'importe quel module. L'auteur traite ensuite 
de la représentation des nombres et des formes à /? — i variables 
par les formes à n variables, et ce problème lui permet d'établir 
les conditions pour l'exislence réelle des espèces. Considérant 
enlin les formes positives, il détermine le nombre de représenta- 
lions d'un nombre par quatre ou cinq carrés, et développe la belle 
expression <[uc l'on doit à M. AlinkoAvski de la mesure d'une 
espèce : il termine en traitant du nombre de représentations d un 
nondnc au moven de six carrés ou plus. J. T. 



Fi;m\ KI.F.IN. — Siu l'i;t\t dk i,\ pi ui.ication I)i:s Œuvres de Gauss 

\i Gôttuigcr Nacliricliten ( ' ). i8()S. llcfl I |. Traduit avec l'autorisation de 
Taulcur par L. iMugcl. 

\jà publication des OEia-res complètes de Gauss, et en parti- 
culier celle de son OEuvre posthume, fait partie des engagements 
|)ris depuis assez longtemps par notre Société. Au début, l'entre- 
])rise procéda assez rapidement, et il y a déjà plus de vingt ans 
(lu'Krnest Schering. à (pii avait été confiée cette publication, put 
faire paraître les six premiers Volumes; ceux-ci ont depuis long- 
temps pénétré partout où l'on s'intéresse aux Mathématiques, et 
ont toujours à tous semblé parfaits et par le fond et par la forme. 
Dcjjuis lors, des circonstances fâcheuses vinrent interrompre 
la publication, en sorte qu'aujourd'hui que Schering n'est plus 
elle n'est pas plus avancée qu'alors. C'est d'autant plus re- 
grettable qu'avec Schering s'est rompu le lil de la tradition per- 
sonnelle (pii nous rattachait à Gauss, et cpi'il n'existe plus aucun 
matliématicien ])Our s'occuper aussi exclusivement, et cela dans 
chacune de ses diverses parties, de rOJiuvre posthume de Gauss, 
comme le lit Schering. La seule chose qui puisse remédiera cette 
rupture dans la continuité, c'est que ^1""^ Schering n'a pas craint 



(') Prcsenlc à la Sociélc royale de Gollingue le 3o avril 1898, le 121° anni>er- 
saire do la naissance de Gauss. 



COMPTKS lU'NDUS KT ANALYSES. lo't 

de niollre sans aiicuiK^ icslriclion les noinhrcuscs noies el travaux 
préliminaires de son mari à noire disposition, cl je pense remplir 
le VOMI de la Soeiélé royale de Gotlingue en lui ollVanl iei j)ul)ll- 
(pienient tous nos remercîmenls. 

Il est d'ailleurs clair qu'après un Ici laps de lenij)s le travail 
doit être lerminé d'après le nouveau plan suivant : 

Nous n'avons pas confié le travail à un seul savant; au contraire, 
nous avons cherché à obtenir, pour chacun des divers domaines 
dans lesquels a travaillé Gauss, le concours de savants particuliè- 
rement conqDétents sur ces sujets. Je puis ici observer (jue ce plan 
réussit de la manière la plus satisfaisante, el que le travail com- 
jnencé dans chaque domaine procède, grâce au zèle el à la compé- 
tence de chacun des collaborateurs, assez rapidement pour que 
nous espérions, autant que cela se peut dans les nouvelles circon- 
stances, voir terminer ces travaux pour une date possible à pré- 
voir. 

Voici les noms de nos collaborateurs, joints à quelques re- 
marques relatives aux domaines qui font l'objet de leurs travaux 
respectifs. 

Je dois nommer d'abord noire nouveau professeur d'Astronomie 
théorique, M. Brendel ; c'est à lui que revient tout naturellement 
la publication des morceaux astronomiques qui restent encore, et, 
par conséquent, aussi l'édition finale attendue depuis longtemps de 
la Theoria motus... de Gauss, ainsi que la publicalion de 
recherches très étendues sur le calcul des perturbations, faisant 
partie de l'OEuvre posthume el connues jusqu'ici seulement d'une 
manière incomplète. Malheureusement, il n'est pas très probable 
que les matériaux dont on dispose permettent de répondre d'une 
manière finale aux questions en suspens qui furent soulevées quand 
on eut connaissance de la correspondance entre Gauss et Bessel. 
Néanmoins, on peut toujours espérer que nous arriverons à voir 
clairement comment Gauss calcula numériquement les pertur- 
bations des petites planètes, de Pallas entre autres, qui est parti- 
culièrement intéressante à cause de l'inclinaison et de l'excentri- 
cité de son orbite. 

En outre, M. le professeur Brendel sera l'édacteur en chef et 
centralisera les affaires; il sera donc aussi chargé de la garde des 
matériaux de l'OEuvre posthume, des rapports réguliers entre les 



2o6 PHI- .MI EU II PARTIE. 

collaborateurs, enfin de la revision générale relative à l'impres- 
sion, etc. Je dois ici remercier particulièrement l'Administration 
de l'Université d'avoir bien voulu mettre à notre disposition une 
salle au rez-de-chaussée de sa Chancellerie. 

De plus, nous avons accpiis les services de citK[ autres collabo- 
rateurs. Je les citerai dans Tordre des douiaincs scientifiques 
auxquels ils consacreront leur travail, ordre adopté pour les 
six Volumes déjà parus. 

M. R. Fricke, professeur à l'Ecole Polytechnicjue de Brunswick, 
a pris pour sa part la Théorie des nombres et V Analyse. Sur ces 
sujets il a jusqu'ici paru déjà trois Volumes; aussi ne s'agit-il plus 
que de compléments peu étendus. Pour en citer un, en parti- 
culier : il se trouve encore, dans les papiers de Gauss, des 
recherches assez avancées sur les résidus cubiques, et encore des 
détails particulièrement intéressants sur la théorie des fonctions 
elliptiques de Gauss. L'an dernier, j'avais à l'occasion attiré 
l'attention sur ce lait étonnant que Kiemann, d après un cahier 
de l'un de ses cours que nous venions de recevoir, connaissait 
déjà en iSS^ la figure complète formée d'arcs de cercle, et relative 
aux fonctions modulaires elliptiques [voir XacJiricJtten der 
matli.-pJiys. Classe, 1897, P- '9*^ {Soc. royalede Gôttingue)^(*). 
Or. nous vovons ici dans les papiers de Gauss que celui-ci, plu- 
sieurs dizaines d années plus tôt, était déjà en possession des mêmes 
résultats. On aurait déjà pu reconnaître une première indication de 
ceux-ci dans une figure qui se trouve à la page 477 du tome III des 
ŒLUK'res de Gauss, et qui convenablement interprétée nous 
montre un premier couple de triangles de l<i division modulaire. 
Alals cette ligure indique seulement le commencement des 
recherches en question: en ellet, Gauss a connu aussi I arrange- 
ment, la disposition des autres couples de triangles. 

Ensuite viennent les recherches de Géométrie pour lesquelles 
nous avons obtenu le concours de M. P. Stiickel, professeur à l'Uni- 
versité de Ricl. L'intérêt des mathématiciens de notre temps se 



( ' ) Comparez Dkdekind, Schrciben an Ilerrn Borchardt iiber die Théorie 
der elliplischeii Modul/unctionen {Journal de Crelle, t. 83, p. 262-292; 1877). 
C'est M. Ucdekind qui, le premier, a reconnu le vcrilable sens de la figure de la 
page 477, sens qui avait échappé à Schering. ( L. L. ). 



COMl'TIvS UKNDUS I:T A N A 1. VSK S. jto; 

porte ici en première ligne sur les profondes spéculalions de Gaiiss 
sur les fondements de la Géométrie, enveloppés de mystère pen- 
dant tant d'années. 

Un premier éeiaircissement a été' (l(''jà apporté à ces qnestions 
par la publication des passages ayant trait à ce snjet dans la corres- 
|)ondance de Ganss et de W. Bolyai, qui nous a été communiquée 
l'an dernier par iM. le professeur Slâckel [JVachrichten math, 
phfs. Classe, p. i et suiv. [Soc. royale de Gotlingue, 1897)] (' )• 

Un examen approfondi des manuscrits de Gauss n'a peut-être 
révélé sur ces questions, rien de particulièrement étonnant, 
mais a néanmoins fourni une série de précieux points d'appui au 
moyen desquels on peut déterminer le développement des idées 
de Gauss beaucoup plus exactement qu'auparavant. 

On trouve aussi, dans Toeuvre posthume de Gauss, de pré- 
cieux renseignements sur l'origine des concepts fondamentaux 
exposés dans les Disquisitiones circa superficies cun'as. IMais, 
au contraire, quelques détails relatifs à la Géométrie de la sphère 
sont absolument nouveaux. Gauss a déjà, comme le fit plus tard 
Riemann, interprété une variable complexe 

z. = x^ iy 

sur la sphère et a reconnu que les rotations de la sphère autour 
de son centre sont représentables par des substitutions linéaires 
d'une construction simple et bien déterminée, de cette quantité z. 
Et, ce qui peut sembler encore plus étonnant, dès l'année i8ig, il 
a représenté les mutations de V espace (c'est là sa propre expres- 
sion), c'est-à-dire les rotations de l'espace autour de l'origine, 
jointes à une transformation de similitude quelconque, relative à 
cette origine, par les mêmes quatre paramètres qui ont été 
employés plus tard dans la Théorie des quaternions. Il nomme 
l'ensemble de ces quatre paramètres Véchelle des mutations 
i^mutationsscala) et il donne les formules explicites pour la 
composition de deux échelles, c'est-à-dire pour la multiplication 



(') Comparez aussi l'article plus élcndu de I\IM. Stackcl et lîngel {Math. 
Ami., t. \LI\, p. 149-206). Voir aussi la traduction française de cet article 
(Bulletin de .M. Darboux, 2" série, t. \\I: août i^^y,, cl lJl>rairie Ganthicr- 
Viliars, 1S97). 



2oS PREMIÈRE l'A HUE. 

de deux (|iialeriiion.s; il fail ici usage de la nolalioii svmljolit|ue 

{abcd).(a'^';?j) = (XBCD) 

et il ieuinr(]ue expressémeuL qu'il s'agit ici d'une opéialion qui 
n'est pas comniulative. 

Une des applications de la Géométrie, la Géodésie, est, chez 
Gauss, inséparable des recherches théoriques. Il n'est aucune 
entreprise à laquelle Gauss ait consacré pendant de nombreuses 
années un travail plus assidu (pi'à celle de la Triangulation du 
royaume de Hanovre. 

Ce ne sont pas les résullals numériques de ces opérations (où 
Gauss (it souvent usage de moyens pratiques peu satisfaisants), ce 
sont plutôt les méthodes et les points de vue généraux qu'il 
développa à celte occasion, qui sont devenus fondamentaux pour 
la Géodésie et son progrès ultérieur. Comme MM. Borsch et 
Kriiger, professeurs à l'Institut central géodésique de Potsdam, 
nous ont promis leur concours pour les parties de l'œuvre post- 
hume (pii ont trait à ces questions, nous pouvons espérer beau- 
coup de choses très intéressantes. Un détail entre autres ; on sait 
que ce fut d'a|)rès les conseils de Gauss que, dans la triangulation 
du grand-duché de Mecklcmbourg, l'on employa une projection 
particulière, adaptée à l'étendue du pays de l'ouest à l'est, à savoir 
une projection conforme conicjue. 

Or on a trouvé au complet, dans les jiapiers de Gauss, toutes 
les formules qui se rapportent à cette question. L'on remarque 
aussi des indications bien déterminées relatives à la double pro- 
jection conforme qui, depuis vingt-cinq ans, est employée dans 
les cartes officielles du royaume de Prusse. 

Restent encore les recherches de Gauss en Physi(jue mathéma- 
tique. C'est M. E. Wiechert, professeur à l'Université de Got- 
tingue, qui en prend soin; vous savez qu'il vient d'être nommé 
directeur de l'observatoire magnétique de Gauss. Les travaux de 
Gauss, dans ce domaine du magnétisme terrestre, ont fait déjà, en 
i88y, le sujet d'une Feslsclirift de Schering. Le contenu de ce 
Mémoire sera reproduit aussi sous une forme plus ou moins pa- 
reille dans les OEuvres de Gauss. 

(jCS travaux, comme l'on sait, ont, sous riiinuencc de llumboldl, 
eu pour résultai la créaliou d'une Union magnétique, embras- 



COMni:S lUîNDUS 1:T ANALVSKS. ^.oy 

sanl le globe lerreslre. (lélait là le |)rcniicr pas dans uik; voie (|ne 
notre Société a suivie, il y a (|uelques années, en s'associant au 
Cartel des Académies ( ' ). 

Ici, comme partout, l'activité de Gauss, bien (luClic remonte à 
plus d'un demi-siècle en arrière, n'appartient pas à une période 
écoulée de la Science; au contraire, elle est évidemment liée aux 
problèmes du temps présent. 

Encore quelques mots relatifs à la forme extérieure sous laquelle 
nous espérons mener à terme l'édition des Œuvres de Gauss. 
Nous pouvons compter encore sur trois volumes et sur un volume 
supplémentaire. En se reportant au numérotage des six ïomes 
déjà publiés, on aura Tarrangement suivant : 

Le Tome VH sera exclusivement consacré à V Astronomie et, 
pour tout dire en peu de mots, renfermera tous les travaux astro- 
nomiques qui n'ont pu trouver place dans le Tome AI. 

Le Tome ^ lll renfermera les suppléments scienlifiques aux 
Tomes précédents et, en particulier, dans cet ordre, ceux qui se 
rapportent à la Théorie des nombres, l'Analyse, la Géométrie et la 
Géodésie et, enfin, à la Physique mathématique. 

Le Tome IX sera destiné aux documents biographiques. Ici 
prendront, place aussi les communications d'ordre général extraites 
de la Correspondance scientifique si étendue de Gauss. En même 
temps, l'on donnera ici une description détaillée et exacte des 
papiers de Gauss qui, nous l'annonçons expressément dès aujour- 
d'hui, une fois mis en ordre, seront déposés à la bibliothèque de 
l'Université où ils pourront être consultés par le public. 

Enfin, le Volume supplémentaire renfermera un index rai- 
sonné. Si rien ne vient à l'encontre de nos plans, nous espérons 
avoir terminé tout le travail environ dans trois ans. En attendant, 
nous pouvons espérer que la vente des six Volumes déjà j)arus 
prendra un nouvel essor, car, maintenant, elle est confiée à une 
maison capable de l'activer (-). 

(') Les Académies de Gottingue, Leipsick, Munich et Vienne ont conclu un 
traité ayant pour but de subventionner en commun des entreprises scientifiques, 
telles que Y Encyclopédie mathématique, rédigée par MM. Burckhardt et Meycr 
(de Clausthal). qui va paraître dans le courant de cette année. (L. L.) 

(-) Il a été dernièrement conclu un traité en ce sens avec la librairie Tcubncr. 
\insi les six premiers Volumes de notre édition des OEuvres de Gauss ne sont 



210 i'iîi:.Mii: iu>: iwirriii. 

Je ne puis lermincr ce comj)le rendu sans adresser une prlrre à 
Ions ceux (|iie cela concerne. 

Quelque riche et précieuse que soit notre collection de manu- 
scrits laissés |iar Gauss, elle ne renferme pas néanmoins tout ce 
(|ui remonte à Gauss ou tout ce (jui est intéressant comme docu- 
ment au point de vue scicnlinque. Ainsi, i:;ràce aux efforts de 
M. le |)rorcsseur Sliickel, nous avons ])U dernièrement obtenir 
cerlaines nouvelles pièces importantes ou en recevoir communi- 
cation : par exemple, les originaux des lettres de Gauss à Scliu- 
machei" (q'iii dans l'édition connue, n'ont pas été imprimées tout 
entières), puis les lettres de Gerling à Gauss (qui se trouvent en 
possession de la famille Gerling, tandis que les lettres de Gauss à 
Gerling font depuis longtemps partie de nos Archives). Nous 
devons encore remercier tout |)articulièrement M. Sliickel du don 
d'une lettre importante de Gauss à Taurinus et, de même, Son 
Excellence M. Struve, de Carisruhe, du don de plusieurs lettres de 
Gauss à son père. JNIais il existe sans aucun doute une foule de 
documents j)récieux dont nous n'avons pas connaissance. 

Nous prions inslammeiit tous, Sociétés comme individus, 
qui seraient en possession de quoi que ce soit remontant à 
Gauss lui-même, ou en possession de documents importants se 
rapportant à son activité scientifique, de nous en faire part 
et de vouloir bien nous en faciliter V accès ('). 



IMmuick li'^VV. — Lkçons si;h la Tmkoruî dics Markiîs, professées au Col- 
lège de France. — Piomière Partie : Théories élémentaires. Formules pra- 
tKjues de ])révlslon ries rnarccs-. In-4") xn-'^.98 p. Paris, Gaulliier-Yillars et 
fils, 1898. 

T/Ouvrage dont M. >rauiice Lévy présente aujourd'hui au 
puMic la j)reniière l'ailie a été rédigé à la suite de Leçons faites 



j)lus, comme auparavant, mis en venle par radminislration de l'Université de 
(liUiinsuc; au contraire, l'on devra s'adresser exclusivement à la Librairie 
'l'eul.ner. ( 1*'. K.) 

(') Je saisis cette occasion iiour ex|)rimer le même vrcu relativement à l'œuvre 
postliumc de lîicmann disposée à la IiildiolIi(;(|nc de l't'ni vcrsité. ¥.n l'année 1897, 



COMPTIiS UKNDUS HT ANALYSES. /n 

nu (^ollrgc de France par réminenl prolcsseiir-, sur l;i riiroiic des 
.Marées, pendant l'année scolaire i (Sc)3-i <S(j'î. 

La Tiiéorie des Marées a élé quelque peu délaissée en France 
depuis les travaux de Laplace, tandis que les savanls el les ol)sei- 
vateurs anj^lais ne cessent d'v consacrer leurs efforts : Tissei-and 
Jui-niènie ne l'a pas comprise dans sa Mécaniriue céleste. l^ap|)(lcr 
l'attention sur ce sujet, (|ui a reçu de notre pays ses loudenicnls 
essentiels, tel est le but poursuivi par M. Maurice l^évy. 

Dans cette première Partie, l'auteur s'appuie essentiellement 
sur la théorie statique des marées; cette théorie très simj)le per- 
met, sans qu'il soit nécessaire de recourir à la Théorie dvnamiipie 
de Laplace, beaucoup plus difficile, et dont l'exposition est 
réservée pour une seconde Partie, d'arriver aux applications pra- 
tiques, c'est-à-diie aux formules de prédiction des marées données 
par l'illustre auteur de la Mécanique céleste, formules utilisées 
encore aujourd'hui, peut-être avec quelques modifications, pour 
Ja rédaction de Vyln/uiaire des Marées des côtes de France. 

En outre, au point de vue djnaniique, INL Maurice Lévv expose 
la théorie de la propagation des marées dans des détroits ou 
canaux tracés suivant les grands ou petits cercles de la surface 
du globe, ou en communication avec des mers à marées connues, 
tout en sidiissant eux-mêmes les effets de l'attraction des corps 
célestes; il expose aussi la théorie des marées ihiviales et, comme 
complément, celle de Fonde solitaire (|ui fournit, au moins en 
partie, l'explication du mascaret. 

Tel est le programme que s'est proposé M. Maurice Lévj et 
qu'd a développé magistralement dans ce Volume, d'une lacon 



nous avons acquis (lillérenls précieux documents rclutifs à RicMiaiiii, ainsi (]ue 
j'en ai rendu compte, en plus de délai!, p. 1S9-190 des Nacliricliten de noire 
Section physico-matliéniatique. >ious y avons ajouté depuis une série de manu- 
scrits provenant des papiers laissés par Schering, en particulier la copie rédigée 
par Schering en i8.55-56 des premiers Cours professés alors par Riemann sur les 
fonctions abélicnnes et les fonctions P. Celte copie, comme Schering l'a raconté 
souvent, fut employée par Riemann lui-même pour la rédaction définitive de 
ses Mémoires sur ces questions. Nous désirerions beaucoup arriver à réunir, 
dans notre bibliothèque, des copies ou des rédactions de tous les cours professés 
par Riemann. 

Nous prions donc très instamment tous ceux qui possèdent de tels docuiiienls 
de vouloir bien nous en donner communication. ( l'^ l'v.) 



21-2 PHI-Mlf-IU' PAUTIE. 

claire et précise, niellant bien en évidence la portée des hypo- 
thèses faites pour réduire les problèmes à des termes simples, et 
ne craignant pas d'insister sur les côtés pratiques de la théorie. 

Une analyse snccinctc des (Chapitres de lOiivrage mettra en 
lumière la richesse des matières ([ui y sont traitées, et fera mieux 
comprendre liinporlance de la ])art qui revient à M. .M. Lévj 
dans les perfectionnements apportés depuis Laplace à la Théorie 
des Marées. 

La première Section est iniitulée : Théorie statuiue et prédic- 
tion des Marées. Elle comprend six Chapitres : 

Cnvi'iTi'.E I. — Théorie statique des Marées. 

La surface juareiine des mers est la surface, immobile |)0ur 
nous, ([u'afTecterait la mer si elle était en équilibre sous la seule 
action de la gravité. 

La hauteur statique de la marée, positive ou négative, en un 
point donné et à un instant donné, est comptée à partir de la sur- 
face movenne; pour l'obtenir, on admet avec Newton, D. Ber- 
noulli, Euler, Maclauriu, etc., que l'Océan tend à chaque 
instant à se mettre en équilibre sous les actions réunies de la 
gravité et de l'attraction des corps célestes; ou, ce qui revient au 
même, que sa surface tend à se placer, à chaque instant, norma- 
lement à la résultante de ces actions, de sorte qu'elle afTecte la 
forme d'une surface de niveau relativement à la somme des poten- 
tiels de la gravité et des astres. 

En négligeant le potentiel de la couche aqueuse de hauteur // 
comprise entre la surface moyenne et la surface vraie des mers, 
ce qui revient à négliger la densité de l'eau devant la densité 
moyenne de la Terre, on arrive facilement à la formule 

^^_ v-v 

pour déterminer l'élévation de la mer duc à un potentiel pertur- 
bateur quelconque V; dans cette formule, g désigne la gravité au 
point considéré, et V est la valeur moyenne de la fonction V con- 
sidérée pour tous les points de la surface moyenne de l'Océan. 
Si alors on discute la hauleur de la marée lunaire dans une 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ^.i3 

mer recouvrant toute la Terre, on voit d'abord que celte marée 
varie en raison inverse du cube de la distance de l'astre; elle con- 
tient, en outre, trois ternies qui correspondent rcs|)ecliveincnt à 
la marée semi-diurne, la plus imporlante sur nos côtes; à la 
mank; diurne, imporlante sur les côtes du Tonkin en particulier; 
au flot à longue période, c'est-à-dire semi-mensuel jiour la Lune. 
Les lois bien connues des marées sont légèrement modifiées si 
l'on tient compte de la véritable configuration des mers : on est 
alors amené à introduire des constantes spécifiques de la distri- 
bution des eaux, et des continents à la surface de la Terre, consi- 
dérées pour la première fois par Lord Kelvin, et calculées par 
MM. Darwin et Turner dans les deux différentes hypothèses 
principales que l'on peut faire sur l'existence d'un continent 
antarctique. Inversement, on montre que des observations conve- 
nables du flot à longue période permettaient de résoudre, dans 
une certaine mesure, les questions relatives à l'existence d'un tel 
continent. 

Les marées, telles que nous les observons sur nos côtes, sont 
dues aux actions combinées de la Lune et du Soleil; mais le phé- 
nomène se passe comme s'il était dû à des astres fictifs cpii sui- 
vraient les astres vrais d'environ trente-six heures; parmi les 
explications possibles pour ce fait, M. Maurice Lévj signale celle 
qui consiste à considérer l'immense bassin des mers du Sud 
comme le berceau de toutes les marées, celles-ci se propageant 
ensuite dans l'Atlantique comme dans un large fleuve, et le retard 
grandissant du Sud au Nord, conformément aux observations. 

Chapitre IL ^ La prédiction des marées, diaprés Laplace. 

Le dévelo|)pemcnt en série Irigonométrique du potentiel d'un 
astre, quand on tient compte du mouvement de cet astre, montre 
que son action peut être remplacée par l'ensemble des actions 
d'astres fictifs qui décriraient dans le plan de l'équateur, avec des 
vitesses uniformes, des orbites circulaires. Si l'on admet, avec 
Laplace, que l'étal d'un système de corps, dans lequel les condi- 
tions primitives du mouvement ont disparu par les résistances 
passives qu'il éprouve, est périodique comme les forces qui 
l'animent, principe dont M. M. Lévj montre la véritable signifi- 

Bull. dss Sciences mathéni., 2° série, t. XXII. (Soptcnil)re i^'j'^) i3 



2i4 PUEMIÈIU- PAiniK. 

cation, on est amené d'abord à considérer les ondes principales 
qui correspondent aux difTérents termes du développement du 
potentiel et qui sont périodiques comme ces termes. En tenant 
comple de la disposition des coles, un tel terme donne naissance 
à une onde de même période, mais avec un coefficient de hauteur 
et une phase ()ui sont à déterminer pour chaque port; ces deux 
quantités ne dé|)('n(lent que de la vitesse de l'astre fictit qui cor- 
respond au terme considéré du potentiel et, comme celte vitesse 
est petite, Laplace admet que ce sont des fonctions linéaires de 
cette vitesse. On est ainsi conduit, pour la hauteur de la mer, à 
une formule contenant huit constantes dépendant uniquement du 
port oCi l'on étudie la marée. La formule de Laplace peut, d'ail- 
leurs, facilement se généraliser, quand on suppose que les coeffi- 
cients de iiaulcur et les phases cessent d'être linéaires par rapport 
aux vitesses des astres fictifs correspondants. 

Les constantes de la formule de Laplace peuvent être déter- 
minées par les observations; Laplace lui-même a fait cette déter- 
mination pour le j)ort de Brest par une méthode que rappelle 
M. M. Lévv. 

En terminant ce Chapitre, l'auteur ludupie comment la formule 
de La|)lace a été moddiée |nir M. Chazallon et montre l'usage de 
VAiinuaire du Bureau des l^ongitudes pour la prédiction de 
1 heure des marées. 

Gn.vpiTr.i: 111. — DéK'eloppeinent harmonique de la hauteur 
de ta mer dans un port. 

La|)lace a trouvé sous (orme finie la hauteur de la mer dans un 
port en négligeant les inégalités du mouvement de la Lune; mais, 
au Livre Xlll de la Mécani<iue céleste, il a montré comment on 
pouvait elleclucr le d(''veloppemcnl du polcnliel en tenant compte 
des principales de ces inégalités et eu déduire les expressions 
correspondantes des ondes. Ce travail a été repris, sous le nom 
à'' Analyse harmonuiue des ondes, par MxM. Darwin et Adams. 

On est ainsi conduit, en dévelop[)ant le potentiel de la Lune en 
série trigonométrique d'arguments linéaires par rappurt au temps, 
à la considération de l'onde principale et d'ondes elliptiques du 
premier ou du second ordre, c'est-à-dire dont les coefficients ren- 



(:()Mi'Ti<;s iii-;ni)Us I':t anai,vshs. 2i> 

Icriiu'iit rcxc'ciilncilr de l'oil)!!!' tic la i.iiiic ;"i hi prciiiièrc on à la 
secontlc puissance ; les ondes <lli|)l i(|iics scnii-diiir'iies ou diurnes 
sont elles-mêmes majeures ou iiiineures; on a, de pins, à consi- 
déier les ondes éveelionnelles el varialionnelles cpii cori-es|)ondenl 
à l'évecLioii et à la vaiialion, el les ondes sidérales. 

Dans le cas di\ Soleil, on peut se contenter, outre l'ondc" princi- 
pale, de l'onde elliptitpie majeure semi-diurne. 

Enfin, il faut encore tenir compte de certaines ondes d'ordre 
su|)érieur et d'ondes composées. 

JjCs coefficients théoriques de ces ondes, d après la Théorie 
statique des marées d'une mer (|ui recouvrirait tonte la Terre, 
sont donnés à la (in du (lha|)ilre, ainsi (jne les vit(;sses ani;ulaires 
de leurs arjiumenls. 



Chapitre IV. — Rrdiiction sous fonne harmonique 
des observations des marées dans un port . 

A chaque onde théorique correspond, dans un port donné, une 
onde de même période, mais avec un coefficient de hauteur et un 
coefficient de phase dépendant du port; pour [)lus de généralité, 
on peut supposer que chacpie onde donne lieu à deux constantes 
locales distinctes. La détermination de l'ensemble de ces con- 
stantes à l'aide des observations est un des problèmes les plus 
importants auxquels M. Maurice Lévy consacre ce Chapitre et le 
suivant. 

Ici, il montre comment on arrive à représenter l'ordonnée de 
la courbe fournie pendant un an environ par le marégraphe sous 
forme harmonique, avec les vitesses des arguments qui entrent 
dans les expressions générales des ondes et des coefficients numé- 
riques convenables. Les |)récautions pratiques à prendre pour 
arriver sans trop de peine à des lésnltats dignes de confiance sont 
niinuliensement expliquées, de sorte que l'on aperçoit bien com- 
ment on peut faire léellement le calcul. 

En terminant l'auteur indique comment on peut arriver aux 
mêmes résultats en utilisant non plus les courbes du marégraphe, 
mais la connaissance des heures el des hauteurs des pleines et 
basses mers. 



2iG p H I-: M 1 1: 15 1-: iwutie. 



Cn.\.prritE V. — Délerminatioa des constantes d'un port 
et formules de préiision des marées. 

Dans ce Chapilre, railleur montre comment on peut déterminer 
les deux coefliclenls de hauteur et de phase relatifs à cliaque onde 
pour un port donné, de telle laçon (]ue les formules obtenues s'ap- 
pliquent non plus seulement à l'année qui correspond aux obser- 
valit)ns, mais à une éj)oquo quelconque. 

CiiAiMTiîi: \ I. — Nouvelles formules et Tables de prédiction 
des marées de Dar^vin. 

Les formules harmoniques qui résultent des Chapitres précé- 
dents permettent de prédire à chaque instant la hauteur de la mer, 
et aussi les hauteurs des pleines et basses mers; mais elles sont 
mal apj)ropriées aux calculs numériques et, en particulier, à ces 
dernières déterminations. Aussi Darwin est-il revenu à une for- 
jnule non harmonir|iie, du même genre que celle de Laplace, mais 
avec un plus grand nombre de constantes. Elle n'est pas simple, 
mais son application est rendue très facile par l'usage de Tables 
convenables. Dans cette formule, la position de chaque astre est 
définie par sa parallaxe cr sa longitude mesurée dans son orbite, et 
de plus le phiTiomène des marées est rapporté directemenl an pas- 
sage de la Lune au méridien, et non plus, comme dans celle de 
J.aplace, à la position d'astres fictifs suivant les astres véritables à 
trente-six heures d'intervalle. 

AL M. I-.évy établit cette formule et en montre l'usage pour la 
détermination des heures des pleines et des basses mers. 

Il signale le cas particulier de l'onde évanescente et montre, par 
des exemples relatifs au port d'Aden, étudié par Darwin, comment 
on doit diriger efTeclivement les calculs, en supposant que l'on ait 
à sa disposition les Tables auxiliaires nécessaires. 

La seconde Section est intitulée : Théorie dynamicjue des 
marées dans les détroits et les fleines, et comj)rend (piatre 
Chapitres. 



COiMPTIiS Ul'NDUS ET ANALYSES. 217 

Ch.vpitue \l\. — iMdrt'u's dans un canal de faible largeur. 

Ici, M. M. Lévj éliidic api-ès Aii'j et M. Hall, mais d'une façon 
jjlus générale, le mouvement de l'eau dans un canal assez élroit 
pour qu'il suffise de connaître ce qui se passe dans une section 
verticale et longitudinale moyenne entre les rives ; la ligne de fond 
du canal est supposée de très faible courbure et de très faible in- 
clinaison; enfin on admet qu'il suffit d'étudier le déplacement 
d'un point de la surface. Dans ces conditions, on forme aisément 
les deux équations du mouvemenl, l'une d'elles étant l'équation 
dite de continuité ; ce sont deux équations aux dérivées partielles, 
la profondeur d'eau et l'abscisse d'une section étant à chaque 
instant fonctions du temps et de l'abscisse initiale. 

On tient compte de la gravité, de l'attraction des astres et du 
frottement. L influence du moii\enienl de la Terre est néiibiieable 
en vertu des lu pollièses laites. 

Les équations obtenues prennent des formes difTérenles plus ou 
moins simples suivant les hypothèses que l'on peut faire sur la 
section du canal et sur sa pente. 

Si, en particulier, on suppose un canal horizontal tracé suivant 
un grand ou un petit cercle de la Terre, on est amené à chercher 
pour les équations une solution périodique, comme la force agis- 
sante, d'après le principe de Laplace. 

Le calcul se fait sans difficulté quand on se borne à une pre- 
mière approximation ; chaque terme du potentiel donne naissance 
à une onde périodique, et le frottement n'a d'autre influence que 
d'en modifier la phase d'une quantité constante. 

Si l'astre agissant se meut dans l'équateur, son action peut se 
réduire à deux ondes semi-diurnes dont l'une passe par toutes les 
phases dans le canal entier, à chaque instant, tandis que l'autre 
passe par toutes les phases sur chaque moitié du canal. 

Si l astre a une déclinaison, et si le canal est traci- suivant un 
grand cercle, on est conduit à une onde diurne semblable à la 
seconde des ondes précédentes ; si le canal est méridien, ces deux 
ondes sont stationnaires : c'est un clapotis. 

Enfin, M. M. Lévy montre comment on tiendra conqite du 
mouvement propre de l'astre, et quelle est l'influence du frotte- 
ment dans ce cas. 



v.iS l'in^.MIËUF PAIiTIR. 

Chapitre \ 111. — Canaux à marées commu/iit/uant avec des 
continents ou des mers. Méthode générale et exemple. 

L hypothèse des canaux circulaires feruiés conduit à employer 
des solutions très parliculirres des équations formées au Chapitre 
précédent. On ohticiit des solutions |)lus générales, dépendant 
d autant de constantes arhilraires qu'on le yeut, en ajoutant aux 
solutions précédentes des solutions des équations linéaires que 
l'on considère dans une première approximation, après suppres- 
sion des seconds membres. Ces solutions contiennent des expo- 
nentielles et des termes trigonométriques, comme d habitude. 

Les constantes correspondantes sont déterminées d'après les 
différentes hypothèses (ailes sur la nature du canal. 

Les principaux cas sont ceux d un canal circulaire fermé, d'un 
canal indéfiniment prolongé dans les deux sens, d'un canal limité 
par deux continents, d'un canal limité par y\n continent et indé- 
finiment prolongé dans un sens; d'un canal indéfini dans un sens 
et communiquant à son origine ayec une mer sans marée, ou 
avec une mer dont les oscillations sont synchrones à celles du 
canal; d'un canal cominnnii|iianl ayec deux mers sans marée, ou 
avec deux mers de même nneau avant des marées synchrones 
au canal; d'un canal communiquant avec vnc ou deux mers dont 
les oscillations sonl ddunées sous la loiMur lianiioiiiqiie, etc. 

Si 1 on veut tenir compte des conditions initiales supposées 
quelconques, i\L AL l-iévv montre que les termes à ajouter sont 

multipliés par le coefficient e ^ , f étant le coefficient de frotte- 
ment ; les oscillations (pii en résultent s'éteignent donc plus ou 
moins rapidement sui\ant la grandeur dey, ce (pu justifie le jirin- 
cipe de Laplace. 

L'auteur développe les calculs ilan> le cas dun canal qui n'a 
pas de marée propre et qui communique d'une part avec un lac et 
de l'autre avec une mer à marée \ l'étude des ondes qui se pro- 
pagent dans le canal et (\e^ courants qui eu résultent présente i^n 
grand intérêt pratique, mis en évidence par l'ap|)lication qui est 
faite à la partie du canal de Suez qui va de la mer Houge aux lacs 
Amers : on tromc ainsi que les (ormiiles de première approxima- 



(OMl'Il'S UKNDUS KT A N A I. V S l':S. >i<, 

lion prc'ccclcmnicnl développées donnciU des résultais confurnies 
à Tobservalioii en loiil ce qui louche à la hauteur et à la proj)aga- 
tion de la nian'-e dans le eatial. niais s'en écartent complètement 
en ce qui touche la grandeiii" absolue des courants. Il faut donc 
recourir à une seconde approximation. 

La lin (lu (,li;ipilre est consacrée à j'élndt,' des canaux de lar- 
geurs variables; les résultats sont simples et analogues aux précé- 
dents si Ton suppose que la largeur varie suivant une loi exponen- 
tielle. 

Chapitiik IX. — • Marées Jluviales. 

Le premier cas étudié est celui d'un fleuve de largeur constante, 
abstraction faite du frottement de la vague-marée; la première 
approximation est aisée et donne, dans Ihypothése d'une marée 
sinusoïdale, des résultats en conliadiction avec l'expérience sur les 
trois points suivants mis en évidence par les observations : 

i" La mer met plus de temps à se retirer qu'à monter; 

2" La hauteur de la marée va diminuant à mesure qu'on s'éloigne 
de l'emboucluire ; 

3° Les plus grands courants ne coïncident pas exactement avec 
les hauteurs extrêmes de l'eau. 

11 faut donc procéder à une seconde approximation et tenir 
compte du frottement. 

En négligeant cependant encore celui-ci, on détruit le premier 
désaccord et l'on trouve celte conséquence importante : en 
deuxième comme en première approximation, le courant est en 
chaque point une fonction de la seule hauteur de la marée en ce 
point, ce qui permet en particulier de calculer le volume d'eau 
d une marée. 

D'ailleurs celle loi est rigoureuse, comme le montre la solulion 
de M. de S;nnl-Venant; toutefois celte solulion ne remplit pas la 
condition nécessaire que la hauteur de la marée s'éteigne à l'infini. 

Si enfin on tient compte du frottement, le problème devient 
beaucoup plus difficile; M. M. Lévj le résout en première 
approximation et montre comment on pourrait eirectuer la 
seconde. 



■?.io PliE.MIËHE l'AKTIE. 

La fin du Chapitre est consacrée à l'étude des fleuves de largeur 
1res lentement variable, et à pente conslante; le problème se 
ramène au précédent. 

Chapitre X. — L'onde solitaire. 

Après avoir lappelé les équations générales de rHydrodjna- 
mique dans le cas des mouvements plans, l'auteur étudie d'abord 
les solutions de première approximation qui donnent lieu à des 
mouvements périodiques se propageant avec une vitesse uniforme, 
ou à des mouvements périodiques stationnaires, c'est-à-diie encore 
à la lioule ou au clapolis; il justifie ainsi les hypothèses admises 
précédemment sur les déj^lacements des molécules liquides. 

Si sur un canal horizontal dont la surface est parfaitement calme, 
on produit subitement une intumescence, celle-ci se régularise 
rapidement et se propage avec une vitesse à peu près constante 
pendant un temps foit long : c'est l'onde solitaire. La théorie de 
celte onde a été donnée par M. Boussinesq ; M. M. Lévj la reprend 
d'une façon nouvelle et mon Ire que les trajectoires des particules 
fluides sont ici paraboliques, et non plus elliptiques comme dans la 
houle; la durée du |)arcours d'une trajectoire est théoriquement 
infinie, mais piaticpiement assez courte à cause du frottement. 

La niènic llic-orie s'applique aux intumescences de formes 
viariables, mais de faibles hauteurs et de faibles courbures. Le 
volume et l'énergie totale dune intumescence sont constants; il 
en est de même de la nouvelle grandeur introduite par M. Bous- 
sinesq et appeh'îc moment <l' instabilité ; cette grandeur donne lieu 
au beau théorème suivant : 

De tontes les intumescences d\hiergie donnée, c'est ronde 
solitaire rjui a le plus petit montent d' instabilité. 

H. AjNnOYEU. 



MÉLANGES. 



MELANGES. 

THÉORIE DES CONNEXES DANS L'ESPACE; 
Pau m. D. SINTSOF. 

Cet Ouvrage, publié en russe dans les Mémoires scientifiques 
de i Université, de Kasaii (iSg^-i^Q^), est consacré à l'une des 
configurations qui ont été introduites par Al. (jlebsch dans son 
Mémoire bien connu Ueher eine Fundamentalaiifgabe der 
Imariantentheorie (Gcitting., Abli. XVII, 1872), à celle dont 
l'élément est la combinaison (point, plan). Jusqu'à présent, des 
cas particuliers seulement en étaient considérés : connexe bili- 
néaire, étudié par JMM. Battagliiii, Lazzeri, P. Mulb, Pittarelli, 
Predella. etc., ainsi que par les auteurs qui ont traité de la collinéa- 
tion dans l'espace : je citerai MM. Hirst, Ricbelot, St. Smith, etc.; 
et le connexe du second ordre et de la première classe, consi- 
déré par M. R. Krause [Matli. Ann., XIV). Je me suis donc 
proposé d'en essayer une exposition systématique, prenant comme 
exemple celle que M. Lindemann a donnée dans son édition des 
Leçons de Géométrie de Clebscli (t. III de la traduction française 
de M. Benoist), de la théorie du connexe dans le plan. 

Dans l'Introduction (p. o-i3) je mets en évidence ce qui a été 
fait pour la configuration considérée par Clebsch lui-même et je 
donne ensuite un aperçu sur les travaux traitant des connexes en 
général. 

Chapitre I (p. 14-70) : Propriétés générales des connexes. 
D'abord (§ 1-3) je donne la description et les propriétés énumé- 
ratives simples des configurations composées de oc^ (connexe), 
oc'' (coïncidence), oj-' (bicoïncidcnce), :jo- (couple de surfaces), 
ce' (couple : courbe gauche, surface développable) éléments, ainsi 
que le nombre d'éléments communs à six connexes, etc.; je con- 
sidère ensuite les éléments singuliers, connexe tangent et connexe 
conjugué (§ 4-6). Ici, je veux entrer en quelques détails. 

A chaque point x de l'espace appartient, dans le connexe 

(1) f{^\ • ■ .3"i : Kl . . .«4 ) = o, 



■111 IMIEMIEIIE PARTIE. 

une surface U^, tlonl les plans lanf^enls seuls forment des éléments 
du (i) avec le point .r, et à chaque plan // appartient une autre 
surface X„, dont les points seuls forment des éléments du (i)avec 
le plan //. Les surfaces U^ et X„ sont dites les surfaces du 
connexe; elles sont de n classe et du m ordre respectivement, si 
le connexe (i) est de n classe et du /ji"""^ ordre (c'est-à-dire si son 
érpiation est de n degré |)ar rapport aux i/ et du z;?""'"'' degré par 
rapport aux x). 

Il peut arriver cependant que cerlains points (points princi- 
paux du connexe) satisfassent identiquement à l'équation (i) du 
connexe, quelles que soient les valeurs des ;/, ; c'est-à-dire que la 
surface U^ n'existe pas, son équation étant = 0. Tel, par 
exemple, est le point 

ar, =: O, T.2=0, X3= O 

pour le connexe 



(a) ^(^i 



I xi -+- an 3-2 -î- a/3 ^3 ) Ui 



de tels points peuvent même former des lignes continues; par 
exemple, les arêtes du tétraèdre des coordonnées dans le cas du 
connexe 

( P) aiXiXyX-^Ui-^- a-iX^Xi^Xi ii-i-r- a^X'^x^x-i u^-k- a^^XiX^x^ U; = o. 

Réciproquement, \(i plan />ri/icipa/ du connexe est celui dont 
les coordonnées satisfont identiquement à l'équation (1), quels 
que soient les Xi^ et pour lequel la surface du connexe X„ n'existe 
pas, son équation étant 0=0. Par un point principal du 
connexe passent toutes ses surfaces X„ et toutes les surfaces Ux 
sont tangentes au point principal. 

Dans le connexe hilinéaire 

{a) f~Zaik ii II le = a,, u-^^o 

à chaque point. r appartient un aulre point f 

V ^^/" 

^, du,, 

romme rcniro diin faisceau des plans formant lélémenf de {a) 



MKI.ANCKS. 
;t\(M' ./•; ("l il clia(|iu' plan //, un anlrc c 



■i>:\ 



.7=2/'- 



/,■ l'A- = 



a. 

dXi ' 



le connexe hillni'aiie (h'Icrniine donc une eollinéalion dans 
Tesonce. 

Pour faciliter TéLude du connexe i^énéral (i), nous |)()uvons 
considérer un connexe Ijilinéaire parlicnlier, (]ue je nomme 
connexe tan^eiU au (i) dans son élément (.r, ii) : c'est le connexe 



(2) 



y - , "■{ X/ U/, = mn a"'- 1 »"" ' «x U v = o. 



Ce connexe fait correspondre à chaque point X de l'espace un autre 
point Y 

.^^/ (/.r,- f/?</.. 
et, en particulier, au point x lui-même le point )■ 

(3) 



df 



c'est-à-dire le point de contacl du jdan u à la surface U^- De 
même, au plan U correspond un autre |)lan ^^ 

^dk dxi du]; 
et, en particulier, au plan u le plan e 

(4) 7r/=/i-^; 

dXi 

le plan tangent à la surface X„ au point x. 

A chaque élément [x, u) correspond ainsi à l'aide de (2) un 
autre élément (j', t) et un seul, en général, sauf pour des éléments 
particuliers que l'on appelle pour cela éléments singuliers. En 
efifet, le point \ devient indéterminé si l'on a 

(A) V / j U/,= o (i = r. 2, 3. 4 ), 

^^k dxi duk 

ce qui donne une équation de condition 

I d\f 



{ ) ) 



dxi dui; 



?.24 PlUiMlÈllF. PARTIE. 

Celte condition remplie, les (A) délerminent les coordonnées 
du |)oint X, j)oiir leniiel \ est indéterminé. Ce point est le pointa: 
liii-inème, si l'on a 

(6) o = y /"{ Xi- m -~L = o. 

jm^i ClXi dUu Clllk 

Réciproquement, le |)laii \ correspondant au plan U est indé- 
terminé, si l'on a 

H,^^:^^''-^" (.• = .,■., 3,4), 

ce qui donne la même équation de condition (5) ; pour que ce soit 
le plan u^ dont le plan correspondant soit indéterminé, doivent 
être remplies les équations 

\:^ d'-f df 

^") A.;^S77/«I."^-="^=^ (. = .,.,3,4). 

Les éléments singuliers sont donc de deux genres : singularités 
ponctuelles et singularités tangenlielles. Les />r(?mzV^/e5 [définies 
parles équations ('y)] sont, en général, les éléments dont les points 
sonl des points siniiutiers des surfaces X„ correspondantes ; les 
dernières, ceux dont les plans sont les plans tangents singu- 
liers des surfaces U^ correspondantes. On pourrait donc prendre 
directement ce fait comme définition des éléments singuliers du 
connexe. Une objection cependant s'y oppose : c'est l'existence 
des points et plans principaux. En ellet, alors les surfaces du 
connexe X„ ou U^ n'existent plus, quoique les équations (6) ou ('j) 
ne soient j)as moins satisfaites. Or, nous pouvons regarder chaque 
point de l'espace comme un point singulier de la surface identique 
o = o et alors conserver la définition mentionnée (c'est ce que j'ai 
fait dans mon Ouvrage), ou bien, et cela paraît meilleur, au point 
de vue géométrique, dire que les éléments singuliers du connexe 
sont d'abord ceux dont le point ou le plan est un point ou plan 
singulier de la surface correspondante, et ensuite ceux dont le 
pouiL est le point d'intersection de toutes les surlaces X^ du 
connexe, ou le plan esi le plan langent commun de toutes les sur- 
faces \]j: du connexe. 

En prenant successivement tous les éléments (x, u) du con- 
nexe (i), les éléments (j-, r) correspondants forment un nouveau 



M É LANGES. vvii 

coiii)('\(>, (lil /(' connc.rc. conjuiiiié ('), lequel est dune défini an;i- 
lyli(|tiemei)L par les équations (i), (!^), (4). 

C'est à ce connexe eovariant que M. F. Lindeniann raltaclic la 
définition des éléments singuliers, disant que ce sont les éléments, 
à chacun clescjiiels dans le connexe conjugué correspondent non 
plus un seul élément, mais plusieurs. Cette définition est iden- 
tique, au fond, à celle que j'ai donnée plus haut. 

Les propriétés principales du connexe conjugué, analogues à 
celles données par M. C. Sle[)lianos pour le connexe plan, sont 
les suivantes : 

i" Le conjugué du connexe conjugué d'un connexe est le 
connexe primitif lui-même. De cette proposition, presque évi- 
dente à cause de la symétrie des rôles des surfaces X„ et Vj qui 
ont le plan tangent commun v dans le point de contact x., et des 
surfaces Ur et \,,, qui ont aussi le plan tangent comnuin u dans 
le point de contact j', je donne deux démonstrations analytiques, 
dont l'une est parfaitement analogue à celle de M. Lindeniann. 



'x" Le lieu géométrique Xy des 
points .T, dont les surfaces du 
connexe V) x pcissent par le point y ^ 
est identicpie avec la surface Uj, 
qui correspond au point y dans le 
connexe conjugué, et avec l'enve- 
loppe des surfaces X„, correspon- 
dant aux plans a, qui passent 
par le point y. 

3° La surface \u qui appartient 
au plan u passant par le point y 
touche la surface Xy en ni^ points 
X, dont les surfaces correspon- 
dantes U.c ont dans le point y le 
plan tangent u. 

4° La surface Ux appartenant 
au point x de la suif ace Xy a pour 
plan tangent au point y le plan «, 
dont la surface du connexe X„ 
touche la surface Xy au point x. 



L'enveloppe Uy des plans a 
dont les suif aces X„ du connexe 
touchent le plan v, est identique 
à la surface Y^, correspondant 
au plan v dans le connexe conju- 
gué, et à l'enveloppe des sur- 
faces U^, correspondant aux 
points X, situés dans le plan v. 

La surface U^, qui appartient 
au point x, situé dans le plan v, 
touche la surface Uç,, en n-> plans 
tels cjue les surfaces X,^ du con- 
nexe correspondantes à ces plans 
touchent le plan v au point x. 

La surface X„ appartenant au 
plan u, tangent à la surface U^, 
touche le plan v au point x, dont 
la surface U^ du connexe a, avec 
Ut., un plan tangent commun u. 



(') Il y a des connexes qui sont leurs propres conjugués : par exemple, le 
connexe identique u^.-= o, le connexe ( |ï ) déjcà cité, etc. 



226 PHEMIÈHE FA in 11-:. 

Je Iromc aussi l'ordre m' et la classe // du connexe conjugué 
d'un connexe (m, n) donl l'équalion est supposée générale 

ni — n[in'-n- -^ ii//n m — i ) /n n — i)— 3( //* — i)-(" — 0" 1- 
n' = m [ m-n- -.- 6 m ( /u — \ } n( /i -- i )— ')( m — i )- ( /; — i i- | . 

Dans le paragraphe 7 (S(//- la tratisforiiinlion uni\oqiie et le 
genre cl un connexe) je lelrouve les mêmes nombres par une 
autre niélliode, ce cpii en donne une vérification. 

Le Chapitre II (|). -(i-irx)) traite de la coïncidence principale, 
c'est-à-dire de l'ensemble des éléments du connexe, donl le point 
et le plan sont dans la situation réunie. Après les remarques géné- 
rales sur les coïncidences (définition de leurs éléments principaux 
et singuliers), je passe (§9) à la coïncidence principale (§ 10) 
d'un connexe, (pii est définie par l'ensemble de deux équations 

f{ X, II) = O, Ui = o. 

La notion généralisée de l'intégrale d'une écpiation aux dérivées 
partielles du |)iemier ordre, qui est due à M. Sophus Lie et qui 
forme la base de sa lln-orie de l'intégration, a son origine dans la 
considération de l'élément de l'espace composé d'un point et d'un 
plan, (pii sont dans la position réunie. Ayant le caractère essen- 
liellement projectil, les théories de M. So[)hus Lie gagnent, à ce 
cpiil paraît, en évidence géométrique par l'emploi des coordonnées 
homogènes, et c'est là limportance principale de la théorie des 
connexes. Ce fait a été déjà signalé par M. iJarboux à la fin de son 
Mémoire Sur les solutions singulièfes des équations aux dé- 
riK'ées partielles du premier ordre. Donner une exposition sys- 
lématicpie, tel élail mon but. d'autant plus que les théories de 
ÎNL Sophus Lie n étaient pas jusqu'alors exposées en russe. Dans 
le paragraphe 'l'2 je signale l'idenLilé des considérations de 
M. l'Ouret SIM- les iinpiexes avec celles de la théorie de la coïnci- 
dence piiii(i|>ale ; je montre que ses théorèmes {^Comptes rendus, 
t. LWXil, |>. 1/197-' 5<)o ; t. LXXXIN', j). /\'M^-f\'.\()) ne sont que 
des cas parliculieis des théorèmes généraux sur l'intersection des 
connexes, qui sont donnés dans le Chapitre J, paragraphe 1. Dans 
le paiagraphe 13 je passe aux surfaces des singularités de la coïn- 
cidence et aux solutions singulières des é(piations aux dérivées 



MÉLANGHS. ■>■,,- 

|)aili('llfs (lu |irfiiiiei' ocdre; j'expose iei les beaux rc'-suUijls de 
M. I3;irl)()u\ (Méruolre déjà cilé). Comme mon exposition ne dil- 
f'èrc que p;ii- l'inlrodiiclioii des eooidonnées homogènes et la termi- 
nologie de la théorie des connexes, je n'ai pas besoin de m'y arrêter. 
La notion du genre de la roïiiei(h'nee principale el (pieloues re- 
marques sur les transloiniaiioiis de eontact font l'objet des deux 
derniers paragra{)lies de ee Ciiapilre. 

Les Chapitres lll el IV sont consacrés aux applications. Le 
Chapitre lII traite le cas des connexes (m, i) et (i, n) : leurs 
points el plans crili(pies (les points à la fois singuliers et princi- 
paux de la coïncidence principale) (§ J(>), le lieu géométrique 
des points correspondant aux points d'une droite (§ 17) et d'un 
plan (§18); certaines surfaces covariantes du connexe : Sim^ii- 
laritdlen, Deterininanten et hernjldche, établies par ÎM. R. 
Krause pour le cas particulier du connexe (2, 1), y sont consi- 
dérées pour le cas plus général du connexe (/??, 1), Le reste du 
Chapitre (|). i6G-iC)i) contient une élude de la coïncidence prin- 
cipale des connexes (/«, 1) et de ses surfaces intégrales. La mé- 
thode de M. Darboux pour former l'intégrale complète ou le 
facteur intégrant à l'aide des intégrales particulières j est exposée 
pour le cas considéré. Cela conduit à l'étude des |)oints critiques; 
je montre que la considération du connexe langent mène naturelle- 
ment à leur classification, donnée par INL Poincaré dans ses Mé- 
moires sur les |)ropriélés des courbes définies par les équations 
dilTérentielles et poussée plus loin par M. Aulonne. 

Le Chapitre IV s'occupe du connexe (i, i) dont l'élude appro- 
fondie semble nécessaire pour l'étude du connexe général. La for- 
mation du svslème fondamental des formes invariantes [problème 
résolu par M. iMertens {Monatsii. fiir Math, und Physik., t. I)], 
et l'interprétation géométrique de ces formes font l'objet des 
paragraphes i21 et 23. Le paragra[)he "±1 donne une digression sur 
les analogies pour l'espace du problème de Muth {Math. Ann., 
Band XL, p. 8()-9S) et au paragraphe i23 je considère les collinéa- 
lions dégénérées et singulières. Je veux signaler seulement une 
fonction métrique, que j'introduis page 21- et qui me paraît avoir 
certaine utilité dans la théorie des connexes : c'est le moment de 
deux éléments (x, u), (y, r), c'est-à-dire le moment de deux 
droites, celle qui joint les j)oiuts j% r et celle qui est commune 



2-28 iMÇEMlÈUE PARTIE. 

aux plans u^ v. Analvliquement celle fonction a pour expression 

^(Ui ^k — II/, i'i ) ( ^ijA — ^/.Vi ) = "x 'S — "y ^x- 

Enfin, dans les cinq dernières pages je montre que les considéra- 
tions précédentes |)envenl être généralisées pour l'espace de n di- 
mensions; nous aurons une configuration tout à fait analogue, si 
nous prenons pour élément la combinaison d'un point et d'un 
hjperplan. 

J'ai tàclié de melire en évidence les rapports de la théorie des 
connexes avec d'autres brandies de la Géométrie et de l'Analyse 
pour en justifier l'élude, cl à cause de cela dans beaucoup de 
points j ai dû seulement indiquer la question sans 1 approfondir; 
je me j^ropose d'y revenir dans des publications ultérieures où je 
vais considérer en même temps une configuration plus générale 
ayant pour élément la combinaison (point, droite, plan). 



COMPTlîS UIÎNDUS ET ANALYSES. jh, 

COMPTES RENDUS ET ANALVSI<:S. 

KLEIN. — Conférences sur les Mvtiii';m\tiques, faites au Congrès de .Ma- 
thématiques tenu à l'occasion de l'Exposition de Chicago, recueillies par le 
prof. Ziivett, traduite par M. Laugel. Un voK gr. in-8°; i'i5 p. Paris, 
Hermann, 1898. 

Il serait fort commode que tous les bons livres, ceux qui mé- 
ritent d'être lus, fussent traduits dans toutes les langues des 
peuples civilisés : les livres scientiliques, en particulier, ne 
perdent rien à être traduits; assurément, il j a des savants qui 
écrivent fort Lien, mais les qualités du bon style scientifique, 
l'art de la composition et la clarté de l'expression sont de celles 
qui peuvent passer dans une traduction. Plus on traduira de bons 
livres, mieux cela vaudra; c'est entendu. Mais il serait inhumain 
de demander aux éditeurs de faire des sacrifices exagérés, de pu- 
blier la traduction de livres qui, par leur nature même, n'auront 
jamais qu'un nombre très limité de lecteurs, surtout lorsque la 
plupart de ces lecteurs désignés risquent d'avoir déjà entre les 
mains l'édition originale. Plutôt que d'attendre ces sacrifices des 
éditeurs, il vaut mieux sans doute apprendre les langues étran- 
gères, et tous ceux qui veulent, sur un point quelconque, se tenir 
un peu au courant du mouvement scientifique ont reconnu cette 
nécessité; mais, trop souvent, ils ne savent, de ces langues étran- 
gères, que ce qui leur est strictement indispensable; ils ne savent 
bien que la langue spéciale de la science qu'ils étudient; savoir 
cela, lorsqu'il s'agit de Mathématiques, est relativement facile. 
La plupart des mathématiciens se tirent d'affaire lorsqu'ils ont à 
lire un Mémoire étranger qui les intéresse vraiment. Leur embar- 
ras commence quand il s'agit d'un livre qui, tout en traitant de 
Mathématiques, n'est pas didactique, mais contient des aperçus, 
des vues générales, des développements philosophiques : les mots 
qu'ils rencontrent ne sont plus les mots qui leur sont familiers ; 
ils ne sont plus soutenus par l'enchaînement des raisonnements, 
aidés par ces symboles algébriques qui, heureusement, sont les 
mêmes dans toutes les langues. Si le livre est l'oeuvre d'un maître, 
d'un de ceux qui sèment les idées et dont ils voudraient pénétrer 
Bull, des Sciences tnathém., 2" série, t. XXII. (Octobre 1898.) 16 



i3o PHE.MIÈIU-: l'AKTIK. 

jusqu'au boul la pensée profonde, c'est alors qu'ils se prennent à 
souhaiter une traduction. Je ne veux pas cacher, pour ma part, 
le plaisir que j'ai eu à relire, dans la traduction de M. Laugel, les 
Conférences de M. Klein. Le Bulletin a déjà parlé de ces Con- 
férences, et je n'j reviendrai pas; mais c'est bien là un de ces 
livres qu'il importait de traduire; il faut savoir gré à M. Laugel 
de l'avoir fait, et à M. Hermann d'avoir publié cette traduction. 
M. l^augel a ajouté quelques renseignements bibliographiques qui 
seront certainement utiles, quelque modestie que M. Laugel ait 
mis à en parier. AL Hermann a tenu à bien faire les choses, et 
c'est presqu'une édition de luxe quil offre au public. On ne lui 
doit donc que des remercîmenls, et il j aurait mauvaise grâce à 
lui reprocher la distraction qu'il a eue en gratifiant M. Klein d'un 
titre auquel celui-ci se trouve ne pas avoir encore droit, autrement 
que par son mérite scientifique. J. T. 



NÉDÉLEC. — Le calcul vectoriel et ses applications ex Géométrie et 
EN MÉCAXiQiE. Premier volume; X-2I6 p. iii-S". Paris, Gauthier-Villars et 
fils, 1897. 

Nous empruntons à rauteiir les lignes suivantes, où il résume 
l'objet de son Livre. 

« L'Ouvrage que nous présentons au lecteur comprend trois 
Parties distinctes : 

La première Partie est relative aux principes élémentaires ou 
aux règles du calcul vectoriel. 

La deuxième Partie comprend la théorie des fonctions vectorielles 
ou l'étude des fonctions de points, et celle des vecteurs de points. 

Enfin la troisième Partie concerne les applications du calcul' 
vectoriel à la Géométrie, à la Cinématitjue et à la Physique molé- 
culaire. 

Aj)rès avoir exposé dans le premier Chapitre l'origine et la na- 
ture du calcul vectoriel, nous donnons dans le second Chapitre 
des notions générales sur les vecteurs; et les définitions que nous 
présentons résultent des théorèmes sur le calcul des vecteurs. 
Nous définissons d'une manière générale l'addition vectorielle et 
laddition vcrsorielle, et nous pensons pouvoir faire disparaître 



COMPTES RENDUS Kl ANALYSES. vtji 

bien des obscurités dans le calcul des qualcrnions et permeltre à 
des esprits plus aptes aux découvertes uiatliémalirpics de déve- 
lopper avec plus de sûreté les règles de calcul des quantités 
périodiques. Nous ajoutons quelques notions, d'ailleurs bien 
connues, sur l'exponentielle linéaire qui n'est autre chose que le 
tjpe d'une quantité circulaire ou qualernion. 

Nous abordons dans le troisième Chapitre les règles algébriques 
du calcul de l'unité imaginaire et nous démontrons d'une manière 
purement arithmétique les propriétés des vecteurs quadrants, 
établies par Hamilton d'une manière intuitive. 

Nous complétons les formules par quelques notions sur les 
composantes obliques, qui trouvent leur application dans le calcul 
d'une fonction linéaire, considérée d'une manière générale. 

Dans le Chapitre IV nous montrons l'analogie de l'équation 
versorielle binôme avec l'équation binôme ordinaire et, sans doute 
ces analogies pourront être définies avec plus de détail. 

Nous reprenons ensuite le produit des vecteurs accompagnés de 
leurs modules, parce que la forme additive ou vectorielle des qua- 
ternions donne au calcul algébrique une tout autre forme. 

Nous reprenons la sommation générale des vecteurs et enfin 
nous croyons devoir, avant d'aborder les propriétés générales des 
fonctions vectorielles, donner la théorie des équations vectorielles 
du premier degi'é. » 



BURALI-FORTl (C). — Introduction a la Géométrie différentielle sui- 
vant LA méthode de h. Grassmann. Un vol. in-8°, xi-iG5 p. Paris, Gauthier- 
Villars, 1897. 

« Aujourd'hui, ditM.Burali-Forti, la méthode de Grassmann n'a 
pas besoin d'être recommandée; elle n'a besoin que d'être connue 
et appliquée... » Le Livre qu'il publie servira très certainement 
à répandre sinon la méthode du fondateur de V Ausdehnunss- 
lehre, au moins l'usage des procédés auxquels elle conduit, et 
cela importe beaucoup, tant à cause des avantages incontestables 
que présentent ces procédés que parce que ceux qui s'en seront 
rendus maîtres seront d'autant mieux préparés à remonter à leur 



•232 PREMIÉIIE PAllTIE. 

origine abstraite. Ce Livre est court, ce qui est rassurant pour le 
lecteur; et quoique le style soit très condensé, il est vraiment clair 
pour qui veut se donner la peine de rédéchir. M. Burali-Forll 
part d'éléments rclalivenient concrets, les formes géométriques, 
dont la considération est due à M. Peano, et montre comment on 
peut raisonner et calculer avec ces formes, d'après les règles de 
Grassmann; l'exposition se suit d'autant plus aisément qu'on peut 
s'aider constamment de l'intuition géométrique et cette facilité com- 
pense ce qu'il y a de forcément arbitraire dans la définition, non pas 
tant des formes géométriques elles-mêmes que de certaines opé- 
rations, comme V opération index et surtout la multiplication ré- 
gressive. 

Voici comment 1 auteur définit les formes géométriques de 
M. Peano : 

« jNous appellerons formes du premier, deuxième et troi- 
sième ordre, des entités telles que 

.r,Ai-v- 372 Aï -i-. . . + a7„A„, 

j:-,AiBi-+- 37.2 A, Bii -f-. . .-+-a7„A,jB„, 

x^ AiBiCi -1- a"2A2B2C2-t-. . .-;- a7„A„B„C„, 

où les ^), ... sont des nombres réels et A|, ...,B), ..., C|, ... 
représentent des points. )> 

Expliquons ce que l'auteur entend ici par le mot entité. Consi- 
dérons, par exemple, une forme du premier ordre et regardons-la 
comme un ensemble de points A,, Ao, ..., A„, à chacun desquels 
est associé un nombre X\.,X2, ••., Xi,\ les signes + n'ajoutent 
rien à l'idée qu'on vient d'exprimer; ils traduisent, si l'on veut, le 
mot ensemble ; de même une forme du second ordre sera un 
ensemble de couples de points A( et B,, Ao et Bo, ..., un nombre 
étant associé à chaipie couple, et les deux points dans chaque 
couple ayant un ordre déterminé, etc. La forme est entièrement 
donnée si l'on donne les points qui y figurent, leur ordre dans 
chaque couple ou dans chaque terne, s'il s'agit d'une forme du 
second ou du troisième ordre, et les coefficients numériques cor- 
respondants; mais cette définition doit être immédiatement com- 
plétée par celle de la définition de l'égalité de deux formes. 

Convenons de désigner par le symbole ABCD le nombre qui 



CUMPTiïS KKNDUS 1-; 1' ANAI.VSI'S. -^33 

mesure le volume du (('■Iraèdre dont les sommets sont les points 
A, B, C, I), nombre positif ou négatif suivant la disposition du 
tétraèdre, et remarquons en passant qu'une expression telle que 

xt Ai B, Cl D, + xo Ao B, G, D, + . . . + .r„ A„ B„ C„ D„, 

où^i, ^o, ..., x,i sont des nombres et A,, B,, C,, D,, .. ., A„, 
B„, C;,, D,, sont des points, expression que l'on peut regarder 
comme une forme du quatrième ordre, n'est autre chose qu'un 
nombre, ^, A, B,C|D, désignant le produit du nombre ^, par le 
nombre A, B, C, D, et le signe -+■ ayant le sens de l'addition algé- 
brique. 

Les égalités s\mboli(jues 

:riAi-f-...-i- .r„A„ = x\ X\ +...+ .<„ A',„, 
a7iAiBi-t-...-t- .r„A„B,j = x\A\n\ -^. . .-h x'„,X',„B',„, 
xi Al Bi Cl -h. . .+ XnA^n B,i C„ = x\ A 1 B\ C\ -4-. . .+ J^^ A',„ B;„ C'„;, 

relatives à des formes du premier, du second ou du troisième 
ordre, signifient, par définition, que, quels que soient les points P, 
Q, R, on a les égalités nainériques 

:riAiPQR4-...+ a-^A/^PQR = :r'i A', PQR +. . . + ;r;„ A',„PQR, 
a.,AiB,PQ + ...+ :p„A„B„PQ = r'^A', B'jPQ +. . .+ :r'„, A',„B;„ PQ, 
a-i Al Bi Cl P -1- . . . -H a-,, A„ B„ C„ P = .r'i k\ B; C^ P -i- . . . + x\n A'„, B;„ C',„ P. 

Par exemple, il est aisé de voir, dans le cas des formes du pre- 
mier ordre et lorsque d?, -f- ^"o +...+ :r« n'est pas nul, que la 
forme x^ A, + . . . -j- t„ A,^ est égale à la forme [x^ H-Xo + ...+ ^'z,) A, 
en désignant par A le centre de gravité des points A,, Ao, •-., 
A„ considérés comme ayant des masses ^(, .To, ..., Xn- Dans tous 
les cas, il est clair qu'il y a une infiuité de formes égales à une 
forme donnée. Eu même temps que l'on définit l'une de ces 
formes, on les définit toutes. En disant qu'une forme est une 
entité, M. Burali-Forti entend qu'elle doit être regardée comme 
un élément géométrique abstrait commun à toutes les formes 
égales. Or, ce qu'il y a de commun à toutes les formes égales, 
c'est de satisfaire à la définition de l'égalité de deux formes, 
en sorte qu'on n'ajoute rien à cette définition en parlant d'un 
élément abstrait commun à toutes les formes égales; mais, par 
cette façon de parler, qu'il emploie à plusieurs reprises, l'an- 



9.34 PUK.MIEHH PAiniE. 

leur se trouve insister iieiireusement sur la nécessité de ne pas 
séparer, de la défini lion d'une forme, la définition de l'égalité de 
deux formes; en réalité, la définition des formes géométriques 
doit encore être complétée par la définition de la somme de deux 
formes, du produit d'une forme par un nombre, du produit pro- 
gressif de deux formes; les deux premières définitions sont immé- 
diates; elles résultent, pour les formes du premier ordie, des éga- 
lités 

( a?, Al -4-. . . -h .r„ A„ ) + ( JKi ï^i -f- • ■ --^Im ^h,,) 
= a-, A, -t-. . .-f-^,iA„ -4- JiBi -I-. . .-t-jK/«B„, 
h{xi A,-f-. . .-]-x„X„) = /i:r, Al -h. . .4- /iXu>^n, 

où A| , ..., B,„ sont des points et x^, ...^y,n, h des nombres. Le 
])roduit progressif des deux formes 

a?i Al -i-.raA,, y\ BjCi -HjoBoC, -Hj^'aBsCs, 

qui sont l'une du premier, l'autre du second ordre, est défini par 
la formule 

(XlAi-t-a7,A2)(7iB,Ci+JK2B2C2+JK3B3G3) 

= J'iji AiB,Ci-l-a7]j2AiB2C2-f-a:-ij3AiB3C3 

-H .r2jl^^2Bi Cl -t- .r2j2 A2B2C2 -1-372^3 A2B3C3. 

C'est une forme du troisième ordre; le produit progressif de deux 
(ormes d'ordres /•, .ç se définira de même et sera une forme d'ordre 
r -\- s\ toutefois r -\- s ne doit pas dépasser 4 ' rappelons qu'une 
lorme du quatrième ordre est un nombre; enfin, cette définition 
est elle-même complétée par la règle relative à l'interversion des 
facteurs et qu'exprime l'égalité 

e.l.'ÏJb =(—1)'-^ 0)1,0/1,, 

OÙ A-, et ill) sont deux formes d'ordres /■, s. Ajoulons enfin que 
si A, B, C, D sont des ]M)ints, les symboles A, AD, ABC, — A, 
— AB, — ABC peuvent être regardés comme des formes à coeffi- 
cients I ou — 1 ; AB, ABC, ABCD ])euvent, de diverses façons, 
être regardés comme des produits, i^a multiplication progressive 
est d'ailleurs associative et distributivc. 

Ces diverses définitions complètent la définition des formes 
géomélii(|ues (pii sont maintenant des objets fie calcul. Les Icc- 



co.Mrn^s Kl- M) us irr analvsks. /m 

leurs du Livre de iM. Burali-Forli ne manqueront pas de s'inl»'-- 
resser vivement à la laeon vraiment simple et élégante dont il 
traite de ce calcul. Signalons c|ucl(|ues propositions et définitions 
fondamentales. 

(^es égalités AB = o, ABC = o, ABCD = o expriment cpie les 
deux points A, B sont confondus, que les trois points A, B, C sont 
en ligne droite, que les quatre points A, B, C, D sont dans un 
plan. L'égalité AB^.rA'B', où x est un nombre, exjjrime que 
les points A', B' sont sur une droite qui passe par les points A, B; 
que le rapport des longueurs des droites qui vont de A à B et de A' 
à B'est égal à la valeur absolue de x; enfin que le sens de A vers B 
est ou non le même que le sens de A' vers B' suivant que x est po- 
sitif ou négatif. La forme AB définit un segment; deux, segments 
sont égaux s'ils sont équipoUents et situés sur une même droite. 
L'égalité ABC = x A'B'C signifie que les points A, B, C, A', B', C 
sont dans un même plan ; que les aires des triangles ABC, A'B'C'sont 
entre elles dans un rapport égal à x, et qu'ils ont ou non la même 
disposition suivant que x est positif ou négatif. Deux triangles 
ABC, A'B'C sont égaux s'ils sont dans le même plan, s'ils ont 
même aire et même disposition. Un vecteur est la différence de 
deux points, c'est une forme telle que B — A; deux, vecteurs sont 
égaux s'ils sont équipoUents. La somme d'un vecteur et d'un point 
est un nouveau point qui se déduit du premier par une translation 
définie par le vecteur. Le produit d'un vecteur par un point est 
un segment. La somme de deux vecteurs est un vecteur qui s'ob- 
tient par la règle de l'addition géométrique. Les vecteurs I et J 
sont parallèles si l'on a une égalité telle que I =^ xi , ou IJ = o. 
Les vecteurs I, J, R sont parallèles à un même plan si l'on a une 
égalité telle que K = :r I H-j'J ou encore IJK ^ o. Si le produit 
IJK n'est pas nul, tout vecteur peut être mis sous la forme 
U = x\ +jkJ + ^K., X, y, z désignant des nombres. Le produit 
de quatre vecteurs est nul. Si I, J sont des vecteurs et O un point, 
OU est un triangle dont O est un sommet, les deux autres som- 
mets étant les extrémités des vecteurs I, J auxquels on attribue 
l'origine O. Un bivecteur est le produit de deux vecteurs. Si I, J, 
K, U sont des vecteurs, les deux bivecteurs IJ, KU sont égaux si, 
en désignant par O un point, les triangles OU, OKU sont égaux, 
au sens qui a été précisé plus haut : à chaque bivecteur U sont 



23r. PREMIERE PAiniE. 

allachés une direction de plan parallèle aux deux vecteurs, un 
sens de rotation dans ce plan, el un nombre (le double de l'aire 
du triangle OU). Un biveeleur peut se réduire à la somme de 
deux segments parallèles, de même longueur et de sens con- 
traire : c'est un couple, au sens ordinaire de la Mécanique. Deux 
bivecleurs u, r sont parallèles si l'on a une égalité telle que 
u:z=a:v. où :r est un nombre. Les bivecteurs s'ajoutent comme 
les couples. Un Irivecleur est le produit de trois vecteurs. Si I, J, 
sont trois vecteurs et O un point, la forme OIJK est un tétraèdre, 
dont le volume ne dépend pas du point O; à cbaque trivecteur 
correspondent ainsi un nombre et un sens, le volume et le sens du 
tétraèdre. Cbaque trivecteur peut se déduire d'un trivecteur non 
nul en le multij)lianl par un nombre. 

Un bivectciir non nul u et un vecteur non nul U sont perpen- 
diculaires si la direction du vecteur est perpendiculaire à la direc- 
tion de plan délinie par le bivecteur. u étant un bivecteur non 
nul, le symbole | u désigne un vecteur U perpendiculaire au bi- 
vecteur u, tel que le nombre qui en mesure la longueur soit 
le nombre attaché au bivecteur, tel enfin que le trivecteur 
uU ^ u(^ I u) ait le sens direct; le vecteur U est Vindex du bi- 
vecteur // ; réciproquement le bivecteur u est l'index de U et l'on 
écrit indifléremment 

U = I H. u= \ U, 

puis, par définition, 

o = I o. 

On en fléduit les égalités 

H t< = i<, \ xu =^ X \ a, u \ V ^1 V \ u, 

\ {u ^ v) =z \ u -^ \ V , {u ^ v) \ w = u \ w -^ V \ (r, 

OÙ M, V, w sont des bivecteurs ou des vecteurs. 

Le produit U | Voù U, V sont des vecteurs non nuls est le pro- 
duit interne de U par V. 

Si A, B, G, D, E sont des formes du premier ordre, on a l'iden- 
tité fondamentale 

BCDE. A H- CDEA.H -^ DEAB.C ^ EABC.D + ABGD.E = o, 

où il n'est pas inutile de rappeler que les facteurs BCDE, CDEA, ..., 
ABCD sont des nombres. 



COMI'TKS RENDUS KT ANALYSES. -xW-j 

Si A, H, l\ Q, il sont des formes du premier ordre, le produit 
régressif âc AB par PC^R est une forme du premier ordre, égale à 

APQR.B — BPQR.A = ABQR.P + ABRP.Q + ABPQ.R. 

Si A, B, G, P, Q, R sont des formes du premier ordre, le pro- 
duit régressif de ABC par PQR est la forme du second ordre 

APQR.BC-f-BPQR.GA+ GPQR.AB. 

La multiplication régressive, qui conduit, étant données deux 
formes /•, s (/■ H- 5 >> 4)? à une forme d'ordre r -\- s — /\, est dis- 
tributive comme la multiplication progressive. 

Telles sont, rapidement résumées, les propositions et défini- 
tions fondamentales que mettra en œuvre M. Burali-Forti. Il con- 
viendrait d'y joindre encore les éléments projectifs (points, 
droites, plans, à distance finie ou infinie) qui permettent de dé- 
finir les formes des divers ordres. La notion, bien naturelle, de 
la dérivée d'une forme géométrique variable permettra ensuite 
les applications à la Géométrie infinitésimale : ces applications se 
poursuivent très élégamment dans le domaine de la Géométrie 
des courbes planes ou gauches et des surfaces réglées, jusques et 
y compris l'établissement des formules de Frenet, qui prennent 
une forme extrêmement simple. A ces formules se rattache natu- 
rellement l'étude des surfaces réglées relatives à une courbe gauche 
(surface polaire, surface rectifiante, surface des normales princi- 
pales, des binormales, etc.), des développantes et des dévelop- 
pées, des trajectoires orthogonales, des courbes de M. Bertrand. 
Quelque courtes Notes, placées à la fin du volume, se rapportent 
principalement à la définition du paramètre différentiel du pre- 
mier ordre, et à la signification géométrique des coefficients des 
deux formes 

E f/a2 _i- 2 F du dv -\- G dv"-, D diC- -H a D' du dv -h D" «r/c-, 

qui jouent, comme on sait, un rôle capital dans la théorie des sur- 
faces. 

Le Livre de M. Burali-Forti se trouve ainsi contenir une ex- 
position des diverses propriétés auxquelles on donne, à juste 
titre, la place la plus importante dans ce qu'on appelle habituelle- 
ment les Applications géométriques du Calcul différentiel. Il 



■2iS PREMIÈRE PARTIE. 

y a certainement intérêt, pour les étudiants, à connaître ce mode 
d'exposition, oii les raisonnements, au lieu de porter sur des 
transformations analytiques effectuées sur des fonctions des coor- 
données, portent sur les objets géométriques eux-mêmes et se 
trouvent souvent être la clef du succès des transformations analy- 
tiques correspondantes. J. T. 



FRICKE (R.) und KLEIN (F.)- — Vorlesungen uber die Théorie der au- 
TOMORPHEN FuNCTiONEX. Band I : Die Gruppentheoretischen Grundlagen. 
I vol. gr. in-S" de xiv-634 pages avec 192 fig. dans le texte. Leipzig, 
Tcubner, 1897. 

La publication d'un premier Traité consacré aux fonctions fucli- 
siennes est un fait scientifique digne d'attirer l'attention, et cela 
d'autant plus que, au moins dans notre pays, la théorie, depuis sa 
création par M. Poincaré, a reçu peu de développements systé- 
matiques. Il faut peut-être en accuser le caractère purement 
abstrait el philosophique qu'elle a revêtu, et que devait revêtir une 
théorie aussi profonde et aussi vaste, dans les travaux de son fon- 
dateur. 

On sait au contraire que le souci d'arriver à des formes con- 
crètes, élémentaires, a été constant chez M. Klein et chez ses 
disciples. On peut dire qu'il s'est montré, pour l'Ouvrage actuel, 
avant son a|)parilion même, parla manière dont celui-ci a été pré- 
paré dans les Leçons sur Vicosaèdre et sur les Fondions modu- 
laires elliptiques. 11 n'est, pour ainsi dire, pas un principe général 
relatif aux groupes discontinus linéaires qui n'ait été posé et ap- 
pliqué à propos des cas particuliers qui ont fait l'objet de ces 
deux publications. 

Dans le premier Volume de la Théorie des fonctions aulo- 
morphes, seul paru jusqu'ici et consacré exclusivement à la théorie 
des groupes discontinus linéaires (indé|)cndamnient des fonctions 
correspondantes) c'est une représentation géométrique élémen- 
taire qui sert de point de départ à toute l'exposition. Les considé- 
rations de Géométrie non euclidienne, invoquées par M. Poincaré 
dans certaines démonstrations, prennent ici une place prépondé- 



COMPTAS IIKNDUS KT ANALYSES. -239 

ranle, non seulement sous la forme primitive de Lobatscliewsky 
on de Riemann, mais encore et surtout sous la forme projective 
de Cajlev, qui correspond à la Géométrie de Riemann, à la Géo- 
métrie euclidienne ou à la Géométrie de Lobatschewskj suivant 
que l'« absolu » est une conique imaginaire, un système de deux 
points ou une conique réelle, [ci, ces trois Gcométries sont dési- 
gnées par les épithètcs à^ eliiplique, parabolique, hyperbolique : 
ces dénominations, empruntées à des travaux déjà anciens de 
M. Klein, ne sont peut-être pas sans inconvénient, en raison de la 
fréquence avec laquelle chacun de ces adjectifs se rencontre, pris 
dans plusieurs sens différents. 

Une importante Introduction est consacrée à ces notions ainsi 
qu'à leur extension à l'espace, telle que l'exige la théorie des 
groupes kleinéens. 

Un premier exemple de la nécessité d'une telle extension est 
immédiatement présenté par le groupe auquel est attaché le nom 
de M. Picard, et qui diffère du groupe modulaire en ce que les 
coefficients des substitutions, au lieu d'être des entiers réels, 
prennent des valeurs complexes. En même temps ce groupe 
fournit l'occasion de définir la notion de discontinuité propre ou 
impropre et le domaine fondamental ou domaine de discontinuité. 
Il faut toutefois observer que les mots « proprement » ou « im- 
proprement discontinu » ne sont pas pris par M. Fricke dans le 
sens adopté par M. Poincaré : sont dits improprement discon- 
tinus les seuls groupes qui, sans être véritablement continus, c'est- 
à-dire sans relever des méthodes de M. Lie, font correspondre à un 
point quelconque donné des points infiniment voisins du pre- 
mier. Le fait que le groupe de M. Picard, sans contenir de sub- 
stitutions infinitésimales, n'est cependant pas proprement discon- 
tinu, montre l'intérêt de cette proposition : Tout groupe linéaire 
dépourvu de substitutions infinitésimales est proprement dis- 
continu (au sens de l'Ouvrage actuel) sinon dans le plan, du 
moins dans l'espace. 

Un point particulièrement intéressant à noter, parce qu'il 
n'avait pas été traité jusqu'ici avec toute la netteté désirable, est 
la formation du domaine de discontinuité. Deux modes de con- 
struction sont indiqués. Le plus simple, né d'une idée de Diri- 
ehlet, consisle à partir d'un point quelconque Cq et à former le 



■24o PREMIÈKH PARTIE. 

domaine normal de disconlinulté de centre Cq avec les points 
qui sont à une moindre dislance (euclidienne ou cayleyenne) du 
point Co que de l'un quelconque de ses homologues. Par exemple, 
pour le groupe dérivé des deux périodes d'une fonclion elliptique, 
le domaine ainsi conslilué est un hexagone, celui-là même qui a 
été considéré par Diriclilet cl appliqué par lui à la réduction des 
formes quadratiques binaires. 

La forme du domaine normal dépend, en général, du choix du 
centre Co, et c'est précisément cette circonstance qui conduit à la 
seconde forme du domaine fondamental. Il existe, en effet, des po- 
sitions du centre pour lesquelles le domaine normal a un nombre 
de côtés moindre que celui qui correspond à un centre arbitraire : 
on constate que le lieu de tels points Cq se compose de certaines 
cubiques, lesquelles divisent le plan en régions qui sont des do- 
maines (domaines naturels) de discontinuité. 

Celte seconde définition du domaine fondamental prend place 
dans la seconde Section, laquelle est consacrée à la classification 
générale des groupes d'après leurs deux nombres fondamentaux, 
qui sont le genre/» et le nombre n de points homologues à eux- 
mêmes (points fixes des substitutions), non homologues entre 
eux. Au commencement de cette Section, l'auteur est revenu sur 
les groupes de déplacements du plan elliptique ou parabolique, 
ceux-ci ayant été traités (du moins pour le plan elliptique) dans 
les Leçons sur V Icosaèdre, mais à l'aide de considérations fonc- 
tionnelles, alors qu'il était intéressant de les reprendre au point 
de vue de la pure théorie des groupes. 

C'est à ce même point de vue, c'est-à-dire abstraction faite de 
toute considération fonctionnelle, qu'est développée la théorie de 
la transformation. La question de la transformation des groupes 
fuchsiens est posée de la façon suivante : le domaine fondamental 
étant replié de manière à former une surface fermée S par suture 
des côtés conjugués, un système de coupures qui rend S simple- 
ment connexe la transforme à nouveau en un domaine fondamen- 
tal, auquel correspond un choix parfaitement déterminé de sub- 
stitutions fondamentales susceptibles d'engendrer le groupe : 
comment est modifié le Tableau de ces substitutions lorsqu'on 
passe d'un système de coupures à un autre? 

Un dernier sujet est longuement étudié dans cette Section : c'est 



COMPTES RENDUS ET ANALVSES. x^i 

la comparaison d'un groupe avec ceux qui lui sonL semblables, 
autrement dit avec ses transformés par une substitution quel- 
conque. Les modules ou invariants relatifs à ces transformations 
sont formés tout d'abord pour les couples de substitutions. Les 
relations qui lient entre eux ces modules sont alors étudiées pour 
les groupes (o,3) et (i , i) (c'est-à-dire les groupes qui correspon- 
dent à [) = o, n = 3, ou p ^^ n =^ i), groupes dont la discussion 
et l'énuméralion complète s'eflectuenl directement et sans diffi- 
culté. Les groupes (o, /i) se déduisent d'ailleurs des groupes (o, 3), 
tout groupe (o, n) pouvant être considéré comme dérivé d'un 
groupe (o, /^ — i) et d'un groupe (o,3) ayant une substitution 
fondamentale hyperbolique commune; de sorte que l'on peut, 
jusqu'à un certain point, définir par leurs modules tous les 
groupes (o,/2) et se rendre compte de leur degré de généralité. 
Quant aux groupes (/?, n), chacun d'eux est en relation simple 
avec un groupe (o, /i + 2/>). 

Enfin les deux points de vue précédents sont combinés dans la 
recherche des transformations subies par les modules lorsqu'on 
transforme les substitutions fondamentales par changement du 
système des coupures, ainsi qu'il a été expliqué précédemment. 
On obtient ainsi certaines transformations birationnelles qui per- 
mettent de passer des anciens modules aux nouveaux ou récipro- 
quement : l'ensemble de ces transformations constitue le groupe 
modulaire (/?, /«), groupe que l'auteur étudie pour les cas (o,4) 
et(i,i). 

Un dernier Chapitre est consacré aux groupes sans cercle fon- 
damental et aux propriétés si curieuses que peut présenter la 
courbe limite (lieu des points singuliers) pour de tels groupes. 

La troisième Section traite d'un sujet qui appelle encore de 
nombreux compléments : la formation effective des groupes fuch- 
siens; elle y marque un pas important, grâce aux travaux arithmé- 
tiques que M. Fricke a consacrés à cette question. La théorie delà 
réduction des formes quadratiques, dont Texposition générale, si 
sommaire qu'elle soit forcément ici, comble une véritable lacune, 
sert de base à cette troisième Section. L'auteur traite d'abord des 
formes binaires à coefficients réels ou complexes, à indéterminées 
réelles ou conjuguées, ainsi que des groupes dont les substitutions 
transforment en elles-mêmes ces différentes formes. 



•24 >. PUI-.MIÉIIF. PAUTIE. 

Passant alors aux formes lernaircs et quaternaires, M. Fricke 
expose les théories de M. Hermite, sous les différentes formes qui 
leur ont été données; d'autre part, le fait que toute forme ternaire 
peut être, à l'aide d'une substitution à coefficients rationnels, 
réduite à ax- -i- by--'r cz-, lui permet de ramener l'étude du 
groupe qui laisse invariante une telle forme à celle d'un groupe 
linéaire à une variable. 

Une théorie analogue étant indiquée et développée sur quelques 
points pour les formes quaternaires, on obtient ainsi certaines caté- 
gories assez générales de groupes fuchsiens. De plus une extension 
naturelle des recherches précédentes s'obtient en considérant des 
formes et des sid)slitutions dont les coefficients ne sont plus com- 
mensurables, mais pris à lintérieur d'un corps algébrique quel- 
conque. 

Un retour sur les groupes (o,3) et (i , i), étudiés à ce nouveau 
point de vue, termine cette dernière Partie qui, réunie à la précé- 
dente, justifie pleinement la prétention émise par l'auteur d'avoir 
constitué une Théorie des groupes fuchsiens et kleinéens. 

J. Hadamard. 



BOREL (E.). — Leçons sir la théorie des fonctions. Un vol. in-8"; 
VIII- 136 p. Paris, Gauthier-Villars et fils, 1898. 

La théorie des ensembles a, tout dabord, quelque peu scanda- 
lisé les mathématiciens; ils s'3' habituent petit à petit. Bornée à 
elle-même, cette théorie serait sans doute restée dans une région 
un peu obscure, explorée de temps en temps par ceux des philo- 
sophes rpii éprouvent le besoin de renouveler leurs spéculations 
sur l'infini; mais quelques Mémoires célèbres, parmi lesquels il 
convient de citer tout d'abord le Mémoire de M. Miltag-Leffler 
sur les fonctions uniformes, ont montré comment certains résul- 
tats de cette théorie intervenaient dans des problèmes qu'on ne 
saurait écarter des Mathématiques. Dans un livre classique, 
M. Camille -Jordan a montré le rôle fondamental que doit jouer la 
notion d'ensemble dans l'exposition des éléments de l'Analyse. 



COMPTIÎS UliNDUS lîT A iN A 1, V SKS. 7.43 

Uc-ccnimcnL ('), IM . lladamard renconlrail, dans la théorie des 
lignes géotlësiqiics, un de ces ensembles parfaits, qui ne sont 
denses dans aucun intervalle, dont M. Poincaréa fait connaître !<.' 
premier exemple. 

L'an dernier, M. Borel a exposé aux élèves de 1 École iN'ormale, 
dans quelques leçons, les points de la théorie des ensembles dont 
l'importance dans le reste des Mathématiques est, en quelque 
sorte, prouvée expérimentalement; il y a ajouté des vues extrê- 
mement intéressantes sur la théorie des fonctions; c'est de ces 
leçons qu'est sorti le petit livre dont nous rendons compte, livre 
très clair, plein d'idées, d'aperçus, de suggestions; le résumé 
que je vais essayer d'en donner ne pourra certainement rendre 
ce que la lecture du livre de M. Borel a de presque amusant. 

L'auteur développe d'abord la notion de l'ensemble dénom- 
brable, caractérisé par un indice entier attaché à chaque élément; 
si plusieurs indices, en nombre fini, sont attachés à chaque élé- 
ment, le caractère de l'ensemble reste le même. D'un ensemble 
infini quelconque on peut supprimer un ensemble dénombrable, 
sans que l'ensemble cesse d'être infini. 

Les ensembles qui ont la puissance du continu ne sont jias dé- 
nombrables. Si l'on a une infinité d'ensembles ayant la puissance 
du continu, cette infinité (dans laquelle chaque ensemble est 
regardé comme un élément) ayant elle-même la puissance du 
continu, l'ensemble total formé par la réunion de tous les élé- 
ments des ensembles considérés a aussi la puissance du continu. 
Les nombres algébriques forment un ensemble dénombrable. C'est 
là, |)our l'auteur, l'occasion de parler des recherches de M. Her- 
mite et de M. Lindemann sur les nombres e et t:, et de rappeler 
les ingénieuses observations de Liouville sur la façon dont on peut 
approcher d'un nombre algébrique, observations d'où résulte ai- 
sément l'existence d'une infinité de nombres transcendants, ayant 
la puissance du continu. La théorie des fractions continues 
montre, d'ailleurs, que la propriété des nombres algébriques si- 
gnalée par Liouville ne caractérise nullement ces nombres. 
M. Borel traite ensuite des ensembles parfaits : il distingue l'en- 



( ' ) Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques {Journal de 
Liouville, 5^ série, t. IV. p. 69). 



24 i PREMIÈRE PARTIE. 

semble absolument parfait, identique avec son dérivé, et l'en- 
semble relativement parfait qui contient tous les éléments de son 
dérivé, et qui, d'après une proposition de M. Bendixon, n'en peut 
différer que par un ensemble dénombrable. Il montre comment 
un ensemble parfait, composé de points entre o et i, peut n'être 
dense dans aucun intervalle ('), et, à ce pro|)OS, se trouve amené 
à démontrer que si Ion considère un ensemble dénombrable d'in- 
tervalles («„ — bn)t n"ayant pas de points communs, tous com- 
pris dans l'intervalle (o — i), et tels que la somme 

ai H- ao -+-...-+- a,î +.. . 

de leurs longueurs respectives soit inférieure à i, il existe un en- 
semble A, non dénombrable, formé de tous les points qui n'ap- 
partiennent pas aux intervalles («„ — b,,)- Cette proposition 
l'amène aux ensembles qu'il qualifie de mesurables et qu'il sup- 
pose toujours formés de points compris entre o et i. Lorsqu'un 
ensemble est formé de tous les points compris dans une infinité 
dénombrable d'intervalles n'empiétant pas les uns sur les autres 
et avant une longueur totale s, M. Borel dit qu'il a pour mesure s. 
Si les ensembles E, E' ont pour mesure 5, s' et si lous les points 
de E' appartiennent à E, l'ensemble des points de E qui n'appar- 
tiennent pas à E' a, par définition, s — s' pour mesure. Ces dé- 
finitions ne sont jamais contradictoires. Tout ensemble parfait 
limité est mesurable. 

Après avoir résumé d'une façon très brève et très lumineuse les 
propositions fondamentales concernant le prolongement des fonc- 
tions, et la déliiiilion, d'après Weierstrass, des fonctions analy- 
tiques, l'auteur montre, d'après M. Poincaré, comment on peut 
définir toute fonction analytique au moyen d'une infinité dénom- 
brable d'éléments \*[x — a). Il donne un exemple extrêmement 
simple d'une fonction analytique uniforme dans un domaine d'un 
seul tenant, représentée, dans une partie de ce domaine, par une 
série qui, tout en restant convergente, ne la représente plus dans 
une autre partie du même domaine. M. Borel a bien voulu rap- 



(') M. Borel propose avec r.iison de dire dense et non condensé Aans un in- 
tervalle. 



co.Mi'Ti'S iir.NDUS i:t analvsi;s. 245 

peler, à ce propos, une séi'ie simple que j'avais signalée comme 
représentant i dans une partie du plan et — i dans une autre. Je 
ne parle ici de cette série (|ue pour dire nue fois de j)liis 
qu'elle avait été considérée avant moi par M. Schroder. L'auteur 
fait ensuite une étude très intéressante de la convergence des sé- 
ries de la forme 

où les \,i et les /??,; sont des nombres positifs dont les premiers 
tendent vers o avec - et sont tels que la série 

n 1 






011 'J. est un nombre positif, soit convergente. 

Les variables x, y sont réelles, ainsi que les systèmes de con- 
stantes an, b,i, qui définissent un ensemble dénombrable de points 
du plan; les sommations sont relatives à Tindice n. 

En même temps que cette série, M. Borel considère les séries 
obtenues en prenant les dérivées partielles d'ordre quelconque de 
tous ses termes. Le résultat essentiel auquel il parvient est le sui- 
vant : On peut trouver dans toute région du plan une infinité non 
dénombrable de courbes C sur lesquelles toutes ces séries à termes 
positifs sont uniformément convergentes. Si l'on considère toutes 
les droites D parallèles à une direction donnée et un segment 
de droite t de longueur l non parallèle à cette direction, on 
peut trouver sur ce segment un ensemble dont la mesure dif- 
fère aussi peu que Ton veut de / et tel que toute droite D, passant 
par un point de cet ensemble, ait la propriété fondamentale des 
courbes C. Il en est de même lorsque l'on considère les droites D 
passant par un point O et que 1 on remplace le segment o- par un 
arc de cercle de centre O, si l'on suppose que le j)oint O ne coïn- 
cide avec aucun des points (^x = a,i, y = 6,^), ni avec aucun point 
de l'ensemble dérivé formé par ces points. On peut cependant, 
dans toute région du plan, même si tous les points de cette ré- 
gion appartiennent à l'ensemble dérivé dont nous venons de 

Bull, des Sciences /iia/lie/ti ., 2' série, l. WII. (OcLoLirc iSyS.) 17 



2^6 PIIEMIÈIIR PAUTIE. 

parler, trouver une infinilc non dénombrable de points pouvant 
être pris pour le point O. On peut aussi trouver une infinité non 
dénombrable de tels points sur toute courbe C. Cette proposition 
servira |)liis lard à raulcur pour établir quelques propositions re- 
latives aux séries de fractions rationnelles. 

jNI. Borcl développe enfin des vues générales sur la notion de 
fonction de variable complexe, vues dont cjuelques-unes avaient 
déjà été exposées dans sa tbèse. 

Distinguant nettement entre les tnoi?> fonction analytique et 
expression analytique, il indique, d'une part, les résultats ob- 
tenus par M. llunge et par M. Painlevé, en vertu desquels toute 
fonction analytique uniforme ayant un domaine naturel d'exis- 
tence D peut, dans ce domaine, être représentée par une expres- 
sion anaUlique, el (ai t ressortir ce qui reste d'arbitraire et, par 
conséquent, d'imparfait dans les représentations de cette sorte, 
dont il était, toutefois, très important d'établir la possibilité; il 
fait ensuite une intéressante critique de la belle méthode de 
M. Mittag-Lefller pour la représentation d'une classe particulière 
de fonctions uniformes, représentation qui met bien en évidence 
chaque point singulier de la fonction et la nature de la singularité 
de l;i foiiclion. M. Borel examine, en parlicidier, le cas d'une 
fonction (pii est la dérivée logarithmique d'une fonction entière, 
pour montrer comment la façon dont la fonction se comporte à 
l'infini permet de déterminer la série qui la représente quand la 
fonction entière, dont elle doit être la dérivée logarithmique, est 
d'un genre fini, au sens de Laguerre. 

Reprenant ensuite un sujet qu'il avait déjà touché dans sa 
thèse, il étudie les séries de fractions rationnelles de la forme 

où les points d'affixe a ,i ne sont soumis à aucune restriction, si 
ce n'est de former un ensemble dénombrable qui ne soit pas 
dense dans tout le plan et où les A„ satisfont à la condition 

r "Av — 

litn \ A„ =^ <). 

fl ZZZ X 

Une telle série définit une fonction analytique uniforme dans 



CO.MPTI'S HI:NI)US KT ANALVSKS. 2^7 

certaines aires qui ne conliemient pas de points a,i. A priori, on 
ne peut prévoir aucune relalion entre les fonctions analytiques, 
représentées par ces séries clans deux aires de eonverj^ence qui 
sont séparées. C'est un fait bien reiiiiiiquahle (pTuiic Icllc série 
ne puisse représenter o dans une partie du plan, sans être identi- 
quement nuli(; |)artout où elle est convei-gente. On peut, d'ail- 
leurs, tracer dans toutes les réf^ions du plan une iidinité non dé- 
nomhra])lc de courbes sur lesquelles la série est absolument et 
uniformément convergente, ainsi que toutes ses dérivées. 

Le livre de M. Borel se termine par trois Notes : la première, 
relative à la notion de puissance, concerne une question capi- 
tale, et non encore entièrement élucidée, de la théorie des en- 
sembles : il s'agit au fond de Textension à l'idée de puissance des 
notions de |jliis grand et de plus petit; la question est posée 
dans toute sa clarté. Désignons, avec l'auteur, un ensemble quel- 
conque par une grande lettre, et par la même lettre, affectée de 
l'indice i. un ensemble dont tous les éléments appartiennent au 
premier ensemble, mais tel que quelques éléments de ce premier 
ensemble ne lui appartiennent pas. Ceci posé, étant donnés deux 
ensembles, A, B, quatre cas sont logiquement possibles. 

i" Il existe un A, avant même puissance que B et il n'existe 
pas un B, ayant même puissance que A. 

2" W n'existe jias un A, ayant même puissance que B, et il 
existe un B, ayant même puissance que A; 

3" Il existe un A, ayant même puissance que B et un B, avant 
même puissance que A; 

4^* H n'existe ni un A, ajant même puissance que B, ni un B, 
a_)ant même puissance que A. 

Les deux premiers cas ne dillérent que par l'échange des lettres 
A et B. 

Dans le troisième cas, les deux ensembles ont même puissance. 
M. Borel en donne une démonstration très simple, que lui a com- 
muniquée M. G. Gantor et ([iii est due à IM. Félix Bernslein. 
Pour pouvoir affirmer, comme le fait M. Cantor, que, deux en- 
sembles étant donnés, ou bien ils sont de même puissance, ou 
bien l'un est de puissance suj)érieure à l'autre, il faudrait démon- 



•jt48 PUli-MIElili l'A Fin K. 

Irer encore que, dans le qualiiènie cas, les deux ensembles ont 
même puissance, ou que ce qualrièine cas est réellement impos- 
sible (juand il s'agit d'ensembles infinis. (Quoique la proposition 
essentielle reste douteuse, la (It'iuonstration de M. Bernstein, 
reste très intéressante, et par elle-même, et à cause de la lacune 
cju'elle comble. 

M. Borel s'o(;cupe ensuite de la formation d'ensembles ayant 
des puissances de plus en plus grandes. Etant donné un en- 
semble E d'éléments x^ on conçoit qu'une fonction f {x) soit dé- 
terminée pour chaque éléments; de l'ensemble E. Ne considérons 
que les fondions ainsi déterminées qui ])reniient pour chaque 
valeur ,r de l'ensemble soit la valeur o, soit la valeur i. L'en- 
semble F de toutes ces fonctions sera d'une puissance supérieure 
à la puissance de l'ensemble E. Si E est un ensemble dénom- 
brable, F a la puissance du continu; si E a la puissance du con- 
tinu, F a une puissance supérieure. M. Borel exprime, d'ailleurs, 
des réserves très sages sur la possibilité de concevoir un tel en- 
semble, parexcm|)le l'ensemble des fonctions discontinues d'une 
variable réelle, en raison de l'infinité non dénombrable des condi- 
tions qui déterminenl cluu|ue fonction. 

La seconde ISote se rappoiie en partie aux lecheiehes de I*. du 
Bois-Bevmond sur la conq)araison des fonctions croissantes. 
Du Bois-Kejmond a montré cpie si l'on considère une suite dé- 
nombrable de fonctions croissantes 

(i) ^i(x). Oiix), ..., cp,j(ic), ..., 

telles (pie chacune d'elles croisse plus rapidement que la précé- 

dente (luc le rapport—^ — ; — - croisse indeiiniment avec x], on 

\ ' ' ' ?rt-i(-ï') /' 

p(!ut toujours former une fonction qui croisse plus rapidement 
(Hie n'importe quelle fonction de cette suite. ]\L Borel se |n-opose 
de former une (''clicllc de types croissants, c'est-à-dire un 
ensemble E de fonctions dont deux quelconques aient des crois- 
sances comparables et qui contienne une fonction croissante arbi- 
trairement donnée. (]et ensemble 1'^ ne peut être dénombrable. 
Partant d'une suite telle que (i), on peut former une fonction 
csjof.r) cpii croisse plus rapidement (pu; n'importe rpiel terme de la 



suite (1 ). puis en pos.inl 

consliliier iiiio suiu- 

(2) o^ix), 05(0(3-), ..., o,„o(.r), ... 

jouissant des mêmes propriétés que la suite (i), puis former une 
fonction zi(^'.(x) dont la croissance dépasse la croissance de tous 
les termes de la suite (2), ... puis répéter indéfiniment ce procédé. 
En le répétant indcjininrcnt, on ne forme jamais à la vérité que 
des ensembles dénombrables, mais en le répétant transfinimfnt, 
c'est-à-dire en le supj)0saiit répété cha(]ue fois que l'on auia une 
infinité dénombrable de types croissants, quel que soit le procédé 
par lequel on a obtenu cette infinité, on parviendra (idéalement) 
à un ensemble (S) non dénombrable (de seconde puissance), tel 
que deux fonctions soient com|)arables entre elles, que chaque 
fonction soit immédiatement suivie d'une autre fonction, tel enlin 
(si l'on admet pour les fonctions croissantes un axiome analogue 
à celui qui, pour les grandeurs, est connue sous le nom cVaj'ionie 
d'Archimède), que, une fonction quelconque étant donnée, il v 
ait dans (S) une infinité de fonctions qui croissent plus rapidement 
qu'elle. L'analogie de cet ensemble (S) avec la suite des nombres 
entiers est visible. M. Borel constitue un ensemble (2l) qui joue 
par rapport à lensernble (S) le même rôle que l'ensemble des 
nombres rationnels par rapport à rensemble des nombres entiers; 
enfin, en introduisant dans l'ensemble (I!) des coupures (au sens 
analogue à celui de M. J3edckind pour la définition des nombres 
irrationnels), il parvient à la notion de fonctions idéales, qui 
tiennent, dans cette théorie de la croissance, le rôle des nombres 
irrationnels en Arill!méti(|iie. Cette notion des fonctions idéales 
avait d'ailleurs été sommairement indiquée par du Bois-Rcvmond. 

JNotons encore ce résultat intéressant : 1 ensemble des fonctions 
croissantes (non idéales) a la puissance du continu. 

A la fin de cette même JNote, l'auteur donne sur les nombres 
de M. Cantor quelques aperçus que le lecteur a sans doute pres- 
sentis. 

La dernière iNole est intitulée : La iiolion de /(inrlinn en i;ê- 



ijo IMlKMir-HI- l'AI^TlE. 

néral. M. Borel y revient sur la difficulté qu'il v a à considérer 
d'autres fonctions que celles qui sont définies par une infinité dé- 
nonihrahle de condilions; il expose des vues très intéressantes 
sur certaines classes de ces fonctions. Enfin, il précise le rôle de 
cette expression, dépendre de p fonctions de n variables, qui 
est quelquefois employée d'une façon un peu vague. 

J. T. 



CLAUSIUS (R.). — TiiKORiK mécanique de lv chvlelr. Deuxième édition, 
refondue et complétée, traduite sur la troisième édition de l'original alle- 
mand, par F. Folie et E. Ronhar. T. I : Développement des formules qui 
se déduisent des deux principes fondamentaux avec différentes applications. 
In-8". vn-499, p. T. II : Théorie mécanique de l'électricité y compris l'ap- 
plication des principes fondamentaux de la Tliéorie mécanique de la cha- 
leur. In-8°, 472 p. Bruxelles, Société belge d'éditions, 1897 et 1898. 

Depuis que, sur les instances des amis de la Science, R. Clau- 
sius s'est décidé en i865 à réunir la collection des Mémoires vé- 
ritablement fondamentaux (pion lui doit sur la Théorie mécanique 
de la chaleur, dont il mérite à tant de titres d'être regardé comme 
un des fondateurs et sur l'Electrodvnamique, un grand nomhre 
d'années se sont écoulées sans affaiblir l'inlérèt et 1 utilité d une 
telle publication. Une traduction française en a paru en 1 8~o 
chez Lacroix à Paris; mais, dès 1870, une nouvelle édition de cet 
important Ouvrage étant devenue nécessaire, 1 auteur se résolut 
à lui donner une forme toute nouvcllr. Il Im |i;iiiii nlilc de re- 
fondre le contenu de ses Mémoires détachés de telle manière qu il 
formât un ensemble développé avec méthode et se rapprochât 
ainsi plus com|)lèlemenl d un Ouvrage didactique. En se décidant 
])ar ces motif» à refondre l'Ouvrage, l'auteur pouvait d ailleurs v 
introduire maintes recherches d'autres auteurs et tenir compte 
des publications si nombreuses faites depuis la publication de sa 
collection de Mémoires; de sorte c|ue la seconde édition de sa 
Théorie mécanique pouvait être considérée à divers égards 
comme un Ouvrage nouveau. Cette seconde édition a d'ailleurs, 
elle aussi, reçu le meilleur a cucil et elle \ient d'être réimprimée 
dans ces derniers temi)s. 



MKLANGKS. a 5, 

C'est piécisciucMil la liadiiction en Iraïuais de celle Uoisièmc 
édition que nous offrent aujourd'luii MM. F. Folie et llonkar. Sur 
la valeur de l'œuvre, il est clair que nous n'avons rien à apprendre 
à nos lecteurs. Il nous suffira donc de dire que la traduction a été 
faite avec la plus grande fidélité et le plus grand soin. IM. Clausius, 
d'ailleurs, a bien voulu en revoir toutes les épreuves et mettre 
les traducteurs à nicnie de la rendre entièrement conforme à la 
troisième édition de l'original qui se publiait en même temps. On 
peut donc être assuré (jue l'Ouvrage imprimé dans de si excel- 
lentes conditions sera accueilli avec reconnaissance par les savants 
et les ingénieurs de langue française. 



MELANGES. 



SUR LES MOUVEMENTS RELATIFS DE TROIS PLANS GLISSANT 
LES UNS SUR LES AUTRES; 

Par m. Etienne DELASSUS, 
Cliargé d'un Cours complémentaire à l'Université de Toulouse. 

I. Considérons trois plans A, B, C glissant les uns sur les 
autres. Le mouvement relatif de deux d'entre eux, A et B par 
exemj)le, se représentera par le roulement dune courbe BA du 
plan B sur une courbe AB du plan A et le mouvement instantané 
sera une rotation autour du point de contact c des deux roulettes 
ABetBA(yto-. i). 

Nous avons ainsi six roulettes : AB, AC dans A; BA, BC dans B; 
CA, CB dans C et trois centres instantanés de rotation a, b^ c. 

Désignons, en outre, par y la vitesse instantanée de rotation 
de B par rapport à A, par a celle de C par rapport à B et par [i> 
celle de A par rapj)ort à C. 

Le mouvement de C par rapport à A |)ouvant s'obtenir en com- 
posant le mouvement de B par rapport à A et celui de C par 
rapport à B, on en conclut que la rotation — Jj est la résultante 
des deux rotations v et a. Il en résulte : 



I 



9.52 PUEAllEKE PAUTlIi. 

i" A chaque instant, les trois centres instantanés de rota- 
tion a, b, c sont sur une même droite A. 

'2° On a toujours 

:, 4- ^ + Y = o. 

3" Les trois points a^ b^ c de A vérifient la relation 

-'^ >i ac -\- '^ X ab = o. 

Ceci posé, nous allons nous proposer de démonli^er la propriété 
suivante : 

Parmi les six roulettes, il y en a cinq que l'on peut se 
donner arbitrairement. 

Fis. I. 




Quand on se donne une roulette de A et une roulette de B, le 
mouvement relatif de A et B n'est pas déterminé, il faut se donner 
en outre la position initiale de B en indiquant quel est le point 
de BA qui est, ou viendra, en contact avec un point déterminé 
de AB, ce qui revient à se donner la valeur d'un certain para- 
mètre, et enlin indujucr la nature du roidcment relativement au 
temps, c'est-à-dire se donner une fonction de t qui sera par 
exemple la vitesse de rotation y, ou encor(!, l'arc parcouru par le 
point de contact des deux roulettes sur Tune d'elles, La propriété 
que nous avons en vue |)rut alors s'énoncer d'une façon précise 
comnie il suit : 



MftLANGIÎS. 7-)l 

Donnons-nous arbitrairement deux courbes AB, AC dans 
le plan A, deux courbes (]A, CB dans le plan (1, une courbe BA. 
dans le plan W et en fin un niouvenient relatif de A et B tel 
que BA roule sur AB. 

// est possible, et d' utie in finit é de façons, de déterminer 
un mouvement de C tel que (IV roule sur K(\ et que le mou- 
vement relatif de (^ et de B soit le roulement de CB sur une 
courbe de C. 

Pour faciliter le raisonnement, nous pouvons, sans restreindre 
la généralité, considérer A comme fixe. 

Nous pouvons, et cela d'une infinité de façons, faire mouvoir C 
de sorte cjue OK roule sur AC ; il reste encore dans le mouvement 
de C, un paramètre arbitraire et une fonction arbitraire de t. Sup- 
posons qu'on ail fixé le paramètre, il nous suffit de montrer qu'on 
peut déterminer la fonction de t de façon que le point a se trouve 
toujours sur CB ou, ce qui revient au même, de façon qu'en 
appelant a un des points d'intersection de bc avec (^B on ail 

constamment 

Y X ac + p X al) = o. 

Supposons que la fonction de t qui détermine le mouvement 
de C soit l'arc Kb = s. 

La position de c est connue en fonction de t, la position du 
plan C est connue en ibnclion de s; donc les |)osilit)ns de b et a 
et, par suite, les valeuis de ae et cdj sont connues en fonction 
de s et t. 

V est une fonction connue de t. 

Soit l'angle de la tangente en b à AC avec une direction (i\e. 
La courbe AC étant connue, on a 

donc 

^'^dt=-^^'^dt' 
L équation de condition précédemment écrite devient donc 

ds 



,n=^(s-n. 



F étant une fonclion connue. 



•>>.54 '• PREMIERE PARTIE. 

Celle é(|iiali(>n di Héron lielle ordinaire donnera s en fonction 
de / el d'une constante arbitraire. 

CiOmnie, d'après le théorème deCauchj, une équation telle que 
la précédente admet toujours des solutions, la possibilité du 
mouvement de G satisfaisant aux conditions imposées est donc 
démontrée. 

Si nous tenons compte de la constante arbitraire qui a été fixée 
au début, nous voyons que le mouvement de C dé|>end encore de 
deux constantes arbitraires. En général, la roulette BC en dépen- 
dra également. 

La première de ces deux constantes peut disparaître si l'une 
des deux roulettes AC, CA est une courbe superposable à 
elle-même dune infinité de façons, cesl-à-dirc un cercle ou 
une droite. 

On peut inler|)réler ces résultats de la façon suivante : 

Supposons que l'on ait réalisé |)ar un procédé quelconque la 
liaison des |)lans A, B, C deux à deux de façon que les courbes 
correspondantes restent tangentes et que les roulettes soient 
réalisées matériellement de telle façon qu'elles ne puissent pas 
glisser les unes sur les autres. Fixons par exemple le point A. 
Chacun des plans B et il n'aura qu'un seul mouvement possible, 
et le mouNcment de l'un d'eux entraînera le mouvement de l'autre 
en |ir()(luisanl h; luouvement total dans lequel les six roulettes 
roulent deux à deux les unes sur les autres. Pour faire ainsi 
mouvoir le plan B par l'intermédiaire de C, il suffit de réaliser les 
roulettes relatives aux groupes A, C et B, C, de sorte (|ue nous 
])OUVons nous dispenser de réaliser inal(-riellcment les roulettes 
AB et BA en conservant toutefois la liaison correspondante de A 
elB. 

Nous obtenons ainsi sous sa forme la plus générale ce que Beu- 
Icaux (') appelle y>////t7/>c des trajectoires polaires secondaires, 
et nous pouvons (aire reniarquerque, pour j)roduire un mouvement 
déterminé de B |)ar rapport à A, il faut employer quatre roulettes 
auxiliaires dont trois pourront être choisies arbitrairement. 

Comme cas particulier intéressant, il faut citer celui où les deux 



C) llKL'LiiAL'x, Cinématique ( traclurtiDn française), p. 79. 



Mf'M.ANGF.S. 0,5-) 

roiilcltcs CA cl (>I> ilii pliin C scraiciil confontliics en iiik; courbe (j 
qui ne doit pas êlre une droite de façon à être rencontrée par A 
on des points distincts pour ne pas êlre dans un cas d'excep- 
tion que nous rencontrerons plus loin. Tout mouvenienl de Bpar 
rapport à A peut donc se réaliser en faisant rouler une courbe 
de C siniullanémenl sur une courbe de A el une courbe de B, et, 
pai-mi ces trois courbes, on peut en choisir deux arbitraireineul. 

Voyons maintenant les cas où les raisonnements faits pour éta- 
blir le théorème général ne sont plus applicables. 

Le raisonnement suppose que b et c soient distincts. Supposons 
qu ils soient confondus ; on aura alors 

(v_^ J3)rtc = o 
ou 

Y X «r = o: 

or a^Y ^ o par h\pothèse, sans quoi deux des plans seraient en 
repos relatif. On aura donc 

ac — o, 

et rt, b, c seront confondus en un même point 1 ijig- 2). 

FiK. 2. 




AB et AC étant les lieux de c et b dans A seront confondues en 
une même courbe A lieu de I dans A; de même BA et BC seront 
confondues en une même courbe B et CA et CB en une même 
courbe C. 11 n'y aura plus que trois roulettes A. B, C roulant les 
unes sur les autres de façon à avoir toujours le même point de 
contact, et ces roulettes pourront être prises arbitrairement. 

Pour produire un mouvement déterminé du plan B par rapport 
au plan A, on pourra prendre ai'bitrairement la roulette C. 

Les roulettes auxiliaires ne sont donc que des cas particuliers 
des roulettes secondaires de Beuleaux. 

Lin autre cas particulier est celui où la droite A rencontre ton- 



2Î6 



PREMIERE PARTIE. 



jours C.\ el CB au niênie poinl, c"esl-à-dirc où CA et CB sont 
confondues en une droite C. On retombe sur le cas particulier 
(|ue nous venons détudier avec celle particularité que la roulette 
auxiliaire est une droite, à moins que cette droite C ne soit cons- 
tamment confondue avec A, c'est-à-dire à moins qu'on ne fasse 
mouvoir le plan C de façon que A roule sur AC en passant con- 
stamment par le point c, le poinl a sera constamment sur A et son 
lieu dans B sera une courbe B(^ sur laquelle A roulera { fig- 3). 

Fis. 3. 




Nous retombons ainsi sur le cas particulier dans lecjuel c'est 
la même courlje de C qui roule simultanément sur une courbe 
de A et une courbe de B, avec cette parlicularilé que C est main- 
tenant une droite, Inpolhèse qui avait été écartée. 

Tout mouvement de B par rapport à A peut être obtenu en fai- 
sant rouler une droite C simultanément sur une courbe de A et 
une courbe de B, Inno de ces deux courbes pouvant être choisie 
arbitrairement. 



11. ^lOus allons maintenant nous occuper d'une question qui 
offre un erand inlérét au point de vue de la ihi'orie géométrique 
des engrenages. 

Considérons \\\\ poinl M du plan auxiliaire ( .. Il a une Irajec- 
toire I\ dan-" le plan \ cl une Irajerloirc i"|; (l;iii> le plan 1!. 



MFI.ANdKS. .,-,- 

PeuL-il (irrnpr que \\ et I'„ soient des pea/Us conjugués 
dans le mou^'enient relatif de A et B? 

ConsidcToiis A comme Hxc cl coiisich'TOiis le mouvement de C 
par l'inteniiédiaire de B. Y ^ .sfi;i la liajeetoire absolue de M et 1',, 
sa trajectoire relative. Pour ([ircilcs .soient tangentes en iM il faut 
que la vitesse absolue et la vitesse relative et par suite la vitesse 
d'entraînement de M aient même direction. Comme la première et 
la dernière de ces trois vitesses sont respectivement ])erpendlcu- 
laires à JNI 6 et Me il faut et il suffit que M soit en ligne droite 
avec 6 et c {Jig- 4)- 

Fis. 1. 




1° Cas oii tous les points de C engendrent des profils 
conjugués. 

Tout point de C devant être en ligne droite avec b et c, ces 
deux points doivent être constamment confondus et cela suffit, de 
sorte que nous sommes dans le cas des trois roulettes tangentes 
au même point. 

On retombe ainsi sur la méthode des roulettes pour le tracé des 
engrenages et Ton sait qu'en choisissant convenablement la rou- 
lette C et le point M on engendre nimporte quel coujjje de proiils 
conjugués. 

2° Cas oii il y a une infinité de points de C fjui engendrent 
des profils conjugués. 

h et c n'i'tant pas confondus, tous ces points AI doixenl èti'e 



•258 PIUÎMIÈHK PAiniE. 

sur la droile A laquelle doit être alors une droite invariablement 
liée au jjlan C. (>oninie les j)oints <7, b se trouvent loujouis sur elle, 
c'est A elle-même (|ui est à la fois la roulette CAet la roulette CB, 
de sorte que nous nous trouvons dans le cas où le mouvement 
relatilde B et A s'obtient en faisiint roider une droile C simulta- 
nément sur une courbe AC et sur une courbe BC 

Tous les |)oiiits (le la droile (^ décrivent des prollls conjugués et 
ce sont les seuls. 

jNous retrouvons ainsi la méthode des dévelopj)antcs pour le 
tracé des en;;Tenages et, comme hi courbe AC est arbitraire, on 
peut ainsi engendrer n'importe (juel couple de profils conjugués. 

Le ("ait que la courbe AC est arl>itraire permet d'énoncer la 
])ropr lété fondamentale de cette méthode sous la forme suivante : 

On a une courbe AB dans un plan fixe A et une courbe BA 
dans un |)lan mobile B. Le plan B se mouvant de façon que BA 
roule sur AB, à chaque position du point de contact on fait cor- 
respondre, suivant une loi aibitiaire. une droile A passant par ce 
point. Celle droite A a une enveloppe AC dans le plan A et une 
envelop[)e BC dans le plan lî. Si, en même temps qu'elle tourne 
autour de e, on fait glisser la droile A sur ce point de façon quelle 
roule sur 1 une de ses deu\ enveloppes, elle routera aussi sur 
l'autre. 

3° Un $eu l point de C décrit des profils conj ugués. 

II fiuit alors qiK' la droile A passe par un point .M iixe dans le 
plan C. 

Donnons-nous ;ii bu raircmcnl le momcmenl i-elalif de A et B, 
une courbe AC et, dans le plan C. la courbe CA et le point M. 

La position de c est connue en (onction de /. Celle du plan C 
cl, par suite de b et de M, est connue en fonction de s. En écrivant 
que r.M cl <b sont conlondues on aura une équation 

V[s,J')= o. 

(jiii (h'icrmineia s r\\ fonelion de /, c'est-à-diic la façon dont il 
faudra faire rouler C\ sur AC de manière que cb passe constam- 
ment par ^L 

On peut remarquer qu'avant fixé AC, la courbe CA et le 
point M du plan C sont eomplétemenl arbitraires: en ap[)liquanl 



MfiLANGKS. -/G;, 

le irsiillal t'oniui rclalifà la nu'lliodc des roiilcUes, on \oiL (|ir()n 
peut s'arraiii^cr de façon que .M décii\e n'iniporle (|uel con|)le de 
profils con|iii;u(''s. 

Ainsi, an point de vue de la iialure des profils eni^endrés, les 
trois niélhodes sont rigonrenscincnl écpiix alenlcs ^ il n'en est pas 
de même si l'on se place au |K)iiil ilc; vue de la ^l'iirialioti d'un 
couple délerniiiié de |)r()fîls. 

Soil y^ et v^ ces deux profils. 

Dans la méthode des roulettes, il faut clierc lier la roulette C, 
permettant d'engendrer y^ ; elle est donnée par une quadrature de 
sorte que cette méthode donne une infinité de courbes C dépen- 
dant d'un paramètre arbitraire et qui correspondent au même 
profil y^. 

Dans la méthode des développantes, c'est la courbe AC qu'il 
faut déterminer; comme y^ en est une développante, AC est la 
développée de y^ de sorte qu'il y a une et une seule courbe AC 
permeltant d'engendi'er y^. 

Enfin dans la dernière méthode il}' a à déterminer deux courbes 
AC, CA. On peut prendre la première arbitrairement et la seconde 
dépend encore d'une constante arbitraire. Cette solution dépen- 
dant d'une fonction aibitraire d'une variable et d'une constante 
arbitraire peut être considérée comme la solution la plus générale 
du système diflférentiel déterminant le mouvement d'un plan C 
dont un point doit engendrer deux profils conjugués. 

L'étude que nous venons de faire nous montre en résumé qu'en 
partant de l'idée unique de génération des profils conjugués par 
le mouvement d un plan auxiliaire, on est conduit fatalement 
à trois méthodes et rien que trois correspondant à trois cas parti- 
culiers du mouvement relatif de trois plans et parmi lesquelles on 
trouve les deux méthodes employées dans la pratique : celle des 
roulettes cl celle des développantes. 



5tGo BULLETIN BI HLIOCi H A Pli IQUE. 

H U L LET IN B IB L I OC. |{ A P III Q L E. 



DiRiniLET (G.-L.). — Untersiichitngen ûber vcrschiedene Aruven- 
dungen der Injinilesimal-Analysis auf die Zah/ent/ieorie {}83{)-iS^o). 
Deutsch herausgeg. von R. Haussner. In-S", 128 p. Leipzig, Engelmann. 
Garl. ■}. m. 

(Ostsvald's Klassiker dcr exaUlcn \\'isseiiscliaflen. i)i. Bilclin.) 

Fricke (R.) 11. Ki.KiN ( F.). — Vorlesungen ûber die Théorie der auto- 
niorphen Functioncn . 1 Bd. Die gruppentheoretischen Grundlagen. 
(ir. in-8", iv-63î p. avec 192 (ig. Leipzig, Teubner. -xi 111. 

I'i<:\Rl) ( E. ) et SiMVRT (G.). — Théorie des J'nnrlions algébriq ues de 
deux variables indépendantes. T. I. Iii-S", vi->47 P- ii'^fc lig. Pari*, 
(iauthier-N'iiiars el lils. 

Bhimkhe I A. ). — Mathématiques et mathématiciens. Pensées et curio- 
sités. In -8", ')-o |>. I'aii<. Nony el C'*. 

Bai>l (^^.-^^ .-R.). — Récréations et problèmes mathématiques des 
temps anciens et modernes. Traduit «ur la 3*édit. anglaise. In-8". 352 p. 
Paris, Herniann. y Ir. 

Calinon ( A.). — Etudes sur les diverses grandeurs en Mathématiques . 
In-8". 3i p. avec Hg. Paris, Gautliier-Viliars et fils. 9. fr. 

(vAiciiv (A.i. - OKuvres complètes. Publiées sous la direction scienti- 
fique de l'Académie des Sciences. Série I, t. X. In-4", 482 p. Paris, Gauthier- 
Villars et fils. 25 fr. 

Grossi-: (W.). — Unterhaltende Problème und Spiele in mathema- 
tischer Beleuchtung. iMit zahlreichen Figuren u. i litliogr. Talel. In-8". 
vi-25i p. Leipzig, Quandl et Handel. 5 m. 20 pf ; relié, 6 m. 

ViLi.ii: ( E.). — Compositions d' Analyse, Cinématique, Mécanique et 
Astronomie. In-8". x- 5oo p. avec (ig. Paris, Gautliicr-\ illars el fils. 8 fr. 



CO.Mrri'S UKMJUS KT ANALVSKS. jf.t 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

ANDOYER (II.)- — Leçons élémentaires sur la théorie di:s formes et 

SES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES, A l' USAGE DES CANDIDATS A l'AgRÉGATION 

DES SCIENCES MATHÉMATIQUES. In-4°, i8^ p. Hthogi'. Paiùs, Gaulliier-Villars 
et fils, 1898. 

Le titre choisi par M. Andojer spécifie la catégorie spéciale de 
lecteurs pour lesquels ces Leçons ont été rédigées, mais l'auteur 
n'entend sans doute pas qu'elles doivent être lues par les seuls 
candidats à l'Agrégation des Sciences mathématiques. La théorie 
des formes intéresse tons ceux qui ont poussé assez loin l'étude 
de l'Algèbre et de la Géométrie analytique pour deviner qu'elle 
embrasse ce qu'il y a de vraiment essentiel dans V Application de 
l'A Igèbre à la Géométrie. C'est ce que M. Andojer montrera sans 
doute plus amplement dans l'Ouvragé Sur la théorie des formes, 
qu'il annonce dès à présent et qui ne peut man([uer d'être très 
bien accueilli. 

Les présentes Leçons se rapportent aux formes binaires et ter- 
naires : en dehors des propositions générales sur la formation des 
invariants, elles se limitent, pour les formes binaires, à l'étude 
des formes des quatre premiers degrés et de la forme bilinéaire, et, 
pour les formes ternaires, à l'étude des formes linéaires, quadra- 
tiques et bilinéaires. Les applications géométriques y sont plutôt 
indiquées que développées; mais elles sont indiquées d'une façon 
très large, et, d'ordinaire, sans spécifier le sens particulier des 
variables. L'auteur, pour ne pas prononcer les mots de point, de 
droite ou de courbe, a poussé le scrupule jusqu'à désigner sous 
le nom à^ élément, appartenant à une forme ternaire des variables 
x^^ X2, .^"3, un système de valeurs de ces variables qui annulent la 
forme, et sous le nom de série d'éléments l'ensemble des élé- 
ments qui appartiennent à une forme, au sens précédent. Les 
théorèmes peuvent être interprétés indifféremment soit au point 
de vue ponctuel, soit au point de vue tangentiel. 

Quatre Chapitres sont consacrés aux formes binaires. Après 
avoir montré comment les substitutions linéaires forment un 
groupe continu (a-) à quatre paramètres, M. Andojer introduit 
la notion et démontre l'existence d'invariants absolus pour un 

Bull, des Sciences mathéni., 2' série, t. XXII. (Novembre 1898.) 18 



2Gi m l<: Ml EUE PARTIE. 

système binaire (le mot invariant est pris dans sa significa- 
tion la ])lus générale, de manière à comprendre les covariants). Il 
forme, en partant des quatre substitutions infinitésimales indépen- 
dantes contenues dans le groupe (a-), le système complet des équa- 
tions aux dérivées partielles que doit vérifier tout invariant absolu, 
et dont les solutions rationnelles distinctes permettent de former 
tous les invariants absolus. Les invariants absolus rationnels et 
non entiers conduisent naturellement aux invariants d'ordre u, qui 
peuvent encore être obtenus au moyen d'un système complet 
d'équations aux dérivées partielles; la recliercbe de ces invariants 
se ramène d'ailleurs à la recbercbe des invariants entiers et homo- 
gènes. La démonstration du théorème de M. Gordan sur l'exis- 
tence d'un système d'invariants entiers dont tout invariant entier 
est une fonction entière, ne rentre pas dans l'ordre d'idées où 
l'auteur a voulu se tenir et la proposition est seulement énoncée. 

Après avoir développé les propriétés fondamentales des inva- 
riants et passé en revue les principales formations invariantes 
(polaires, composition au moyen des racines, résultants, discri- 
minants, jacobiens, hessiens, etc.), i\[. Andoyer arrive aux formes 
particulières. La considération d'un système linéaire conduit à la 
notion du rapport anharmonique, qui joue encore le rôle essentiel 
dans l'étude de la forme bllinéaire, ou de l'homographie. On re- 
marquera, en particulier, la façon très élégante dont sont obtenues 
les relations entre les invariants d'une forme cubique ou biqua- 
dratiqucs, l'équation au rapport anharmonique de x et des trois 
racines dans le cas d'une forme cubique, des quatre racines dans 
le cas d'une forme biquadratique, enfin l'expression invariante des 
racines. 

Cinq Chapitres se rapportent aux formes ternaires. Tout 
d'abord, conjointement aux éléments de première espèce définis 
par les rapports des coordonnées .r, , a^o, •a^'s, M. Andoyer introduit 
les éléments de seconde espèce définis par les rapports des quan- 
tités ^(, ia, ^3 ; une substitution linéaire qui exprime les variables 
Xi^ Xo, X3 au moyen des variables x\, x'.,^ x'.^ définit une substitu- 
tion transposée qui exprime ^,, ^oj \-s a" moyen de H',, ^1, i'^, de 
manière que l'on ait identiquement 



CO.MPTI'IS IIIÎNDUS HT ANALYSES. v.6;i 

cl raulcur, pour ch'-liiiii' les iavarianls, se place de suite dans le cas 
où la forme ternaire contient aussi bien les variables ç que les va- 
riables X. Au reste, cette définition, l'usage des substitutions in- 
finitésimales contenues dans le groupe à neuf paramètres des sub- 
stitutions linéaires, la formation des équations aux dérivées 
partielles qui permettent d'obtenir les invariants, constituent des 
généralisations immédiates de ce qui a été dit pour les formes bi- 
naires, et l'auteur a pu se borner aux indications indispensables. 
On noiera le soin avec lequel il a étudié la forme ^ des variables 
S, obtenue en partant de deux formes /"et g des variables jt, et en 
éliminant ces variables entre les équations 

/=0, ^ = 0, \\X^-\-Ux.-!,-^\iXi — 0, 

puis le rôle que joue cette forme 'h pour la détermination des so- 
lutions communes aux équations y=o, g = o et de leur degré 
de multiplicité, ainsi que pour la formation du résultant de trois 
formes J\ »", h des variables x. Un important Chapitre est con- 
sacré à la définition d'un élément ^ tangent en un élément x, des 
éléments multiples, stationnaires, etc., enfin à l'établissement des 
formules de Pliicker. 

Passant ensuite aux formes particulières, M. Andoyer traite 
d'abord de la correspondance homographique, ou, ce qui revient 
au même, de la forme bilinéaire par rapport aux variables x et ^, 
puis, d'une façon assez développée, de la forme quadratique et 
d'un faisceau de formes quadratiques : on trouvera dans ces Cha- 
pitres, sous une forme très simple, les propriétés essentielles des 
formes adjointes, des pôles et des polaires, la décomposition en 
carrés la plus générale d'une forme quadratique, l'expression pa- 
ramétrique de ses éléments, les invariants d'un système de deux 
formes qui résultent de la considération, soit de l'équation du troi- 
sième degré relative à un faisceau, soit de la forme adjointe de 
ce faisceau ou du faisceau des formes adjointes aux deux formes 
primitives; enfin, l'interprétation de ces divers invariants. Un 
dernier Chapitre se rapporte à la forme bilinéaire de deux sys- 
tèmes de variables x ely de même espèce. J. T. 



7.64 PUJ-.MlÈlin PARTIE. 

Ch. MÉHAV, Professeur à la Faculté des Sciences de rUniversilc de Dijon. 
— Leçons nouvelles sur l'Analyse infinitésimale et ses applications 
GÉOMÉTRIQUES. 4* Partie : Applications gcomctriqucs classiques, i vol. 
gr. in-S", xii-'i48 p. Paris. Gautliier-Villars, 1898. 

Celait devenu pour moi une douce liabiludc que de rendre 
coinplc, tous les ans, d'un nouveau ^ olume de M. Méraj et d'ex- 
primer, ici même, la sincère admiration cjue m'inspire son 
OEuvre. J'ai donc presque un regret de voir la série déjà close et 
de venir annoncer l'apparition du (|ualrième et dernier \olume 
de ses Leçons sur V Analyse. 

En écrivant le bel Ouvrage que, sans la moindre défaillance, il 
vient de mener si bien à sa fin, M. Méray n'avait aucunement l'in- 
tention de faire une Encyclopédie analytique, tout au contraire. 
Il a voulu, dédaignant, non sans raison, la compilation, faire 
œuvre personnelle, exposer ses vues et montrer leur ampleur, 
leur élévation, leur fécondité. 

Il eiit pu, à vrai dire, en se restreignant à la théorie pure, se 
contenter d'écrire son premier Volume et quelques Chapitres du 
second; mais il eût, ainsi, prêté le flanc à la critique facile qui eût 
peut-être accusé ses méthodes de manquer de souplesse dans les 
applications. Tandis qu'en développant, lui-même, dans des li- 
mites raisonnables et suffisantes, les conséquences de ses théo- 
ries, il a ainsi montré que, grâce à elles, on atteignait aussi aisé- 
ment qu'avec d'autres, et, à coup sûr, souvent plus logiquement, 
les divers domaines mathématiques. 

Écrit dans cet esprit, ce dernier Volume n'a donc pas la pré- 
tention d'être un exposé complet de toutes les applications géo- 
métriques de l'Analyse, mais seulement un résumé de celles qui 
sont les plus courantes. Cela suffit cependant pour que M. Méray 
ait i)u y montrer combien sa façon de procéder met de logique et 
de rigueur dans toutes les démonstrations. 

Le premier Chapitre est une sorte d'Introduction qui est ré- 
servée aux diverses représentations des lignes et des surfaces, aux 
rectifications, quadratures et cubatures. L'auteur y attaque tou- 
iours chaque question sous son aspect le plus général, en ne con- 
sidérant l'étude des figures planes que comme un cas particulier 
des figures de l'espace. 



COMPTKS lllwNDUS \iï ANAl.YSKS. o.f.3 

Nous y noterons siirlouLlc soin avec lequel il a |)i-éeisé cluujue 
terme et justifié chaque définition. 

Par exemple, lorsqu'on définit les points singuliers d'une sur- 
face 

on se contente d'ordinaire de dire que ce sont les points dont les 
coordonnées vérifient les relations 

àf Of df 

dx ôy Oz 

M. Méray, lui, n'oublie pas de faire remarquer, ce qui a son 
importance, que celte définition ne dépend pas du choix des axes. 

Au lieu de se contenter d'eflleurer rapidement les divers sujets 
qu'il voulait traiter, M. Méray a préféré, et nous l'en félicitons vi- 
vement, en développer un avec tout le soin qu'il comporte; et, du 
coup, il a choisi le plus délicat, celui des contacts et des enveloppes. 
D'ailleurs, à cette théorie du contact, qu'il a exposée avec une 
netteté et une rigueur que l'on trouve rarement ailleurs, il a rat- 
taché ingénieusement toute la suite; et, ainsi, elle sert de base à 
tout le reste. 

La méthode analytique est toujours celle que l'auteur préfère, 
aussi définit-il le contact d'une façon purement algébrique : « Deux 
surfaces 

(1) 3c = o,{p,q), y = yj{p,q), ^ = 'hip,9)^ 

(2) x = ^.2{p,q}, y = 7t{P:fj), ^ = 'h-(P^l)' 

ont un contact d'ord/-e k pour les valeurs particulières p^^^ , ^'"^ 
des variables auxiliaires, si, pour /? = /^^''^ cj ^ c/^\ les fonctions 
o,, y,, (];, et leurs dérivées, jusqu'à l'ordre k inclusivement, sont 
numériquement égales aux fonctions cpo, y^, '^2 et à leurs dérivées 
semblables. L'entier k est l'ordre effectif èw contact quand l'éga- 
lité numérique en question n'a plus lieu pour toutes les dérivées 
d'ordre A" -j- i . » 

De cette définition, et des analogues pour le contact de deux 
courbes ou d'une courbe et d'une surface, découlent, ensuite, les 
propriétés géométriques dont une, en particulier, sert, d'ordinaire, 
à la définition du contact. Elles sont énumérées avec ordre et 
établies avec une grande jirécision. Malgré cela, les démonstra- 



266 PUE.MIÈUE PARTIE. 

lions sont simples et brèves car les études analytiques détaillées 
des fonctions olotropes, qui font Tobjet du premier A olume, ont 
admirablement préparé le terrain. 

Nous nous permettrons cependant de faire une légère observa- 
tion à propos de la définition qui précède. A la lire telle quelle, 
sans avoir poussé plus avant la lecture du Volume, un débutant 
pourrait croire qu'il v a 3(A-f- i) conditions pour que deux sur- 
faces aient un contact d'ordre A". Il est vrai que la proposition qui 
suit immédiatement cette définition est propre à remettre immédia- 
tement le lecteur dans la bonne voie; mais, pour éviter toute mé- 
prise, n'aurait-il pas mieux valu dire : « Deux surfaces ont un 
contact d'ordre A" si Von peut trouver deux représentations para- 
métriques (i) et (2) telles que, pour les valeurs particulières /J^"^ 
et ^"•' des variables auxiliaires, les fonctions cp, , y i , {^i , etc. . . .»? 

Au Chapitre III, M. ^léray applique immédiatement les théories 
générales du contact aux cas où l'une des figures considérées est 
du premier degré. II définit donc el étudie les plans tangents, 
tangentes et droites osculatrices aux sui-faces; les tangentes, plans 
tangents et plans osculateurs aux lignes et établit leurs propriétés 
géométriques. Puis, sans aller plus loin dans cette voie, il expose, 
dans le quatrième Chapitre, la théorie des enveloppes. Après le 
Chapitre II, c'est celui qui m'a paru le plus intéressant, car la 
clarté de l'exposition et la précision des détails évitent, sans nul 
doute, au lecteur les erreurs que commettent couramment les dé- 
butants sur ce sujet délicat. 

Contrairement à ce que Ion fait d ordinaire, 1 auteur débute par 
la recherche des conditions pour qu'une famille de courbes à 

1 paramètre ait une enveloppe. Dans une famille de courbes à 

2 paramètres, il chercbe ensuite à former une tribu de courbes à 
1 paramètre ajant une enveloppe et arrive ainsi tout naturellement 
à mettre en évidence la surface enveloppe qui existe en général, 
aux exceptions près qu'il énumère avec soin. Dans l'étude des 
enveloppes de surfaces et en particulier de l'arête de rebrousse- 
ment de Tenvcloppe de surfaces à 1 paramètre, la théorie des en- 
veloppes de courbes lui est tout aussi utile. 

En suivant toujours le même ordre, M. Méray, après avoir 
étudié les contacts avec les figures du premier degré, examine, au 
Chapitre V, les contacts de la sphère et du cercle avec des fi- 



COMl'TliS lUiNDUS liT ANALYSES. }A)y 

gtircs. J^cs notions de la normale à une surface et du j)lnn nornial 
;\ une courbe se présculcul alors comme lieux des centres des 
sphères tangentes en un j)oint à la figure. Puis, comme générali- 
sation de la normale, vient la recherche des trajectoires orlhogo- 
nales et obliques de familles de courbes et de surfaces. L'hélice 
et la loxodromie fournissent d'intéressants exemples de trajec- 
toires de lignes à i paramètre. L'étude de la congruence des 
droites normales à une surface et de ses propriétés est, ensuite, un 
bel exercice des trajectoires orthogonales de lignes à 2 paramètres. 

Le Chapitre VI est réservé à la monographie sommaire des prin- 
cipaux types de surfaces à génération géométrique simple. Tels 
sont les cylindres, les cônes, les surfaces développables, pour cha- 
cune desquelles l'équation aux dérivées partielles caractérisante est 
établie. A propos des sur faces développables, M. Méray dit quelques 
mots sur les surfaces applicables les unes sur les autres, et nous 
mentionnerons, tout spécialement, son élégante démonstration du 
théorème de Gauss sur la conservation de la coui'bure totale dans la 
déformation. Il montre que les surfaces développables sont les 
seules qui puissent être appliquées sur un plan. 

Viennent, ensuite, les propositions bien connues sur. les sur- 
faces gauches, la distribution des plans tangents autour d'une gé- 
nératrice et la ligne de striction; puis le Chapitre se termine par 
l'établissement des propriétés élémentaires des surfaces de révo- 
lution. 

Les deux derniers Chapitres sont un peu plus brefs ou, pour 
mieux dire, plus condensés que les précédents. 

La courbure et la torsion dans les courbes gauches font l'objet 
du Chapitre VII. La définition du cercle osculateur conduit à la 
notion de courbure, de normale principale, de droite polaire, etc. 
Puis, la propriété de la courbure d'être la limite du rapport de 
l'angle de deux tangentes infiniment voisines à l'arc correspon- 
dant, prépare la définition de la torsion. Sans donner à Tétude du 
trièdre formé par la tangente, la normale et la binormale en un 
point d'une courbe la place prépondérante qu'on lui accorde sou- 
vent, M. Méray examine avec soin sa disposition. Il termine, enfin, 
par la recherche des développées et donne, quoique sous une 
forme très concise, un grand nombre de détails à leur sujet. 

(Quoique cette omission soit très explicable, vu l'espace res- 



268 PUEMIEUE PARTIE. 

Ireinl dont disposait l'auteur, on pourrait cependant regretter 
qu'il n'ait pas cru utile de donner les élégantes formules de 
Frenct qui fournissent les dérivées des cosinus des arêtes du 
Irièdre mobile cité plus haut. Elles sont d'un emploi si commode 
dans bien des questions que leur ])lace paraît toute désignée dans 
un Ouvrage qui doit servir de guide aux jeunes étudiants. 

Le dernier Chapitre contient l'étude des courbes tracées sur 
une surface. C'est en recherchant les cercles osculateurs en un 
point, à une surface, et après avoir constaté leur identité avec 
ceux (pii sont osculateurs aux diverses courbes tracées sur la sur- 
face par ce point, que AI. Méray parvient à l'énoncé et à la démon- 
stration du théorème de Meusnier et des curieuses propositions 
(pii régissent la distribution de la courbure des lignes d'une sur- 
face qui passent en un point. La discussion de l'indicatrice, de la 
courbure totale et moyenne est faite avec le plus grand soin et 
conduit aux définitions des lignes asymptotiques et des lignes de 
courbure. Le théorème de Joachimsiahl, celui de Dupin sur les sys- 
tèmes triplement orthogonaux et son application aux quadriques 
viennent clore ce Chapitre. 

Dans une courte Addition, M. Méray établit rapidement les 
formules les plus importantes en coordonnées polaires, dans le plan. 
Il exprime là un dédain pour tous les systèmes de coordonnées 
autres que les cartésiennes qui n'est peut-être pas très légitime. 
Certes le rôle prépondérant des coordonnées rectilignes est in- 
contestable, mais il suffit de lii'e les beaux Ouvrages de M. Dar- 
boux pour se convaincre que, dans bien des questions, il y a 
d'autres systèmes de coordonnées qui peuvent rendre d'immenses 
services. 

Terminons par une remarque intéressante : c'est que ce A olume 
ne contient pas une seule figure. C'est évidemment voulu. Le lec- 
teur pourra, très aisément, griffonner quelques dessins qui l'aide- 
ront à comprendre le texte; et l'auteur, par cette abstention sys- 
tématique, a bien mis en évidence la généralité des faits qu'il a 
établis. Lorsqu'on raisonne sur une figure, on peut toujours 
craindre d'être, en quelque sorte, inlluencé par la forme qu'on lui 
a donnée. 

Cette très rapide énumération des faits principaux que contient 
ce beau Volume ne peut donner qu'une faible idée de l'ampleur 



COiMPTI':S RIÎNDUS ET ANALYSES. aCc, 

de rcxnosition. Tout v esL simple, clair et précis. Une nolion 
primortlialc, celle du conlact, domine tout, et le reste vient se 
grouper auloiir d'elle, en un faisceau serré, dans nn ordre admira- 
blement logique. Nous n'attendions d'ailleurs pas moins du 
talent de M. Méray. Peut-être, après l'effort considérable qu'a dû 
exiger la production d'une lelle Œuvre, pensera-t-il à prendre 
quelque repos. Ce serait bien légitime, car elle est, en tous points, 
digne d'illustrer la vie d'un homme. Mais un cerveau aussi fécond 
pourra-t-il rester inaclif? Je me permets d'en douter et j'ose 
espérer, tout bas, d'avoir encore le plaisir de saluer, avec une res- 
pectueuse admiration, quelque beau travail du Maître qui a con- 
tribué si puissamment à soutenir le bon renom des mathémati- 
ciens de France. C. Botjrlet. 



E. GOURSAT. — Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées 

PARTIELLES DU SECOND ORDRE A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES. Tome II : 
La méthode de Laplace. — Les systèmes en involution. — La métliode de 
M. Darhoux. — Les équations de la première classe. — Transformations 
des équations du second ordre. — Généralisations diverses, i vol. in-8°, 
344 p. Paris, Herniann, 1898. 

M. Goarsat achève, dans le nouveau Volume que nous allons 
analyser, le bel exposé didactique de la théorie des équations aux 
dérivées partielles du second ordre dont il avait donné la première 
Partie en 1896. 

Cette seconde Partie contient, encore plus que la première, la 
marque personnelle de l'auteur et l'on trouvera à la lecture que 
M. Goursat a peut-être trop négligé de faire ressortir tout ce qu'il 
a ajouté de nouveau aux travaux de ses devanciers. On ne saurait 
trop admirer l'art avec lequel l'auteur a su rassembler tant de 
travaux divers qui, sous la forme qu'ils viennent de recevoir, 
rattachés les uns aux autres par des idées générales, enrichis de 
remarquables recherches personnelles, se trouvent tout à coup 
mis à la portée des géomètres dans un livre d'une lecture aisée et 
captivante. Si l'on ajoute que l'Ouvrage est rempli d'idées fécondes 
à développer, on en aura assez dit pour indiquer le très grand 
service rendu par M. Goursat à la Science. 



270 PUEMIËRE PAUTIE. 

Dans ce Volume, de même que dans le précédent, on peut dii-e 
que l'auleur prend toujours pour point de départ le problème de 
Cauchv (pii, dans chaque question, conduit à la définition et à 
l'introduction des multiplicités caractéristiques; cette dernière 
notion, et c'est là un des caractères saillants de lOuvrage, est 
prise comme fondement de la théorie; l'auteur s'est attaché d'une 
façon toute particulière à en montrer l'importance et l'utilité; si 
on le voit un instant l'abandonner, il semble que ce ne soit qu'une 
feinte habile pour montrer ensuite le caractère intuitif qu'elle peut 
souvent donner à la théorie. On objectera peut-être que la théorie 
des caractéristiques des équations aux dérivées partielles du pre- 
mier ordre ne se prête qu'à une généralisation incomplète qui ne 
conduit pas toujours à l'exposition la plus simple et qui pourra se 
montrer dans l'avenir insuffisante. Mais il est essentiel de remar- 
quer que M. Goursat a pu faire une exposition des résultats acquis 
à la Science, où tout se présente et s'enchaîne d'une façon natu- 
relle et où l'auteur a su ne faire appel qu'aux notions les plus 
simples : cela suffit amplement, il nous semble, pour justifier le 
choix de la méthode. 

Le Chapitre V de l'Ouvrage, le premier du \olume que nous 
analysons, est consacré à la méthode de Laplace ; M. Goursat ne 
se contente pas d'en reprendre l'exposé classique, mais il la rat- 
tache à des idées générales; il est ainsi conduit, en particulier, à 
développer la proposition suivante : 

Si, entre n -+- 1 intégrales linéairement distinctes de l'équa- 
tion 

d- z dz , dz 

-^ Cl-. '^ t>- \- cz — o, 



dx dy à.r dy 

il existe une relation linéaire et homogène dont les coefficients 
sont des fonctions d'une seule des variables x, y, la suite de 
Laplace relative à cette équation se termine dans un sens après 
n — I transformations au plus. 

Cette proposition, qui a de nombreuses applications, donne à 
l'auteur l'occasion de montrer le lien qui existe entre les équations 
intégrablcs par la méthode de Laplace et les systèmes en involu- 
tion ; elle trouve ainsi sa véritable origine dans une remarque 



rOMI' IKS IIIÎNDUS in" ANALVSKS. .yi 

iinporlaulc sur l;i(|iicllc railleur revient plus loin ( ii" 108) pour y 
insister. 

Le Chapitre se termine par l'extension de la niélliode de La- 
place aux. équations linéaires de forme quelconque ainsi que par 
une classification de ces équations où l'on a égard à la distinction 
entre le réel et l'imaginaire. 

Le Chapitre VI est consacré à la définition et à l'étude des sys- 
tèmes en involution formés de deux équations dont l'une est du 
second ordre. Après avoir rappelé quelques généralités sur les 
équations simultanées dont l'intégrale générale dépend d'un 
nombre fini de constantes arbitraires, l'auteur aborde son sujet en 
se proposant l'étude des systèmes formés d'une équation du second 
ordre et d'une équation d'ordre quelconque n qui n'admet pas 
toutes les intégrales de la première. Ceux de ces systèmes qui sont 
dits en involution se présentent comme étant ceux où n est supé- 
rieur à l'unité et dont l'intégrale générale possède le plus grand 
degré de généralité possible; non seulement ils admettent une 
infinité d'intégrales dépendant d'une infinité de constantes arbi- 
traires, mais, par une courbe quelconque, il passe, en général, une 
infinité d'intégrales de ce système; une orientation d'éléments 
d'ordre n appartenant aux deux équations détermine généralement 
une intégrale du système. Après avoir insisté, en particulier pour 
n = 2, sur l'analogie saisissante qui se poursuit dans presque tous 
les détails entre les équations aux dérivées partielles du premier 
ordre et les systèmes en involution, et mis en œuvre de la façon la 
plus élégante la notion des caractéristiques et celle des invariants 
qu'elles peuvent posséder, l'auteur étudie les deux cas qui se pré- 
sentent lorsque l'on considère le système obtenu en adjoignant à 
une équation du second ordre deux équations avec lesquelles elle 
forme deux systèmes en involution, puis revient au système de deux 
équations pour traiter directement le cas où l'une des équations 
est du second ordre et ne renferme pas les dérivées /• et t. 

Le fait capital qui domine toute la théorie des systèmes en 
involution est le suivant : toute intégrale est un lieu de multipli- 
cités d'éléments qui dépendent d'un nombre fini de constantes et 
qui, par suite, peuvent être obtenues par l'intégration d'un sys- 
tème d'équations différentielles ordinaires. L'auteur, après avoir 
reproduit la méthode ingénieuse par laquelle M. Lie a démontré 



272 rUEMlÈRE PARTIE. 

celle propriélé, signale une l'emarque inléressanle de M. de Tan- 
nenberg et lermine ce Chapilre en démontrant quelques résultats 
de M. RtMiig sur les systèmes complètement intégrables. 

Pendant de longues années après la publication des Mémoires 
d'Ampère, il n'a été ajouté rien d'essentiel à la théorie qu'il avait 
développée; un travail parliculièi^ement intéressant a bien été 
publié en i85G par Gaspare Mainardi ('), mais il semble qu'il 
faut arriver jusqu'au Mémoire présenté en 1870 à l'Académie des 
Sciences par M. Darboux pour trouver l'indication précise d'une 
nouvelle méthode d'intégration. 

C'est au développement de cette méthode qu'est consacré le 
Chapitre VII dont l'exposé est préparé par les considérations du 
Chapitre précédent; a[)rès avoir examiné le cas où chacun des 
deux systèmes de caractéristiques admet deux combinaisons inté- 
grables cl traité des exemples qui aident singulièrement la lecture, 
puis le cas où un seul des systèmes de cai'actéristiques admet deux 
combinaisons intégrables, l'auteur remarque qu'en définitive tout 
repose sur la détermination des invariants d'un système de carac- 
téristiques de l'équation du second ordre proposée ou des deux 
systèmes et fait connaître un certain nombre de propositions re- 
nianpiablcs qui peuvent faciliter la recherche de ces invariants. 
Il montre ensuite que les seules équations du second ordre ayant 
leurs deux laniilles de caractéristiques confondues et auxquelles 
s'applique la méthode de M. Darboux sont les équations consi- 
dérées au Tome 1 de l'Ouvrage, pour lesquelles les équations qui 
déterminent les intégrales intermédiaires du premier ordre forment 
un système en involulion. Après être revenu sur les équations 
linéaires pour établir que la méthode de M. Darboux et la mélhode 
de Laplace réussissent en même temps, et avoir traité des exemples 
intéressants, l'auteur signale l'a|3|)li('ation (pie l'on peut faire delà 
théorie des groupes d'ordre infini de transformations pour foi^mer 
des équations intégrables par la méthode de M. Darboux, en 
remarquant toutefois que la théorie des groupes ne donne pas 
toutes les écpialions du second ordre intégrables par cette méthode, 



(') Ainsi que le fait remarquer justement M. Goursat à la page 308 de son 
Ouvrage, le travail de Mainardi doit être, en dépit de son titre, considéré comme 
un essai d'extension de la niiMlicide de Cauciiv. 



COMPTKS lU'NDUS liT ANALYSES. i-jS 

puis Icnuiac le Chapitre par l'exposé des reclicrclics de M. R('")iii<;. 

Dans le Chapitre Vlll, aprrs avoir rappelé la définition de l'in- 
tégrale générale d'après Ampère et montré qn'une intégrale peut 
être générale au sens d'Am|)ère sans l'être au sens de Cauchy, 
M. Goursat remarque que l'on peut déduire des travaux d'Ampère 
une définition précise des é(piations de la première classe et 
démontre, en la généralisant, la |)roposition énoncée à leur égard 
par iM. Darhoux. Il signale diflércnts problèmes auxquels conduit 
la méthode de M. Darboux et rappelle, en particulier, celui qui a 
été complètement résolu par M. Moutard (') puis reproduit, en 
la modifiant sur quelques points, la démonstration donnée par 
M. E. von Weber du théorème de M. Maurice Lévy. 

On connaît, dans la théorie des équations aux dérivées partielles 
du premier ordre, le rôle important que jouent les transformations 
de contact; ces dernières sont loin d'avoir la même portée dans 
l'étude des équations du second ordre; les transformations qui 
peuvent ici être utiles semblent devoir présenter des caractères 
tout nouveaux. 

On a vu plus haut que, dans le cas des écjuations linéaires, la 
méthode de M. Darboux et la méthode de Laplace réussissent en 
même temps; la transformation de La|)lace donne donc un procédé 
simple pour effectuer l'intégration d'une équation linéaire à la- 
quelle s'applique la méthode de M. Darboux. Cette remarque 
appelle sans doute une généralisation et montre en tout cas l'in- 
térêt que l'on doit attacher au Chapitre IX consacré à une classe 
de transformations qui peuvent être considérées comme la géné- 
ralisation de celle de Laplace et qui, comme celle-ci, ne réussissent 
que grâce à la forme particulière des équations auxquelles on les 
applique. 

L'auteur étudie d'abord dune façon détaillée certaines transfor- 
mations particulières : la transformation qui consiste à j^rendre 
pour inconnue l'une des dérivées premières de la fonction in- 
connue et un certain nombre de transformations qui en dérivent, 



(') .M. Paul Stiickel a bien voulu me faire remarquer que le problème consi- 
déré par M. Moutard a fait aussi l'objet des recherches de M. Tanner; mais ces 
dernières recherches, qui demandent à être modifiées et complétées sur plusieurs 
points, sont postérieures de plusieurs années à celles de M. Moutard. 



•>.74 i'iuiMii:iui PAirni:. 

puis les Iransformalions qui proviennent de la considéralion d'un 
sjslème de deux équations simultanées du premier ordre à deux 
fonctions inconnues. Ces transformations appartiennent à une 
classe plus générale de transfoi'mations considérées pour la pre- 
mière fois par M. Lie sur un exemple particulier et qui ont lait 
Tobjet des recherches de M. Backlund. M. Goursat signale à l'égard 
de ces transformations de M. Backlund différentes propositions 
remarquables et termine le Chapitre en considérant d'une manière 
encore plus générale les transformations des équations du second 
o rd rc . 

Le (Chapitre X a pour objet diverses généralisations des consi- 
dérations développées précédemment; l'auteur se borne, pour plus 
de nelteté, à deux cas particulièrement importants : celui d'une 
équation unique d'ordre n et celui d'un système de n équations 
du premier ordre à n inconnues, le nombre des variables indépen- 
dantes étant, dans les deux cas, toujours égal à deux. 

Deux Notes, l'une sur l'équation auxiliaire, l'autre sur les carac- 
téristiques des équations simultanées, terminent l'Ouvrage. 

Nous le répétons en terminant : le Livre de M. Goursat n'est 
pas seulement un exposé remarquablement clair et bien conçu de 
la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre où 
l'on trouvera complètement réunis et coordonnés tous les résultats 
que l'on j)()ssède actuellement sur cette partie de la Science; c'est 
encore une œuvre éminemment suggestive, où beaucoup de ques- 
tions nouvelles, bien dignes de solliciter les recherches, sont 
posées; il aura donc, à ces deux points de vue, la plus heureuse 
influence sur les progrès de cette belle théorie. 

E. CoSSEUAT. 



(îiovANM SCIIIAPARELLI. — Oruiink del sistkma plaxetario kliocentrico 
l'RKSSO I Greci {Mcinorie del Ji. Istituto Loinbardo di Scienzc e Icttcve, 
xviii). loo p. i2;r. iii-4". I\Iilan, Ulrico Ila'pli, 1S9S. 

L'illustre directeur de l'observatoire de lirera vient, après un 
intervalle de vingt-quatre ans, de reprendre les questions histo- 
riques qu'il semblait avoir délaissées depuis ses admirables 
Mémoires sur les Précurseurs de Copernic dans V antiriuilé 



CO.MPTIiS 1;i:NI)US l- T ANALVSIÎS. ?.7'3 

(1873) el sur les Splirres concentrujiies d^Eiidoxc, de CaUippe 
et d' Aristote (i8-'|)- Celle fois, il s'agit sp('eialcrnenL de 
l'existence, dans l'aiili(iiiiL(';, criine conception seniMahle an 
système de Tjcho Bralie. 

Dans mes Recherches sur l Histoire de V Aslronomie an- 
cienne (Paris, Gaulhier-Viliars, 1892), j'ai déjà fait observer 
qu'nn passage de Ptoléniée doit faire conclure que cette hypothèse 
était connue d'Apollonius de Perge. Il me semblait toutefois 
(priiisloriquenienl elle n'était apparue qu'après celle d'Aristarquc 
de Samos (Copernic), et je la considérais comme la consé(|uence 
logique à laquelle auraient du aboutir les anciens, s'ils ne s'étaient 
pas laissé entraîner par l'idée de n'employer qu'une seule des 
deux explications possibles, avec leur point de départ pour les 
mouvements planétaires, celle des épicycles et celle des excen- 
triques mobiles. 

M. Schiaparelli avait fait la même remarque que moi, mais 
l'étude très approfondie à laquelle il a soumis la question l'a con- 
duit à se représenter autrement l'évolution des conceptions astro- 
nomiques dans l'an tujMité. Voici ses conclusions : 

Le point de départ est l'idée d'une circulation symétrique 
autour d'un centre unique; elle domine dans le système de Phi- 
lolaos, où ce centre est occupé par un feu central hypothétique, 
dans les constructions platoniciennes et dans le système d'Eudoxe, 
où la Terre est, au contraire, replacée au centre du Monde. 

L'idée d'une circulation autour d'un centre lui-même en mou- 
vement a résulté directement de l'observation. Héraclide du Pont, 
disciple de Platon, enseigne que iMercure et Vénus tournent autour 
du Soleil. C'est le premier exemple d'épicycles. 

L'observation dç Mars devait de même conduire facilement à 
l'hypothèse que les planètes supérieures décrivaient aussi des 
cercles autour du Soleil comme centre (excentriques mobiles). 
Celte hypothèse a du être émise dès le temps d'Héraclide et, s'il 
n'en est pas lui-même l'auteur, il la très probablement partagée. 
Cependant il manque à cet égard un témoignage suffisant pour 
entraîner la conviction. 

De l'hypothèse de Tycho Bralie, ainsi construite, il était aisé de 
passer à celle de Copernic. Héraclide l'aurait également connue, 



276 PlUîMIIilU' PAlllIE. 

mais ne l'aurait regardée que comme théorique; Aristarque de 
Samos est le premier à l'avoir soutenue réellement. 

L'abandon postérieur de ces deux lijpothèses provient : d'une 
part, de la difficulté de faire prévaloir contre l'opinion commune 
l'idée du mouvement de la Terre, même simplement autour de son 
axe (comme l'admettait Héraclide, à la différence de Tycho 
Brahe); d'un autre côté, l'hypothèse héliocentrique se heurta aux 
doctrines astrologiques qui, à partir des conquêtes d'Alexandre, 
commencèrent à exercer une grande influence. Enfin, elle implique 
une conception dynamique du Monde, tandis que, si le système 
des S])hères concentriques d'Eudoxe était désormais insoutenable, 
c'était toujours une machinerie analogue qui semblait aux philo- 
sophes la solution désirable. Les Mathématiciens abordèrent dès 
lors le problènie au point de vue purement géométrique, en sup- 
posant des centres de mouvement idéaux, et non plus phy^siques, 
comme le Soleil. Ils montrèrent l'équivalence cinématique des 
combinaisons d'un épicycle ou d'un excentrique mobile avec un 
délércnt (ce serait à peu près à cela que se serait borné le rôle 
d'Apollonius de Perge). L'hypothèse des épic^cles triompha 
parce qu'elle se prêtait plus aisément à la conception de sphères 
emboîtées et roulant les unes sur les autres, comme l'expose Théon 
de Smyrne, d'après Adraste, et comme Nassir-Eddin devait encore 
la développer, même après les complications introduites par 
Ptolémée. 

Je ne puis nalurellement donner ici le détail de l'argumentation 
très solitir, très minutieuse et très documentée de M. Schiaparclli. 
Je me bornerai à dire qu'elle m'a convaincu quant au thème 
général, et cela quoique je fusse porté beaucoup plutôt à croire 
que, de même (pie dans les temps modernes, l'hypothèse coperni- 
cienne avait, dans l'antiquité, précédé la tychonienne. Cependant, 
à la suite des nouvelles études que j'ai, de mon côté, poursuivies 
depuis six ans, je demanderai à faire quelques réserves sur cer- 
tains points de détail. 

Désormais, je ne crois plus à l'exislence, au temps de Platon 
et d'Aristote, d'une école pythagoricienne comme celle dont 
M. Schiaparclli admet rinlluence sur Héraclide et dans laquelle 
auraient été débattues les hautes questions seicnti(iques. D'après 



CO.MPTHS m: M) US l'T ANALYSES. 277 

les lémoignages les |)liis sûrs, il n'y a plus, à celle époque, comme 
pjtliagoriciens, qu'une sorle de confrérie religieuse, dont les 
poètes comiques raillent les superstitions* et la saleté monacale. 
Quant aux anciens pythagoriciens, ils n'ont pas dépassé la doctrine 
de la sphéricité. Eudoxe, élève d'Archytas, est leur légitime 
héritier. 

Mais la réputation déjà légendaire de leur science oflVait une 
grande commodité pour leur attribuer des idées qu'on voulait 
émettre sans en prendre la responsabilité. Platon donna l'exemple 
avec son Timée ; il y eut bientôt toute une littérature pythagori- 
cienne, écrite par des auteurs qui prétendaient avoir vu les der- 
niers savants de l'Ecole, comme Aristoxène, ou qui se livraient 
à leur simple fantaisie, comme Héraclide du Pont; c'est de 
cette littérature que proviennent les données fournies par Aris- 
tote. 

Héraclide du Pont, conteur génial, eut, comme tel, une grande 
réputation dans l'antiqviité. Mais le succès de ses légendes dialo- 
guées sur Empédocle, Abaris ou Zoroastre, a fait tort à ses œuvres 
scientifiques, traitées dans le même mode. Ce dut être lui, en tout 
cas, qui, dans un dialogue entre Platon et un Hicétas de Syracuse, 
exposa le système du feu cenlral et de l'anticlilhone, quifutrepris 
plus lard dans Técrit du pseudo-Philolaos. Ce fut encore Héra- 
clide qui, dans un autre dialogue, au protagoniste duquel il avait 
donné le nom d'Ecphante, exposa la doctrine de la rotation de la 
Terre autour de son axe et de la circulation des planètes (au moins 
des inférieures) autour du Soleil. Depuis le Mémoire de M. Schia- 
parelli, je ne vois pas de difficulté sérieuse à lui attribuer la con- 
ception tychonienne complète. 

En tout cas, il introduisit dans la Science l'idée du mouvement 
relatif, l'hypothèse du déplacement du lieu d'observation. Alla-t-il 
jusqu'à proposer le mouvement circulaire de Ja Terre autour du 
Soleil fixe, comme troisième hypothèse à examiner aussi bien que 
les deux autres? Il n'y- a rien d'impossible à cela; mais le texte 
invoqué à ce sujet (un fragment de Geminus dans le Coînmen- 
taire de Simplicius sur la Physique d' Aristote^ édit. Diels, 
p. 291-292) ne me paraît nullement décisif; car le passage est 
certainement corrompu, ainsi que le remarque M. Schiaparelli, et 
la meilleure façon de le corriger me paraît être de regarder le nom 

Bull, des Sciences mathérn., 2' série, t. XXII. (Novembre 1S98.) ly 



27» PREMIÈRE PARTIE. 

d'Héraclide du Pont comme passé dans le texte de la marge, où II 
aura été mis pour expliquer le mol quelqii un (Ttç). Ce nom 



n'offrirait donc aucune garantie d'authenticité. 



Paul Tamvehy. 



MELANGES. 

SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS; 
Par m. LEBESGUE. 

AVeierstrass a démontré (') le premier que toute fonction con- 
tinue pouvait être représentée, avec une approximation donnée, 
par un polynôme. Je vais indiquer quelques considérations élé- 
mentaires permettant de démontrer ce théorème et quelques-unes 
de ses conséquences. 

Soity(.r) une fonction finie et continue dans un intervalle (a, 6). 
On peut partager l'intervalle («, 6) par les points Xç^^a^ x,, 
X.,, ..., x,i-\-, ^rt = ^ de telle façon que dans chaque intervalle 
Çxi, ^i+i) l'oscillation de la fonction soit moindre qu'un nombre 
])Ositif donné s. 

Inscrivons dans la courbe y z=:f(^x) la ligne polygonale 
Ao A, ... A„ dont les sommets ont pour abscisses x^x, ... x„ ; elle 
représente dans l'intervalle (a, 6) une fonction continue j^ = cp (a;) 
qui diffère dey(.r) de moins de e. Or o{x) est égale à la fonction 
continue 'i, représentée dans l'intervalle (a, b) par la droite qui 
porte le côté Aq A,, plus une fonction cp, représentée par une ligne 
))oljgonale A'„ A', ... A',^ dont le premier côté A'^ A', est sur l'axe O^. 
o^ est la somme des deux fonctions continues 'h^ et cps ; ^o est 
nulle entre x^ et.r, et est représentée parla droite qui porte A', A'^ 
entre x^ et x„, cpo est représentée par une ligne polygonale 
Aj',A',' ... AJ^ ; Ay, A',', k"^ sont sur O.^". On arrive finalement à 

O = (L, + (]/, + • .--i- '^n: 
(') Journal de Lioin'il/c. anncc iî^'^'>. 



MÉLANGES. ajc) 

'!», élant une fonction conlinuc nulle entre a et j;/_(, représentée 
par un segment de droite entre Xi_s et b. Si l'on fait le cliani^e- 

ment de variable 

X = /?? X -}- n , 

en choisissant convenablement m vl. /?, 'li sera définie dans une 
portion (a, |j) de l'intervalle ( — i, + i) par la relation 

.]., = /.(X + |X])/ 
ce qui s'écrit 

<>,= Â-[X--/n-(X^-,)]. 

Si l'on développe le radical par la formule du binôme en y con- 
sidérant X- — 1 comme une lettre, on obtient ime série de poly- 
nômes en X, et par suite en x, qui converge uniformément vers -i;/. 
La somme des n développements analogues est une série unifor- 
mément convergente de polynômes représentant o(x). En prenant 
lin nombre suffisant de termes dans cette série on obtient un po- 
lynôme P(x) qui diffère de '-^(x) de moins de r, , 7, étant choisi à 
l'avance. P(a') diffère de/(.r) de moins de s + r,, donc : 

I. Etant donnée une fonction finie et continue dans un in- 
tervalle (a, b) on peut trouver un polynôme qui, dans tout 
U intervalle, en diffère de moins d' une quantité positive quel- 
conciue donnée à l'avance. 

II. Comme première application, Weierstrass développe une 
fonction continue quelconque en série de polynômes de la façon 
suivante : Soient £,, s^j ••• des quantités positives telles que la 
série S$,2 soit convergente, la série dont la somme des n premiers 
termes est un polynôme P„ qui diffère de la fonction continue 
donnée f{x) de moins de £„ converge uniformément vers f{x). De 
plus, cette série est absolument convergente car l'on a 

! "«1 = 1 p„— p„-i|;;;| i'«— /|-h| p„_i— /|<£„-f-E„_,. 

Il] . Une autre conséquence du théorème de Weierstrass est que 
toute série de fonctions continues dans un intervalle («, b) y peut 
être remplacée par une série de polynômes. En effet, £,, So, ... 
étant des nombres positifs tendant vers zéro, la série de poly- 
nômes dont la somme des n premiers termes diffère de la somme 



■iSo PREMIÈIU- PARTIE. 

des n premiers termes de la série proposée de moins de tn répond 

à la question. 

Fonctions ayant des points de discontinuités. — En dérivant 
terme à terme la série de polynômes représentant 

x-\-\x\, 

on obtient une série de polynômes convergente dans l'intervalle 
( — i^ + i) sauf au point O. représentant o pour j: négatif, i pour 
jc positif. Par l'addition de séries de cette nature à une série de 
polynômes représentant une fonction continue on développe en 
série de polynômes toute fonction n'ayant qu'un nombre fini de 
discontinuités. La série obtenue est divergente aux points de dis- 
continuités. Par un procédé différent nous allons arriver à une 
conclusion plus générale. 

Soit/(j:') une fonction qui dans l'intervalle (//, b) n'a de dis- 
continuités que pour un ensemble dénombrable de valeurs 

X0=: a, Xi^b. X-2, Xi, .... 

Marquons les points A». A|. ..., A« représentant la fonction 
y^fi^x) pour x^=Xo, Xi, ..., x„. Quelques-uns de ces points 
pourront être à l'infini. Soient .r^^ l'une des n valeurs considérées 
pour X, Xi celle de ces n valeurs qui lui est immédiatement su- 
périeure. 

i" Supposons Aa et A/ à dislance finie. 

A. Entre x^ et Xi n'existe aucun intervalle où la fonction est 
continue, ou bien il en existe plusieurs; traçons le segment A;, A/. 

B. Entre Xk et ./■/ existe un intervalle (x'. .r") et un seul où 
f{3c) est continue. Dans cet intervalle la fonction est représentée 
par un arc de courbe a|i. 

a. f{x) est continue à droite pour x ^^ x' et à gauche pour 
x=^x" ] traçons le segment A^a, l'arc a^i, le segment ^A/; les seg- 
ments A^a, |j A/ peuvent èlrc nuls. 

b. f{^) n'est pas continue à droite pour .r = x ni à gauche 
^ouTX^x"; traçons le segment AaP«, l'arc P«Q«, le segment 
Q«A/; V,t et (>,; étant deux points de l'arc a j qui tendent respec- 
tivement vers y. et ^t quand n croit iadcfinimenl. 



MÉLANGES. iHr 

c. f{.v) est conliiuic h droite pour x ^= x' et n'est pas continue 
à gauche pour x=^x" \ commençons le trace comme dans le cas («), 
terminons-le comme dans le cas [b). 

cl. f{x) n'est pas continue à droite pour x ^= x' el est continue 
à gauche pour x=^ x"\ commençons le tracé comme en (6), termi- 
nons-le comme en (a). 

■>." Si l'un des deux points A/,, A/ ou tous les deux sont à l'infini, 
nous remplacerons celui ou ceux de ces deux points qui sont à l'in- 
fini par des points de même abscisse et dont l'ordonnée croîtra 
avec n. 

Dans tous les cas, nous traçons dans l'intervalle («, b) une 
courbe représentant une fonction cp,^(^), on peut même supposer 
que la fonctiony soit infinie dans un certain nombre, fini ou non, 
d'intervalles, à condition de compter les extrémités de ces inter- 
valles comme des points de discontinuités et de faire jouer le rôle 
de la courbe a|i à une parallèle à O^ dont l'ordonnée croîtra indé- 
finiment avec /?. 

La fonction '^,i{x) a pour limite pour /i infini /{x), en entendant 
par là que o„ (X) tend vers /„ (X) quand X est pris arbitrairement 
dans (rt, b). Ceci est évident si X est une valeur de discontinuité, 
ou appartient à un intervalle où la fonction est continue, ou est 
extrémité d'un pareil intervalle. Pour une autre valeur, X est la 
limite d'une suite x'-*^, x^-^ , ... de valeurs de discontinuités, 
/"(X) étant continue pour a: = X,y(X) est la limite de la suite 
f{x''^''),f{x'-^), .... D'autre part, pour « assez grand 'f//(./") est 
compris entre /(a) et /C^), a et [i étant les extrémités de celui 
des intervalles, obtenus à l'aide des points de subdivision 
Xo, ^i' - . - , x,i, qui contient X, d'où 



Don( 



f{x) = ç), (:r) -^ ^[o,>{-r) — '^,,-1 (.r)] ; 



/{x) est représentable par une série de fonctions continues et, 
par suite, par une série de polynômes. 

IV . Toute fonction continue dans un intervalle («, b\ sauf 
pour un ensemble dénonibrable de valeurs de la variable, est 
développable dans cet intervalle en série de polynômes, abso- 



■J.X?. PUE.MIÈRE PARTIE. 

lunienl ci nniforinéinenl convergente dans toui intervalle où 
n'existe pas de points de discontinuités. 

Il est facile de donner des exemples de fonctions ayant une 
inlinité dénoml)ral)le de discontinuités. 

Premier exemple. — Entre -et ■< la fonction fix) est 

éi^alc à une fonction continue quelconque \„- Aux points de 
discontinuités, elle a une valeur quelconque finie ou infinie. 

A,; sera limitée ou non; ce sera, |)ar exemple, A//= 



Deuxième exemple. — x^. .r.,. . . • étant donnés, on considère 
une fonction nulle si x n'est pas une des valeurs données, et égale 

à - pour x^^Xn- Les points .r,, .r.i, . . . sont les seuls points de 

discontinuités. 

Il existe donc, en particulier, des séries de poljnomes nulles 
pour toutes les valeurs commensurables (ou algébriques) d'un 
intervalle et pour celles-là seulement. 

Troisième e.remple. — Les fonctions à variation limitée de 
M. Jordan. 

Dans ce qui précède, nous n'avons pas obtenu les fonc- 
tions les plus générales représentablcs par des séries de poly- 
nômes; M. Baire a indiqué [Comptes rendus, 21 mars 1898) une 
condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction d'une 
variable soit représentablc j)ar une série de polynômes. 

Fonctions de plusieurs variables. — Soity"(x", j) une fonc- 
tion de deux variables finie et continue par rapport à l'ensemble 
(^x,y) pourrtSx^^; c^y^d. Cherchons à le représenter approxi- 
mativement par un polynôme. 

On pcMit trouver des valeurs .r, << -^i; <•• •< -^n '-, J't <JKa <• •\Vii 
telles (pie pour Xi'^x'jîXi-\- i ., yj=y=yj-\-^i l'oscillation de la 
fonction soit moindre qu'un nombre donné e. 

Soit Aij le point de coordonnées x = Xi., y ^==yj, -•=/{""'/: yj)- 
Le paraboloïde de plans directeurs zOx, :iOy passant par A/^y; 
\,+ ,./; A,-.y+,5 A/+,./^, représente })Our jr,<a:'<,r/^,; r/-J_r^Jy+i 



MELANGES. 283 

une lonclion (|iil dillère de /"(x) de moins de z. Or, la lonelion 
continue reprcsenléc par l'ensemble de ces fraj^menls de j)arabo- 
loïdcs est une somme de fonctions continues telles que la sui- 
vante : 

A-[XY-^ |XYi -hX|Y| -4-Y|X|] 

que l'on peut représenter par une série uniformément convergente 
de polynômes. On achève comme précédemment. 

Le même raisonnement réussit avec un nombre quelconque de 
variables; l'image géométrique fait seule rapidement défaut. Il 
faudra parler, par exemple, de ("onctions linéaires par rapport à 
chacune des variables là où l'on parlait de droite ou de parabo- 
loïde. 

Les propositions 1, 11, 111 sont donc encore vraies, quand on y 
remplace fonction d^une variable continue clans un intervalle 
(a, b) par fonction de plusieurs variables continue par rapport 
à V ensemble dans un domaine fini. 

Des artifices analogues à ceux qui ont conduit au théorème 1\ 
nous conduiront à des propositions telles que la suivante : 

V. Si une fonction de deux variables, définie dans un 
domaine fini Q, connexe ou non, partout continue par rapport 
à V ensemble des variables, sauf en des points formant un 
ensem.ble dénombrable et sur des courbes C ( ' ) formant un en- 
semble dénombrable, est telle cjue, sur chacune des courbes C, 
par rapport à un paramètre fixant cV une façon continue Ut 
position d^ un point sur cette courbe, la fonction soit continue, 
sauf en un ensemble dénombrable de points, elle est repré- 
sentable par une série de polynômes, absolument et unifor- 
mément convergente dans tout domaine ne contenant pas de 
discontinuités. 

On peut aussi supposer que la fonction est infinie sur certains 
arcs des courbes C ou dans certains domaines en nombre fini ou 
non à condition de compter les courbes frontières de ces domaines 
comme faisant partie des courbes C. 



C) Le mot courbe est pris dans un sens restreint; aucune des courbes C ne 
doit passer dans le voisinage de tous les points d'une aire. 



284 PREMIÈRE PARTIE. 

Fonctions de plusieurs variables continues par rapport à 
chacune d'elles. — M. Baire {Comptes rendus, 1893;) a montré 
comment l'on pouvait construire des fonctions de plusieurs 
variables continues par rapport à chacune d'elles sans l'être par 
rapport à l'ensemble. La méthode emplojée précédemment permet 
d'obtenir des développements de ces fonctions. 

So\\.J\x, y) une fonction définie pour a'Sx'^b^ c'^y^d continue 
séparément par rapport à a; el par rapport à r. Divisons l'inter- 
valle («, b) en n parties égales ; soient Xq =«, x,, x.,. • . • , x„_i , 
Xf,= b les points de divisions. 

Considérons la fonction 'Y,i(x,y) continue par rapport à Y en- 
semble xy et définie entre Xp et Xp_^i par 

^ , ,.^ _ ./'(■^/'+H r)(^ - ^p)—f{x,„ y)(x — x,,+,) 

T" V "• : y^ / — * 

Les fonctions o„(j:,j)') ont y(.r,j'j pour limite quand n croît 
indéfininienl. En effet, soit X, Y un système de valeurs pour x, y. 
Choisissons n assez grand pour que dans chaque intervalle Xi^ 
Xij^\ l'oscillation delà fonction /'(jt, Y) soit moindre que s, e étant 
donné à l'avance. Si X est dans l'intervalle Xp^ -^p+i, l'expression 

1/(X, Y)-ofX, Y)l 
est plus petite que la plus grande des deux suivantes 

|/(X, Y)-/(X/„ Y)| |/(X, Y)-f(x,,^„ Y)| 

qui sont plus petites que s. 
On peut donc écrire 

f(^,y) = ^i{^,y)^'^ (.?«+! — ?/(); 

f{x, y) est représentable par une série de fonctions continues, et, 
par suite, par une série de polynômes; on peut même remarquer 
que cette série est uniformément convergente poury donné. 
Le même raisonnement prouve que : 

VL Une fonction des variables Xt^ x-2^ • • • , x„; y^ , j'o, — yp, 
continue par rapport à r ensemble des x et par rapport à t' en- 
semble des y, est représentable dans tout domaine fini par une 
série de polynômes. 



M KL ANC li s. 285 

Dans le cas Je [)his tle deux variables, on est coiiduil à des 
propositions telles que la suivante : 

Vil. Une fonction de quatre variables A', y, :;, ^, continue 
dans un certain domaine par rapport à chacune de ces va- 
riables, est représentable dans ce domaine : 

1° Par une série de fonctions continues par rapport aux 
ensembles {x, y){x, z){cc\ t); 

■a" Ou par une série de séries de fonctions continues par 
rapport aux ensembles (x, y, z) [x^ y, t) ; 

3° Ou par une série de séries de séries de polynômes. 

Cette proposition subsiste si l'on fait jouer le rôle de x.y, z, t 
à des ensembles (a-, , j-^. •••, •2"/0- (j'u J'^i •••?J>)) (-15 -21 •••5 -/-jî 
{t^, t.,, ..., /,)• 

Les mêmes artifices que précédemment permettent de supposer 
que ces fonctions ont des discontinuités du genre de celles ren- 
contrées aux. théorèmes IV et \ . 

Approximations à V aide des suites de Fourier. — Weier- 
strass a démontré que toute fonction continue ayant la période 
271 peut se représenter avec telle approximation que l'on veut, 
par une suite finie de Fourier ou, ce qui est la même chose, par 
un polynôme en cos^ et %iux ('). 

M. Picard déduit cette proposition des propriétés de l'intégrale 
de Poisson, et en conclut la possibilité de représenter approxima- 
tivement une fonction continue par un poljnome. 

On peut de bien des manières passer inversement de l'approxi- 
mation par un poljnome à l'approximation par une suite de 
Fourier. 

Soity"(j;) une fonction continue ayant la période 2~. On peut 
trouver une fonction continue o(^x) ayantla période 27: qui diffère 



(• ) -M. Volterra [ Sut Principio cli Diriclilet {Rendiconti ciel Circolo Matema- 
tico cli Palernio, tome XI)] démontre cette proposition de la façon suivante : 
on peut approcher autant que l'on veut d'une courbe à l'aide d'une ligne poly- 
gonale. Une telle ligne représente une fonction qui, n'ayant qu'un nombre fini 
de maxima et minima, peut, d'après Dirichlet, être développée en série de 
F"ourier uniformément convcrgenle. 



o(x) — z,(i- ~ x) 


^■^(- — x) — 


o(~ -\- x) 




!\ <\\\x 




o(x) — ^{ x- — x) 


^—■0(--X)-r- 


-o(--x) 



■28() IMlEMIElUi PARTIE. 

de f{JC) de moins de £ et qui soil telle que, pour a assez petit, on 
ait 

Posons 

0(37) = A(cos:r) -^ sin^r B{cos'^x) -t- sinx cosx C(cos-.r >. 

En échangeant dans cette expression x en - — .r, --t- x, 'it. — .r 
on tire 

, / X ?(-'^)+ ■:'(i- — x) 
A(cosx) = ' •- > 

B(cos2a7) = ^ 

C(cos-a;) , . 

4 sina? cosa; 

Donc A, B, C sont des fonctions finies et continues de cos^r, et, 
par suite, '^{x) ou y(;r) peut être représentée avec telle approxi- 
mation que l'on veut, par un poljnome en sin.r et cos^r. 

Sous la seule réserve que les intervalles dont il s'agit soient 
plus petits que 2-, les théorèmes ï, II, III sont exacts si l'on rem- 
place dans leur énoncé polynôme par suite finie de Fourier. 

Ce résultat se déduit plus facilement encore du théorème sur 
les fonctions de deux variables. 

Une fonction continue ayant la période 27î peut, en effet, être 
considérée comme attachée aux points de la circonférence 

\ = cosar, Y = %\x\x. 

SoitF(X, Y) une fonction continue par rapport à l'ensemble 
(X, Y) et égale sur la circonférence à la fonction proposée. On 
peut trouver un polynôme P(X, Il ) qui diffère de moins de s dans 
un domaine comprenant la circonférence; donc P(cos.r, sinx) 
diffère de la fonction proposée de moins de z. 

Sous cette forme, la démonstration se généralise immé- 
diatement. 

Soit une fonction continue par rapport à rensemble de n va- 
riables X), Xo, . . ., x„\ aj'ant la période " pour chacune des n 



MÉLANGIÎS. 287 

premières variables el lu période 3- pour x,i^ telle qu(! pour 
Xi=zo {i=i , 9., ...,/«) la fonction soit indépendante des variables 
.r,, ,. . . . , Xfi. On peut la regarder comme attachée aux points de 
la variété 

\i=cosa"|, X.2= sina?i cosa?2 X,j= sina^i sinara . . . siiur„_i cosa;,,, 

\,:-i-\ = sina^i sina^2 • • • sinar„_i sina7„ 
ou 

elle est donc représentable avec telle approximation que l'on veut 
par un polynôme en \| . Xj X,,^) . 



SUR LA THÉORIE DES ABAQUES A ALIGNEMENTS; 
Par m. E. DUPORCQ. 

1. Dans le numéro de juillet dernier du Bulletin des Sciences 
mathématiques^ M. d'Ocagne a signalé, entre autres problèmes 
soulevés par Fétude de la nomographie, l'intérêt qui s'attache à la 
question suivante : étant donnée une relation entre plusieurs va- 
riables, rechercher si elle peut être représentée graphiquement 
par un abaque d'un type déterminé. M. d'Ocagne insiste, en par- 
ticulier, sur le cas des abaques dits à alignements, qui sont 
parmi les plus simples; le problème se réduit, dans ce cas, au 
suivant : vérifier si une fonction donnée de trois variables, 
F(x, y, ^), peut être mise sous la forme 



(<) F{x,y,z) = 



^i(x) yj{x) 'liix) 

"^■liy) vAr) '^i(y) 

¥3(-) 7,3(-) -^SC^) 



La recherche des équations différentielles, auxquelles doit 
satisfaire la fonction F, conduit pratiquement à des calculs inex- 
tricables ; mais le problème que l'on a en vue sera résolu tout 
aussi bien si, au lieu de ces équations différentielles, on parvient 
à établir des équations fonctionnelles nécessaires et suffisantes. 
La méthode que je vais présenter, et dont j'ai signalé déjà les 



288 



IMIEMIÈIIE PARTIE. 



résultais dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences {^), 
permet, non seulement de vérifier si la fonction F peut prendre 
la forme (i), mais encore, le cas échéant, de la lui donner, 

2. Je traiterai d'abord le problème analogue dans le cas d'une 
fonction de deux variables 



¥{x,y) = 



?l(-^^) ?20') 



Soient h et 1/ deu\ valeurs arbitraires de y : les trois fonctions 
de Xj F(^, y), V{x, h) et V{x, b') sont de la forme 

A et a étant indépendants de x. Ces trois fonctions de x sont donc 
liées entre elles par une relation linéaire et homogène : par suite, 
a et a' étant deux valeurs arbitraires de x, on a l'identité 

F(a,7) F(a, b) F(a, b') 
¥{a', y) F(rt', b) F(a', b') 

Celte condition est d'ailleurs suffisante, puisqu'on peut alors 

écrire 

F (•'2", jk) = ii F(.r, b ) -^ v¥ (X, b'), 

u cl V ne dépendant que àe y. 

On voit, de plus, que les fonctions cpi et 'hi sont toutes deux de 

la forme 

pF(:r, b)-^'^'¥{x, b'), 

(j et jj' étant des constantes. 

3. Revenons à la fonction (i). Soient />, b' et b" trois valeurs 
arbitraires de j', c, c' et c" trois valeurs arbitraires de z. On voit 
que les quatre fonctions de x 

Y{x,y, z), F(a", b, c), V {x, b' , c'), F(.r, b", c") 

sont de la forme 

loi{x)-^.- ixyi{x) -j- V '1/1 (^), 



(') Séance du i'' aoûl 1898. 



MÉLANGES. 



289 



À, u. cl V étant iudépendants de x. Il existe donc, entre ces 
quatre fonctions de x, une relation linéaire et homogène : par 
suite, a, a' ela" étant trois valeurs arbitraires de x, on a l'identité 



(A) 



F(.r,j', ;;) 1'(t, i>, c) F(.r, b' , c') V{x, b'\ c") 

¥{a,y, z) V(a, b, c) F(a, b', c') F(a, b", c") 

F{a',j, z) F(a'. h, c) F (a', b', c') F(a', b", c") 

F(a",y, z) F(rt", b, c) F(a"., b', c' ) F(a\ b", c" ) 



On aura deux autres identités analogues, (B) et (C), en consi- 
dérant les fonctions de y 

F(T,y,z), F(a,j',c), F{a',y,c'), F{a",y,c") 

et les fonctions de z 

F(x, y, z), Fia, b, z), F(a', b' , z), F(a", b", z). 

On voit, déplus, que les fonctions cp,, -/) et •b^ sont toutes trois 
de la forme 

ce F{x, b, c) -4- a' F(x, b', c' ) -+- a" Fix, b", c"), 

a, a' et a" étant des constantes. On peut même, en remplaçant 
chacun des éléments du déterminant (i) par la ?omme des élé- 
ments de la même ligne, multipliés, dans chaque colonne, par des 
paramètres convenables, supposer que 



(2) 



F(x, b, c). yi=F(:r, b', c'), 6,= F(^, b", c") 



4. Ceci posé, on peut, en vertu de l'identité (A), déterminer 
trois fonctions u, v et w de y et de ^, telles que 

F {x^ y, z) = uF {x, 6, c)-\- vF {x, b' , c') -^ wF {x, b" , c"), 

et il va falloir exprimer que ces trois fonctions peuvent être mises 
simultanément sous les formes 



(a) 



7.2 X3 





'^2 


^3 




?2 


?3 


, V = 






, W = 








?2 


?3 




7.2 


7* 



S'il en est ainsi, la fonction '^2, par exemple, qui figure dans v 
et dans «', doit être, d'après la dernière remarque dun°2, propor- 
tionnelle à une fonction f-, qui est à la fois des deux formes sui- 



9.90 l'HEMIEKE PAUTIE. 

va nies 

les a.i désignant des constantes. Cette fonction pourra donc être 
déterminée, à une constante près, si les quatre fonctions de y 

(a) f(r, c), i''(j,c'), w(y,c), w{y,c') 

sont liées entre elles par une relation linéaire et homogène. Or, 
cela résulte des identités (A) et (B). En effet, par suite de la 
première, les fonctions t'(j', ^) et w(y, z) sont des fonctions 
linéaires et homogènes des trois fonctions 

¥(a,y,z), F{a',y,z), F{a",y,z), 

et, en vertu de (15), la fonction dey, F(a, y, v), est, quels que 
soient a et V, une fonction linéaire et homogène des trois fonctions 

de y 

F{a,y,c), F{a',y,c'), F(a",y,c"). 

Les quatre fonctions (a) peuvent donc s'exprimer en fonction 
linéaire et homogène des trois précédentes : il existe bien, par 
suite, entre elles une relation linéaire et homogène, et la fonction 
f-, se trouve déterminée, à un facteur constant près. 

On déterminera, d'une manière analogue, en vertu de (A) et (C), 
à un facteur constant près, une fonction /a (^), telle que 

(4) /3(-) = ^3i'(à, ^) + a', v{ù', z) = a;; iv{lj, zj^cc"; w{b', z). 

En opérant d'une manière quelconque, on obtiendra, finale- 
ment, trois fonctions de y : f^, g-i et Ao, et trois fonctions de :; : 
/"s,, g^ et A3, respectivement proportionnelles aux fonctions 005 '/2j 
■{^2, 'fiti '/,:i et 'i>3- 

5. Posons 

(5) o = lf, y = mg, 6 = 7ih, 



Si la première égalité (a) est satisfaite, on a 

^7) ^/=:XA — À'A'; 



MÉLANGES. 
or il laul, pour cela, (jue l'on ail identiquement 

(D) uib, c) Mb, c) A'(b, c) 

u(b', c') A{b\ c') X'ib', c') 

On devra avoir deux identités analogues, (E) et (!'"), entre les 
fonctions r, B, B' et w, C, C 

Inversement, une fois ces conditions remplies, on pourra déter- 
miner des coefficients A, )/, |j., . . . , v', tels que les trois égalités 
analogues à (^) soient satisfaites, et l'on pourra en déduire 
six coefficients /, /n eAn, au moyen des égalités (6), à la condition 
d'avoir 



(G) 



Àuv = X' a'v'. 



Les égalités (5) serviront alors à déterminer les six derniers élé- 
ments du déterminant (i), dont les trois autres avaient été fournis 
par les égalités (2). 

En résumé, on aura à vérifier les sept égalités (A), (B), ..., (G), 
et, quand elles seront remplies, on pourra déterminer les élé- 
ments du déterminant (1). 

G. On pourra simplifier les recherches précédentes, dans le cas 
où l'on connaîtra trois systèmes différents de solutions de l'équation 

Soient (a, |j, v), (a', [j\ y') et (a", |i", v") ces trois systèmes. On 
devra pouvoir déterminer des coefficients \, 'j. et v tels que l'on 
ait identiquement 

lF(x,^,'{) aF(a,y, y) vF(a, P, z) 

^{^,y,z)= VF{x,^',Y) '/Pi^',j,-{') -''FC^', p', -) 

À"F(:r, P", y") IJ^"F(a",7, y") >/'F(a", 8", ^) 

et il sera facile de se rendre compte si cette détermination est 
possible. 



).92 BULLETIN BIBLIOGR APIIIQUE. 

lîULLEÏIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



Baf.l (W.-W.-R.). — Récréations et Problèmes mathématiques des 
temps anciens et modernes. 3* édit. Traduit par J. Fitz-Patrick. In-8", 
iv-Sj-J. p. avec fii^. Paris, A. Ilcrmann. 

Gn.VF (J.-II.). — J)er Mathematiker Jacob Steiner <,>. Utzenstorf. Ein 
Lebcnsbild u. zuglcich einc Wiirdigung seiner Leislungen. Avec portrait 
et fac-siinilt!-. Or. iri-8°, ")4 P- Bern, ^^'iss. i m. 20 pf. 

Ham.mi:r (E.)- — Lehrbuch der ebenen und sphàrischen Trigonomé- 
trie. ■}." édition. Gr. in-8", xiv-572 p. avec fig. et pL Stuttgart, Metzler. 
7 m. îo pf; relié 7 m. 90 pf. 

Paok ( .I.-i\1.). — Ordinary Differcntial Equations. Elenientary Text- 
book. With Introduction to Lie's Tlieory of thc Group of onc Parameter. 
Fn-8", 246 p. London, IMacmillan. 6 sh. 6d. 

Pascal (E.). — Repertorio di Maternât iclie supcriori. \o\. 1. Ana- 
lisi. In -8", xvi-Gia p. Milan, Iloepli. 4 m. 80 pf. 

VivAXTK. — Corso di Calcolo infinitésimale, ln-8". IMessine. Tri- 
niarchi. 8 L 

ANDRAOïi; (J.). — Leçons de Mécanique physique. Jn-S", iv-4i5 p. avec 
figures. Paris, Société d'éditions scientifiques. 10 fr. 

BoiiTKKWiscii (L. \.). — Das Gesetz der kleinen Zahlen. Gr. in-8", 
vri-52 p. Leipzig, Teubncr. 2 m. 

Co^•^•AISSA^■CI•: des Temps ou des mouvements célestes pour le méridien 
de Paris, à l'usage des astronomes et des navigateurs, pour l'an 1900. 
Publiée par le Bureau des Longitudes. In-S", xvi-865 p. et planches en 
couleurs. Paris. Gaulbicr-\'illars et fils. 4 fi'- 

CzL"BEu(E.). — Vorlesungen iiber Differcntial- u. Integral-Rechnung. 
I Bd. Gr. in-8", xii-SaG p. avec 112 (ig. dans le texte. Leipzig, Teubncr. 
r>. ni. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 293 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



WEBER(II.)- — Leurrvcii von Algebr.v. Zweile Auflage. Erster Band; in-S", 
xv-joS p. Braiinschwcii,', Viewca; und Sohn, 1898. 

WEBER (II.). — Traité d'Algèbre supérieure, traduit de l'allemand sur la 
deuxième édition par /. Gricss. Principes. Racines des équations. Gran- 
deurs algébriques. Théorie de Galois. Gr. in-8'', xi-764 p. Paris, Gauthier- 
Villars, 1898. 

Tout récemment dans le Tome XIX, p. 161-1-6, et dans le 
Tome XXI, p. c)3-ii4, nous donnions un compte rendu et une 
appréciation détaillée de l'excellent Ouvrage de M. H. Weber. 
Cet Ouvrage a eu un tel succès qu'au bout de quatre ans une nou- 
velle édition est devenue nécessaire. C'est le Tome I de cette nou- 
velle édition qui vient de paraître en Allemagne et c'est aussi la 
traduction de ce Tome I que nous offre aujourd'hui M. Griess. 
Indiquons tout d'abord en quoi la seconde édition du Tome I dif- 
fère de la première. 

Le succès même obtenu par cette première édition montrait 
que le plan et la suite des idées avaient été bien établis. Rien d'es- 
sentiel n'y a été changé. Cependant toutes les parties ont été 
revues à différentes reprises; bien des points de détail ont été 
remaniés, en partie pour améliorer l'exposition même, en partie 
pour j faire entrer les travaux récents. 

La traduction de M. Griess est fidèle et élégante. Il n'est pas 
douteux que, dans un pays où l'Algèbre a été cultivée si longtemps 
et avec tant de succès, elle ne reçoive l'accueil qu'elle mérite à 
tous égards. A ce point de vue, elle constitue un nouveau et im- 
portant service rendu par M. Griess à la Science française et à 
l'enseignement. 



Bull, des Sciences malhém., 2" série, t. XXII. (Décembre 1898.) 20 



294 PREMIÈRE PARTIE. 



PETERSEN. — VORLESUNGEN ÏBER FUNKTIONSTHEORIE. [ VOl. in-8", 828 p. 

Copenhague, A. -F. Host cl Son; 1898. 

Ce Livre d'enseignement est de ceux auxquels on doit bon accueil, 
non seulement à cause des résultats nouveaux qu'il contient, mais 
aussi parce que les théories qui j sont développées ont été pensées 
à nouveau par l'auleur, qui a su donner à leur exposition une 
forme systématique et, très souvent, personnelle. Au reste, le lec- 
teur s'attend naturellement, dans un livre de M. Petersen, à 
trouver des modèles de brièveté et d'élégance, des vues claires et 
rapides. 

Ce Livre est divisé en deux Parties consacrées, l'une aux théo- 
ries générales, l'autre à quelques fonctions particulières. 

L'auteur appelle tout d'abord l'attention sur ce que c'est qu'une 
partie connexe du plan qui sert à représenter une variable com- 
plexe et sur le sens dans lequel peut être parcouru son contour; il 
définit ensuite les fonctions monogènes, établit les propriétés 
élémentaires de la représentation conforme, distingue les fonctions 
univoques et plurivoques, montre le caractère et le rùle des points 
d'embranchement et expose de suite la construction d'une surface 
de Riemann, relative à une fonction algébrique donnée : il intro- 
duit ensuite la notion d'intégrale curviligne et établit, d'après la 
méthode de Pticmann, le théorème fondamental sur l'intégrale 
d'une fonction d'une variable complexe. Au bout d'une cinquan- 
taine de pages, la notion de module de périodicité est déjà acquise, 
et plusieurs applications, notamment aux intégrales elliptiques, 
ont été développées rapidement. L'auteur consacre ensuite un 
important Chapitre à la théorie de la connexion et de la réduction 
d'une surface de Riemann à une forme normale. On y remarquera 
une démonstration de cette proposition : dans toute surface con- 
nexe, on peut prati(pier une coupure (Querschnilt) qui ne par- 
tage pas la surface en deux morceaux, tant que celle surface n'est 
j)as une sur/ace élémentaire ; à cette démonstration se rattache 
la détermination de la forme normale. M. Petersen passe ensuite 
aux intégrales abéliennes, établit la distinction en espèces et traite 
du théorème d'Abel, du problème de la réduction des intégrales, 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 295 

des théorèmes d'addition, tout cela d'une façon large et rapide, 
en même temps qu'avec des exemples précis. 

Le lecteur a maintenant acquis des vues étendues sur une 
théorie capitale, et cela, avec la seule notion de fonction de va- 
riable complexe, jointe aux intuitions géométriques nécessaires 
pour la conception de la surface de lliemann et la théorie de la 
connexion. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'acquérir les 
connaissances élémentaires sur les modes les plus importants de 
représentation des fonctions, en particulier sur les séries et les 
produits infinis. M. Petersen reprend les choses au début et, d'une 
façon claire et condensée, expose les règles principales pour la 
convergence des séries à termes positifs, la notion de convergence 
absolue, les propositions essentielles sur 'es séries de puissances, 
la notion de convergence uniforme, etc. 

De là, l'auteur passe à l'étude de l'intégrale 

f{z)dz 



çnzyd^ 

J -S -Sq 



et aux conséquences fondamentales du théorème de Cauchy. 

En dehors des applications classiques aux séries de ïajlor, 
Maclaurin, Laurent, Lagrange, Fourier, etc., nous signalerons 



l'étude de l'intégrale 



/^ 



m^é. 



et la démonstration qui en résulte du théorème suivant : 
Soient X(, X'i deux nombres entiers, on aura 

- ^{xx) -{-(p(a7i-;-i)-l-o(a?i-l-2)-4-...-t-ç>(a:^2 — i)~^ r ?(^2) 
I /-" ['f(a;-+- t>) — ç(a7— t»].r;rfr 






e27tj — I 



si la fonction 'o{^z) est univoque et continue pour toutes les va- 
leurs de z dont la partie réelle est comprise entre JC, et j:2 et si, 
lorsque la fonction ç* (:;) de ^ =:r + iy devient infinie avec y dans 
cet intervalle, on a, suivant que y augmente indéfiniment par 



âge PREMIÈRE PARTIE, 

valeurs positives ou négatives, 



lim e-'~~ g(^) := o, 



y- 



De cette proposition, qui précise une formule d'Abel, l'auteur 
déduit, en parliculier, la fcnnule sommatoire dEuler-Maclaurin. 

C'est du théorème de Caucliv que M. Peterseu déduit les pro- 
positions fondamentales de la théorie des fonctions; à la fin de ces 
propositions il a placé le théorème de M. Schwarz sur le prolon- 
gement par symétrie et le théorème de M. Picard relatif aux fonc- 
tions entières f{z) telles que les équations /(-:;) = «, f{z) = b 
n'aient qu'un nombre limité de solutions; il donne ensuite la no- 
tion de fonction analytique, au sens de AA eierstrass. Le para- 
graphe relatif aux fonctions transcendantes entières contient, 
outre la démonstration du théorème de ^\eierstrass sur la dé- 
termination d'une telle fonction au moyen de ses zéros «,, flo, ..., 
a,i, . . ., l'étude du rôle joué parle nombre p, limite pour n infini 

du rapport 

los/i 



log I a„ I 



La fin de la première Partie est consacrée aux théorèmes d'exis- 
tence : l'auteur s'occupe d'abord de l'existence d'une fonction u, 
à l'intérieur d'une aire simplement connexe, satisfaisant à l'équa- 
tion aux dérivées partielles 

d- u à- u 

ôx- ' Oy- ' 

et définie par ses valeurs le long du contour. Tout en renvoyant 
aux iNIémoircs classiques pour la démonstration du principe de 
Dirichlet, M. Petersen développe la solution de JM. Sclnvarz pour 
la représentation conforme du demi-plan sur une aire polygonale. 
U traite, enfin, de l'existence d'une fonction relative à une surface 
de Riemann donnée. 

Dans la seconde Partie, M. Petersen développe d'abord les pro- 
priétés les plus importantes de la fonction T{z-) et de la fonction 
t{z) de Riemann. La formule de sommation, dont il a été ques- 
tion plus haut, fournit pour logr(^) les expressions suivantes, 



COiMPTKS llKNOUS ET ANALYSES. 297 

valables suivant que la partie réelle de 2; := jc + iy est positive ou 
négative 

logr(-) = (z—-) log(— ^) — logsin-^ — x;+ ^ log ^ 

dy. 




y 

arc tang =^ 



«21:/ _ I 



Signalons encore, relativement à la fonction 'C{z)^ l'application 
de la même formule sommatoire, puis l'étude du nombre de zéros, 
dans un cercle de rayon infiniment grand, delà fonction transcen- 
dante entière 



f{z) = T. 2r(^f +ij(l_.-)^(. 



l'application à la recherche du nombre de nombres premiers, la 
démonstration d'importants résultats obtenus récemment par 
MM, Hadamard, de la Vallée-Poussin et Mangoldt. 

La fin de FOuvrage constitue un intéressant résumé , très con- 
densé, de la théorie des fonctions doublement périodiques. C'est 
tout d'abord l'exposition des propriétés de ces fonctions qui ré- 
sultent directement de la théorie générale des fonctions, dans la 
voie suivie par Liouville, Briot et Bouquet, puis l'introduction 
des fonctions 2r, leur décomposition en facteurs primaires, la 
construction des fonctions elliptiques au moyen de ces fonc- 
tions ^. Les relations entre les fonctions sn, en, dn, les théo- 
rèmes d'addition sont, pour la plupart, obtenus au moyen du 
théorème de Liouville. L'auteur donne des indications essen- 
tielles sur le problème de la transformation. Enfin, un dernier 
Chapitre, sur les fonctions modulaires elliptiques, initie le 
lecteurs aux recherches de M. Schwarz et de M. Klein. 

J. T. 



298 PREMIÈRE PARTIE. 



CZUBER (E.). — VORLESUNGEN iJBER DIFFERENTIAL- UND INTEGRAL ReCHNUNG. 

Zwcilcr Band; un vol. in-S", ix-4a8 p. Leipzig, Tcubner, 1898. 

Nous avons parlé récemment du premier Volume de ces Leçons : 
le second Volume se rapporte au Calcul intégral; il est conçu 
dans le même plan que le premier, et le but de l'auteur est tou- 
jours de donnera l'étudiant les connaissances indis])ensables sans 
rien sacrifier d'essentiel dans la rigueur de l'exposition : c'est 
ainsi qu'au début il établira, en toute rigueur, l'existence de l'in- 
légrale pour les fonctions continues, tout en insistant, comme il 
convient, sur la signification géométrique de l'opération. 

Les Chapitres concernant les intégrations élémentaires ne com- 
portent naturellement pas grandes observations, tant la matière 
est classique. Signalons, toutefois, le soin avec lequel sont choi- 
sis les exemples et le souci d'éviter aux débutants des erreurs 
dans lesquelles ils tombent facilement : par exemple, M. Czuber 
emploie deux notations différentes, arctanga? et Arc tanga; pour 

désigner la valeur principale (comprise entre — ;^ et H — j de 

l'arc dont la tangente est ,r, et les autres déterminations. 

Il semble que la notion de courbe unicursalc, qu'il a laissée 
de côté, puisse être aisément comprise, même par des lecteurs 
peu familiers avec la Géométrie analytique, pourvu qu'on se 
boi'ne à la notion, et à des applications immédiates. 

Pour ce qui est des intégrales définies, signalons la démon- 
stration très simple, fondée sur la formule d'intégration par 
parties, du second théorème de la moyenne, qu'exprime 
l'égalité 

/ <f{x)'\i{x) dx = <\t(a) I (f(x)dx-h'\i{b)l q(x) dx 
{a<^<b) 

SOUS la supposition que la fonction '^j{x) varie dans le même sens 
quand x varie <\e a ix b; cette démonstration, à la vérité, suppose 
que la fonction 'i>(^) admet une dérivée; mais cet inconvénient 
n'en est pas un dans l'ordre d'idées où s'est placé l'auteur. 
L'étude des cas où la fonction sous le signe / devient infinie aux 



COMPTES HIÎNDUS ET ANALYSES. 999 

limiles, du cas où les limites sont infinies, de la diflércnLialion cl 

de rintégralion d'une intégrale ou d'une séiMC sont faites avec 

autant de soin que de mesure. Signalons, par exemple, les appli- 

1 r* >.^ sin.r , r" __, sinaajv , y., 
cations aux intégrales / e~y^ clx, le'' clx. L au- 

teur traite ensuite des intégrales multiples. Les formules pour le 
changement de variables sont déduites de considérations géomé- 
triques. Les applications sont nombreuses et intéressantes; elles 
se terminent par une étude du potentiel, dont les propriétés fon- 
damentales sont établies avec clarté et rigueur. 

On ne peut s'attendre, dans un livre tel que celui que nous 
analysons, à trouver une théorie approfondie des équations diffé- 
rentielles. Donner, sous une forme géométrique, une idée claire 
du problème, et les règles les plus usuelles d'intégration, tel 
est le but que s'est évidemment proposé l'auteur et qu'il a at- 
teint. Il part de ce qu'une équation différentielle f{x^ y, y') = o 
définit une infinité d'éléments linéaires, c'est-à-dire de sys- 
tèmes formés par un point et une droite passant par ce point, 
la droite qui passe par le point {iV,y) ayant pour coefficient an- 
gulaire j^' : intégrer l'équation, c'est ordonner de toutes les fa- 
çons possibles ces éléments linéaires en une suite telle que 
les points forment une courbe et les droites correspondantes les 
tangentes à cette courbe. L'auteur traite les cas classiques d'inté- 
gration, donne la notion du facteur intégrant, puis, à l'occasion 
de l'équation de Clairaut, celle de l'intégrale singulière, que les 
considérations géométriques permettent d'éclaircir très suffisam- 
ment. Pour ce qui est des équations différentielles d'ordre supé- 
rieur, il se borne aux cas d'intégration immédiate, sauf pour les 
équations linéaires dont il développe les propriétés élémentaires, 
et qu'il apprend à intégrer dans le cas des coefficients constants. 
Quelques pages sont consacrées au calcul des variations; appli- 
cation est faite à l'équation des lignes géodésiques. Les équations 
aux dérivées partielles du premier ordre, linéaires ou non, sont 
traitées dans le même ordre d'idées que les équations différen- 
tielles ordinaires. Pour ce qui est des équations aux dérivées par- 
tielles du second ordre, l'auteur développe quelques exemples où 
l'on obtient une intégrale intermédiaire, et le cas des é([uations 
linéaires à coefficients constants. 



3oo PREMIÈRE PARTIE. 

Le court résumé qui précède suffira, je l'espère, pour montrer 
que, tout en sadressant aux élèves des écoles techniques, comme 
en témoignent neltemcnl le souci d'écarter les développements 
purement théoriques et le parti pris très justifié de rester dans 
le réel, les Leçons de M. Czuber gardent un caractère élevé. 

J. T. 



G. HOLZMULLER. — Die Ixgemeur-.M.vtiiematik in elementarer Behand- 
LLNG. II. Tlicil : Dns Potential und seine Anweiidung. Un vol. in-S", xvii- 
440 p. Leipzig, Tcubner, 1898. 

Le développement, de plus en plus considérable, (pi"a pris l'en- 
seignement de l'Electricité dans les écoles supérieures techniques 
faisait soidiaiter que l'on rendît accessible, à ceux qui n'ont pas 
fait d'études mathématiques approfondies, la connaissance des 
théories électriques. M. Holzmuller a donc fait œuvre utile en 
nous donnant une exposition élémentaire du potentiel et de ses 
apj)lications à la gravitation, à l'électricité, au magnétisme, à la 
chaleur et à Ihydrodjnamique. 

« Ce livre s'adresse aux ingénieurs praticiens, aux étudiants 
des Universités et des Instituts techniques, aux professeurs de 
Physique et de Mathématiques des écoles supérieures auxquels il 
importe de connaître les ressources que donnent, pour l'enseigne- 
ment, les procédés élémentaires. Il est destiné à compléter, pour 
la partie malhématique, les manuels de Physique usuels. » 

Deux modes d'exposition se présentent pour atteindre le but 
que s'est proposé M. Holzmuller. 

Le premier consistera à exposer, dans une courte introduction, 
les quelques notions mathématiques, dérivée, intégrale, infini- 
ment petits, qui seront employées ])lus tard. Il faudra sans doute 
se garder d'en faire une exposition abstraite, mais, au contraire, 
employer toutes les ressources de l'intuition, s'aider des notions 
déjà familières de tangente et d'aire pour élucider les notions 
nouvelles. On obtiendra ainsi, en même temps qu'un terrain so- 
lide pour édifier la future théorie, des procédés analytiques puis- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. {ot 

sants, qui en faciliteront l'exposition, en siip|)rimant tout calcul 
parasite. Le lecteur accjiierra la connaissance de notions impor- 
tantes qui peuvent lui servir ailleurs. L'ensemble du livre gagnera 
en simplicité, en précision et en rigueur. 

M. Holzmiiller a jugé préférable de suivre une marche tout à 
fait élémentaire, et il convient de le suivre sur le terrain qu'il a 
choisi. Son exposition « exclut eom[)lètcment le Calcul inlinilé- 
simal et n'exige de la Géométrie analytique que les notions qui 
sont enseignées dans les lycées ». 

Tous ceux qui ont enseigné la théorie du potentiel savent com- 
bien la tâche ainsi entreprise était lourde; par l'emploi fré- 
quent d'illustrations géométriques et mécaniques judicieuses, 
M. Holzmiiller a su vaincre la plupart des difficultés sérieuses. 
L'exclusion du Calcul infinitésimal paraît cependant avoir eu ce 
résultat fâcheux d'alourdir ou de rendre incomplètes certaines 
démonstrations. Il est sans doute facile d'effectuer une somma- 
tion déterminée par un artifice de calcul, mais il faut à chaque 
nouvelle sommation employer un artifice nouveau; aussi, après 

/dx 
— r ; INL Holzmuller n'a 
X- 

pas tenté le calcul des intégrales / x'^ dx^ j x'' dx, 1 — - , 
I cosjc dx qui se présentaient incidemment. 

Quelquefois aussi l'exposiiion élémentaire ne permet pas d'ob- 
tenir quelque propriété importante qui reste ainsi dans l'ombre. 
C'est ainsi que seule la troisième des lois de Kepler sur le mouve- 
ment des planètes est mise en évidence; la distribution superfi- 
cielle de l'électricité dans un condensateur en équilibre n'est pas 
indiquée. 

Malgré ces objections, le livre de M. Holzmuller peut rendre 
des services sérieux aux étudiants auxquels il est destiné. 11 est 
particulièrement intéressant d'v trouver réunies et envisagées à 
un même point de vue les théories de la gTavitation, de l'électri- 
cité, du magnétisme^ de la chaleur et de l'hydrodynamique; le 
rapprochement de ces diverses théories les éclaircit mutuellement 
et montre toute l'importance de la notion du potentiel dans la 
Physique modeine. 



3o2 PREMIÈRE PARTIE. 

Voici une indication très succincte des sujets traités. 

L'Ouvrage commence par l'exposé delà loi de Fattraction uni- 
verselle, qui conduit immédiatement à la notion de potentiel ; 
ensuite, sont établis les théorèmes sur l'attraction d'une surface 
et d'une couche sphériques homogènes d'une sphère. Les résul- 
tats obtenus sont appliqués à la résolution de quelques problèmes 
de Physique terrestre ou céleste : masses et densités de la Terre 
et des planètes, marées, refroidissement du Soleil, etc. 

L'auteur passe ensuite à Tétude des champs de force créés 
par l'attraction gravifique, électrique ou magnétique; il expose au 
Chapitre IV les notions de ligne de force, de tube de force, de 
surface de niveau et fait comme application la théorie de l'in- 
fluence électrique, des condensateurs, de l'électromètre de 
Thomson. 

Le Chapitre V contient l'étude des champs de force créés par 
plusieurs points chargés d'électricité de même nature ou de na- 
tures difTérentes; de nombreuses figures donnent la disposition 
des lignes de force et des surfaces de niveau. 

Au Chapitre VI, nous abordons l'importante notion du flux de 
force avec les théorèmes de Laplace, Gauss et Poisson, et leurs 
conséquences. 

Les Chapitres VII, VIII, IX et X contiennent une exposition, 
où l'on n'a pu éviter quelques redites, des théories des images 
électriques, du |)otentiel logarithmique, etc.; à signaler de nom- 
breuses éludes de champs électriques particuliers. 

Puis, le Chapitre XI traite des courants électriques et des lois 
de Ohm, de KirchhofT et de Joule; le Chapitre XII contient les 
principes de la théoi'ie du magnétisme. 

Les actions électromagnétiques et clectrodjnamiques des cou- 
rants électriques sont exposées au Chapitre XIII, où il faut signa- 
ler particulièrement une représentation mécanique du champ 
électromagnétique (p. 365 et suiv.) qui éclaire vivement la théorie 
des courants d'induction, des ondes électromagnétiques et des 
oscillations hertziennes. 

La fin du Volume contient un Chapitre consacré à certaines 
théories d'hydrodynamique (tourbillons, mouvements des eaux 
d'infiltration) qui présentent des analogies remarquables avec les 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 3o3 

théories précédenlcs; puis viennent deux supplcmenls consacrés, 
le premier à l'atlraclion des ellipsoïdes, le deuxième aux unités et 
à leurs dimensions. F. Marotte. 



SMITH (W.-B.). — Infinitésimal Analvsis. Vol. I. Elementary : rcal va- 
riables. Un vol. in-8°, xv-352 p. Londres et New- York, Macmillan and Co, 
1898. 

Dans cet Ouvrage, l'auteur n'a nullement cherché à faire une 
exposition complète et rigoureuse du Calcul infinitésimal. Son 
but a été tout différent. Il a voulu, en laissant de côté, dans une 
première étude, les démonstrations trop ardues et l'appareil né- 
cessairement compliqué d'une rigueur parfaite, inspirer à ses lec- 
teurs le goutde l'Analyse infinitésimale et leur donner aussi com- 
plètement que possible une idée claire de l'objet de cette science 
et de la puissance de ses méthodes. Aucun sujet n'est donc traité 
à fond;! mais l'a^^feur ne s'est refusé aucune digression propre à 
intéresser le lecteur et à lui inspirer le désir d'une étude plus 
complète. De nombreux exercices, pris surtout dans les Recueils 
anglais, sont indiqués sur les différents sujets; quelques-uns 
pourront paraître difficiles, l'essentiel est qu'ils intéressent les 
débutants. 

Il nous serait difficile de donner une analyse d'un Traité dont 
la devise est de donner des clartés sur tout sans épuiser aucune 
théorie. Nous dirons toutefois que ce premier Volume traite uni- 
quement des variables réelles et laisse de côté toute théorie géné- 
rale des séries. 



DRAKE-ROE (E.). — Die Entwickelung der Svlvester'schen Détermi- 
nante NACH NoRMAL-FoRMEN. In-8°, 02 p. Leipzig, Teubner, 1898. 

On sait que Sylvester a donné la résultante de deux équations 
algébriques, d'ordres ni et n respectivement, sous la forme d'un 
déterminant à m -\- a lignes qui est aujourd'hui bien connu du 



3o4 PREMIÈRE PARTIE. 

moindre de nos étudiants. Ce déterminant se forme de la ma- 
nière la plus simple; il est très facile de l'écrire, mais il est très dif- 
ficile de le développer dès que les nombres m et n ne sont pas tous 
les deux égaux à 2. Gela tient à ce que son développement conduit 
à un grand nombre de termes qui se réduisent et disparaissent dans 
le résultat final. Pour obtenir ce développement sous la forme la 
plus simple, Tauteur a dû faire appel aux propriétés essentielles 
et évidentes de la résultante de deux équations. Sa méthode, 
essentiellement différente de celle que Cavley a donnée en i85^ 
dans le Vol. CXLVII des Transactions philosophiques, repose 
sur l'emploi de formes particulières auxquelles il donne le nom de 
formes normales et de formes réductibles. La forme normale, 
par exemple, est formée par l'ensemble des termes de la résultante 
qui contiennent en facteurs les coefficients extrêmes des deux 
formes données. 

Comme apj)lication de la puissante méthode qu'il donne dans 
son Ouvrage, il fait connaître le développement complet de la ré- 
sultante lorsque, une des équations étant du second degré, l'autre 
est d'un degré cjuelconque et aussi lorsque les deux équations 
sont respectivement du quatrième et du cinquième degré. 

Dans sa Préface, M. Drake Roe rappelle avec empressement 
qu'il a suivi l'enseignement de M. Gordan, qu'il a entendu à Er- 
langen un cours du savant professeur sur le déterminant de Syl- 
vester, que c'est sur son invitation même qu'il a entrepris la re- 
cherche dont nous venons d'indiquer le but et les résultats. 



LAGUERRE. — Œuvres de Laguerre, publiées sous les auspices de l'Aca- 
démie des Sciences, par MM. Ch. Hennite, H. Poincarc et E. Ronché, 
Membres de l'Institut. Tome I : Algèbre. Calcul intégral, i vol. Gr. in-8", 
xvi-472 p. Paris, Gaulhior-Villars et fils, 1898. 

L'édition des OEuvres de Laguerre sera complète en deux Vo- 
lumes; le second est réservé aux jMémoires de Géométrie; nous 
n'avons à nous occuper que du premier, qui contient toutes les 
autres publications de Laguerre. 11 renferme en outre l'intéressante 
et substantielle ISotice de M. Poincaré sur Laguerre, qui lui sert 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 3o^j 

de préface; une Note importante de M. Uermite sur une question 
d'Algèbre et, au bas des pages, quelcpics notes de M. IIoucIk'" qui 
fournissent d'utiles renseignements sur l'exécution de celle ('dilioii. 

Les Mémoires de Laguerre sont classés sous deux rubriques 
distinctes : Algèbre, Calcul intégral; et, dans cette classifica- 
tion, on est tout d'abord étonné de voiries recherches de Laguerre 
sur les transcendantes entières, et d'autres encore, figurer parmi 
les Mémoires d'Algèbre. Cet ctonnement disparaît lorsque, au Heu 
de lire seulement la Table des matières, on étudie le texte même; 
on voit alors que l'un des traits caractéristiques de Laguerre est 
l'aisance avec laquelle il résout bien des questions d'Analyse par 
les méthodes de l'Algèbre la plus élémentaire, et l'on s'aperçoit à 
peine de la transition entre l'Algèbre des polynômes et V Algèbre 
des fonctions transcendantes, si l'on peut ainsi s'exprimer. 

Laguerre a touché à des sujets très variés; dans des Notes sou- 
vent très courtes, il leur apporte une contribution intéressante; 
c'est ainsi que le Volume dont nous rendons compte renferme plus 
de soixante Notes ou Mémoires. Pour les analyser en détail, il 
serait nécessaire de dépasser beaucoup les limites habituelles que 
s'imposent les rédacteurs du Bulletin. Aussi nous bornerons- 
nous aux sujets sur lesquels Laguerre est revenu à de nombreuses 
reprises, laissant de côté, quelque intéressants qu'ils soient, les 
Mémoires isolés ( ' ). 

Nous serons ainsi amenés à parler successivement de trois ordres 
différents de recherches, d'ailleurs souvent connexes et ayant 
trait aux équations algébriques, aux transcendantes entières et 
aux fractions continues. 

L La détermination exacte du nombre des racines réelles d'une 
équation algébrique et la séparation de ces racines ont longtemps 



( ' ) Nous mentionnerons cependant le Mémoire Sur le calcul des systèmes 
linéaires, à cause de son importance exceptionnelle. Pour donner une idée de la 
variété du génie de Laguerre, citons, parmi les sujets traités dans ces Mémoires 
isolés : les covariants des formes binaires, la partition des nombres, la multipli- 
cation et la transformation des fonctions elliptiques, le potentiel des ellipsoïdes; 
l'étude de certaines équations différentielles du premier, du second et du troisième 
ordre; la méthode de Monge pour l'intégration des équations aux dérivées par- 
tielles du second ordre, les coupures des fonctions analytiques, etc. 



3o6 PRE AI 1ÈRE PARTIE. 

été au nombre des plus importantes préoccupations des géomètres. 
La beauté de la solution de Slurm, perfectionnée par M. Hermite, 
et aussi la multitude d'autres sujets nouveaux qui sollicitaient 
l'attention ont, dès le milieu de ce siècle, diminué beaucoup l'im- 
portance relative de ces questions. La complication rapidement 
inextricable qu'atteignent les calculs dans les applications n'était 
d'ailleurs pas faite pour en encourager l'étude. 

Laguerre pensa cependant qu'entre les méthodes imparfaites, 
mais simples, dont la règle de Descartes fut le premier exemple, 
et les méthodes parfaites, mais pratiquement compliquées, dont 
Sturm a donné le type, il y avait place pour d'autres méthodes, 
moins imparfaites que les premières et plus aisément utilisables 
que les secondes. 

Ces nouvelles méthodes devaient permettre, au prix de calculs 
assez simples, de résoudre, dans la plupart des cas, le pro- 
blème pratique de la séparation des racines. Un problème énoncé 
sous une forme aussi vague n'aurait probablement pas conduit à 
beaucoup de résultats un esprit moins net et moins précis que 
celui de Laguerre. En fait, non seulement il a donné, pour ainsi 
dire, tous les intermédiaires entre la règle de Descartes et celle 
de Sturm, c'est-à-dire une série de méthodes dont les chances 
de succès augmentent à mesure que les calculs exigés par elles se 
compliquent, mais encore, chemin faisant, il a trouvé un grand 
nombre de propositions importantes et nouvelles dont plusieurs 
ont trait aux équations transcendantes. 

Dès lors, une équation numérique étant donnée, la séparation 
de ses racines est, en général, obtenue par un calcul très simple. 
Sans doute, si les coefficients sont indéterminés, on doit craindre, 
a priori, des calculs aussi longs que ceux de Sturm; mais c'est 
là une difficulté théorique sans doute inévitable; elle importe 
d'ailleurs assez peu, si, en fait, on est presque toujours dispensé 
de ces calculs. 

A la séparation des racines d'une équation numérique se rattache 
la question de leur approximation. Là encore le sujet pouvait 
paraître épuisé. Laguerre le renouvelle en montrant que si l'équa- 
tion a toutes ses racines réelles, ce que l'on sait souvent a priori, 
on peut obtenir une approximation plus grande par des procédés 
plus simples. H obtient ainsi, outre la règle qui porte son nom. 



COiMPTES RENDUS Kl ANALYSES. 307 

d'inlércssanls résultats sur l'approximation dos fonctions circu- 
laires. 

L'étude des travaux de Laguerrc sur la théorie des équations 
met déjà en évidence une qualité qu'il possédait au plus haut de- 
gré et que l'on retrouve dans le reste de son œuvre : je veux 
parler de sa faculté de généralisation, à la fois prudente et hardie. 

Généraliser une proposition est souvent très facile, si l'on entend 
par là donner un énoncé assujetti à la seule condition de contenir 
le premier comme cas particulier. IMais la généralisation ainsi 
comprise sera rarement intéressante, rarement féconde. 

Presque toujours généraliser une propriété d'une certaine 
classe d'êtres algébriques (ou géométriques, etc.), c'est étendre 
cette propriété à une classe plus large. Cette extension ne sera 
le plus souvent possible que si l'on modifie la forme de la pro- 
position, si on la réduit à ce qu'elle a à^ essentiel, et voilà un 
preinier point où la sagacité de l'analyste devra s'exercer. Mais 
ce n'est pas tout; il est clair cjue, plus on élargit la classe d'êtres 
auxquels on veut étendre la proposition, plus cette proposition 
devra elle-même être restreinte dans son énoncé. H y a donc à 
garder une mesure et c'est là que la lecture de Laguerre peut 
nous fournir des modèles incomoarables. 

On voit comment il s'attache à dégager les raisons essentielles 
d'une proposition, ainsi que ce qu'il y a de vraiment important 
dans son énoncé, de manière à l'étendre autant que possible en 
surface, tout en la réduisant le moins possible en profondeur. On 
en trouverait de nombreux exemples dans les recherches dont 
nous venons de parler; mais c'est surtout dans l'étude de ses 
Mémoires sur les fonctions entières cjue nous saisirons sur le vif 
sa méthode. 

II. La mémorable découverte des facteurs primaires avait établi 
une analogie de plus entre les transcendantes entières et les po- 
lynômes ; mais, en même temps, elle avait mis en évidence le carac- 
tère propre de ces transcendantes et faisait pressentir la vraie na- 
ture des difficultés de leur étude. Aussi, malgré sa beauté, la 
découverte de Weierstrass resta d'abord presque dépourvue d'ap- 
plications : on se contenta de l'admirer. 

11 était réservé à Laguerre de faire voir comment on en pouvait 



3o8 PllElMlÈRE PARTIE. 

déduire une classification naturelle des fonctions entières et com- 
bien cette classification pouvait faciliter l'étude de ces fonctions : 
il introduisit la notion de ^enre, dont riniporlance s'accroît 
chaque jour, et étendit plusieurs propriétés des polynômes à des 
classes déterminées de fouclions entières (fonctions de genre 
zéro, de genre un, de genre fini). 

Par exemple, si un poljnome a toutes ses racines réelles, il 
résulte immédiatement du théorème de Rolle : 

1° Que le poljnouie dérivé a aussi toutes ses racines réelles; 
2°- Que, dans l'intervalle formé par deux racines consécutiv'es du 
poljnome proposé, il y a une seule racine du polynôme dérivé. 

Ces conséquences ne s'étendent évidemment pas à toutes les 
équations transcendantes; Laguerre fait voir qu'elles subsistent, 
avec de très légères modifications, pour les fonctions de genre 
fini('). 

Un autre exemple est fourni par le théorème des lacunes, con- 
séquence imtnédiale du théorème de Descartes pour les poly- 
nômes : Laguerre l'étend aux fonctions entières de geni^e zéro 
ou un. 

11 est inutile de multiplier les exemples; on voit combien les 
résultats obtenus par Laguerre ont un caractère précis et, si l'on 
peut ainsi dire, algébrique; aussi ses travaux sur les fonctions 
entières forment-ils une base extrêmement solide pour des re- 
cherches ultérieures ; souvent, d'ailleurs, la forme qu'il donne à 
des théorèmes fort particuliers fait soupçonner l'existence de pro- 
positions plus générales. Aussi, malgré les progrès faits depuis 
j)ar cette théorie, notamment sous l'inlluence de MM. Poincaré 
et Iladamard, la lecture des quelques pages qu'y a consacrées 
Laguerre reste éminemment suggestive, et indispensable à qui- 
conque en veut faire une étude personnelle. 

IIL La théorie des fractions continues algébriques est l'une des 
plus difficiles de l'Analyse; elle est encore dans la période où 
l'étude détaillée de cas particuliers peut seule indiquer dans 



(') Il peut y avoir des i-acines irrégulières dans la dérivée, en nombre au 
plus égal au genre de la fonction. 



COMPTES III' M) US F/r ANALYSES. 309 

quelle direction on Irouveia pcul-èlrc des résullals inléressanls et 
j;énéraiix. 

Un tel sujet de recherches était très appro|)rié an génie de 
Lagucrre; d'ailleurs, par plusieurs côtés, il touchait à ses tra- 
vaux sur les équations algébriques : par exemple, c'est surtout 
pour démontrer qu'ils ont au plus une racine réelle que Laguerre 
a étudié les polynômes numérateurs et dénominateurs des ré- 
duites d'ordre quelconque (m, n) de la fonction e^. Mais nous ne 
pouvons tout citer : indiquons seulement un résultat qui paraît 
devoir être parmi les plus féconds. 

L'étude de l'intégrale 

-^ dx 



£ 



conduit Laguerre à une série divergente, à laquelle correspond 
un développement en fraction continue convergent. On sait à 
quels beaux résultats a été conduit Stieltjes par cette remarque ('). 

IV. En terminant, disons quelques mots de celui des Mé- 
moires isolés de Laguerre qui est le plus important, autant par 
son étendue que par l'originalité et la beauté de sa matière : nous 
voulons parler de la Lettre à M. ffermite Sur le calcul des sys- 
tèmes linéaires. 

L'idée fondamentale de Laguerre consiste dans le fait de con- 
sidérer un système linéaire, c'est-à-dire le tableau des coefficients 
de n équations linéaires à n inconnues, comme une véritable 
c/uantité, soumise à toutes les opérations algébricjues (-). La 
principale difficulté du calcul de ces nouvelles quantités provient 
de ce que leur multiplication n'est généralement pas commuta- 
tive; ce calcul permet néanmoins d'obtenir très simplement d'im- 
portants résultats; nous ne pouvons énumérer ici ceux que donne 



( ' ) Mémoire sur les fractions continues {Annales de la Faculté' des Sciences 
de Toulouse, 1894. Voir aussi un inléressant Mémoire de M. Padé (Acta mathe- 
matica, t. XVIII). 

(-) Celte généralisation de la notion de quantité comprend comme cas parti- 
culiers toutes celles qui avaient été données auparavant : imaginaires de Galois, 
clefs de Cauchy, nombres complexes de WeicrsLrass, etc. 

Bull, des Sciences mathéni., 2° série, t. XXII. (Décemljre 1S98.) 21 



3io PHK.MIEUI' l\\I{TIt:. 

Lagiierre, encore moins ceux (|iii onl été oblenus après lui par 
divers géomèlres, notamment y)ar S\lvester. 

Indiquons cependant que, pour «=2, le calcul des svslèaies 
linéaires est identique à celui des (|ualernions; si Ton remplace 
les deux variables homogènes par une seule, on trouve la relation, 
aujourd'hui bien connue, entre les rotations dans Fespace et la 
composition des substitutions homographiques de la forme 



On sait quelle importance ont acquise ces remarques dans 
l'Analvse moderne ('); mais le rôle joué par Laguerre dans cette 
théorie est souvent ignoré. 

Les pages qui précèdent ne donnent qu'une idée très impar- 
faite et très incomplète du Livre dont elles devraient être le compte 
rendu; elles ne seront cependant pas inutiles, si elles inspirent à 
quelques-uns le désir de lire Laguerre. Peu de lectures sont à la 
fois aussi attrayantes et aussi profitables; on y trouve de tout : 
des remarques ingénieuses et des démonstrations élégantes dont 
un professeur peut orner son Cours, des méthodes de recherche 
qui paraissent pouvoir être utilement imitées, des aperçus pro- 
fonds oîi chacun trouve à réfléchir et d'oîi se dégageront peut- 
être encore d'importantes découvertes. 

Il ne nous reste qu'à exprimer le vœu de voir le second Vo- 
lume, qui doit renfermer les Mémoires de Géométrie, suivre de 
près le premier; on est certain d'avance que l'ordonnance et l'exé- 
cution matérielle en seront aussi parfaites; peut-être même les 
fautes d'impression pourront-elles être moins nombreuses. L'ex- 
cellent éditeur de Laguerre trouvera peut-être que celte dernière 
remarque est trop sévère; mais n'est-ce pas lui qui, parla per- 
fection typographique habituelle de ses publications, a le plus 
contribué à nous rendre exigeants en cette matière? 

Emile Borel. 



(') Voir, par exemple, le Livre bien connu de M. Klein sur llcosaédre. Le 
Mémoire dont nous parlons y est signalé, page 36. 



COMl'TI'S HHNDUS M V ANALYSKS. 3ii 

KLEIN (F.) und SOMMEUFIELD (A.) — Ueber die Théorie des Kreisels. 
Hefl II : Durc/ifù/irung der Théorie iin Falle des Schweeren sjininctri<;clieii 
Kreisels. i vol. in-S"; igj-Sia p. Leipzig, Teubner, 1898. 

Nous avons essayé, à propos du premier fascicule de celte 
Théorie de la toupie, de caractériser le but des auteurs : faire 
l'élude complète d'un problème particulier, et grouper autour de 
cette élude, sans craindre de remonter aux principes, les con- 
naissances de Géométrie, de Mécanique et d'Analjse qu'elle im- 
plique. Ainsi le premier fascicule contenait la théorie cinématique 
du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, en parti- 
culier tout ce qui concerne l'introduction des quatre variables 
complexes a, [3, y, 0, dépendant de quatre variables réelles A, B, 
C, D et liées par la relation ao — [Bv = i qui permettent de repré- 
senter, de la façon la plus simple, une rotation autour d'un point, 
et, à ce propos, une théorie élémentaire des quaternions, puis un 
exposé lumineux de la mise en équation des problèmes de la Mé- 
canique, l'application au problème de la toupie (mouvement d'un 
corps solide de révolution pesant autour d'un point fixe situé sur 
l'axe), et l'étude approfondie du cas de la précession régulière. Le 
second fascicule, outre l'étude détaillée du problème de la toupie, 
des divers cas possibles du mouvement, mis en pleine lumière par 
une double discussion géométrique et analytique, avec des figures 
et des formules qui permettent de se représenter le mouvement et 
d'en déterminer numériquement les éléments, contient une belle 
et philosophique étude de la question de la stabilité du mouve- 
ment et une instructive introduction à la théorie des fonctions 
elliptiques. Comme dans le premier fascicule, le lecteur ren- 
contrera çà et là, parfois sans s'y attendre, des vues ingénieuses 
ou profondes. 

Le fascicule s'ouvre par une étude géométrique ou |)lutôt intui- 
tive du mouvement de la toupie, faite sans s'attacher à la rigueur, 
fondée sur le sentiment de la continuité, et destinée à orienter le 
lecteur dans la distinction des divers cas possibles. On établit en- 
suite les formules classiques qui donnent, sous forme d'intégrales 
elliptiques, en prenant pour variable « = cosO, d'une part le temps, 
d'autre part les deux autres angles d'Euler <p et 'h. Ces formules, 



3i2 PREMIEUE PARTIE. 

obtenues en parlant des propriétés géométriques du vecteur d'im- 
pulsion (axe du couple des quantités de mouvement) qu'expriment 
les intégrales premières du problème, permettent d'établir le ca- 
ractère périodique du mouvement et conduisent à des expressions 
simples et symétriques des quantités loga, log^, logY» logo qui 
seront, à la fin du Volume, transformées en formules définitives, 
d'une parfaite élégance. Les expressions de t, o, d» en fonction 
de a permettent d'établir la possibilité d'un même mouvement 
pour des toupies difi'érentcs, et, en particulier, le droit que l'on a 
de se borner, sans diminuer la généralité, à l'élude d'un corps 
dont les trois moments d'inertie sont égaux, ou, si l'on veut, d'une 
toupie sphériqiie. C'est là un des nombreux résultats obtenus par 
M. Darboux dans la théorie qu'on lui doit des mouvements à la 
Poinsot; MM. Klein et Sommerfeldt établissent en outre quelques 
propriétés essentielles de la polhodie et de l'herpolhodie. Les dif- 
férents cas possibles du mouvement de la toupie sphérique sont 
ensuite distingués analvtiquement. Le polynôme (en «)du troisième 
degré U dont la racine carrée figure dans les intégrales elliptiques 
contient, en fait de constantes, le moment d'inertie A, la distance P 
du centre de gravité au point fixe, les composantes N et n du 
vecteur d'impulsion suivant l'axe du corps et la verticale, enfin la 
constante des forces vives, que l'on élimine en mettant en évidence 
une racine e de ce polynôme, comprise entre — i et -h i , et que 
l'on suppose être la valeur de u à l'origine des temps. Le poly- 
nôme U admet une seconde racine réelle e' comprise aussi entre 
— I et + I ; la troisième racine e" est en dehors de cet intervalle. 
La distinction des cas se fait en regardant les constantes e. A, 
P, N comme fixes et la constante n comme pouvant prendre 
toutes les valeurs possibles : on est amené à distinguer la toupie 
forte (starker Kreisel) et la toupie faible (schvvacher Kreisel); 
dans le premier cas, la seconde racine e' peut prendre (pour deux 
valeurs de ii) toutes les valeurs comprises entre — i et i; dans le 

second cas la racine e' doit rester comprise entre i et — e -\ t-t, • 

2 A r 

Les auteurs montrent aussi comment on peut, au moyen des 
Tables de Legendre, effectuer les calculs numériques : ce sont les 
notations mêmes de Legendre, bien appropriées à ce problème 
pat liculicr, cpTils ont adoptées. Un intéressant paragraphe con- 



COMPTES IIKNDUS Eï ANALYSES. U] 

lioiU on uiiLic diverses formules approchées qui, diiiis les eus les 
plus importants dans la pratique, peuvent remplacer les formules 
exactes. La question du calcul numérique sera d'ailleurs reprise 
à la fin du Volume et résolue de la façon la plus satisfaisante 
(jusqu'à l'évaluation de l'erreur), au moyen des séries ^. 

Les auteurs vont maintenant s'occuper de cas pai liculiers im- 
portants, qu'ils traiteront avec tous les détails nécessaires, pour 
parvenir à élucider la difficile question de la stabilité du mouve- 
ment. C'est, tout d'abord, le cas de la précession régulière (e^e') 
et la perturbation qu'apporte alors dans le mouvement une petite 
percussion; ce cas leur donne l'occasion de donner en passant, au 
lecteur, quelques indications essentielles sur les solutions singu- 
lières des équations difFérentielles ; mais la conclusion la plus im- 
portante de cette étude est celle-ci : suivant la définition que l'on 
donne de la stabilité du mouvement, le mouvement de précession 
régulière doit être regardé comme stable ou instable, et comme 
ayant, suivant les cas, un plus ou moins haut degré de stabilité. 
Les idées qu'ils développeront plus tard, en toute généralité, se 
trouvent nettement élucidées sur cb cas particulier. Ils traitent 
ensuite du mouvement de préeession pseudo-régulière, obtenu en 
impriiTiant à la toupie une rotation rapide autour d'un axe qui 
diffère peu de l'axe de figure de la toupie. L'étude est faite de 
manière à bien éclaircir le caractère paradoxal de ce mouve- 
ment et à bien montrer pourquoi l'expérience seule ne permet pas 
de le distinguer de la précession régulière. Enfin ils s'occupent du 
mouvement de la toupie droite (aufrechter Kreisel), c'est-à-dire 
du mouvement de rotation de la toupie autour de la verticale avec 
laquelle l'axe de figure est supposé coïncider. Ici encore l'étude 
est faite en vue de la question de stabilité : le mouvement de la 
toupie droite est stable, s'il s'agit d'une toupie forte, instable s'il 
s'agit d'une toupie faible. Les auteurs vont maintenant discuter en 
général la notion de stabilité du mouvement. 

D'après E.-J. Routh (On the stability of a given state of 
mo^/o/î ; London, 187'y), le mouvement d'un système est ài\\,stable 
si, par suite d'une percussion arbitraire mais petite, la différence, 
à chaque instant, entre les coordonnées du système dans le mou- 
vement altéré et dans le mouvement non altéré reste petite. Pour 
préciser, il convient d'abord de dire que la différence doit être 



3i4 PHE.MlEUn: l'AiniE. 

aussi [)t'tile qu'on le vent, ponrvu qne la percnssioa soit aussi 
petite qu'on le veut. Au moins c'est de cette façon que l'on doit 
entendre la définition précédente si l'on veut parler de la stabilité 
théorique; s'il s'agit d'une stabilité pratique, on devra définir ce 
que l'on entend pav petit dans le problème réel dont on s'occupe. 
li convient de remarquer encore que le mot coordonnées du sys- 
tème est vague, et que pour tel système de coordonnées, la diffé- 
rence des coordonnées pourra rester petite, -et ne pas l'être 
pour d'autres : on |)cut préciser en convenant de dire que la 
distance de deux positions d'un même point dans les deux mouve- 
ments doit rester petite, si le mouvement est stable. Si l'on 
adoptait la définition de Roulh, ainsi précisée, tous les mouve- 
ments de la toupie devraient être regardés comme instables; il en 
serait de même, évidemment, du mouvement rectiligne et uniforme 
d'un point matériel qui n'est soumis à aucune force. La définition 
est trop étroite. 

On peut être tenté de la modifier ainsi : dans un intervalle de 
temps donné /-<T, les distances entre les positions d'un même 
point dans le mouvement troublé et dans le mouvement non troublé 
doivent rester inférieures à une certaine limite. Alors la définition 
devient trop large, car le mouvement de la toupie droite, dans le 
cas de la toupie faible, devrait être regardé comme stable. Finale- 
ment les auteurs s'arrêtent à la définition suivante : le mouvement 
est d'\l stable, quand le mouvement altéré tend vers une certaine 
limite lorsque la percussion tend vers zéro, d'une façon quel- 
conque, et que cette limite coïncide avec le mouvement non altéré. 
Il sera dit absolument stable, pour une percussion qui ne modifie 
pas la force vive du svstème, si les conditions de la définition 
donnée en premier lieu sont vérifiées. En outre la stabilité sera 
dite totale si elle a lieu pour n'importe quelles percussions, ou 
partielle si elle n'a lieu que pour certaines percussions. Deux pa- 
ragraphes sont consacrés l'un à l'extension au cas du mouvement 
au critérium de Lagrange et Dirichlet relatif à la stabilité de 
l'équilibre, l'autre à la méthode des petites oscillations. 

On trouvera ensuite des vues intéressantes sur le problème du 
mouvement d'un corps solide pesant autour d'un point fixe, dans 
le cas général. C'est pour M. Klein l'occasion de dire que, dans 
l'étude mathématique d'un problème de Mécanique, on doit 



COMPTES lU-iNL)US li T AiNALVSES. 3i5 

chercher une représentation géométrique claire du mouvement du 
système considéré et la détcrniination des propriétés essentielles 
de ce mouvement, plutôt que l'expression analytique des coor- 
données au moven de fonctions connues. Pour ce qui est du 
mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, les ré- 
sultats obtenus par jM""" Kowalevski, MM. Liouville, Levi-Cività, 
Liebmann sont analysés ou cités. Les cas particuliers étudiés 
par M. Hesse et par M. Staude sont traités avec quelques 
détails. 

Le dernier Chapitre du fascicule est consacré à l'étude du pro- 
blème de la toupie au moyen des fonctions elliptiques : on y 
trouvera d'abord une véritable introduction à la théorie de ces fonc- 
tions, faite d'ailleurs sur les intégrales même auxquelles on a été 
amené parle problème de la toupie. C'est le radical y/U qui entre 
dans ces intégrales dont les auteurs expliqueront la représentation 
sur la surface de Riemann; ils expliquent comment, sur cette 
surface de Riemann, les angles o et 'l deviennent infinis (comme 
des logarithmes), en quatre points; comment les logarithmes des 
paramètres a, 3, v, ô sont des intégrales de troisième espèce; 
comment ces paramètres eux-mêmes sont des fonctions uni- 
formes. 

Ils feront ensuite la représentation conforme de la surface de 
Riemann sur le plan delà variable t, qui, lorsqu'elle est réelle, re- 
présente le temps, détermineront les zéros et les infinis des para- 
mètres a, ^, Y, ô, et parviendront ainsi finalement à l'expression 
explicite de ces paramètres, sous forme de quotients de fonctions 2r 
multipliés par une exponentielle, avec la détermination précise de 
toutes les constantes; il leur sera dès lors facile d'obtenir tout ce 
qui concerne la détermination delà trajectoire d'un point de l'axe, 
de la [)olhodie et de l'herpolhodie, des courbes d'impulsion (lieux 
dans l'espace et dans le corps de l'extrémité de l'axe des quan- 
tités de mouvement). Une application numérique est traitée avec 
tous les détails désirables. 

Les auteurs traitent ensuite, d'une façon analogue, le problème 
du mouvement d'un corps solide quelconque, ayant un point fixe, 
et sans forces extérieures. Citons les expressions en fonction du 
temps t auxquelles ils parviennent pour les paramètres a, |3, y, o; 



3i6 PREMIERE PARTIE. 

on a 

/T7 ,7/ B{t — iiisi'-^ is) 

n ■ nrr ■,. ^d — ioi' + is) B{t-{-is) 



\/&{t — iM')e{t'T- iui') 



2 W 



• /TT •/, —^ (t-hita'-is) 8(1 — is) 

v/e(« — ia)')e(«H- ia>') 
/rr -it &(t -h -ziui'— is) 

V&(t — tw')0(^-f- jw') 

la constante M est déterminée par la formule 
\T _ ® ( ^^' — is)Q(ioy' -h is ) 

( 2 f w' 2 «5 ) ( -2 £ tu' ) 

L'axe des 5 est supposé coïncider avec l'axe G du couple des 
quantités de mouvement; en désignant par A, B, C les moments 
d'inertie, par 2/1 la force vive et en posant pour abréger 

, (2/1A — G2)G ,„ (2/tB — G2)C 

(A-G)G2 (B — G)G2 ' 

(A-G)(B-C) G^ 

AB G2^ ^^ ''' 

en sorte que l'on ait / = / --=.> les constantes w, to', 5, qui figurent 
dans les expressions de a, 3, y, 0, sont données par les formules 

r'- dv . , C dv C' dv . r^ dv 

la fonction S(l):= ^(t, 20J, ^ito') est définie par le développe- 
ment trigonométrique 

. 3TCi 



e(t)=e *w sin he '"^ sin h. 

20) 2 03 



enfin la constante / çst donnée par la formule 

_ ÏG 0'(2fo)') I r0'(ioj' — is) Q'(i(ji' -+- is) 
il 0(2JO)') 2Le(ttu' — is) 6(ioi'-{-is) 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 817 

Les expressions de a, [3, y, 8 conduisent immcdialcmenl aux 
expressions des neuf cosinus en fonclion uniforme de t. 

Ces diverses formules permellent de faire d'une façon très 
simple l'élude de deux mouvements à la Poinsot conjugues, c'est- 
à-dire des mouvements de deux corps solides (sans force exté- 
rieure) dont les vitesses angulaires de rotation sont à chaque instant 
égales et opposées, comme aussi d'établir le théorème de Jacobi 
sur la représentation du mouvement d'un corps de révolution 
pesant autour d'un point fixe, par la composition de mouvements 
de corps solides sans forces extérieures, théorème dont M. Darboux 
a donné une démonstration très élégante. 

Dans un dernier paragraphe, le problème de la toupie est repris 
à un autre point de vue. Les équations de Lagrange sont formées 
pour les paramètres a, P, y, 0. Ces équations peuvent s'écrire 

où M est la masse du corps, et où ii{t) est une fonction double- 
ment périodique de t définie par les relations 

_ f" du 

"Je \/U ' 

U = ^ \iUh{i— u^) — [iû'^m^ ^tn'Su — MV u{i — u'^)]':- 

e est une racine de l'équation U^o; les autres racines soute', e" . 
Les équations de Lagrange pour les paramètres a, [3, v, appar- 
tiennent ainsi à cette classe d'équations de Lamé, approfondies 
par M. Hermite, qui admettent des intégrales uniformes; elles 
s'intègrent au moyen de fonctions doublement périodiques de 
seconde espèce et du premier degré. On obtient, de cette façon, 
une seconde solution, très rapide et élégante, du problème de la 
toupie, et cette solution même met en évidence cette intéressante 
propriété du mouvement de la toupie de pouvoir être identifié 
avec le mouvement du pendule sphérique dans l'espace à quatre 
dimensions. J. T. 



3i8 PUKMIEHE PARTIK. 



MELANGES. 

SUR LES COURBES INTÉGRALES; 

Par m. Etienne DELASSUS. 

La détermination des courbes intégrales d'une équation du 
premier ordre qui sont situées sur une surface donnée conduit 
évidemment à l'intégration d'une équation différentielle ordinaire 
du premier ordre. 

Si l'on cherche à traiter le problème en partant de l'intégrale 
complète, on ne retrouve pas immédiatement ce résultat et l'on est 
conduit, en interprétant convenablement les calculs, à une pro- 
priété des courbes intégrales. 

Soit 

(i) V(a7, JK, Z; a, b)= o, 

l'intégrale complète. A chaque surface intégrale S correspond une 
relation entre a et b ou, si l'on veut, une courbe s située dans le 
plan des ab ou sur une surface fixe pour laquelle «, b seraient des 
coordonnées curvilignes. 

Désignons par Sjj l'intégrale formée par les caractéristiques 
issues d'un point M et par 5,, la courbe correspondante. 

Ceci posé, soit une surface a- donnée par 

(2) x=f{u,v), y = o{u,v), z=^ij(u,i>), 
et désignons par 

(3) W(«, (', a, 6) 

ce que devient V quand on y remplace .r, y^ z au mojen des 
formules (2). 

Une courbe intégrale est donnée par 

V = o, oV = o, o2V = o. 

En exprimant qu'elle est sur 7 on voit que l'on est conduit à 



iMfil.ANGIÎS. 3,9 

(lire (|ii<> les trois ('(iiialioiis 

(4) \V=o, o\V = o, o2W=o 

ont une solution commune en u el v. L'élimination de u et v con- 
duira à une équation 

,.. ( db cV-b\ 

qui est du second ordre. 

Ce résultat paradoxal s'explique immédiatement; en effet, l'équa- 
tion (5) s'obtient en éliminant u et c entre l'équation 

(6) \V = o 

et ses deux premières dérivées prises comme si a et v étaient des 
constantes. Elle admet donc comme solutions toutes les fonc- 
tions b définies par cette équation (6), dans laquelle on considère 
u el ç comme des constantes arbitraires. L'équation (6) est donc 
l'intégrale générale de (5). 

Pour une telle intégrale, les valeurs de u et v qui constituent la 
solution commune aux équations (4) sont des constantes : donc la 
courbe intégrale se réduit à un point M de la surface <7. La fonc- 
tion b définit les caractéristiques issues d'un même point de a. 
Nous pouvons donc dire : L'intégrale généra/e de (5) est donnée 
par les courbes s^i relatives aux différents points de o-. 

Puisque les intégrales générales de (5) ne nous fournissent que 
des courbes intégrales réduites à des points, les véritables courbes 
intégrales situées sur u ne pourront être données que par des inté- 
grales singulières de (5). 

Comme tout élément du second ordre (a, 6, -^-j -7-^ ) appar- 
tenant à (5) appartient à une de ses intégrales générales, on peut 
dire que toute intégrale singulière de (5) a, en chacun de ses 
points, un contact du second ordre avec une intégrale générale de 
cette équation. 

Soit s une telle courbe, elle définit une courbe intégrale située 
sur 0- et chaque valeur de a. en donne un point M, dont les coor- 
données «, (' sont fournies par les équations (4). L'intégrale 5,, 
qui a un contact du second ordre avec s au point a est relative à 



320 PREMIERE PARTIE. 

un point M dont les coordonnées «, v sont fournies ainsi par les 
équations (4)- Dans les deux cas les équations (4) sont les mêmes, 

car les valeurs de a, b, -r y -i—i; sont les mêmes pour s et 5,, : donc 
' da a a- ^ 

M, et M sont confondus. 

En outre, ces résultats sont indépendants de la surface c-; ils 

s'appliquent par conséquent à toute courbe intégrale, de sorte que : 

La condilion nécessaire et suffisante pour cjii' une courbe soit 
une courbe intégrale est que, le point M décrivant cette courbe, 
la courbe 5ji ait constamment un contact du second ordre avec 
son enveloppe. 

Si Ton se sert des propriétés bien connues des surfaces inté- 
grales, on peut énoncer le résultat précédent sous cette nouvelle 
forme : 

La condition nécessaire et suffisante pour qu^ une courbe soit 
une courbe intégrale est que, le point M décrivant cette courbe, 
la surface Sji ait constamment un contact du second ordre avec 
son enveloppe. 



FIN nE LA PREMIERE PARTIE DL TOME XXII. 



■.-' 



TABLKS 



MATIIÎRIÎS ET NOMS D'AUTEURS. 

TO.Miî XXII; 1898. - l'UEMiÈiii-: l'Airm-:. 



TABLL ALIMUBliTlUUE 

DES .MATIÈlUiS. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

l'a go?. 

.\ndoyer (H.). — Leçons élémentaires sur la lliéorie des formes et ses 

applications géonnétriques 261-263 

Bachmann ( P.). — Zahlentheorie 201-304 

BoREL (E.). — Leçons sur la théorie des (onctions .... 2!|2-25o 

Braiiy ( E.). — Exercices méthodiques de Calcul intégral 1 12-1 14 

Brocard (H.). — Notes de bibliograpiiie des courbes géométriques... 160-167 
BuRALi-FoRTi (C). — Introduction à la Géométrie différentielle suivant 

la méthode de H. Grassmann. . . 23i-238 

Cantor (Moritz). — Vorlesungen iiber Geschichte der Matheniatik . . . 197-200 

Caylez (A.). — Collected .Mathematical Papers 23 

Cayley (A.). — Collected Mathematical Papers 169 

Clausius (R.). — Théorie mécanique de la chaleur ibo-ibi 

CzuBER (E.). — Vorlesungen iiber Diiïerential uiid Intégral Rcclinung. 

Erster Band 168-169 

CzuBER (E.). — Vorlesungen iiber Differential utid Intégral Bechnung. 

Zweiter Band 29S-300 

Darboux (Gaston). — Leçons sur la théorie générale des surfaces et les 

applications géométriques du Calcul infinitésimal i32-i58 

Drake-Roe (E.). — Die Eutwickelung der Sylvester'schen Déterminante 

nach Normal-Formen 3o3-3o4 

pRiciiE (R.) und Klein (F.). — Norlesungen iiber die Théorie der anto- 

morphen Functionen 238-242 

Frischauf (J.). — Vorlesungen iiber Kreis-und Kugel-Functionen- 

Reihen 6-7 

Galois (E.). — OEuvres mathématiques publiées sous les auspices delà 

Société mathématique de France 5-6 

Bull, des Sciences matliéin., 2' série, t. \XII. (Décembre 1898.) 22 



32-2 PUE.MIKUE PAUTIE. 

l'ages. 
Gamboiig (V.)- — Logarilhnietubel indelioldende logarilhnier og anlilo- 

garithmer. Logarithmene lil de irigonometrische funktioner 17 

Coursât (E.)- — Leçons sur l'intégralion des équations aux dérivées 

partielles du second ordre à deux variables indépendantes 269-294 

HoLZMULLEK (G.)- — l>ie Ingcnieur-Mathematik in elenientarer Beliand- 

lung 3oo-3o3 

Januschke (H.). — Das Princip der Krliallung der Energie und seine 

Anwendung in der Naturlchre 7-9 

KlEPERT (L.). — Grundriss der Dinrercnlial-und Inlegral-Rechnung . . . . ii4 

Klein (F.). — Sur l'état de la publication des Œuvres de Gauss 204-210 

Klein. — Conférences sur les .Mathématiques 229 

Klein ( F.). — Tlie inathematica! theory of the top 33 

Klein (F.) und So.mmerfield (A.). — Ueber die Théorie des Krcisels.. 33-3() 
Klein (F.) und Sommerfield (A.)- — Ueber die Théorie des Kreiseis. . 3ii-3i7 

Laguerre. — Œuvres de Laguerre 3o4-3io 

Laisant ( C). — La Mathématique 88-94 

Lamb ( H.)- — An elementary course of inlinilesimal calculus 9 

Lejeune-Uiriciilet (G.)- — Lejeune-Dirichlet"s Werke 10 

Lévy (L.)- — Précis élémentaire de la théorie des fonctions elliptiques 

avec Tables numériques et applications 1 16-120 

LÉVY (Maurice ). — Leçons sur la théorie des marées 210-220 

LiLiENTiiAL (H. v.). — Grundiagen eiuer KrQmmungslehre der Curven- 

schaarcn 129-130 

LoRENZ { L.). — OEuvres scientificfues 167 

Love (A.). — Theoretical mechanics an inlroductory treatise on the 

principles of dynamics mith applications and numerous exampics... 17-21 
Maddison (J.)- — On singular solutions of difFercntial équations of the 
first order in two variables and the geometrical properlies of certain 

invariants and covariants of iheir complète primitives ii4-i 16 

MÉRAY (Cii.)- — Leçons nouvelles sur l'Analyse infinitésimale et ses 

applications géométriques 26^-26y 

Nedelec. — Le calcul vectoriel et ses applications en Géométrie et en 

Mécanique 23o-23i 

Œuvres complètes de Christian Huygens '^J-T? 

Pascal ( E.)- — Hcperlorio di Matematiclie superiori 77-7^ 

Petersen. — Vorlcsungen uber Functiuncntheorie 294-297 

Picard et SiMARD. — Théorie des fonctions algébriques de dcu\ variables 

indépendantes ' 20-02 

RiEMANN. — Œuvres mathématiques i6i-i65 

Rouse-Ball (W.-W.). — Kécréalions et problèmes mathématiques des 

temps anciens et modernci i2o-i2a 

ScRELL (F.) — Allgemeine Théorie der Curven doppeitter Krummung 
in rein gcometrischer Darstellung zur Einfiirhrung in das Studium 

der Curventheoric '8' 

ScHiAi'ARELLi ( GiovANM j. — Origine dcl -islema plaiictario eliocenlrico 

presso i Greci 274-278 

SciiLESlNGER (L.)- "^ llandbnch der Tiicorir der linearcn dilferential 

Gleichungcn 78-8.S 

ScinioTER (F.). — .I.irob Steiner's V()rle-;iin.jen iiber synthetisilic 

Géométrie ''V)-i7' 



TABLE DKS NOMS DAUTlîlUS. :ii3 

Pages. 

S.MiTii ( W'.-H.). — Infinilcsinial Analysis 3o3 

Taweiiy (J.) cl .MoLic (J.)- — Klénienls de la théorie des fonctions 

elliptiques i8'2-iyr> 

N'a.Lié. — Compositions d'Vnalyse, Cinématique, Mécanique et Astro- 
nomie, données depuis 1889 à la Sorbonne pour la Licence es Sciences. 21-22 

Weber ( H.). — Lehrbuch der Algehra 182 

Weber (H.). — Lehrbuch der Algebra 298 

Weber (H.). — Traité d'Algèbre supérieure 298 

WiTEHEAD (A.)- — A trealise on universal Algebra witli applications.. 97-112 

W'oLFANGi BoLYAi DE BoLYA tentamen i3i-i32 



MÉLANGES. 

Borel (Kmile). — Sur la méthode d'approximation de Lagucrre 11-16 

Bulletin bibliographique igfî, 260, 292 

Delassus (Etienne). — Sur les mouvements relatifs de trois plans 

glissant les uns sur les autres 251-259 

Delassus ( Etienne). — Sur les courbes intégrales 3i8 

Demoulin (Alphonse). — Sur la transformation de M. Lie et les sur- 
faces enveloppes des sphères i-j^-i-'j 

rJuPORCQ (E.). — Sur la théorie des abaques à alignements 287-291 

Fondation Beneke 173-174 

Lebesgue. — Sur l'approximation des fonctions 278-287 

LirsciiiTZ (R.). — Solution com|)lèle d'une question proposée par 

Fermât 123-128 

Ocagne ( Maurice d'). — Sur les questions de Mathématiques pures que 

soulève l'étude de la Nomograpiiie 177-180 

Picard (Emile). — Remarques sur les groupes de transformations des 

équations linéaires 109- 160 

Saint-Germain (A. de). — Note sur le pendule sphérique gS-g^ 

SiNTSOF (D.). — Théorie des connexes dans l'espace 221-228 

TziTZEiCA ( C). — Sur les systèmes cycliques 172 

Vaccaro (Antonino). — Sur l'intégration d'une classe d'équations aux 

dérivées partielles du quatrième ordre 37-61 



FIX DE LA PREMIERE PARTIE Di: TOME Wll. 



6 



25401 PARIS. — IMl'RIMERIK G A U T 11 I E R - V I LL A R S, 
Quai des Graiids-Augustins, 53. 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



AV I S. 

Toutes les communications doivent être adressées à M. Darboitx, Membre 
de l'Institut, rue Gay-Lussac, 36, Paris. 



lUIlLlO I llliOUK DE LKCOLE DKS IIAUIKS KTlJDIiS, 

vvnuÉE pous i,i:s auspioics du MiNiSTihtrc nie 1,'instruction i>unMQuii. 



3 



RlILLKirN 



SCIENCES MAïlIÉMATIQUES, 

Rf^DIGÉ PAI$ iMM. GASTON DARBOUX ET JULES TAiNNEIlV, 

AVEC LA COLI.ABOnArlON DE 

MM. cil. ANDRÉ, BKLTRAMI, DOUGAIIÏFF, BROCARD, BRUNEL, 

GOURSAT, Cil. llENIiY, G. KŒNIGS, LAISANT, LAMl'E, LESPIAUI/f, S. LIE, MANSION, 

MOLK, POKROVSKY, RADAU, RAYET, RAFFY, 

S. RIN'Dt, SAUVAGE, SCHOUTE, P. TANN'ElîY, ED. AVEYR, ZEUTIIEN, ETC., 

Sous la direction de la Commission des Hautes Études. 

PllBLICATIOX 1'0\DI:E K\ 1870 PAR ,1111. G. DAIIBOIJX ET J. IIOÏEI, 
KT CONTI.MJKfî l)K 1876 A 188G l'Ait MM. G. DARIÎOUX, J. HOliEF- ET .1. ÏAN.NEKV. 



DEUXIEME SERIE. 
TOME XXII. — ANNÉE 189! 

(tome XXXIII DK 1,A Cdl.LtXlION. ) 



SECONDE PAiniE. 




PARIS, 

GAUTIIIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBILURES 

DU lit'REAU DES LONGITUDES, DE l/ÉCOLE POLYTECHNIQUE. 
Quai lies Grands-Augiistins, 55. 

1898 






BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



SECONDE PARTIE. 



REVUE DES PUBLICATIONS ACADÉMIQUES 
ET PÉRIODIQUES. 



ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, publiéks, 

sous LES AUSPICES DU MiNISïRE DE l'IxSTRUCTIOX PUBLIQUE, PAR UN C0.MITÉ 
DE RÉDACTION COMPOSÉ DE MM. LES MaÎTRES DE CONFERENCES DE l'ÉcOIE- 

Troisième série, t. XIII, 1896 ('). 

Stouff {A .). — Sur les l'apporLs entre la théorie des équations 
aux dérivées partielles du second ordre et la théorie des surfaces. 
(9-40). 

L'auteur se propose de généraliser les rectierches de M. Schwarz relatives 
aux sui"faces infiaimcnt voisines des surfaces miniina. Mais, tandis que 
iM. Schwarz a surtout en vue l'étude de la variation du second ordre quand 
on compare une partie de surface minima aux surfaces voisines, soit en 
laissant invariable la limite de cette partie, soit en la déformant d'une manière 
arbitraire, les considérations exposées par M. Stouff se rapprochent davantage 
de la théorie des caractéristiques des équations du second ordre, telle qu'elle 
a été présentée par M. Darboux. 

La question traitée par M. Stouff constitue l'extension du problème de 
Plateau aux équations du second ordre les plus générales. 

Soient x, j-, z les coordonnées d'un point d'une surface S satisfaisant à 
l'équation aux dérivées partielles 

(') ^{x, y, z, p, q, r, s, t)= o, 



(') Voir Bulletin, \\I,. p. 18- 



6 SliCUNDIi PAinii:. 

et sort une courbe dépendant d"un [jaratnètrc a. 

(U) X:=f{z,\), y=:g{z,l). 

On considère deux positions C et C de la courbe correspondant aux valeurs 
^ et X+AX du paramètre, et un point M sur la courbe C. Il s'agit de déve- 
lopper en série, suivant les puissances croissantes de A'K, les valeurs des dérivées 
partielles de z par rapport à x et y au point M de façon que la surface S 
contienne les deux courbes voisines C et C. La première partie du Mémoire 
est consacrée à l'étude de ces séries, dont les premiers termes surtout présentent 
de l'intérêt et sont susceptibles d'interprétations géométriques. 

Des calculs analogues à ceux que l'auteur développe dans le cas d'une courbe 
dépendant d'un seul paramètre pourraient être appliqués à une courbe mobile 
dépendant de paramètres en nombre quelconque. Mais il est préférable d'envi- 
sager le problème d'un autre point de vue et de se donner une famille de 
courbes par deux équations didcrentielles d'ordre quelconque. Une question 
dont la réponse est immédiate lorsque les étjuations de la courbe mobile se 
présentent sous la forme (2) devient au contraire assez ardue quand elle est 
représentée par des équations différentielles. A quelle condition la courbe 
cngendrc-t-elle une surface satisfaisant à la relation (i)? M. Stouff s'applique 
à chercher un critérium permettant de décider si une équation aux dérivées 
partielles admet comme solution des surfaces susceptibles d'être engendrées 
par des courbes vérifiant deux équations différentielles ordinaires et combien 
d'infinités de surfaces répondent à la question. 

Le problème peut enfin être posé d'une troisième manière. Si l'on sait intégrer 
l'équation (i), on en tirera une valeur de -s contenant deux fonctions arbitraires ; 
il s'agit de déterminer ces deux fc^nctions arbitraires de telle sorte que la suj- 
face passe par deux courbes données sous la forme (2). Cette question se 
rattache à la recherche des conditions pour qu'une équation F(ùr, j')= o en- 
traîne une autre équation G = o, recherche que permet d'effectuer la série 
de Burmann, étendue par Laplace au cas de deux variables, et servant à déve- 
lopper une fonction suivant les puissances d'une autre fonction. En suivant 
celte voie, AL Stouff parvient à une formule d'élimination qui lui fournit le 
moyen de résoudre le problème proposé dans le cas des surfaces minima, en 
partant des expressions intégrales bien connues des coordonnées d'un point de 
la surface 

X = % -i- - / ( I — U-) S' {u) du -f- - / ( I — Hf ) J, ( «I ) du^, 

y — r,-^ - I {i^ U-) .J{u) du — - / ( i -f- J<î ) J, ( ", ) rf«,, 

z = % -i- I ui^(u)du-h I u^^^{u^)dui. 

On obtient des formules particulièrement élégantes pour la détermination 
lies fonctions cF et J^, en supposant que les deux courbes limites C et C sont 
planes et se coupent à angle droit. 

Minkoas/a. — (jéiiéialisalion de la théorie des fractions con- 
tinues. (41-O0). 



lUiVlIIÎ DKS PUniJCATlONS. 7 

Dans la première Partie de sou travail, Tautcur s'occupe de l'approximation 
avec laquelle on peut évaluer une grandeur réelle unique à l'aide de fractions 
rationnelles. Il expose diverses généralisations de la théorie des fractions con- 
tinues, dont l'idée lui a été suggérée par les recherches de M. Hermite sur le 
même sujet {Jour/ial de Crelle, l. 40, 41 et 47). 

II passe ensuite à l'étude des corps de nombres réels algcljri(|ucs du troisième 
degré dont le discriminant est positif. Les principes qu'il établit dans la se- 
conde Partie de son Mémoire lui fournissent un procédé pour obtenir toutes 
les unités d'un pareil corps. L'algorithme qu'il expose, appliqué ù la recherche 
d'un corps cubique à discriminant positif, est analogue à la résolution de l'é- 
(juation de Pell, à l'aide de la formation d'une période de formes quadratiques 
binaires indéfinies réduites d'après la méthode de Gauss. 

Mangoldt (von). — Sur le Mémoire de Rieinann relatif au 
nombre des nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée. 

(61-78). 

Kiemann a énoncé et, dans une certaine mesure, démontré ces deux propo- 
sitions : 

/ T T T \ 
« 1° Entre o et T, il existe environ ( — log ) racines réelles de 



l'équation Ç(a) = o; 
» 2° La série 



2T. 2- 



Vf ( i-^aO ( --«'Vl 



lorsque ses termes sont rangés suivant les grandeurs croissantes de a, converge 
vers la même valeur limite que 

' f"^'' d ^i logg[(.-^).-])^,^^„ 

■2~ilogx J^_l^. ds ( S ?(o) \ ' 

lorsque b croit indéfiniment. » 

Mais il convient lui-même que ces propositions ont besoin d'une démonstra- 
tion plus rigoureuse. 

S'appuyanl sur les résultats obtenus par M. Hadamard [Étude sur les pro- 
priétés des fonctions entières, etc. {Journal de Mathématiques, 4° série, 
t. IX; 1893)], M. von Mangoldt fait voir comment on peut démontrer complète- 
ment le deuxième des résultats de Riemann et justifier le premier, au moins 
en admettant que le nombre des racines dont le? parties réelles sont comprises 
entre o et T est représenté, aux grandeurs d'ordre inférieur près, par l'ex- 
pression ci-dessus. 

L'analyse de M. von Mangoldt conduit encore à d'autres résultats. Si l'on 
parvenait à démontrer que les racines de l'équation Ç(i) = o sont toutes 
réelles, ou même seulement que les parties imaginaires de ces racines sont 

comprises entre des limites plus étroites que — - i et -1 — i, les développements 

exposés par l'auteur fourniraient à la théorie des nombres une série de lois 
asymptotiques. Ainsi la somme des logarithmes de tous les nombres premiers 



8 SECONDE PAiniE. 

(le I à X serait égale à x lui-même pour de très grandes valeurs de x, propo- 
sition déjà énoncée par M. E. Calien. 

Borel. — Sur les fonctions de deux variables réelles. (79-94)- 

M. Borel étend aux fonctions de deux varialiles réelles un lliéorèmc qu'il a 
démontré dans sa thèse au sujet des fonctions d'une seule variable réelle. En 
voici l'énoncé : 

« Toute fonction de deux variables réelles x et y ayant des dérivées par- 
tielles de tous les ordres à Finlérieur et sur le périmètre d'un carré défini par 
les inégalités 

— I ;^ .r 1 -1- 1 , — ' = >' '3 + ■ ' 

peut être mise sous la forme 

f(x,y)=\^y^{ A„3 cos-pj + B„3 simt?y + C„,^y^)x- 
a [i 

+ (A^3Cos-;5j + B^jsin-jîjK + C^^y'^) cos-olx 
-+- ( A'^3 cos-|îj' + B,"3 9,\nT.py + C^'q,}'?) sim:a.r, 

les constantes A^^o, ..., C^i étant telles que l'on ait pour toutes les valeurs de 
p cl q 

|a;'?7A„3|<m^,,, ..., |a/'?'/C;'^l<m^,^, 

les nombres m ne dépendant pas de a ni de [i. » 

(le (It'\('lr)ppcincnt présente cet intérêt que toutes les dérivées partielles 
de la fonction s'obtiennent par la dérivation terme à terme de la série. 

Jainel. — Sur une équation aux dérivées jjartielles. (95-106). 

Il s'agit de l'équation d'Euler et Poisson 

(u — (.' ) -; — r — ;- a -, = 0, 

on ôv du dv 

dans laquelle u, v sont les variables indépendantes, a, b deux constantes 
réelles. 

M. Jarnel se propose d'en trouver une intégrale qui, pour u = u„, devienne 
égale à une fonction donnée V de v et, pour v = ç>„, à une fonction donnée U 
de u. M. Picard a montré (Journal de Mathématiques, 4" séiic, t. VI) la 
possibilité de ce problème pour toute équation aux dérivées partielles de la 
forme 

-.f[x,y, z, —, -.-Y 



dx dy J \ ' -^ ' ' ^x ùy ) 

.Mais la méthode suivie par l'éminenl géomètre se prêtant mal au calcul pra- 
tique, il convient dans le cas en question d'employer une méthode spéciale. 

On suppose que, dans le cercle (C) de centre «„, U soit développable en 
série de Taylor 

A -h B, ( « — u, ) -t- B, { u — u„ )■- -4- . . . 



KRVUIî DES PUBLICATIONS. 9 

et f|iio, dans \c cercle (C) de centre t',,, V soit de mc'^mc dévclnppablc en scrii! 

A i- A,(i'-r„)-^A,(i^- *'„)--+-.... 
On aura, d'après M. Janiel, une solution du [)rol)Ii''inc en prenant 

à condition que 

2-/9(1;)= 1 H -^ \.{V — f„) ~ 4t ^ A;,(l'— t^„)=H-... 

a a{a — i) a(a — i){a — ?.) 

et que '^{u) soit déterminé par une série analogue. Toutefois ces développe- 
ments ne sont valables que si a et 6 ne sont ni l'un ni l'autre des entiers po- 
sitifs. 

M. Janiet fait voir comment la solution doit être modifiée dans ces cas 
exceptionnels. 

La fin du travail est consacrée à une application géométrique. 

L'auteur remarque que, si Ç, t,, Ç sont trois solutions d'une même équation 
aux dérivées partielles 

c Ou (jv 

on pourra déterminer trois fonctions a:, y, z par les conditions 

ô-r _ d'^ y ()y 
au ' du ' ()u 

ôy y f)\ . d\ 

du "^ Ou du 

dz _ y dr^ _ d'i 

du du du 

On reconnaît alors que, si x, y, z sont les coordonnées d'un point mobile sur 
une surface, celle-ci admet les paramétres u, v comme paramétres de ses lignes 
asymptotiques. 
Si l'on prend 

F (m, v) = —^ -^ 

et qu'on fasse le changement de fonction 

? = 9(«-0-"-, 
on aboutit a l'équation 

, rj=0 rJO dd 

{u — v) - — - -i- m- m — = 0. 

du dv du d>>> 

(|ui est un cas particulier de celle d'Euler et Poisson. On a donc, dans ce qui 
précède, le moyen de former en nombre illimité des intégrales de cette équa- 
tion. Un cas particulier est à signaler; c'est celui oii m est un entier positif : 
on trouve alors des surfaces algébriques. On a donc ainsi une catégorie de 
surfaces algébriques dont les lignes asymptotiques sont connues sans aucune 
intégration. 



dx y dr, 


0- 


df^ ~ ' dv 


-''d-v 


ày _ . c); 
dv ~ '^dv 


'^ dv 


dv " ' dv 


-'Tv 



lo SECONDE PAHTIE. 

l'cibry. — Sur les courbes uniciirsales. (107-1 i4)- 

L'auteur retrouve par des calculs beaucoup plus simples les résultats obtenus 
par Ciebscb {Journal de Crelle, t. 64) sur les points d'intersection d'une 
courbe unicursale d'ordre n avec une courbe d'ordre n — 3. Appliqués au pro- 
blème des courbes tangentes, les calculs de M. Fabry montrent facilement ce 
que deviennent les solutions qui disparaissent lorsqu'un ou plusieurs points 
doubles deviennent des points de rebroussenient. 

Ilaure. — Reclierclies sur les points de Weierstrass d\ine courbe 
plane algébrique, (i ly-ipô). 

Si l'on considère un point P dune courbe algébrique plane et l'ensemble des 
fonctions rationnelles de x qI y attachées à cette courbe, qui deviennent 
infinies en ce seul point, leurs ordres rangés par ordre de grandeur croissante 
reproduisent la série des nombres naturels, sauf un certain nombre de lacunes. 
Le nombre de ces lacunes est indépendant du point P et égal au genre p de la 
courbe. Telle est la propriété que Weierstrass prend pour définition du genre. 

Les nombres dont l'absence donne lieu aux lacunes sont les ordres man- 
quants. Si le point P est quelconque, ces ordres seront les nombres i, 2, 3, . . .,p; 
mais en certains points particuliers A ils pourront être différents. Ces points A 
sont les points de Weierstrass. 

M. Haure, poursuivant l'étude dont ces points ont été l'objet de la part de 
M.>L Schottk}', Nœlheret Hurwitr, s'applique à déterminer les divers systèmes 
d'ordres manquants qui peuvent se rencontrer dans les courbes d'un genre 
déterminé, et aussi à définir des classes de courbes possédant un point de 
Weierstrass correspondant à un système donné d'ordres manquants. A ces re- 
cherches se rattache celle des fonctions rationnelles infinies en ce seul point et 
aussi des familles de «groupes spéciaux que l'on peut en faire dériver. 

Le Mémoire de M. Haure comprend cinq Chapitres. 

Le premier est rempli par l'exposition des théorèmes de M. Nœlher. 

Le deuxième est consacré à la définition précise des points de Weierstrass et 
des familles des groupes qui en dérivent. Il se termine par la démonstration 
d'une proposition de Weierstrass qui est fondamentale pour cette théorie : 

On peut trouver une infinité de systèmes de p intégrales de première espèce 
linéairement indépendantes, infiniment petites en A, et dont les ordres infi- 
nitésimaux Pi, p;, .... p forment une suite toujours croissante. Les ordres 
manquants en un point quelconque A de C sont précisément les nombres 
p,, p2, .... p relatifs à ce point. La suite des ordres manquants est unique. 

Au début du troisième Chapitre, l'auteur développe une méthode indiquée 
sommairement par M. Hurwitz pour former des tableaux d'ordres manquants; 
il établit ensuite, d'après M. .Schottky, la relation qui existe entre deux fonc- 
tions convenablement choisies parmi toutes celles qui deviennent infinies en A- 

L'étude de cette relation, ou plutôt de la courbe qu'elle représente, est pour- 
suivie dans le cjuatrième Chapitre, qui se continue par la recherche des condi- 
tions que doit remplir cette courbe pour pouvoir servir à la définition d'une 
classe de courbes possédant un point de Weierstrass d'espèce déterminée. A ce 
Chapitre est joint le tableau des systèmes d'ordres manquants pour/) = 3, 4,5,6,';. 
L'auteur donne dans chaque cas la courbe qu'il prend pour définir la classe' 



UllVri'] l)I<:S PUBLICATIONS. 



iiycc les coiuliliuiis ((ui lu cuiuclcriseiit cl (|ui tuules porlciiL sur ses points 
iiiiilti|plis. 

Kiilin le dernier Chapitre conlienl une application des théories qui précèdent 
à la définition des courbes gauches comme transformées point par point des 
courbes planes, avec quelques remarques préliminaires sur les courbes gauches 
déduites de groupes spéciaux quelconques. 

Dupiiy [Paul). — La vie d'Évari.sLe Galois. (197-266). 
Zantsclicwsky. — Le problème de PlalT. [iÇ)~j-'j.Ç)\). 

Etant données îii fonctions Xp ..., Xj„ de 2 « variables j:,, ...,x.,„-, il s'agit 
de trouver des fonctions/,, ...,/^, l*',, ..., \\, en nombic k le [)lus petit 
possible et satisfaisant à la relation 

X , cte, + . . . -T- X,„ dx.,,, = F, f//, + . . . + F^ df^ . 

La soliilioii de 0q problème, telle que la donne AI. Zantschewsky, exige 
l'emploi de certaines notations symboliques. 
L'expression 

a a ... fl„, 7. a' ' ■■■'-" 

où y^^"^ ■',„ désigne un mineur d'un déterminant quelconque A d'ordre 11, 
sera désignée abréviutivcment par («,„,, /i A „',''v . 
Formant ensuite la matrice 

' ^x^ dx^ 

'" ôxn,^ àx2„ 

on représentera par A(*^+')p, ... pj. un déterminant formé avec les p''°", ..., pj'"" 
ligne et avec les k premières colonnes de cette matrice, et l'on écrira pour 
abréger 



au lieu de 



et 



au lieu de 



y: {a )■; A^+•^^•••,«'+2-=^^+'- 
V(^ y \(^ + '-2v)a,,3,...o 



Pa 



en indiquant ainsi non les numéros r, s, ... des lignes du déterminant 
A^+'Jp, . . . p^. qui doivent être supprimées, mais les indices correspondante ces 
lignes liés aux variables X et x. 

Avec ces notations, voici, d'après l'auteur, la marche à suivre pour résoudre 
le problème de PfafT, 



2 SIÎCONDH PAHTIIL 

On commence par calculer les fonctions ile PfalT composées à Taide des 
quanlilés 

(l'ordre i, 2, 3, ... jusqu'à ce que Ton parvienne à un ordre / -f- 1 pour lequel 
toutes les fonctions de cette espèce sont nulles. Si l'une quelconque des fonc- 
tions de Pfaff d'ordre / est différenle de zéro, une des expressions 

-(«,.j'r' •^■■^ ,; , Pi •••P"! 
le sera aussi. On aura donc / fondions/,, ..-,// si Texpression 

est différente de zéro pour l'une quelconque des combinaisons de aZ-i-i indices 
pris parmi les nombres 1, 2, . . ., 2/1, et / — 1 fonctions dans le cas contraire. 
Après avoir ainsi trouvé le nombre k des fondions /, on choisit une ex- 
pression 

qui ne soit pas nulle, et l'on cherche une intégrale /, commune au sjstème 
jacobien d'équations 

-{a„,^)\~-' A[2,ji._, I ...(2A--i)^ = o {t = ik, ik + i, ..., in), 

intégrale qui satisfasse à l'inégalité 

pour l'un (|uelconque des indices x égaux à i, a, .. , 2 /c — i. Soit 

la fonction f^ sera alors l'intégrale commune des équations 

^(««.,)î"' ^^,.,^. t . . . ( 2/.- - 2) r= o ( « = 2/.- - ,. . . ., 2« ) 

satisfaisant à l'une quelconque des inégalités 

-(«,..,)?"' '^|2,„f-,'---(2A-- 2 )>0 (J^ = I, 2, ...,2A--2). 

En continuant ainsi, on déterminera de proche en proche toutes les fonctions 
y,, ■ . ■ , f^ dont la dernière sera une intégrale du système jacobien 

A"'+'-) I , . . A- ^ = o ( ^ = A- -f- 1 , . . . , 2 » ) 

satisfaisant à l'inégalité A(*+=)' i ...A>o. 

L'auteur applique cette méthode générale à des exemples où les calculs 
peuvent èlrc menés jusqu'au boni. 



KEVUK l)r:S l'UBI.ICATIOiNS. 1} 

Gn'-vy. — Kludt; sur les é(jiialioiis f'oncliounelles. (295-338). 

I>;ins uu pic ce (.II- lit .Mcinuirc (.-/nn. de l'Ecole Normale, iSçj^), M. A. Gicvy 
jiviiit cludié les solutions des équations fonctionnelles dans le voisinage d'un 
point limite à convergence régulière : il étend cette élude au cas de la conver- 
gence périodique. 

Si l'on répète k fois la substitution \z,o{z)\, on aboutit à une équation 
qu'on peut repi-cscnter par z — '-P^i^) = ^- Si x^ est racine de cette équation, 
sans l'être d'aucune équation d'indice inférieur, on dit que a:^ appartient à 
l'indice A- Les quantités x^, ^,, ..., X|^_^, où a:-= (p(ir,_, ), appartiennent toutes 
à l'indice A", et elles sont permutées circulairement par la substitution | 5, cs(s)|; 
leur ensemble constitue un groupe circulaire de A racines. 

Ce groupe est un groupe circulaire limite, si le module du produit 



où a,= o'(x^), est plus petit que i. Tout point x- du groupe est un point 
limite à convergence régulière pour la substitution |^, o,. (^)|. Si l'on entoure 
chaque point d'un cercle (C,), la substitution \z, '~'{z)\ mène d'un cercle au 
suivant, et dans chaque cercle, on a une suite de points qui convergent vers 
le centre. 

Ces résultats sont dus à ^I. Kœnigs, qui en a déduit la solution de l'équation 
fonctionnelle 

/{z,) = c/{z), 

dans le cas où a est différent de zéro. 

Après avoir traité la question dans le cas exceptionnel négligé par 31. Kœ- 
nigs, M. Grévy, généralisant le problème, envisage l'équation fonctionnelle 

p,{z)/(z)+p,{z)f{z,)-^...-i-pJz)f(zJ = o, 
relative à la substitution |^,9(;;)|, qui admet le groupe circulaire limite .r,,, 

Il montre que cette équation a /? solutions; chacune d'elles coïncide dans 
les domaines respectifs de x^„x„ ...,x^_i avec une solution des équations 

P„(.-)/(^)+ P,iz)/{z,) +...- PAz}f{z„,) =0, 

Po(-,).A(--,)-^P,(^>)/i(-i+,) + ---^P„(^,)/,(-„i^.) = o, 

î 

les fonctions dont l'ensemble forme une solution devant correspondre à une 
même racine de l'équation caractéristique commune à ces A" relations. 

En somme, tous les résultais que l'auteur avait trouvés pour la solution 
générale et pour les relations entre différentes solutions dans le cas de la con- 
vergence régulière subsistent pour la convergence périodique. 

Les applications géométriques développées par M. Grévy sont de deux sortes : 
les premières se rapportent à la détermination d'une courbe définie par une 
équation fonctionnelle entre les abscisses et les ordonnées; c'est le problème 
analogue à celui de l'étude d'une courbe définie par une équation difrérentielle. 

La seconde série d'applications a pour but la recherche des propriétés qui 
résultent, pour une courbe donnée, de la considération de la correspondance 



i4 SRCONDH PAirriK. 

entre points, correspondance qui se ramène à une relation fonctionnelle entre 
les paramètres définissant ces points. 

Délassas. — Sur les équations linéaires aux dérivées partielles. 

(339-365). 

Une remarque très simple permet à M. Delassus d'étendre aux sj'stèmes 
d'équations linéaires aux dérivées partielles la plupart des résultats qu'il avait 
obtenus précédemment {Ann. de l'École Normale, 1895) pour les équations 
linéaires, et d'en déduire d'intéressantes propositions sur la nature des singu- 
larités des intégrales analytiques de ces équations. 

Si, dans deux équations linéaires, où les termes de l'ordre le plus élevé sont 
mis en évidence, 

. f)"z . d'^z . à" z r,, > 

„ dPZ „ ÔfZ ry àfZ . , ^ 

Bo -^ H B, —7 F-...4-B, ,— =<i>(z), 

on prend toutes les dérivées d'ordre /; — i de la première et toules celles 
d'ordre n — i de la seconde, on a n-\-p équations où l'auteur envisage comme 
inconnues les n+p dérivées d'ordre n-hp — i. 

On voit immédiatement que le déterminant des inconnues est le résultant, 
sous la forme de Sylvester, des deux équations caractéristiques : 

A„ /."H- A,)>"-' —...-;- A„_, A -•- A„ -- 0. 
13, A/' -i- B,)j'-'-i-...-f- B^,„,X -^ B^= o. 

C'est cette remarque qui sert de pf)int de départ aux recherches de .M. De- 
lassus. Tous les auteurs qui, jusqu'ici, s'étaient occupés des systèmes d'équations 
aux dérivées partielles, avaient jugé avantageux de les ramener à des équations 
du premier ordre. Mais cette transformation, qui masque complètement les 
caractéristiques, n'a eu, dans un grand nombre de cas, d'autre résultat que 
de cacher d'importantes propriétés des intégrales où ces caractéristiques jouent 
le premier rôle. 

On sait que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un système d'équa- 
tions aux dérivées partielles admette une intégrale générale ne dépendant que 
d'un nombre limité de constantes arbitraires, est que l'on puisse, au moyen 
des équations de ce système, exprimer toutes les dérivées de z d'un certain 
ordre au moyen des dérivées d'un ordre inférieur. M. Delassus dit qu'un pareil 
système est de première espèce, tous les autres étant de seconde espèce. 

Il montre que des équations linéaires n'ayant en commun aucun système de 
caractéristiques sont incompatibles ou donnent naissance à un système de 
première espèce, et par suite leurs intégrales communes ne peuvent dépendre 
que d'un nombre limité de constantes arbitraires. 

S'aidant d'un théorème de M. Picard, IVI. Delassus établit ensuite que tout 
système linéaire complètement intégrable de première espèce ne peut avoir que 
des intégrales analytiques. 

Il suit de là que les intégrales d'un système linéaire complètement inté- 
grable ne peuvent avoir que des lignes singulières essentielles fixes. 

Des équations linéaires, n'ayant aucun système commun de cararti''ristiques 



HEVUH l)i:s 1'LBLU:ATI()NS. iS 

l'I qui soiil coiiipytibles, (lotinciil naissance à un système de j)remi(''rc espèce, 
dont les lignes singulières fixes ne peuvent être que : i° les lignes singulières 
(les coefficienls de ces équations; j" les lignes le long desquelles toutes les 
équations caractéristiques ont une solution commune, et, comme cas parti- 
culier, les caractéristiques isolées communes à toutes les équations données. 

Passant ensuite aux systèmes linéaires complètement intégrabics de seconde 
espèce, l'auteur montre qu'ils jouissent des propriétés qu'il a établies anté- 
rieurement pour les équations linéaires. Toutes les équations (jui appar- 
tiennent à un système linéaire complètement intégrable de seconde espèce ont 
en commun des systèmes de caractéristiques : ce sont les caractéristiques du 
système. 

Dans une région où toutes ses caractéristiques sont imaginaires, un système 
de seconde espèce ne peut avoir que des intégrales analytiques. 

Dans une région où toutes les caractéristiques d'un système de seconde 
espèce sont réelles, les intégrales analytiques ne peuvent avoir comme lignes 
singulières mobiles que ces caractéristiques. 

Dans la région où le système a toutes ses caractéristiques réelles, les inté- 
grales analytiques ne peuvent avoir comme lignes singulières que : i° les lignes 
singulières des coeflicients des équations donnnées; 2° les lignes singulières 
relatives à l'équation qui fournit les caractéristiques du système; 3° les lignes 
le long desquelles toutes les équations caractéristiques ont une racine com- 
mune. 

Dans la même région, les intégrales analytiques ne peuvent présenter que 
des points singuliers isolés fixes ou des points singuliers isolés mobiles sur 
les lignes singulières fixes. Une ligne singulière mobile ne peut brusquement 
cesser d'être ligne singulière pour une intégrale, sans être continuée par une 
autre ligne singulière, qu'en passant par un point singulier isolé fixe. Le 
contour du domaine à l'intérieur duquel une intégrale est analytique ne 
peut présenter de points anguleux dirigés vers l'intérieur à moins que ces 
points ne se trouvent sur les lignes singulières fixes ou coïncident avec des 
points singuliers isolés fixes. 

La considération des lignes singulières fixes d'une équation linéaire conduit 
naturellement l'auteur à se poser la ([uestion suivante : L étant une ligne sin- 
gulière fixe d'une équation linéaire F = 0, peut-il exister des intégrales de cette 
équation analytiques en tous les points d'un domaine traversé par L? 

La solution complète de cette question paraît extrêmement difficile; mais 
M. Delassus en indique une transformation qui semble' devoir y apporter une 
simplification considérable. 

Dans la dernière partie de son travail, l'auteur indique, sur divers exemples, 
des singularités d'une nature telle qu'elles ne peuvent se rencontrer, en dehors 
des lignes singulières fixes, que le long des caractéristiques; puis, recourant 
aux résultats obtenus dans les premières parties, il arrive à une proposition 
très générale qui lui permet de découvrir une infinité de singularités de cette 
nature. 

En terminant, il montre comment la seule considération des intégrales ana- 
lytiques permet de séparer nettement les trois régions que conduite distinguer 
l'élude approfondie des équations linéaires : 

1° Dans la région où toutes les caractéristiques sont réelles, les intégrales 
analj'liques ne peuvent avoir comme singularités mobiles que des singularités 
caractéristiques; 



iC SECONDE rAUTlE. 

2° Dans la région où il n'y a que des caraclérisliques imaginaires, les singu- 
larités mobiles sont toujours non caractéristiques et se présentent le long de 
lignes absolument arbitraires; 

3" Dans la région où les caractéristiques réelles et imaginaires sont mé- 
langées, les singularités peuvent être non caraclérisliques le long des lignes 
arbitraires, mais peuvent aussi être caractéristiques. 

Fabry. — Sur les points singuliers d une fonction donnée par 
son développement en série et l'impossibilité du prolongement 
analytique dans des cas très généraux. (36--399). 

Si l'on développe suivant les puissances entières de s— a une fonction ana- 
lytique donnée de la variable complexe z, le cercle de convergence passe, en 
général, par un seul point singulier, le plus voisin du point a. 

Si, au contraire, on se donne arbitrairement la série 2a„z", de façon toute- 
fois que le cercle de convergence ne soit ni nul ni infini, la fonction représentée 
par cette série a au moins un point singulier sur le cercle de convergence, 
mais, en général, elle en a plusieurs, comme l'a montré M. Hadamard {Journal 
de Mathématiques, 4" série, t. VIII). 

M. Fabry généralise quelques-uns des résultais obtenus par M. Hadamard, et 
il en déduit de nouvelles méthodes particulières pour rechercher si un point 
du cercle de convergence est un point singulier. 

Parmi les propositions auxquelles il parvient, il convient de signaler les deux 
suivantes : 

I" A l'aide des coefficients de la série 

/(;;) = a,,-^a^z ^-. . .+ a„s" ^. . . , 
dont le cercle de convergence a pour rayon i. on forme l'expression 

m -7- 1 ( «i -T- I ) . . . ( »J — V ) 

^ 2_ p{p — l)...{p- V -ri ) ^ 
m-v ^v pi(pi l). . .{ m ■* -T- I ) 

où p est un nombre entier variant avec m, de façon que — tende vers i, et 
' ■ rut 

v>)^m, o<)v < < < I. Si i; = I n'est pas un point singulier de /(s), la liinilc 
supérieure, pour 7?î = oc, de Vl?m(^)l est plus petite que i; et si cette limite 
supérieure est i, le point z = i est singulier. 

Réciproquement si, t restant fixe,/> varie de façon que m — p prenne toutes 
les valeurs entières, par exemple si p est compris entre mt — i et mt, et si 
z = i est un point singulier, '{f !'■?„( 01 ^ pour limilc supérieure i; si cette li- 
mite supérieure est plus petite que i, le point z = i n'est pas singulier. 

2° p„, étant un arc variable, soit q le nombre des changements de signe de 
la partie réelle a'„ de a,,e-^m' lorsque n varie de m — lm à m-hlm. Si, pour 

une suite illimitée de valeurs de m, les quantités —Lie/' I et — tendent vers 
zéro, le point ^ = i est singulier. 

Dans bien des cas, les méthodes données jiar M. l'abiy riionlrcnl (|ue tous les 



p~ 


'r- 1 


I 


P_ 


-' 7 


m 



iU':viii-: i)i:s pi hlications. 17 

points (lu icnlc (le coiivci'gcnce sont siiisulicis, ce i|iii jkiiiicI de Inriin-r des 
séries, l)eiiuiiiii|i plus généraips C|iio relies acliielleiiicnl coiinurs, ipii ne [leiivenl 
pas se prol<)iii;cr aiKilyti(|iieincnt au delà du cercle de convergence. Il senibli; 
d'après cela que le prolongenienl d'une série donnéi- a. priori soit en généial 
impossible, tandis (|u"il sera généralenienl pnssil)le d'étendre au delà de son 
cercle de convergence une série pi'ovenant du développement d'une fonction 
ana!yli(|uc donnée. 

Guiclidfd . — Sur les sui-niccs mi ni m a non euclidiennes. (401-/1 \ .\). 

On sait ([u'on iippelle surfaces miniiiia non euclidiennes les surfaces qui 
admettent un réseau conjugué dont i(^s langcnles touciieiiL une ([uadrique lixc 
appelée quadriqiie fondamentale . 

Happorlaiit à un tétraèdre conjugué; la quadrique fondamentale 



INI. Gnichard cliei'che à exprimer les coordonnées homogènes ç,, S;,, ç,, Ç; d'un 
point C d'une surface mini ma de Cayley en fonction des paramètres «, ç' qui 
restent fixes quand on se déplace sur les lignes conjuguées en (jnestion. 

Soient A ( X,, .r^, J7|, .r,, ) et I5(.,)'i, .K21 .V.c Ti ) '""^ points où les tangentes con- 
juguées en C touclient la quadrique fondamentale, l*(v-,p Tio, t,,, t,,) le pôle du 
pian CAB; le point D décrit la surface polaire réciproque de C, et cette surface 
est aussi une surface minima. 

Pour représenter les diverses coordonnées x, j)', ;, r,, l'auteur donne les for- 
mules très simples 



IW "-^ (h' ' 

— = — e-^x, 
du 

àr, __ _,, 



<)x 
Ou 


= 


— X 


r)u 


-l-er';. 


f)X 

'âv 


= 


— X 




-1- e-'f-r,. 


<1\ 
ou 


= 


— e- 


■y- 






= 


— e'r 


X, 





ôv 



avec la conilitiou 



au âv 



tl'où l'on déduit par dillVrenlialion les deux équations que vérifient ;,, c,,, ?., 

'PI 



du <h' 



— e-r'c,, 



'111 __ '^'^ lis. - '13 _^ ^'^ 'A - ^ . 

()u- " du du di'- dv dv '' 

Si l'on suppose (|ne la (|uadrique fondamentale soit la splicre 

.r- -t-_r- -H -- =— I, 

les réseaux conjugués décrits par A et I! sont orthogonaux. l'^n désignant 
Bull, des Sciences niathém., i' série, t. Wll. (.Ian\icr 1898.) \\.:>. 



i8 Sl'CONDI': PARTI K. 

par (x) et par (y) des surfarcs dont les lignes de courbure admettent pour 
représenlalion spliérique les réseaux A et B, par (^), (t.) des surfaces admet- 
tant des icseaux conjugues parallèles à celui des surfaces (C) et (D), Fauteur 
arrive aux propositions suivantes : 

1° Apres deux transformations de Laplacc dans un sens ou dans l'autre, une 
surface {a:) se transforme en une surface (y). Inversement une surface (y) 
se transforme en une surface {x): \)nr conséqucnl, dans l'un cL l'aulie cas, les 
lignes de courbure se IransformenL en lignes de couibure; 

2° Dans les mêmes conditiDiis. une surface (;) se transforme en une sur- 
face (t,), et inversement; 

3° Après quatre transformations de Laplace, dans un sens ou dans l'autre, 
les sui'faces (x), (y), (?), {'f,) se transforment en surfaces analogues. 

Des réseaux de lignes de courbure qui se transforment en réseaux de même 
nature, l'auteur passe ensuite aux congrucnces de normales qui se changent en 
congruences de normales après deux transformations de Laplace. 

Lacour. — Dccoinposilioti en facLetirs de la foiicLioii (")[;/'(;) — G/]. 
(ii.V.i^^.o). 

.\ppliquant à cette fonction la méthode générale qu'il a indiquée précédem- 
ment (yl/in. de l'Ecole Xorinale, i<Si|5) pour les fonctions à multiplicateurs 
constants, M. Lacour paiviciit à l<i funiiule de décomposition : 

j ^„ e[u^O(^)-»?')(^,)-uW(i;,)-...-^W(x;^) + CJ 
' " [ a('J ( - ) - uM ( ^ j _ M(0 ( - j _ . . . _ M .) ( 5^, ) + C, ] 

= -i:[«<'^)(^) — «^) («)]-!- -i:[ii,., {z)- w.j, (a)], 

où z\, ^!,, ..., Zf désignent des valeurs de z qui se déduisent algébriquement 
de S|. z.^, . ., z , d'une part, et de a et de ;;, d'autre part, d'après une règle dont 
renoncé g('-uin(''tri(iue est très simple. 

Délassas. — l^^xleiision du Lhéorèine de Caucliy aux systèmes les 
plus ^('iiéraux (rc(|ti;ilioiis aux dérivées parliclles. (421-467). 

Dans un Mémoire présenté en i8y'( à l'Académie des Sciences {Savants 
étrangers, t. XX.XII), .M. Uiquier a établi par de solides déductions, dans des 
circonstances générales et à l'exclusion de tout cas exceptionnel, l'existence des 
intégrales d'un système din'crentiel (juciconque. 

Quelque rigoureuse que soit celte di-monstration, M. Delassus lui reproche 
d'être très compliciuée et très artificielle, et même de ne pas résoudre la ques- 
tion aussi complèLement qu'il est possible de le faire : les intégrales de 
M. Riquier sont, en cllet, des séries dont une infinité de coefficients sont arbi- 
traires, et il serait à peu près impossible de grouper des coefficients de manière 
à former des fonctions arbitraires ayant des relations simples avec les inté- 
grales cherchées. Or ec qui fait l'intérêt du thé(n'ème de Cauchy sous la forme 
classique que lui a donnée M""' Kowalevski, c'est que ce théorème ne démontre 
pas seulement l'existence des intégrales, mais indique en même temps des 
fonctions arbitraires en nombre fini qui déterminent ces intégrales d'une ma- 
nière à la fois sinq)le et complète. 



in;VllR DKS IM^IU.IC ATIONS. ,,) 

C'est à ce poiiil dr \ iir i|iie .M. Diliissiis so plinc potir ii'incndi i^ le pruLIcme 
géni'-ral traité par M. Uiqiiicr. l^e fondement de la soltilioii qu'il en donne 
est le classement sys'.émalitjiic des diM-ivcrs parlicllcs (Tiin imime ordre d'une 
fonction do ]diisiciirs sariajjlcs et reinplni d'un clianiicmcnt de variables 
dans les systèmes d'équations aux dérivées partielles. Jusqu'à présent, on 
s'était peu servi de ce dernier procédé, qui semblait condamné à de fréquents 
insuccès. En effet, dans le cas où le problème avait été traité par M'"" Kowa- 
levsivi, on supposait les écjuations résolues par rapport à certaines dérivées 
bien déterminées. On a dés lors été conduit à chercher si Ton ne pourrait 
pas toujours arriver à ce résultat au moyen d'un changement de variables. 
Mais M. Bourlct a montré, par un exemple simple, ([ue cet artifice ne [leriuellait 
pas toujours d'éviter des cas exceptionnels. 

On en a légitimement conclu (|uc la fornie donnée aux équations dans le 
théorème de .M"" Kowalevski était trop jiarticulière; mais on n"a pas cherché 
s'il existait des formes réduites un peu plus générales auxquelles le change- 
ment de variables pourrait conduire sans danger d'amener à des cas d'excep- 
tion. Or, et c'est là le point capital du travail de M. Delassus, de telles formes 
existent, et l'emploi de ces formes dans la transformation du système permet 
de retrouver un remarquable théorème de M. Tresse, qui a fait faire un grand 
pas à la théorie en montrant que l'étude d'une infinité d'équations dilTé- 
rentieiles simultanées peut être ramenée à l'étude d'un nombre fini de ces 
équations. 

Par une suite régulière d'opérations, le changement de variables aboutit ou 
bien à mettre en évidence l'incompatibililé des équations du système ou bien 
à obtenir une forme canonique complètement intégrable d après le théorème de 
M. Tresse, dont voici l'énoncé précis : « Un système d'équations aux dérivées 
partielles étant défini d'une façon quelconque, ce système est forcément limité, 
c'est-à-dire qu'il existe un ordre fini s tel que toutes équations d'ordre supérieur 
à s que comprend le sj'stème se déduisent par de simples dillérentiations des 
équations d'ordre égal ou inférieur à s. » 

Cette forme canonique de M. Delassus, plus simple que celle de M. lîiquier 
et absolument générale, sert de base à tous les raisonnements que l'auteur 
développe relativement à l'existence des intégrales. Il ne cherche pas à dé- 
montrer directement la convergence des séries, ce qui serait assurément pos- 
sible, mais non sans de très pénibles calculs. Il se sert de cette propriété 
remarquable de sa forme canonique : l'intégration d'un système canonique 
de /)i variables se ramène à l'intégration successive de m systèmes de M"° Kowa- 
levski, contenant respectivement i, 2, ..., m — i variables. 

C'est en partant de cette propriété et par l'application successive du théorème 
de Cauchy que l'auteur parvient à un théorème analogue à celui de Cauchy, 
qui s'applique à tous les systèmes con)plètenient intégrables, c'csl-à-dire ayant 
des solutions, démontre l'existence des intégrales analytiques et détermine les 
fonctions et constantes initiales, en nombre fini, dont dépendent ces intégrales. 

Voici l'énoncé du lliéorème de M. Delassus qui implique la notion de cer- 
tains nombres fondamentaux y'„, y,, ..., y;,; dont la définition est trop com- 
pliquée pour trouver place ici, mais dont la signification résulte clairement 
de cet énoncé même : 

« Soit il" un système canonique complètement intégrable d'équations aux 
dérivées partielles. Soient C les dérivées d'ordre inférieur ou égal à n qui 



•ju SliCUNDI' PAinilî. 

irciiliciil ii.is iliins les [Ji'cniiers nienilucs, cl 

T., r, •:•„, , (/ = >< 2 y) 

les noniljres foiKlaiiieiilaux de X". 

Donnons-nous arbilrairenicnl les fonctions de ^r,, x., ^„ analytiques en 

xi, X?,. ..., x?n, auxquelles se réduisent les fonctions z^ pour lesquelles on a 

' ' 

Puis les fondions de x.,, x-^. .... a:-,,, anal3li(jucs en x'], ... x", auxquelles 

se réduisent 

àz,. à''~'z 

"' ^•^'' '"" dxr 

[lour x^ = xi; 

Puis les fonctions de x., ..., :r„, ;iMal\liques en a;", ....x", auxquelles se 
réduisent 

ff'i Z- i) / ()"'^ Z;\ rf-'^~' /()'''' Z- 



()x\'> - \ àx'\' / dx''- ' \ Ox]'^ 



I III III' .r, = xi, X2= x", . . .; 

Kiifin les fonctions de .r,„ analytiques en ^,1, auM|iielles se réduisent 



,)•(', +---+Yi„-=-^ ^ /^ï;+---+Ti: 



Ox' 1 . . . ')j7,„_o" \ '.'J?!' . . . ()x„ 



^ï:,.-i-i /,,t^+...+v!,-,s. 



■,'■„,„, — 1 \ .,, y!»-2 

()j:-,„_, \ (>j-;i . . . i)x,„_« 

])our x^ = xi, x^ = •ïj. • • ■ . ^,n^i = ^-')i-i. 

Ces fonctions initiales détermineront immédiatement les valeurs initiales 
(pour x^ = xi, X2 = x^,, ..., x„^= x?u) d'un certain nombre de dérivées C. On 
se donne arbitrairement, en dernier lieu, les conslanles auxtjuelles se réduisent 
toutes les autres dérivées C pour Xi = xi, . . ., ^„, = x^i. 

Si, au voisinage de xi, x^, .... Xm et des valeurs initiales de C, les seconds 
membres des équations de S" sont des fonctions analytiques de x^.x^, ...,x„^ 
et des C, il existe un et un seul syslème il'iiil(';;iales z^, z^. ..., ;^ analytiques 
en xi, ..., Xm, vérifiant toutes les équations du syslème il" et satisfaisant à 
toutes les conditions initiales ci-dessus. » 

Ce tliéorème donne une signiHealiou li-ès simjile aux nombres fondaiiien- 
t.iux Y' : rlia(|iie inconnue z- inliddiiil dans l'iiili'^ralc i;(''iiéral(^ y;^ fnnelidiis 
arbitraires de >n — ;j. variables. 

Si l'on convient de désigner par arbitraires de genre [j. les fonctituis arbi- 
traires de ;j. variables, on voit que l'intégrale générale d'un système d'é(]uations 
ù m variables contient des arbitraires qui ne sont pas toutes du même genre; 
ce genre peut \arier de o (constantes arbitraires) à m. C'est dans ce résultat 
que doit être cbercliée la véritable raison de ce fait que tout système 
de q équations à cj inconnues ne peut pas toujours être ramené par un chan- 
gement de variables à la forme de M"'° Kowalevski; en ell'et, tout système de 



iiKVUi': i)i<:s PUin.icATioNs. 9.1 

M"" Ivowalevski, il m variiilili's, no coiitiiiit il;m^ -on inU•^^alc ;;éiiérale riuc do 
iiiliitrairos de genre m ~ i . 

I-'o/i/e/n''. — Expression de la quanlilé p{Ui -^ 1/2 + . . . -\- u-2,i) 
au tnoYCU cl'iiii plaffien. ('(69-487). 



l^osanl 



; ' . -0 = I p ( ", -1- "j ) ( ,p, — P2 )• .Pi = p "p r-j = p "■■• 



cl désignant par A le tlélei-niinant tic X'aiidcrmnnde (|ui est le produit des quan- 
tités p, — p.,. l'auteur étai)lil la lurmule d'atldition suivante : 



p ( Ui -+■ u, - 



S X 



«3,.) =7 



(1,2) (1,3) 
(2, o (2, 3) 

(3,.) (3,2) 



{2/1, i) {-2/1, 2) (on, a; 



( 1 , 2 /i ) 
(2, 2n) 
(3, 2n) 



[pT'-p'i^ •••' p\ ; ,p',N 



>? 



où la quantité placée entre crocliels au dénominateur désii;ne un déterminant 
d'ordre 2n représenté seulement par sa première ligne horizontale, et dont les 
diverses lignes se rapportent aux indices i, 2, ..., 2/1. 

Le déterminant dont la racine carrée figure au numérateur est un détermi- 
nant symétrique gauche d'ordre pair et par suite un cai'ré parfait, sa racine 
carrée est un [>fariien et Ton peut écrire en précisant le signe 



p(i<,-^«2- 



«2„) 



I AxS(i, 2)(3, 4)--(2« — r, 2«) 

'1 [Pî--Pi, •••, p', ; P7' •••' ']' 



On peut remplacer le second membre de cette l'ornuile par un covariaul 
relatif à une fonction elliptique du second ordre, à pôles distincts, avec s pour 
somme des pôles, et qui a les mêmes périodes que pu. 



Cette fonction elliptique j:i — '~ ^') t-'^ant définie par Féquation diflerentielle 



si l'on pose 



d^ 



= ^'X^x'-h '1 A,a;'-f- iJ.\..X'-T H A;,j;-i- A,, 



F"i2 ~ -^(i-^ï -^j +- 2 A, .r, x.^ix^-i- X..) -\- A-, ( .r j -+- xl-h 2 j:, jc, ) 

+ 2 A3 ( J7, H- X, ) -i- A .,, 

2 l",o — 2.r', .r', 



[', 2]: 



{x,— x.,)..., 



tn aura la formule qui est l'objet principal du travail de .M. Fontené 



p{l(^+ Ur,-h. . .-^ u.,„— fis) = 7 



I A X i: [ 1 , 2 J [ 3, 4 ] . . . [ 2 rt — 1 , 2 « ] 






22 SECOND H PAIlTlIi. 

Suppicniont. 

Heudon. — Sur les svslèmes d'ciiuations aux dérivées partielles 
dont les caractéristiques dépeiidciit diiii nomlire fini do para- 
mètres. (3-5 i). 

Dans le cas des équations aux dérivées parliclles du premier ordre à une 
fonction inconnue, la réduction à un sj'slème d'équatiotis différentielles ordi- 
naires est un problème résolu aujourd'hui avec une absolue perfection. 

Dans le cas des équations d'ordre supérieur, la recherche des cas où cette 
réduction est possible n'a pas fait <le progrès aussi considérables. S'inspirant 
d'un travail fondamental de M. Darboux sur la question, M. Beudon s'est 
trouvé conduit à se poser le problème suivant : « Déterminer et étudier les 
systèmes diflérenliels dont les caractéristiques dépendent d'un nombre fini de 
constantes arbitraires». Le cas où il y a plusieurs fonctions se ramène à celui 
où il n'y en a qu'une seule, grâce à un théorème de M. Hiquier. 

Dans la première Partie de son travail, M. Beudon généralise, d'api'ès 
Sophus Lie, la notion d'élément et de multiplicité d'éléments dans l'espace à 
« -i- I dimensions, et il indique leur principale propriété. Il rappelle ensuite 
les résultats auxquels est parvenu M. Uiquier sur l'existence des intégrales dans 
les systèmes dillërenliels, et il applique ces résultats aux systèmes qu'il se pro- 
pose d'étudier. 

La deuxième Partie est consacrée aux systèmes dont la solution ne renferme 
qu'une fonction arbitraire; l'auteur ramène l'intégration de ces systèmes à celles 
d'équations différentielles ordinaires. 

La troisième Partie est réservée au cas général; M. Beudon y met en évi- 
dence les analogies des systèmes étudiés avec les systèmes d'équations du 
premier ordre en involution. 



BULLETIN i)K i.A Socii'îri'; matiiûm \riyii: dic Fhanci;. 
Tome XXIV; i8(jii ('). 

liajjy. — Sur deux classes de surlaces analogues aux surfaces 
lélraédralcs. (2-1 y). 

On sait qu"on appelle sur/aees tëtraédralcs les surfaces rei)résentécs en 
coordonnées cartésiennes par les formules 

X = A ( H — a)'"{v — a) '", 
y = B(«— by{v — by, 
- = C(«-c)"'(^.-c)"S 

(') Voir liulletin, \.\L, p. l'io. 



UI-VUI-; DliS I* un 1,1 CATION s. 7.3 

el il est bien connu que les courtes ii ^ (•nn>t. cl r - roiisl. tiacenL sur ces 
surfaces un réseau conjugué. 

M. Raffy se propose de déLerniiner luulcs les surfaces clcliiiics [lar les é(|ua- 

lions plus générales : 

a; = U,(M)V,(i^), 

el telles que les courbes u = consl. el f = consl. formenl un réseau conjugué. 
Il Irouve comme solulions rie ce ])roi)lèmc trois classes de surfaces : 
1° Les surfaces bien connues (jne rc[irésenlc ré(|ualion 



=/<=)*©^ 



2° Une classe de surfaces déjà rencontrées par .M. Soplais Lie el représcnlées 
par les formules 

/" U du C ^ '/»' 
J a -\- a ^/ f -r- a 

rV du r V (h- 

logj»- = / ,- -^ / r ' 

^1 u -r b J V — b 

r U du r V f/i- 

log : = I -î- / ; 

3° \jne classe n<jnvcllc de --iirraces, ainsi tiéliiiic 

-, / ■ V dv 

\ozx' = lojj;» -r- I 

J V -ha 

1 
I 



ug )-''== log H— / ^1 

ï I / '1^ 
og-' = log«— / , 



et dépendant d'une fonction arbitraire V(r) et de trois constantes a, b. c. 

Pour ces trois classes de surfaces, ré([ualion des lignes asymploti(iues est de 

la forme 

F(w) du-=. 't'(r) dv"-. 

On obtient donc ces asymptotiqucs par deux quadratures. 

A la recherche de ces surfaces s"en rattache immédiatement une autre : celle 
des surfaces que leurs cylindres circonscrits parallèlement à un plan fixe 
touchent suivant des courbes planes, dont les plans fiassent par une droite fixe. 
Ces dernières sont toutes, comme le montre .M. Rad'y, les enveloppes des 
cylindres ayant pour équation 

- -f-aj ^f(x, a), 
où la fonction / admet l'une des deux formes suivanles : 

f{x, a) = \{a)\{x), 
f{x. a) = ( ma + n)\(x) -{- (px -i- ij) \(x). 



2.', SECOiNDK PAUTIIÎ. 

les deux loiiclions V cl \ ét;iiit arl)iLraii-cs, ainsi que les quatre eoiislanles ;», 
n, p, q. 

Les asymploliques de chacune de ces surfaces sont encore déterminées pai' 
dinix (|iiadriilures. 

Zareinha . — C(niliiI)iilion à l.i lliroiie de la fonclion de Grecn. 

Soit 0{x,y, z; x' , y' , z') la fonclion de Grcen relative à un domaine D, 
limité par une surface convexe S admeltanl en chacun de ses points des 
rayons de courbure déterminés. Si l'on désigne par d la plus ^l'ande dislance 
de deux points pris sur la surface S et par a la limite inférieure des rayons 

dr ((iiirhurc de la surface S en un |)iiiut variable, l'intégrale 



Jim 



dx' dy' dz'. 



étendue à tout le domaine D, est inférieure à uti nombre N, (|ui dépend uni- 
(|uement de la surface S et (|ui tend vers zéro lorsque S varie de façon que d 

tende vers zéro, le rapport — ne dépassant jamais un nombre (i\e M. 

Michel. — (]()iirbc d'omhre sur une siii-racc parlicidlèrc diifjiia- 
li'ièiuc ordre. (2(3-28). 

Soient une surface S, un point O et la normale ON en ce point. Si l'on ima- 
gine toutes les sections planes de la surface qui passent en O, et si l'on prend 
en ce point les centres de courbure de ces sections, le lieu des (loinls ainsi 
obtenus est une surface — du quatrième ordre. 

M. Michel fait voir que le lieu tles courbes d'ombre déterminées sur toutes 
les surfaces i; i>assanL en 0, et ayant OM pour droite double, par un point 
lumineux de cette droite, est une surface de révolution autour de ON, dont la 
méridienne est une strojjhoïde droite. 

Adam (P.). — Sur un problème de déformation. (28-3;")). 

M. (iouisala résolu le problème suivant : « Trouver la surface la plus géné- 
rale (S) susi-eptible de se déformer, de façon (|u'une série de seclions planes, 
dont les plans sont parallèles, se change en une série de seclions planes, dont 
les plans soient parallèles. » 

En même temps que les équations des surfaces (S) il a donne celles des 
surfaces (S') applicables sur (S), de manière à satisfaire à l'énoncé du pro- 
blème. 

La déformai iuii ipir suliil [a surface; (S), ixnir passer aux surfaces ( S' ), pré- 
sente un caractère i nli'ressanl , (|ue AI. I'. Adam incl en é\idence : 

« Dans le passage de la surface (S) à ses associées (S'), les dircclrices 
prennent la même succession de formes quand on change les profils de (S) ». 

De même, « dans le passage de (S) à ses associées (S'), les prolils premienl 
la loiMiie siiccessii)ii i\i- formes quand on rhangc les directrices de (S) ". 



HHVUI': DES PUBIJCA FIONS. v/, 

\|)])li(Hi('cs aux siirl'ans iiioiil il i('> i\r .Mini;;r li aux >uifaccs de I l'aiislalioii, 
celle proposition i;('iii raie iloimc les tlioorèiiics siii\anls : 

I" Pour loiiLcs li's surfaces moulures ayaul li- nirme prodl qui se déforniciil 
011 reslanl des moulures, le profil passe par la iiu'iih; succession de foi'iues <|iie 
s'il (''lait le méridien (riiiu' MiiT.nr de r('\ oiii ti(iii d"axe pci pcndiiiilaiic aux 
plans lies directrices des moulures tjui se déformai en reslaiiL de révolulion; 

2° Si unç surface de translation à génératrices planes se déforme en gardant 
sa délinilion, les génératrices df. l'un (]uclconque des deux sj^stèmes passent 
par la luèiiie série de formes (|iiaiid on clian:;e celles de l'autre système. 

Cette propriété appailitiil (railleurs à une surface de Iranslal imi i|iiil- 

COIH|UC. 

Lindeluf. — Sur les équations liomogôiics. ( .)5-3()). 
L'intégration du sNSlèiiie 

y^' ^ Y, - y^ V„.^, {i = i, -î. .... Il) 

revient à la reclieiclic ties intégrales lionio;^éncs du degré zéro de ré(|iialion 



où l'on a posé 



x,^- 


.x..^^... 


^x yj- 


' Ox, 


' Ox., 





r,. 



X,(jr,, ..., x,,^,) = ^;;V,V,(.r, r.,). 

Ce résultat est la généralisation d'un tliéorèiiT; de M. Darjjoux sur les équa- 
tions dillérenliellcs à deux variables. 

Touclie. — Calcul lie la résislaiice des lliiides à un disque mince. 
( 39-42). 

Un dis(|ue mince, se mouvant dans un niiide indélini, ne transmet pas son 
impulsion à toute la masse lliiide; dans l'iiilérieur du cnnc dnnt l'arête est 
inclinée de 34 degrés sur l'axe du dis([iie, il reste une portion de relie masse 
qui n'est pas influencée par le mouvement du solide. 

La pression sur l'unité de surface à l'avanl ilu disiiue, lorsque celui-ci se 
déplace dans l'air avec la vitesse de 1", est 

- (t — si 11-34°) = o'---, o'|53()')i , 

p étant la densité divisée i)ar la xaleur g de la pesanteur. 

V l'arriére du disque mince on a une poupe Ikiide formée des tourbillons. 
Si V, est la vitesse à l'extrémité du rav'on d'un tourbillon, I^ la pression à 
l'exlérieiir du tourbillon, P, la pression an crntre. la dépression à l'arrière du 



•2G SKf.ONDI-. PAiniH. 

disque esl 

elle esl indépendanle du rayon du tourbillon. 

Eu appliquant au cas de l'air, on trouve pour la dépression o'^s, 02061 25; 
cette dépression à l'arrière du disque s'ajoute à la pression de l'avant pour 
former la résistance, qui est é^jale à o''S,o659i8G. 

Goursat. — Sur les Iig;nes asvinptotiqiies. (43-5 1). 

-M. Leiieuvre a montré {Bull, des Sciences mathématiques, 1888, p. i2fi) 
que les coordonnées d'un point d'une surface rapportée à ses asymptotiques a, 
ji sont données par les formules 

^•-./•('.S-.è)--(«.|-».t)<'.^. 

oti 0|, 6^, Oj Sont trois intéj^ralcs particulières d'une équation linéaire à inva- 
l'iants égaux 

On peut déduire de ces fiuiimles une inlinilé fie surfaces pour lesquelles on 
connaît les expressions des coordonnées x, y, z en fonction des paramètres a, 
fl des lignes asymptotiques sans aucun signe de quadraUirc. 11 suffit pour cela, 
comme le fait voir iM. Goursat, de |iarlir dune équation (i) inlégraltle par la 
méthode de Laplacc. 

liajjy. — Siufaccs rii^poilccs à un réseau conjugué aziinulal. 
(5 1-56). 

L'auteur étudie quelques applications d'un système de coordonnées curvi- 
lignes qui dérive de cette proposition due à M. Kœnigs : « Les sections faites 
dans une surface par des plans contenant une droite fixe et les courbes de 
contact des cônes circonscrits qui ont leurs sommets sur cette droite forment 
un réseau conjugué. » 

.Après avoir établi les formules générales permettant de rapporter une sur- 
face aux courbes d'un tel réseau, qu'il appelle réseau conjugué azimutal, 
i\L Ralfy applique ces formules à la détermination des surfaces ilc Joachimstlial, 
dont il exprime les coordonnées explicitement et sans quadrature, et à la dé- 
termination des surfaces qui présentent un ré>cau conjugué azimutal à inva- 
riants égaux : l'équation de ces dernières est 

où /. K, 'I» i-epréscntcnl trois fonctions arliitiaircs. 



iu-:vui<: Di'S i^uin.icA iions. 27 

Pclrovilch . — Keinaïqiics ali;él)ri(|iics sur It-s fonctions dt-finics 
|)ar les cqualions dillcienlielles du premier ordre. (TiS-So). 

L'atilciir prcsciUc une siiilc de remarques coiiccrniinl les valeurs réelles de 
la variable indépendaïUc x. pour lesquelles les intégrales d'une é(|ualion dilTé- 
renlielle algébrique du piemier ordre peuvent prendre des valeurs données à 
l'avance et (ju'on |)eiil Imijunrs supjjoser égales à zéro ou à l'infini. 

Dans un 'l'ravail aiiti rieur, M. Pelrovitch a donné, sous une forme prali(|ue, 
les conditions nécessaires et suflisantes pour que les zéros ou les infinis de 
l'intégrale ne varient pas avec la constante d'intégration, et un procédé simple 
|)our calculer les ordres des zéros et des inlinis mobiles. Soit 

1'' ( JC, y, y')=^ ?, { ^ )7'"'T'"'' 

un iKjJynouie en y et y', où les '^^ix) sont des fonctions quelconc[ucs ilc j;. On 
formera le tableau de is nombres entiers et positifs 

et l'on tracera dans le plan deux axes : sur l'un on comptera les .M,, sur l'autre 
les N-, et l'on marquera les s points (M,., N,). Par le point le plus rapproché 
et par le point le plus éloigné de ON, on tracera une ligne polygonale brisée 
dont les sommets sont les points ( M,. N J et telle qu'aucun point ( M-, N, ) ne soit 
au-dessus d'elle. Cela étant : 

1° Pour que l'intégrale générale de l'éijuation différentielle F(.î7, t, •>'' ) = o 
ait des zéros mobiles d'ordre À, il faut et il suffit que la ligne polygonale de F 
ait un côté de coefficient angulaire a; 

2° Pour qu'elle ait des infinis mobiles d'ortire)*, il faut et il suffit (juc le poly- 
gone ait un côté de coefficient angulaire — \. 

D'après ces théorèmes, si le polygone de F n'a pas de côté à coefficient angu- 
laire positif, les zéros de l'intégrale ne varient pas avec la constante d'inté- 
gration. Mais s'il y a de tels côtés, ces zéros varient avec la constante, et 
l'étude en est impossible dans le cas général. C'est dans ce cas que les remarques 
présentées par JM. Petrovitch peuvent présenter quelque utilité. 

D'Ocagne. — Sur la représentation nomograpliirjue des équalions 
du second degré à trois variables. (81-84). 

Soit l'équation du second degré à trois variables la plus générale 

\ a,y.\-^a., ■xr. -^ ci^t-I^ ib, a, a, — 2 6. rt^'x^^ 1 b^ a, a, 
( -1- 2 Cj a^ -f- 2 Co îCj -!- 2 c. x^^- a = o. 

La condition nécessaire et suffisante pour que cette équation soit représen- 
table par un abaque formé d'un système de cercles et de deux systèmes de 
droites parallèles est que l'équation (i), où les variables a^ a,, a. sont prises 
pour coordonnées courantes, définisse une surface coupée par l'un au moins 
des plans coordonnés suivant une ellipse, réelle ou imaginaire. 



>8 SECOND!' l'AiniK. 

Mdillcl. — Noie sur les groupes do smIi->I iliilions. (80-96). 

M. Muillcl cluniie (r;i|jorcl qiiel(|iie.s indiciilions sur les sons-groupes transilifs 
(les isoiiior[)lics holoédriques des groupes syinélriques ou alternés. 

Il indique ensuite une relation entre le degré, la classe et l'ordre de certains 
groupes primitifs : si G est un groupe primitif, une seule fois transitif, 
(Tordre g. de degré n et de classe u, on a 

g II ^ o " . 

L'auteur énonce en terminant quelques propriétés des groupes transitifs de 
classe ef. e cl f étant premiers et inq)airs. 

D'Ocagne. — Théorèjiie relalil" aux abaques. (98). 

Toute équation représen table par trois syslérncs du premier degré de droites 
is iplèllics est de la forme 

A a, 7L..:t.-~ Ai^a, a^+ \.,^7..,VL.^-i- A.,, a, a, -f- A, a, 4- A^a^-h A3 a^ -h A,, = o, 

mais ce n'est pas l'équation la i)lus générale de ce type. Le caractère algé- 
liri(|ue de ces équations est le suivant: le discriminant de la forme du premier 
mendwe rendue homogène est positif. 

Dans le cas où A = a, l'équation, 011 l'on considère a,, a,, ^3 comme des coor- 
données courantes, représente un liyperlioloïde à une nappe. 

Mangeol. — ■ Sur une manière de re[)résenLer le rajiporl des 
deux courbures d'une courbe gauclic. (yS-ioo). 

Lorsqu'un |)uiiit se déplace sur une généraliice G d'un cône fiuelconque, le 
rayon de courbure principal du cùne en ce point varie proportionnellement à 
sa distance au sommet du cône, et le coefficient de proportionnalité est égal 
au rapport de la première à la seconde courbure d'une courbe quelconque ayant 
des tangentes parallèles aux génératrices du cône, ces courbures étant i-ela- 
tives au point où la tangente est parallèle à G. 

L"auteur indique quelques conséijuences de ce tliéorèmc. 

Duporl. — Alénioire sur la conslil ulion di'S atonies et sur Taelion 
de la nialière sur la jualièrc. (^ 1 02-1 3>. ). 

Les atomes, étant (les parcelles de matière continue, peuvent être considérés 
C(jmnie fluides ou comme solides. M. Duporl discute l'iiypollièse de la tluidité 
des atomes. 

Il est naturel d'admettre que Taclion mutuelle des diflërenles parties des 
atomes s'ellectue point matériel à point matériel, et dès lors l'action d'un 
point matériel sur lui autre ne peut plus dépendre que des positions de ces 
points et de leurs vitesses. 

Lhypolhcsc de la continuité tle la niatière, jointe à celle de l'existence de la 
loi précédente et à certaines considération-! de symétrie, fournit alors des 
é(jual'ons suflisanles pour déterminer celte loi. Maliieureusemcnl on n'est con- 



|{ i<: V L' K I ) 1-: s l' u lu . I ( : a no x s . i., 

iluil aiii.-'i qu'à ili> iiii|)os.>il)ililos, cL les iiilciils n\i|jouU»sciil qu'à di lUDiilrcr 
rincompalil)ililt' (le lu (luidiléde l'alonie et de l'exislencc d'une loi d';illi;icliou 
Ac la iiiaticre sur la malirro s'cxcrcaiU truii point rnix antrns. 

Lecornii . — Sur le 1)011(11110 «le loiigiieiir l)iiis(|ii<niciil variable. 
(i33-i3()i. 

Un pendule simple élwni en niouveinent, un rarrouiril iiiusqueuient le lil au 
nionient du [Kissage par la verlirale : <|uc va devenir l,i vitesse? Si l'on 
appliciue le tliéurènic des quantités de mouvement, on est tenté de répondre, 
comme l'a fait M. Delaunay dans sa théorie de l'escarpolette, que la vitesse 
linéaire n'est pas modifiée, car les deux forces agissantes, pesanteur et tension, 
sont toutes deux verticales à cet instant. Cependant, le théorème des moments 
des quantités de mouvement conduit à une tout aulre conclusion : en vertu de 
ce théorème, comme le moment de la tension |iar rapport au point d'attache 
est constamment nul, et comme celui de la pesanteur s'annule aussi pour la 
position verticale du pendule, le moment de la quantité de mouvement, c'est- 
à-dire le produit de la vitesse linéaire par la longueur du pendule, doit demeurer 
invariable. En d'autres termes, la vitesse linéaire doit varier en raison inverse 
de la longueur. 

Pour éclaircir cette contradiction, M. Lccornu envisage le cas d'un [)cndule 
qui se raccourcit dans un temps très court, mais lini, et fait ensuite tendre 
vers zéro cet intervalle de temps. 

L'application du théorème des quantités de mouvement conduit alors à une 
conclusion correcte, et l'analyse met en évidence la cause de l'erreur commise 
par Delaunay. 

André {D.). — Théorcme nouveau de réversibililé uli;ébri(|ue. 
(.3(3-39). 

h' In ter média ire des Mathématiciens a publié la question suivante : 
« Si l'on pose 
les formules 



f{x,y, z) =jr=-j'c, 



donnent 



/( X. V, Z) _ /( Y, Z, X ) _ /(Z. X, Y) 



^' a-t-il d'autres exemples analogues? » 

M. I>. André fait cunnaitre un théorème général qui en fiuirniL une inlinilé : 
On considère les deux suites de n nombres ehacune 

x„ x„ X,. ..., X,, 

Avec les nombres de la première on forme le rectangle de n colonnes et 



3o 



SEcoNDi': l'A uni': 



n — I lignes 






et un rectangle pareil avec ceux de la scrondc. 

On prend les délerniinanls qui se déduisenl du premier de ces rectangles 
par la suppression de la première, de la diuxièiiie, ..., de la rV'"^' colonne, et 
après les avoir an'cclès alternalivcmcnL dos signes + et — , on les désigne par 
0|, 0^, ..., o„; on prend enfin les déterminants qui dérivent du second rectangle 
et, après avoir alterné leurs signes, on les désigne par A,. A. A,^. 

Cela iHanl. si l'on a 

'^1 _ '■'-- _ ''n 



A, 

X; 



et réciproquement. 



Carlan. — Le jirincipe de cliialllé et cerlaines iiiLégrales imil- 
li[)ics (le l'espace langenliel et de l'espace ri'glé. (140-1^^). 

Certaines int(;gi'alcs nuilli|jlcs, relatives à des ensembles de points, ne changent 
pas de valeiii' lorsqu'on fait subir aux points un même déplacement : telles 
sont l'aire d'une portion ilu [)lan, le vulnnic d'une portion de l'espace. 

I\'y a-t-il pas, en vertu du prin(ip(; d(; dualité, des intégrales multiples, 
étendues à des ensembles de tlroites dans le plan ou à des ensembles de plans 
dans l'espace, qui jouiraient d'une propriété analogue, c'est-à-dire qui resteraient 
invariables Iors(|u'on iinpi-ime un même déplacement à toutes ces di'oiles ou à 
tous ces plans? 

La question, comme le montre M. Cartan, doit être résolue par l'affirmative. 
Il existe dans le plan, regardé comme engendré par des droites 

ux + vy 4- w — o, 

une intégrale double invariante 



// 



u dv chv + i' chv du + w du dv 

{u'--+- v'-y- 



exprimant une propiiété métrique d'un cnscTiible qn(dcon(|uc de droites dépen- 
dant de deux parairiètres, pourvu qiir paitiii les droites de cet ensemble ne 
figure pas la droite de l'infini. Klcndue à toutes les droites qui rencontrent un 
segment reclilignç doninS relie inlégriile exprime le double de la longueur de 
ce segment; étendue à toutes les droites (|ui coupent une courbe fermée 
connexe, elle est égale au périmètre de cette courlie. 

Il y a encore dans le plan une autre inli'grale simjjlc étendue ù des droites 
dépendant d'un seul paramètie : elle exprime simplement l'angle de deux droites 
limites. 

Dans l'espaee tangentiel, c'est-à-dire considéra'' comme engeuilr('' pai' des plans, 
il existe de même deux inlésrales : l'une, iloiibli', (■tendue à des ensembles de 



lU-VlJI- DIÎS PUBLICATIONS. 3i 

plans (U'pendaiil de di-iix paranirlrrs. oxpiimo l'aire (h'Toupép siii- une spliù-c 
(le rayon égal à riiiiili- j)ar 1rs rHutiialcs aux jilaiis ihcik's |>ai' le ceiili-e île 
ccltt; sphère; la (ieuxiènie est une int(''grale triple, embrassant des ensembles 
de plans quelconques, pourvu que le plan de l'inlini ne soit pas Tun d'eux. 
Klentluc à rciiscnibie des plans i|iii ciiiipcnt un arc de courbe, celte inlégrale 
triple 



/// 



i^'z~ A ( Il di> div dh -+- (^ dw du dh + (v du dv dh — h du dv dw ) 

[s( «, l», (V, Il )]'- 



[où cp(?/, V, w, h) = o est ré((ualioii en coordonnées homogènes d'une qua- 
drique (quadrique fondamentale) cl A le discriminant de la forme cp] est égale 
au produit de tt par la longueur de cel arc de courbe. Mais ce qui fait surtout 
l'intérêt de cette intégrale, c'est que, si on l'étend à l'ensemble des plans qui 
coupent une surface fermée convexe, on a une nouvelle quantité qu'on peut 
appelei- le périmètre de cette surface, de la même dimension (]u'une longueur 
( le périmètre ainsi défmi d'une sphère est égal au quadruple de son diamètie). 
Le périmètre d'une surface fermée peut donc être considéré comme le dualis- 
tique du volume situé à l'intérieur de cette surface. 

Enfin, on peut aussi regarder l'espace comme engendré par des droites, ce 
qui le rend son propre dualistique, et il existe aussi dans l'espace réglé des 
intégrales multiples métriques. Une de ces intégrales est une inlégrale qua- 
druple et, par suite, s'étend à des ensembles de droites quelconques; étendue à 
l'ensemble des droites i[ui coupent une portion de surface, elle est égale au 
produit de ~ par l'aire de celte portion de surface; étendue à l'ensemble des 

droites qui coupent une surface fermée convexe, elle est égale au produit de - 

par l'aire de celle surface. 

II existe deux autres intégrales de l'espace réglé, et elles sont tloubles, par 
suite s'étendent à des droites dépendant de deux paramètres; l'une d'elles 
représente l'aire découpée, sur une sphère de rayon égal à l'unité, par les 
parallèles à ces droites menées par le cenire fie la sphère. Quant à l'autre, elle 
jouit de la propriété de se reproduire divisée par n lorsque les droites de la 
congruence se réfractent à travers une surface dans un milieu d'indice n; de 
plus, la condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une congruence 
soient normales à une même surface est que l'intégrale relative à tout pinceau 
de la congruence soit nulle, d'où résulte que, par réfraction, la congruence des 
droites normales à une surface se change en une congruence jouissant de la 
même propriété, ce qui est un théorème bien connu. 

Lai'ose. — Dénionslralioii du lliéorèiiic de M. Vaschj sur une 
dislribulioii quelconque de vecleiir. (ij--i8o). 

Soit II un vecteur défini en chaque point d'un champ U limité par une sur- 
face S ; si » est une fonction de /(, telle que l'intégrale j j 'i (v) c/t, prise sur une 
sphère infiniment petite 2, soit, à un facteur numéri(jue près, égale à lu valeur 
moyenne de h sur la sphère, on aura 

', - h + f f 9 ( V )d--r fj ' f-i{\)dv^O, 

V étant l'unilé (h; normale intérieure et V l'opérateur de Haniilton. 



3>. SEC ON 1)1- FAUT II-:. 

Celle reliilion, que M. Larose tli'-diiil <riiiic fniiiiiilr de M. Carviillo, est ana- 
logue clans l'espace à ridenlilé de Cain liy dans le plan pnur le raii ul îles 
résidus. 

L'auteur en conelul une demi )nslra lion nouvelle de ce ihéorème de M. \ aseliy : 
« Le cliatnp d'un vecleur quclconciue li peut èlre considéi-é coninie produit pai' 
la superposition d'un cliamp de masses newloniennes et d'un cliamp déniasses 
laplaciennes réparties dans le voliinie L et sur la siirtac e limite S du < liamp. » 

Carvallo. — Généralisation et extension îi J'espace du lliéorènie 
des résidus de Cauchy. ( 1 80-1 84)- 

Soit f{.r) une entiié quelconque, géométrique ou non, déterminée en chaque 
pciiiil X de rcspace v. compris entre une sphère s et une surface s en\elop- 
|iant a. four ces surfaces, on considère les normales v et v, égales à runité et 
dirii;ées vers l'intérieur du volume v. Soient /• la dislance d'un point <( au 

point x; a le vecteur unité i)orté du ])oint a vers le ixdiit .r; '' T' / """^ 

f(in(li(jn des trois symboles v, -, et /, dont la siijniUcalion demeure arbitraire, 

/- 

mais qui est assujettie à la condition dV'tre linéaire en v; enfin V le vecleur 

symbolique de llamillon 

V-I — +1 — -I --. 

~ ' ô.r, ^ - à.r, ■ ■• à.r, 

Ç..-\n élan!, un a la formule de i'('-durl ion 

En par! iculai'isanl de diverses façons le sens du crochet, ^L Carvallo montre 
la fécondité de cette formule. Il retrouve entre autres a[i])lieations le tlii'orènie 
de M. Vaschy et démontre cflle proposition : « Si l'on (-(jnsidrre une <!isiribu- 
lion de vecteur f qui dérive d'un potentiel, puis une couche supcriicielle s 
dont la densité est représentée par le vecteur /'. eiilin l'action de celte couche 
superficielle agissant d'après la loi de Laplaee >nr un |Hiini inl('ii(iir. le llu\ 
de force (|ui traverse la surface ,v est nul. >■ 

y»'c///V. — Sur le signe de la loision des coiirhes gauelies. (iSà- 
iHC)). 

Si Ton ronviriil de |)laeer- r( diserva tei.r du ci'ili' du plan n-rtilianl on ii'e>t 
pas le centre île courbure, qu'on donne au triédre (.M, aie) formé par la tan- 
gente, la normale principale et la binormale, la disposition habituelle, et ipron 
choisisse le signe de la toi-sion de telle soiie (|u'on ail, pour les points de la 
courbe voisins de l'origine M, 

on arrive à celle règle : " l ne combe à torsion positive esl dextrorsnm; une 
courbe à lorsion ni'^ati\e esl sini>l rorsuni. " 



IM',VUI<; DI'S PUBLICATIONS. W 

lliiildiHdiul . — Sur les loiicl loiis ciilirrcs. (i8G-i(S-). 

|)iiiis un l'riÉViiil ;iiilciii'iii' { JouiikiI di' Mal litin(ili(iiu'x, i^cj'i), M. IliKhini.ird 
il l'IlKlié les relations qui i'\isl<'iil cnlri' l'onlrc île i;riiii(lciir îles ((icllicirnls du 
(léveloppeineiil d'inK' tunelion eiitiirc et l'urdic de i;r;iii(kiir de la loiiclidn 
pour des valeurs iulinics de la \ ariable. \ \ aiil reeunnu d«'[iu i> (|ue res re la lin us 
pouvaient se incUresous uue forirrc plus simplr cl ru inèinc temps plusixaele, 
j'auteui- expose soniinairetnenl les résultais au\i|ii(ls il est, parvenu. 

M (UiuIh'uu . — Sur le r;i|i|)()rt des deux coiirl)ui('s d'iiiic coiiihc 
gauche, (i 88). 

Ldisdiit. — Identités relatives à des j)olyiiomes entiers. (191- 

Si l'on rcpn'senle par h la moyenne arilliiiK't ii|iie îles racines a, h, c, ..., / 
d'une t''(|uati()u /(x- ) — o de de^ré m, on a les deux identités 

^ /(".-=) {n)+ m{ni^2) f ('"--) {h) = o, 
les sommations s'éteiulant à toutes les racines de l'éciuation. 

Dupoj'cq. — Sur les centres de gravité des courbes parallèles. 

Des courbes fermées, géométriques ou non, parallèles entre elles, ont le 
même centre de gravité des courbures. Les centres de gravité de leurs péri- 
mètres sont sur une droite passant par ce point fixe, et leurs distances à ce 
point sont inversement proportionnelles aux périmètres correspondants. 

Après avoir donné une autre forme à cette propriété, et en a voir tiré diverses 
conséquences, M. Duporcq indique quelques lésultats applicables à des courbes 
parallèles non fermées. 

Les centres de gravité des courluues oj d'une famille d'arcs, ha parallèles 
entre eux, sont sur une droite parallèle à la bissectrice de l'angle des normales 
communes extrêmes. Si -i désigne cet angle, deux courbes distantes de ont 

des centres tle gravité iloiit la dislance est — ^-sin -• 

Quant aux centres de gravité g des périmètres de ces arcs, ils sont sur une 
liyperbole dont une des asymptotes est parallèle à la bissectrice de raii;;le 
des normales extrêmes. 

Les di'oitcs g-oj enveloppent une parabole (|ui toucbe également les perpendi- 
culaires abaissées des centres de gravité g sur les cordes ab correspondantes. 

D^ Ocagnc. — Sur le signe de la torsion des courhes gauches et 
du paramètre de distribution des surfaces réglées. (i()j-if)() ). 
Bull, (les Sciences matliém., ■?.' séi-ie, t. XXII. (Février 1898.) W.'i 



34 SECONDE PARTIE. 

M. (l"Ocagnc propose une convention inverse de celle de M. K.iITn. ( Voir 
ci-dessus.) 

Diipovt. — Sur la conslilution des atomes et raclion de lu ma- 
tière sur la matière. (197)- 

Au Mémoire récent, où il a montré que les atomes doivent être considérés 
comme de petits corps solides, l'auteur ajoute quelques résultais : il indique, 
entre autres choses, que l'action d'un point d'un atonie sur un point du même 
atome ne saurait dépendre seulement de la position relative de ces deux points 
et de leurs vitesses. 

Laisant. — l^ropriélés algébri(|ues des eoeflieieiils du Ijjnome. 
(i97-'99)- 

Si l'on forme le Tableau de « -i- i colonnes et de n lignes 



i"- 



(n^xy- 



( « - I )" 



et si l'on désigne les déterminants qui résultent de la sujjpres-ion de la i = -. de 
la :'.", ..., de la (n-i-i)'*°" colonne par 

A„, A,, A.. ..., A„_,, A„. 

les valeurs des termes de cette suite sont proimrtionnelles aux coeflicients du 
développement de la puissance n du binôme. 

Hadamard. ■ — Sur la distribution des zéros de la (onction '^X^^ 
et ses conséquences arithmétiques. (199-220). 

La fonction Ç(s) de Riemann est définie, lorsque la partie réelle de 5 est plus 
grande que i, par l'équation 



logÇ(5)=-y] '«?('- -7) 



où p désigne successivement les différents nombres premiers. I-^iie est liolo- 
inorphe dans tout le plan, sauf au point s = i qui est un pôle simple. Elle ne 
s'annule pour aucune valeur de s dont la partie réelle soit supérieure à i; mais 
elle admet une infinité de zéros imaginaires dont la parlie réelle est comprise 
entre o et i. Stielljes avait démontré, conformément aux prévisions de Riemann, 

que ces zéros sont tous de la forme - -}- tl, mais sa démonstration n'a jamais 

été publiée. 

Reprenant la question, M. Hadamard, en n'invoquant que les propriétés les 
plus simples de Ç(5), fait voir que cette fonction n'a pas de zéros sur la droite 
S^{s)—\ [t'iKs) désignant la parlie réelle i\e i]. 11 étend celte proposition 



iiEViii' i)i:s iMjin.icATioNS. r> 

aux séries inlrodiiitcs en nrillmiclique |);ir Diiiclili'l et (|ui ;i|i]i;irl iciiiii'iil ;'i hi 
rali'goric des séries de la fornie 7 — " p(''ii(i(lii|urs, ("csl-à-diie doiil lis cocrii- 

cients c/„ se rcprndiiiseiit de /,• en / . 

Bien que ce résultai soiL 1res éloigne de la précision de celui qu'ont annoncé 
Hieinann et Slielljcs, il suffit néanmoins pour démontrer les principales consé- 
quences aiilliiiii'i iqiirs (|ii'(iri a jusqu'ici essayé de tirer des propriétés de Ç(5). 

Ainsi, on pi ni en riin<lure la démonsiration rigoureuse de ce lliéoréme 
énoncé par Ilalplien : « La somme des logarillimes des nombres premiers infé- 
rieurs à X est asymplotiqu(> à x. » Ce théorème n'est d'ailleurs, comme le 
montre iM. Hadamard, ipruii cas parlicidier du suivant : « La somnie 

-T • > \oii p logi*^' —■> étendue aux nondires premiers inlVricurs à .z\ et dans 

I (;j.) — - •- ' p 

r 

laquelle ;jl di'signe un nombre positif quelconque, est asymplolique à or. » 

En utilisant la propriété des séries de Diricliiet, M. Hadamard établit 
d'autres propositions analogues sur la somme des logarithmes des nombres 
premiers inférieurs à x cl compris dans une progression arithmétique déter- 
minée. 

Il signale, en terminant, la possibilité d'appliquer sa méthode aux séries de 
Weber et de Meycr, jiar lesquelles on étend le théorème de Diricliiet sur la 
progression aritlimélique aux formes quadiatiques : ces séries ne s'annulent 
pas sur la droite <'ll(s) =1. 

Jiendixson. — Déiiiotisliation île l'existence de l'inlégrale triine 
étjtialioii aux déiiN (''cs pat! lel les liiK^aire. (2^,0-22.5). 



(^()MPi'l'"S KI'^NDUS iii;iîD )M\DUui:s dks skancks [)fi: f/Acadkmie dks Scii:Nct:s. 
Tome CXXIII: iSgli (>). 

tioiissinesq . — Lois générales du régime uniforme dans les lits 
à grande section. (j-i3). 

horkine. — Sur les équations dillérentielles ordinaires dti 
premier ordre. (.i8-4o). 

Dans une récente Communication, M. Painievé avait avaiici- i|ue les expo- 
sants constants qu'il désigne par >v,, a,, ...,)>„ devaient être tous distinclsdans 
la méthode de M. Korkine. M. ICorkine relève l'inexactitude de celte assertion. 
Il adresse diverses critiques aux résultats énoncés par M. Painievé et termine 
en affirmant (jne la question par lui-même posée, loin d'avoir reçu une solu- 



(') Voir Btillclnu t. \\I,. p. 217. 



3G SlîCUNDlî l'A un H. 

tion antérieure qiielroiiqiic, n'en ;i justiu'à piési'iit tliiiitrc ([ue celle qui est 
ronteiiue dans sa .Noie. 

l)Oussines(j . — Du régiinc imiforme dans les canaux rectangu- 
laires larges et dans les luvau\ ou canaux à section circulaire 
ou demi-circulaire. (---8>î). 

PainleK'é.. — Sur les é(|uations difTt'renlielh^s du prcniicr ordre. 

(88-(),). 

Laissant de côté les rapports plus ou moins étroits (|ui peuvent exister entre 
les recherches de IM. Korkine et les siennes. I\l. Painlevé niainlicnt l'exacti- 
tude de toutes les propositions ([u'il a énoncées coninic lui apparlcnrint dans 
sa dernière Communication. 

Miller. — Sur les groupes de stdjstitulious. ((ji-Q'i). 

Kn ce qui (N)iiicine réiiuméralion de groupes d'ordre S/;, Taulcur est 
d'accord, sauf sur un point uni(|ue, asec .M. Levavasseur {Comptes rendus, 
t. CWIl, p. 5i6). 

M. Miller communique une formule «pii donne li' nombre total iS des groupes 
de substitution (transitifs ou intransilils ) dont l'ordre est le produit de 
deux nombres premiers /^, q. 

"Si p — I est divisible par q, 

i\ == ( A- -(- I ) ( A- H- •.'- ) — m ; 
si p — I n'est pas divisible par q, 

N = !(/,■ H-, )(/■ + , )_,„_, 

Â' étant la plus grande; valeur de ;; qui satisfait à ré()uation en nombres 
entiers positifs {ce, y, z) 

n — pqz ^ px -h qy, 

où n désigne le degi'é des groupes. 

m est égal à 3, 'i ou o, suivant que /( est divisible par pq, par p ou q seu- 
lement, ou n'est divisible ni par/» ni par q\ in^ est égal à :<■ si /i est divisible 
par p ou par 17, à o si ;i n'est divisible ni par p ni |)ai' (j. 

Hadaniard. — Sur la fonction s(.v). (93). 

Uectilication portant sur un point secondaire d'une démonstration commu- 
ni(]uée réccmmtMit par l'auteur. 

Fouché [lid . et Af.). — Sur le dé|)lacenieiit de Taxe de rotation 
d'un corps solide dont une |)artie est rendue inoruenlanétnent 
niohile par rappoit au reste tle la masse. (().')-()()'). 



KKVUK l)i;S PI' BMC ATI ON s. j; 

i;i;ml diimii' il il sysliiiic iiuiléi-iel sur lequel n'agit aucune force extérieure 
et iiKiliilc .iiiiiiiii' (le son ccnire de gravité, ce mouvement s'edectuant d'aborrl 
coiiiiiie si le svstéiiif ii.iit solide, on peut, par un cycle d'opérations fermé, et 
en ne faisant intervenir <|uc des forces iiitiiicurcs an système, arriver à faire 
prendre à l'axe de rotation une position relative (lu'il n'aurait jamais pu prendre 
si le système était demeuré invariable. 

Un cas intéressant est celui où le système se compose de deux parties solides 
dont l'unç, celle qu'on déplace, est un corps de révolution. La constante des 
quantités de mouvement restant invariable dans tous les cas, la force vive 
présente un minimum qui correspond au cas où le solide tourne autour du 
petit axe de l'ellipsoïde central. J)ans ce cas, qui est celui de la Terre, il 
faudra dépenser du travail pour déplacer l'axe de rotation. Pour toute autre 
position initiale de l'axe instantané, on disposera d'une certaine (juanlilé de 
force vive susceptible d'être transformée en travail. 

Lecornu. — Sur l'équilibre crélaslicité d'un corps toiiriianl. 

(9^8)- 

Lorsqu'un solide homogène de révolution tourne autour de son axe, le dépla- 
cement de chacjue élément sous l'action de la force centrifuge est dirigé dans 
le plan méridien et indépendant de l'orientation de ce dernier. Si l'on désigne 
par X tl y les distances initiales de l'élément à l'axe de rotation et à un plan 
lixe perpendiculaire à cet axe, par u et c les variations de x tl y, par 4M le 
produit o)-p du carré de la vitesse angulaire par la densité, par 6 la dilatation 

, . u ou ()V „ I irv <^^ '-*" . 1 

cubique 1 -+- — i eiilin, par a la dillerence —— > on trouve les 

X Ox Oy ' ox dy 



deux équations 
(I) 



dd do ... 

( A -t- i ;x ) a -^ -h '\MX 

ôx Oy 



(A 



r« 






fo 




&s 




-t- 


!'( 




-\- 




ÔY 






\x 




dx 



)- 



Le problème de l'équilibre d'élasticité d'un [uireil solide consiste à trouver 
des valeurs m et v satisfaisant aux équations (i) et telles que, pour tout élément 
de la surface libre, la tension normale et la tension tangentielle soient nulles. 

M. Lecornu obtient une solution remarquable en prenant 

"■ ' ' ,S|j. -ja -^ ' 

A Ma ., .Ma- 

( A -^ 'J. ) V = — 2 h :. y H X- V -)- T, ; V ■ 

A -I- 2 ;jL -^ -J a - 3 a ( A -T- J a ) -^ 

Ces valeurs satisfont aux équations (i) et, de plus, elles donnent pour les 
tensions normales et tangenticlles qui s'exercent soit dans le sens du rayon, 
soit dans le sens de l'axe 



M, = a6 -i- 2 ;x ^ = 2 A — ;^ ■ M , — '- X- - 

dx A -1- ij. L '> + " M- 4 



M Af:rA + .-|j.) „ 



N,^xe-.2;..:^ =.o, 

' ' dy 

T = a r — = n. 

\dx d\- 



38 



SliCONDl-: PAHTIE. 



La tension normale n el la tension tangenlielle / sur un élémenl superficiel, 
perpendiculaire au méridien, et dont la normale forme un angle x iivee luxe, 
ont pour valeurs 

« = N, cos'a, < — N, sin a nos a. 

Donc, la surface poui' laquelle \, = ii pcul jouer le rùle de surface libre. 
C'est un ellipsoïde de révolution allongé: le rapport entre les carrés du 
diamètre équatoriul et ilu diamètre polaire est, dans l'iiypotliése a = [j., égal 
à ^§- ou sensiblement .',. 

N3 et T élant nuls, si l'on découpe relli[)s<iïd(' en tranches parallèles à 
l'équalcur, chacune de ces tranches est individuclli iiiciil en éi|uilibre. Ce fait 
lieiinet à l'auteur de donner une idée des tensions qui prennent naissance par 
la roLati(jii d'une meule. 



Boussinesq. — Lois de deuxième approximalion du it'giine iini- 
lorme dans les tiiyatix circidaires el (iat)s les canaux demi- 
circulaires, (i 'Î1-147). 

De Ségiiicr. — Sur les sommes de Gauss. (i()()-iG8). 

L'étude des sotnnies 

2 /i 7t (■ 



où n est quelcon(|uc cl où ,v parcouil un système de restes selon le module//, 
se ramène à celle des sommes 

'^ ( /i, D 'j = \ / - j e I " I (A entier > o, < o ou = ), 



où D est un discriminant et nù ,s parciuiil un svstème de restes positifs selon 
le module 1). 

Kronecker a détcrmin(' ces sommes dans le cas où D est un discriminant 
fondamental, c'est-à-dire un nombre de l'uni' des tonnes 1', — 1 1% ±81', 
P étant un discriminant impair sans faclrur canc'. 

Le P. de Séguier communique une formule ipii donne '!j{h. I>) dans les cas 
où U est un discriminant quelconque, carié ou non carré. 

Il dé.ermine ensuite les S(jmmes 



* = |I>| 



>(a, !))= 2i 



I)\ 



\s''- 



selon le module H. ou du moins leur grand commun diviseur avec D. 

Lœwy {^Alfred). — Stir les formes (|iiadralif|ucs définies à indé- 
lerminées conjuguées de M. Hermile. (1G8-1-1). 



llKVUli DKS PUBLICATIONS. 



3'.) 



\ Iniilc ^iili^lil iil iiiii linéaire 



/. 1 



iriil cil ailjiiiiKJri' uiir atili'o 
A =11 



'■ = '^K'i: (^ = ',2, ...,n). 



(loiil les rocfdcicnts cL les variables soiiL iina^^inaircs C()iijiij,'iics des rocriiciciits 
cL variables de la preiiiièie. 

Une foiinc I)ilinéaire y a'i.x^x'1 à indélcrminécs conjuguées, dont le déter- 
minant n'est pas nul, peut-elle être transformée en elle-même quand on 
elfectiie sur les variables les deux substitutions ])récédenles? Il faut et il suflil 
pour cela tiue les deux déterminants 



Pi 



Pli 



PnX 



Pin 
Pm 

Pnn - P 



A" = 



Pi 



Pli 



pin 



P'U 

Pl. 



Pnn 



OÙ est un paramètre aibilraire, aient des diviseurs élémentaires adjoints l'un 
à l'autre, de manière t|u"iis soient de degré égal et s'annulent pour des valeurs 
réciproques. 
L'auteur étudie particulièremeiU les formes quadratiques de M. Hermilc 

7 c^^XiX\ caractérisées par le fait que les coefficients c,,. sont réels et 

les coefficients c,^, Cj, imaginaires conjugués. Le cas le plus important est 
celui où les diviseurs élémentaires sont simples et où toute racine de A = o 
est adjointe à la racine imaginaire conjuguée de A" = o. Alors, les deux substi- 
tutions transforment une forme quadratique définie (positive) de AL Ilermile 
en elle-même. 

Invei-sement, toute forme définie de .AL Hermite n'est transformée en elle- 
même que par des substitutions dont les déterminants A, A„ ont des diviseurs 
élémentaires simples et des racines dont le module est l'unité. 

Complétant ensuite les résultats obtenus par M. Picard, l'auteur montre 
qu'à tout groupe linéaire d'ordre fini à n ^ariables correspond une forme qua- 
dratique définie à indéterminées conjuguées, qui se transforme en elle-même 
quand on effectue les substitutions du groupe d'ordre fini sur les variables. 

L'auteur termine en indi(|uant la substitution générale, à déterminant non 

nul, qui transforme en elle-même la forme quadratique définie \ .2:,a:^" : c"est 
la généralisation des formules de Cayley pour la transformation orthogonale. 

Fiidis. — Pvemarques sur une INole de M. Alfred Lœwj inliuilée : 
Sur les formes quadratiques définies à indéterminées eon- 
jui: liées de M. Hermite. (aSQ-iigo). 



4o si:co-NDi-: PAiiTiii:. 

l);ins la .Noie en question, M. Lœwy énonce ce théorème qu'à tout gioupe 
fini à n variables correspond une forme quadratique à indéterminées conju- 
guées qui est transformée en elle-même quand on cfTcctue les subslitutions du 
groupe d'ordre fini sur les variables. 

M. Tuclis fait lemarqner que ce lliéuremc est un cas particulier des résultais 
d'un .Mémoire : Sur une classe créqualions différentielles linéaires et homo- 
gènes, qu'il avait jiublié peu de temps auparavant dans les Sitzungsberichte 
de r.\cadémie de Derlin. 

I o/? ïï'e/x'r. — Sur l'inlégralion des équations aux dérivres par- 
licllt's siimillanées. (2y2-uy4)- 

Parlant d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires, com- 
plètement intégraijle, l'auteur signale une infinité de cas où l'on pourra 
ramener l'intégration de ce système à celle de plusieurs systèmes d'équations 
différentielles ordinaires. 

Tliybaul. — Sur une classe de surfaces isolherniiques dépendant 
àc deu\ fondions arbitraires. (295-29"). 

I. 'auteur rappi.'lle d'abord un théorèiue i]u'il a i-lalili précédeminciil : 

« Si l'iPii coiinail /> ^nluLioiis de l'eau. it ion K 
' ' P 

vérifiant la rcialion > 6'- = o et une { p -+- 1 )'""' sohiticiri ([uclconijuc oj : si l'on 
pose 

la fonction o>' = > V/J, est une nouvelle solution de ré(|uation K ,. » 

Cela posé, appelant solution spécial'' imr -ululion w telle que 01'= mw, 
ni étant constant, M. Tliyliaut montre que, >i l'on appliijue à une équation K , 
la transformation de .M. .Moutard relative à une solution spéciale oj, on obtient 
une équation E ,. 

En particulier, toute équalinn harmoni(|ue Ej a des solutions spéciales parmi 
lesquelles se trouvent les solutions harmoniques. L'équation transformée est 
une équation Ej. Or, les cinq solutions dont la somme des carrés est nulle sont 
les coordonnées penlasphériques d'une surface isotln-iinique rapportée à ses 
lignes de courbure (Darbou.\). 

La mélhode précédente permet donc de déduire des équations harmoniques 
une classe nouvelle de surfaces isothermiques. 

De Joi^quK'fes. — Au sujet (Tune précf^tlente Coninuinicalion 
relatixe à quelques pro|)riélés des racines |)rimitives et des 
racines secondaires des nombres premiers. ( 3j4)- 



iiKVUi': i)i-:s i'UHi,i(..\ rioNs. ii 

L'auteur jiislilic linis [irciiinsilioiis (iii'il fixait (■■iiiiiir('cs par iiiihicl ii)n dans sa 
(Icrriière Noie ( .'-• juin i^ii'i I. 

l*(iinU'^u'' . — Sur l;i Iraiisluiiiiiilioii des iMjiialioiis de la ]3viianu(jiic. 
(3()'>.-395). 

.>[. Painlevé revient sur le prolilènic de la li'aiisfoi iiialion des é(|iiations de 

Lagrange. 

Il considère exclusivement les systénies (['(''([iia ( ions de !.a^ran:;e uù les 

ds- 

forces <) ne déijcndent (lue des tiaraniètres x., .... x el nù la toice vive -rr, 

w I 1 1 1 „ dt- 

est une forme quadratique en x\, ...,x\^^ indépendanle du temps. Soient 

( A ) = [ ds\ Q, ], ( V , ) =3 [ rf5^, q; ] 

deux tels systèmes. Ces systèmes sont dits correspondants s'ils admettent les 
mêmes trajectoires. 

Quand les forces Q,- ne sont pas toutes nulles, deux cas sont à distinguer, 
suivant que les géodésiques de ds- et de ds\ co'ineidcnt ou non; (A) et (A,) 
sont dits correspondants de première espèce dans le premier cas, de seconde 
espèce dans le second. Dans le premier cas, à tout système de force Q, on peut 
associer des forces Q| telles que (A) et (A,) se correspontleiit, el l'on passe 
de (A) à (A[) par un changement de variables 

dt = \{x^, . . . , i'„ ) dt^. 

Le problème de la formation de tous les correspondants de première espèce 
d'un système donné (A) a été résolu récemment par ^L Levi-Civita {Ann. di 
Mateniatica 1896). M. Painlevé résout le même problème pour les corres- 
pondants de deuxième espèce. Le calcul de tous les correspondants d'un 
système (A) donné n'exige jatnais que l'intégration d'équations linéaires. 

Appliquées au cas n = 1, les propositions établies par >L Painlevé permettent 
de former explicitement tous les correspondants de seconde espèce. Le résultat 
s'énonce ainsi : 

Soit un S3'stéme [d.i-, U) et soit (A') un de ses correspoudanls de preuiière 
espèce, (A',) un correspondant de première espèce de 



( L; + A) ds', 



u + /; I ' 



les deux systèmes (A') el (A,) sont correspoudanls d(; deuxième espèce, el 
l'on obtient par ce procédé tous les correspondants de fleuxiéme espèce. 

De là résulte la formation, pour n = ■?.. de tous les systèmes (A) dont les 
Irajectoii'es admettent une transformation inlinitésimale, et plus généralement 
de tous les systèmes (ds-, Q,), {ds-., Q,') tels que les trajectoires du premier 
se déduisent de celles du second par un changement des variables ^p .r.., .... 

Pour n > 2, les correspondants de première espèce de deux systèmes (T, U ), 
[(U-f-/t)T, U] forment encore une classe remarquable de correspondants de 
deuxième espèce. 

Siacci. — Sur une ptx)pusili()n de ^lécanique. (oqo-ocjÔ). 



U s !•:(:() N DK PAiniii:. 

iM. Siacci signale l'incxacliludc fie celle proposilion. énoncée dans la Mécn- 
nique analytique {'y' édit., t. I. p. 70) : 

« De toutes les situatiDiis i|ii(' prend siirccssivenienl le système, celle où il 
a la plus grande cl la plus petite foi'cc vive est aussi celli^ ni'i il le faudrait 
placer d'abord ]ioiir (luil lestàt en équilibre. » 

C'est la réciproque de cette proposition qui est vraie. 

Serrcl { P.). — Sur une double .s(''rie récuiTcnlc de poinis Ion jours 
homocjciiques cl de eercles loiijoiirs en eolli néiilion. alUichés 
aux polyo;ones d'ordre 3,4, 5, . . . , rcsuluiiil de v droites indé- 
peiidanles, employées successivement dans un ordre donné. 

M. P. -Serret i"(;trouvç, coriinie appliialioii de >a llu'-oric des (■■(|uihiléres 
d'ordre quelcon(|ue, mais avec (Jes propriétés nouvelles et par une analyse ne 
portant que sur des réalités concrètes, la môme série si reman(uable de 
points et de cercles rapportés par Salinon et obtenus eu premier lieu par 
(Uifl'ord, grâce à la considération des points imaginaires de l'inliui. 

De Joiujuièi'es. ■ — An su|el des nombres premiers doni un 
nombre (jiieleonque donné ne peut être racine. { \oô-\o(\) . 

Serret (/*•)• — Sur une ehisse de ])ropositions atudoi^nes an 
ihéorème Miquel-Cliflbrd et sur les propriélés (pii en résultent 
pour les polygones de 5, 6, 7, i i , i 2 cotés circonscrits à l'in- 
pocjcloïdc de module ^. (/(i 5-4 18). 

La plus imporlaulc de ces ])ro[)osilions doiiu'' la solution du proI)Iènu' 
sui\anl : 

Trouver la condition ([uc doit remplir le pentagone 'I",, T^ ..., 'I",, jxiur (|ue 
le cercle de Miqucl qui lui correspond dégénère en droite. 

Cette solution est que le pentagone considéré soit circonscriptible à l'iiypo- 
cycloïde de module '. Or, une telle liypocycloïde est déterminée par quatre de 
ses tangentes r d'où la propriété de cinq tangentes à la courbe, (jue les foyers 
de trois quelconques des paraboles inscrites à quatre d'entre elles forment tou- 
jours trois points en ligne droite. Ceci permet, quatre laugeutes à l'hypocy- 
cloïdc étant données, d'en tracer une cinquième. 

Serret (P-)- — Sur l'emploi d'un cercle iixe, dérivé d'un groupe 
quelconque de sept tangentes d'une conique, pour définir 
a priori le cercle dérivé de sept droites c|ueIconques. (442- 

443). 

Stou ff. — Sur les lois de réci|)rocité. (486-488). 



lU'iVUK 1)I-:S l'IlHI.ICATlONS. /,3 

On sait qu'une des fli-tiuinslralions de la loi do i('ri[ii-i)(ii('; ducs à Gauss 
repose sur le partage en deux classes des restes par rapport à un noinltic 
donné. 

M. Stouff clicrciie à généraliser retlc (l("monslralion pour Iroincr l.i valeur 

ilu symbole > où ni c>l un ciilier nreuiior non coniplcxe. x une racine 

d'ordre m de l'unité, /'(a) ^^ > a^T.' un entier complexe premier. 
/ = I 
Il démontre (|ue ce symbole ne dt'pend i|ue des restes des a^ par rapport à 
certaines puissances de m, ])uissances dont les exposants ne ih |m inli ni aussi 
que de jh. 

Delassus. — Sur les sjslènies alyébriqiies cL lciir.s relations avec 
certains systèmes d'équations aux dérivées [)artielles. (546-54B). 

Soit 1 un système diderentie! à une inconnue z et à /// yariabies x^, x^_, .... 
a;„j, et dont chaque éijuation <I> — o a puur premier membre une t'onctiou 
linéaire, homogène et à coei'licients constants des dérivées partielles ti'un même 
ordre de z. 

Soit S le système algébri(|uc. homogène et à m inconnues, obtenu en rem- 
plaçant dans toutes les équations <\^ chaque tlériyée ^^ par le monôme 

Ox'\' . . . âxf,;" 

correspondant .r^' . . . xf,i". 

Il y a entre S et S des relations très étroites, celle-ci entre autres : 

Dès que, par un procéflé queicoinpic, on conruiit les degi'c's des diverses 
multiplicités qui composent la solution générale de S, on connaît par là même 
le nombre et la nature des fonctions arbitraires qui ligurent dans l'intégrale 
générale de X. 

Ou, d'une façon plus précise, en considérant les S comme tles surfaces en 
coordonnées homogènes à 711 — i ilimensions : 

La condition nécessaire et suffisante pour (|ue l'intégrale générale de X 
contienne 3,, jî,, ••., ?,„_;, ?„, _i fonctions arbitraires à m — i, ni — -2, .... 
2, I, variables respectivement, est que rinlersection complète des surfaces S se 
compo>e de multiplicités à ni — i>, ni — 3, ..., i, o dimensions de degrés 
respectifs ^,, jï,, ..., ,3,„_;, ?„,_!• 

JJorel. — Stir la région de soininahjlilé d'un développcinenl de 
Taylor. (.548-549). 

L'auteur poursuit le développement de sa théorie delà sonimation des séries 
divergentes. 

« Etant donné un développement de Taylor, ordonné suivant les puissances 
de z, il est sommable dans toute région intérieure au polygone convexe (|u'on 
obtient en joignant à l'origine chaque point singulier, en menant à chaque 
droite ainsi obtenue une perpendiculaire par le point singulier correspondant 
et en supprimant les portions du plan situées au delà de ces perpendiculaires 
par rapport au point ^ = o. » 



4i SECONDE IWiniH. 

On peut utiliser celle proposition pour rccliercher les points singuliers de la 
fonclioii. 

En particulier, pour qu'une série de Taylor admette son cercle de conver- 
gence comme coupure, il est nécessaire et suffisant que sa région de somma- 
bilité ne dépasse nulle part ce cercle. 

Borel. — Sur l'extension aux fonctions enlit-res d'une propriété 
iinporlantc ties polvnomes. (556-55-). 

Si G,- et H| sont des polynômes tels qu'aucune des difTércnccs H^ — H ne se 
réduise à une constante, l'identité 

G, (c)e"' '='-+- G, (^)e": '='-!-... -h G„(-)e""'"' = o 

n'est ptjssible que si tous les G sont nuls. 

Cette propriété subsiste si les G et les H sont des fonctions entières telles 
que, pour | 2 | = /•, le module de H^ — H^ dépasse »(/•), et que, pour /• suffi- 
samment grand, on ait 

log:i(r)>!log^(r)r- 

eVi'") étant le maximum du module de tous les G et a un iKinibre réel plus 
grand que i. 

De là, M. Horcl déduit une généralisation très étendue du théorème de 
M. Picaid dont il a récemment donné une démonstration nouvelle. 

Craig. — Sur une suite créqualions linéaires aux dérivées par- 
tielles provenant de la théorie des surf'aees. (634-036). 

Désignant par u, v les paramètres des lignes de courbure et par p,, p, les 
rayons tic courbure principaux correspondant aux lignes ii = consl. et 
V = const., par U, cl R^ les rayons de courbure géoilésique de ces lignes, on a 

d \/Ë _ y/Ë y/G 
dv p, H, p; 

Ou p2 H; Pi 

On déduit facilenieiil de là que — et — sonl solutions itarliculiéres des équations 



OuO^> K, Ou \0u " R, R, / ()i> 

^ ''^■^" Oud^> \r;v;'°^R, ' R, / ôlT R, dv ~ ''■ 

Si maintenant on forme les deux suites de Laplace 

(K_,^,) fE_,^,). (E,,^,), (E,^,), .... (E,^,), .... 

(E_„:) (E-:,.), M-„^,), (E,^,) (E,^,) 



ni'VDi': i)i:s pi; hi.ica iions. tô 

on iTConiiait, avec .M. lirui^, que les ('•([iialiniis ( K,, ) ri ( I0_ , ,, ) tlo ilcii\ -uili-s 
sont équivalentes, c'est-à-dire admeltcnl les nirnics invariants. 
(1n a pour les invariants les relations 

/ 

1 I \ '■''' '■'■ 1 ^"^ 7 1-1 I i-1 I 

''--= =^ ''-,' -=WJÏ,- ^0-. '°^ Rî '\- ^'-■■' ■ • ■ '''-■• 

L'élude des équations ( E,,, ) ou ( E^j ) est ramenée dès lors à celle des inva- 
riants h-. 

Painlevé. — Sur les singularités des équations de la Dynamique. 

(^606-639). 

Une singularité assez inattendue des équations de la Dynamique c'est que, le 
temps t tendant vers une certaine valeur ?,, le système S ne tend vers aucune 
position limite ni même vers l'iiilini. 

Exemple : Un point libre de masse i, mobile dans le plan des xy, est 
soumis à la force 

X = {x + y)v''-, \ = [x — y)v-. 

Ce système comporte les mouvements 

X — sin log( t^ — f ), JK = cos log {t^ — t). 

~En appliquant au domaine réel les résultats qu'il a obtenus pour les équa- 
tions ditférentielies analytiques, M. Painlevé arrive à la proposition suivante : 
Admettons qu'il n'existe pas de positions singulières de S à distance finie et 
que les forces dérivent d'un potentiel U(^|, ..., a;,,) n'ayant qu'une valeur 
pour une position S. H désignant la distance maxima à l'origine des points de S 

pour une certaine position du système, admettons de plus que — reste infèrieui' 

à un nombre fini A pour toute position de S. Quand t tend vers t^ (quel que 
soit t^), les a;,, x\ tendent vers des valeurs finies déterminées; les x^{t) 
peuvent être développées en séries de polynômes 



convergentes pour t quelconque, séries dont les coefficients successifs se cal- 
culent en fonction des conditions initiales par de simples diderentiations 
comme ceux d'une série de Taylor. 



.]G SIÎCONDE IWIITIE. 

Guyou. — Horizon gvroscopiqiip de raiiiiral Flcuriais. ( 66/|- 
666). 

'L'horizon gyroscopique (1(> r;iinir;il Flouriais est un inslnimciU tl'une grande 
perfeclion destiné à suppléer à l'horizon de la nier jjar la mesure des hauteurs 
des astres par temps de bruine et de nuit. 

La théorie mathématique de rinstrumenl, donnée imrM. Boule, montre que. 
par l'cflet de la rotation de la Terre, la verticale du cône de précession décrit 
par l'axe du gyroscope est inclinée sur la verticale de la gravité d'un angle 
proportionnel au cosinus de la latitude. Le gyroscope Fleuriais fournit ainsi 
un moyen très simple de mclire en éviilence les edels de la rotaliun de la 
Terre. 

Stœckel. — Sur la détortualion des siirlaces. ((i"--(i8o). 

L"auteur rap|jelie d'abord un ihéorème général dû au géomètre russe 
Peterson : 

Soient ^^{x^, y^, â;, ) et ^^{x^- y^i ^2) deux surfaces applicables l'une sur 
l'autre; soient /> = const. et ç = const. les équations du système conjugué 
commun à S, et S,; soient enfin P et Q deux fonctions de p et /j qui satisfont 
aux é(iualioiis tlid'érentielles 

alors, les équations 

"■'■■ ='•$""- Q !■ <"/■ "'•= = " t "' " " t "'■ 

dl, = p '-^ dp + '-^ dq. dl. = v'!hdp -^ Q -^ dq 

" Op ' " Ô(l ' - t>p ' ^ ()q ' 

définissent deux surfaces — ,(;p 'f,,) ?i ) et -;(H;. t.^. ^0 qui xuit elles-mêmes 
applicables l'une sur l'autre. 

.M. Stœckel se sert de ce théorème pour montier (lu'à l'équaticui 

^'^ = \2/r-sii'(p-^q. /.)-i]() 



Op dq 

on peut faire correspondre par des quadratures une riiiniile île surfaces appli- 
cables. 

Ces surfaces ont des propriétés intéressantes. En se déformant, elles con- 
servent le même système conjugué; ces lignes conjuguées sont des géodésiques. 

Goursal. — Sur la ihéorie des é(|iialions aux <Icri\ées parlicllcs 
dti second ordre. (68o-683). 

l'our appliquer à une é(iuation aux dérivées partielles du second ordre à 
deux varialdcs indépendantes la niétliodc de M, Itiniiniix ( Aitn. del'F.cole 



iir:vui': dI'S l'uni.iCA hons. 47 

.Xoinidfc, 18-0), il t'aul tr<iliiir<l clicrcliiT s"il existe des Comhinaisoiis inlé- 
Srables pour les éiualiiiMs diUÏTcnlielIcs des car;ioLérisli(|ucs d'ordre supérieur. 
M. Ciinirsat coniiiimiiiiue au sujet de ces comliinaisons iutégrables un cerlain 
Mutiiiiic de ])ni|iositi<)ns destinées à en l'acililer la reclieielic. 

P('-j)iii (le /"*•)• — l'orincs liiK-alirs des diviseiiis dc.r-± A. (')<S.'j- 
086). 

Démonstration nouvelle fie trois tli(''orènics de M. de Jonquières. 

De Sai/ss/fre. — Sur une ( ictxiK'lfic de l'espace ré^h'. (y'»'!-;'^;)- 

On peut considérer l'espace réglé comme la représentation de la surface 
ponctuelle d'une sphère imaginaire de rayon i. Si P est la plus courte distance 
(le deux droites de l'espace, Q leur angle et I un symbole unité, on dira que 

(P-4- Ql) est le distangle et ( 1"^ ) '*^ codistangle fornu- par ces droites, 

et ces quantités complexes seront considérées respectivement comme des 
mesures linéaires et angulaii'es de l'intervalle compris entre les deux droites. 
Pour déduire des résultats de ces définitions, il faut pouvoir soumettre le sym- 
bole I (qui est de la dimension d'nnr lon;;ueurj aux rèi^les ordinaires du 
calcul. C'est ce qui e>t eUcctivement j)ossible, comme le montre ,M. lî. de 
Saussure. 

Pépin [le P.). — bonnes linéaires des diviseurs .r- ± A (suite). 
(7''^7-74o).' 

Duplaix. — Sur la résistance des pouts sous le ])assage de convois 
périodiques, notamment de ceux prévus par le rèi;lenient du 
29 aoiU 1891. ( -40-74 'J)- 

Un convoi périodique est constitué par une série de convois partiels iden- 
tiques et disposés à la suite les uns des autres à des intervalles égaux a. 

La constitution particulière des convois périodiques facilite le calcul des 
moments maxima et des flèches qu'ils développent dans les poutres droites à 
une travée. A cet égard, les travées multiples de la périorle \ d'un convoi pé- 
riodique illimité jouissent de propriétés très simples. 

Dans ce cas, la valeur du moment de flexion dans les sections, correspondant 
aux points de division de la travée en périodes, est indépendante de la position 
du convoi. 

Ce moment m est équivalent à celui que produirait, dans les mêmes sections, 
soit une charge fixe uniformément répartie et ayant par mètre carré une 
intensité égale au quotient du poids spécifique t: du convoi par la période )v, 
soit un système de charges fixes et isolées, toutes égales à — et appliquées aux 
points de division de la travée en périodes. 

Dans une section quelconque, le moment de flexion .M est, à toute époque, 
égale à la somme : i° du moment m; i° du moment ;x qui serait développé 
dans la section si l'on considérait la petite travée olnrnue en déla(hant de la 
poutre la période (|ui renferme cette section. 



18 SliCONDI-: l'AiniK. 

Andoyer. — Sur I exlcnsion (|ue \o\\ peul donner au ihéorème 
de Poisson relatif à rinvariahililé des grands axes. (79('-793). 

En reclicrrliaiil (riinc façon prérisc sous quelle forme il est possible de géné- 
raliser les théorèmes de Lagrange el Poisson relatifs à l'invariabiliLé des 
grands axes des orbites planétaires, M. Andojer est arrivé à des résultats qui 
s'appliquent à un problème très général dont les diflérenles ((uestions qui se 
posent en Mécani(iuc céleste ne sont que des cas partirniiers. 

Léineray. — Sur la convergence des subslilulions uniformes. 

(793-79i)- 

On sait <.\\w, f { x) désignant une fonction lioloniorplie, les fonctions _/-(j7), 
f^{x), ..., <il)lenues par l'itération de la substitution [,r, /(.r)], tendent 
vers une 1 imite r/, racine de l'cqualioii /'(.r) — ,r =: o, si pour .z; = « le module 
di' la (Il rivi'e de f(x) est inférieur à l'unité et si x est pris dans une région 
convenable autour de a. 

M. Lémeray indiiiiie à ([iiclles conditions la convergence a lieu lor-;(|uc le 
module de /"(cT) est juste égal à l'unité. 

Craig. — Sur les siii-ftices à lignes de courbure isométrioues. 

(79l-79''0- 

De Saussure. — Sur une jMécanif|ue réglée. (796-799)' 

Les principes de Géométrie réglée que l'auteur a exposés dans sa j)récédente 
Cgnimunication s'appliquent sans modification à la ftlécanifjue. 

Fahry. — Sur les courbes algébriques à lorsion conslanle. (865- 

8G7). 

Une courbe algébrique à torsion constante t est représcnti'e par les équations 

■ / dk — />• dl 



r l d 1; — k dl 



h dl — l dh 

II- -\- k- -+- 1- ' 
/■■ dh — h dk 

h--\- A- -H l- 



où h, k. l sont trois polynômes en ^, sans facteurs comniiins. tels que tous les 
résidus de x' , y\ z' soient nuls. 

2/i.'- peut avoir une racine (loiiblc ( - a. Murs XA//'. ^/i/i", X/t/i'" s'annulent 
pour t — a. 

Hcciprof|uemenl, si -/r. -/i/t', }i.Iih", I./1/1'" s'annulent jiour t = a^ )l/i''- 
n'étant pas nul, on voit de même que les trois résidus sont nuls. 

D'autre part, Z/i- ne doit avoir aucune racine triple, el, si la courbe est 
réelle, il doit \ a\(iir une racine au moins (|uadru|)le. 



iu:vui<: i)i<:s imhiic ations. 49 

Mnrotle. — Sur une application de la lliéorie des groupes con- 
tinus à l'étude des points singuliers des équations difTérentieiles 
linéaires. (867-8-0). 

S'inspirant des ick'cs cIo C.alois cl de M. Picartl, l'auliiir montre comment, 
on peut définir, dans le cas général, un groupe continu algébrique de transfor- 
mations linéaires dont les invariants dilTérenliels caractérisent complètement 
la nature des singularités autour du point a. 

Soit donc une équation différenlielle linéaire à coefficients rationnels en x 
et soit y,, jKj, •••, }\ ^m système fondamental d'intégrales. I,a combinaison 

V = "ir,-i-...-t-M„.7'„, 

où les u sont des fonctions rationnelles arbitraires, vérifie une équation linéaire 
à coefficients rationnels, d'ordre n-, 

f/"-V ^ f/"--'V ^ ,, 

u arrivera, en général, que certaines solutions de (t) vérifieront une équation 

/[<-'. -S m- 

entière par rapport à V et à ses dérivées, et dont les coefficients sont des 
fonctions déterminées au point a, c'est-à-dire admettant a pour point ordi- 
naire ou pour pôle. 
Parmi toutes les équations f on considère celle qui est d'ordre moindre et 

di' V 
de moindre degré en — On démontre que l'intégrale générale de celle-là 

appartient à l'équation (i). 

De plus, les p constantes X,, a^, ..., a qui figurent dans cette intégrale 
générale y entrent algébriquement. Soient J'i, J»';, •••-.'>'„ le système fonda- 
mental correspondant à une solution particulière V„ et Y,, Y;, ,.., Y,^ le sys- 
tème fondamental correspondant à l'intégrale générale V. On a 

Les quantités a dépendent algébriquement de À,, a^, .... À^, et ces équations 
définissent un groupe algébrique à p paraméti'es. 

Ainsi se trouve défini un groupe g^ attaché à la singularité a. Ce groupe 
possède les deux propriétés fondamentales suivantes, déjà relevées par M. Klein 
dans le cas particulier où tous les points singuliers de l'équation sont réguliers : 

1° Toute fonction rationnelle de x, y^, y2, . . ., i'„ et de leurs dérivées, déter- 
minée au point a, reste invariable quand on effectue sur .>',,>',,, ...,y„ les 
substitutions du groupe g^: 

a° Toute fonction rationnelle de x, y^, y^, ■■■■, y„ et de leurs dérivées, qui 
reste invariable par les substitutions du groupe g^, est une fonction de x, dé- 
terminée au point a. 
Bull, des Sciences niathcm., ■?' série, t. XXII. (Février 1898.) R..'| 



jo SECONDE PAinii-:. 

I.es divers groupes ^„, g,,, ..., allachés aux points singuliers a, è, ... de 
l'équation difrérenticlle, sont des sous-groupes du groupe de transformations G 
considéré par M. Picard. 

Ce groupe G est le plus petit groupe algébrique contenant le groupe de nio- 
nodroinie et les groupes ^„, g,,, .... 

Painlevé. ■ — Sur les singularités des éqiialions de la Dynaini(|iie 
et sur le problème des trois corps. (8-1-8-3). 

L'auteur établit, touchant les positions singulières d"un système matériel en 
mouvement, des propositions générales dont nous ne relaterons que les consé- 
quences relatives au problème des n corps. 

Quand le temps croît à partir de f = o, ou bien les n corps occupent à 
chaque instant des positions déterminées et distincles avec des vitesses déter- 
minées et finies ; 

Ou bien, quand t tend vers t^, deux au moins des n corps tendent vers le 
même point déterminé de l'espace; il y a choc à l'instant /, ; 

Ou bien, quand t tend vers t^, v (quatre au moins) des n corps ne tendent 
vers aucune position limite; le minimum des distances mutuelles de ces v 
points tend alors vers zéro, sans qu'aucune de ces distances tende constamment 
vers zéro. 

D'après cela, trois hypothèses sont possibles suivant les conditions initiales : 

Ou bien les distances mutuelles des n cor|)s restent toujours supérieures à 
une quantité positive a; les paramètres x-{t), i\\.\\ déterminent leurs positions 

j e'it 

peuvent se développer sous forme de séries entières par rapport à t = ^^j 

X étant une constante; 

Ou bien la limite inférieure drs distances mutuelles entre o et t tend vers 
zéro (|uand t croît indéfiniment sans s'annuler jamais; \esx^{t) se laissent 
développer en séries de polynômes 

(i) x,{l) ='yv[{t, xi, ..., xl, x\\ ...,x[^); 

(Ju bien cette limite inférieure tend vers zéro quand t tend vers ^, ; les x-{t\ 
peuvent être développés sous la forme (i) pour t<^t^, mais ne peuvent être 
calculés au delà. 

Quand n est égal à 3, la dernière circonstance ne se présente que si deux 
au moins des trois corps se choquent à l'instant ij. 

Le problème des trois corps s'intègre donc <i l'aide des séries (r) si l'on 
excepte les conditions initiales pour lesquelles deux des points se choquent au 
bout d'un temps fini /, en un point déterminé de l'espace. 

LiouviLle (-/?•)• — Sur le iiiouveiiieut d'un solide dans un liquide 
indéfini. (874-876). 

Le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini, sous l'action de 
forces nulles, est déterminé par un système d'équations difTérenticlles de nature 
assez compliquée, dont on connaît cependant trois cas d'intégration indiqués 
par Clebsch. 

M. W. Liouvillc indique deux ras bien plus (Hcndus, comprenant les cas 



UKVUK DUS l'UBLlCA I IONS. ,, 

particiilici's docotivcrts par Clcbscli, lL oii \c calcul de l'inlcgralc vrsiillorail en 
|)iin(i|ii' (rniic lln'Diic très simple. Malliciirciiscmciil le nniiihrc des Icriins dmil 
se compose rinléf;rale, termes qu'il faut déd iiiic les uns des aiilics, est si t;iaiid 
que le calcul direct parait impraticable. 

l*oinc((f(''. — ■ Sur les soliilions j)t'riocli(|tU's et le |)iiiici jx; de la 
inoiiidre aclion. (()i5-c)i8). 

La théorie des solutions prrio(li(iues |)eul dans certains cas èlre raltaclii'c au 
principe de la moindre action. 

Si l'on suppose trois corps a, b, c se mouvant dans un |)lan et s'allir;;iii en 
raison inverse d'une certaine puissance de la distance, on peut imaginer une 
classe de trajectoires fictives de ces trois corps, c'est-à-dire ne satisfaisant pas 
aux conditions du mouvement, mais soumises aux conditions suivanlcs : 

1° Les distances des trois cor|)s a, 0^ c seront des fonctions périodi(|ues de 
période t^ — ^|, ; 

2° Entre les époques i„ et i,, la droite bc aura tourné d'un ani;le dfintii' lo^; 
la droite ac tluii ani;le donné 0),+ 3Iv,t:; la droite cib d'un angle oJi-f-'iK," 
( Kj, Kj entiers donnés). 

Une classe de trajectoires fictives se trouve ainsi définie par trois constantes 
entièrement arbitraires f„, /;, oj, et par deux entiers arbiti aires h. et K,. 
Or, l'action liamiltonienne 

"- A) 

restant toujours positive admettra un minimum, et, en vertu du [Mincipe de 
la moindre action, la trajectoire qui correspondra à ce niininiuni devia ètie 
une trajectoire ril'ective qui, d'aijrès sa définition, correspondra à une solution 
péi'iodique du piobléme. 

M. IN^incaré démuiUre que, dans chaque classe de trajectoires, il y en a une 
qui correspond à un minimum de !•"; il suflit de faire voir qu'en faisant varier 
d'une manière continue la liajecloire lictive, ou ne peut la faire [lasscr d'une 
classe à l'autre sans ([ue .1 devienne infinie. Le raisonnement ne s'applique que 
si l'attraction est du même ordre de grandeur t|ue l'inverse du cube de la 
distance ou d'un oi-dre plus grand. Dans tous les cas, il y aura une infinité de 
solutions périodiques. Dans le cas de la loi de Newton, on ne peut plus affirmer 
([u'il y a une solution ]jériodique dans cha(|ue classe. 

MarotLe. — Stir les slnytilarités des équations linéaires anx dé- 
rivées partielles du premier ordre. (()!^3-()36). 

M. Drach a étendu les idées de Galois aux équations aux dérivées partielles 
dont les intégrales dépendent d'un nombre fini d'éléments fondamentaux, et 
a défini pour ces équations un groupe qui joue le même rôle que le grouf)e de 
transformations de M. Picard pour les équations linéaires. 

L'étude des singularités des équations considérées par M. Drach et celle des 
singularités d'une équation linéaire ne peuvent-elles être rattachées aux 
mêmes principes? C'est en elTet ce qui a lieu, comme le montre M. Marotte. 



5?. SECONDE PAUTIE. 

A tout domaine singulier (point ou courLie) d'une étiualion linéaire aux 
dérivées partielles du premier ordre est attaché un groupe, fini ou infini, dont 
les invariants dilTérentiels déterminent complètement la forme nnalytique des 
intégrales au voisinage du domaine singulier. 

Cotton. — Sur les cqiiiilions linéiiires aux dérivées parlielles du 
second ordre à deux variables. (q36-()38). 

Il s'agit d'une classilii'alimi des é<|ualions linéaires aux dérivées partielles 
du second ordre. Celte classification repose sur la considération des deux inva- 
riants H et K, dont le calcul ne suppose pas intégrée l'équation des caracté- 
ristiques. Voici comment on formera ces invariants. 

L'ensemble des termes du second ordre de l'équation peut être considéré 
comme l'ensemble des termes du second ordre d'un paranulre did'érent ici du 
deuxième ordre correspondant à un ds'^. Soit 



i:,".r 



dx, dx. {i. j =j, 2 ) 

ce ds-, A son discriminaiil , et 

- ' A^ Ox^\ •> ôxj 
'/ 

le paramètre difTérentiel du second ordre ( A,^ étant le coefllcient de a, dans A). 
L'équation peut alors s'écrire 



' /a.a-^'^"' 



I'"n ])osaiit 



on aura 



A„ ( (V ) -h 2 b, f- 2 6, h CIV = o. 

' dX^ - ÔXn 

dxi ()x-. 



H et K sont des invariants relativement à la transformation de l'équation 
par changement de w en "kw' et division du résultat par)*. Par un changement 
de variables, II se reproduit multiplié par le déterminant fonctionnel de la 

suI)stilution, K reste le mèiiu! (ainsi que-^r )• Si l'on mulliplic les deux 

V, \/^ I 



membres de i'équaLion jiar un i'aileur pf.r-, y) ( le ds"- correspondant devenant 
ds^ 



II se repifjduil identi(|uemeiil . K est inulliplié [lar p. 
Dans l'écjuation réduite à la forme de Laplace 

tT-z Oz , ôz 

a -- -\~ -. h cz =■ o, 



ùx ôy ôx dy 



UHVIII'; Dl'iS PU 151, ICA 11 ON s. '.3 

Il l'I K nul les exprrssiiiiis siiiviiiilr^ 

Il r^ // — /. , :>K = // -h /.-. 

h el k élant les invariiints de M. Darlxmx {Tlicorie des surfaces, ?." Vol.. 
Chap. II). 

Bricard. — Sui- un (l(''|)l;iccinent leinarqualjle. (().)()-()4<^)). 

Soient dans l'espace deux eoniiiucs quelconques C et C. On ('laUlil enlrcces 
deux ei)url)es une correspondance liomographiquc quelconciue lelle (jn'à 
cinq points /??,, //(,, «23, '«4, ni-^, pris sur la première, correspondent les 
cinq points m\, m\, m[, m\, m\. Si C se déplace de manière que in\, m',, m',, 
m[, ml restent sur des sphères fixes de centres respectifs m,, m.,, /n„ a»,, «;-,, 
tout point wig de C décrira une ligne appartenant à une sphère lixc dont le 
centre m^ (homologue de m^) appartient à C. 

Ce théorème général est susceptible de ilivers cas particuliers inléressanls. 

Mannheiin. — Sur le paraboloïcle des huit droites et les nappes 
des développées de surfaces. (983-986). 

Entre les droites de courbure d'une surface et celles des nappes de sa déve- 
loppée, il existe une dépendance exprimée géométriquement par un paraboloïde 
que M. IMannheim a antérieurement nommé paraboloïde des huit droites et 
qu'il définit de la manière suivante : 

Soient (S) une surface, (B) et (C) les deux nappes de sa développée. Des 
deux centres de courbure 6, c, situés sur une normale A à (S), on mène les 
normales B, C à ( B) et (C ) : ce sont des droites de courbure. De chacun des 
centres de courbure d, e (situés sur B) et g, h (situés sur C), partent les 
droites de courbure D, E, G, II. 

Les droites B, C, D, E étant supposées données, le paraboloïde ( F^ ) des 
huit droites se détermine ainsi : il a pour plan directeur un plan perpendicu- 
laire à A; ses directrices sout dd' qui joint d au point où C est coupée par le 
plan (B, E) et ee' qu'on obtient de même au moyen du plan ( B, D). 

Si donc on donne les droites de courbure d'une surface et seulement celles 
de l'une de ses nappes, le paraboloïde (P ) est déterminé; mais (P) ne suffit pas 
pour déterminer les droites de courbure de l'autre nappe. 

M. Mannheim indique néanmoins ce qu'il permet de connaitie relativement 
à cette dernière nappe. 

Le Roy. — Sur le problème de Dirichlet el les fonctions harmo- 
niques fondamentales attachées à une surface fermée. (986- 
988). 

Supposant le principe de Dirichlet établi, l'auteur se propose d'obtenir 
l'expression de la fonction harmonique qui prend des valeurs données 4> sur 
la frontière S d'un domaine connexe T, au mojen d'une série de fonctions 
harmoniques simples. On suppose que la fonction 4> admet des dérivées de 
tout ordre et que le domaine T est limité par un nombre fini de surfaces com- 
posées d'une seule nappe analytique régulière. 



Ô1 SECOND I-: l'Ai! TU-:. 

l'ur des raisoniieincnls seniblablcs à ceux que M. Poincaré a employés dans 
une question analogue, M. Le Hoy démontre lexislence de fonctions harmo- 
niques fondamentalei W ,. ou polenliels newloniens de simples couches, véri- 
lianl les relations 






Ç \<], dw = I , f W\, W\i dw = o, 



dans lesquelles 2 est une constante faisant partie d'un ensemlile dénombrable. 
On peut alors développer <I> en série de la forme 



4» = y A , \V . A „ = f <PW , dw. 



On voit que la solution se présente sous la forme d'un potentiel newlonien de 
simple couche. 

Ce résultat peut être généralisé. On peut maintenant construire une fonction V, 
harmonique à l'extérieur de S, régulière à l'inlini, vérifiant en tout point de S 
la relation 

dV d\' _ i)\ 
dx- dx^ ât 

cl se réduisant sur S à «l» pour t = o. On a 

LV Ocri gnc. — Sur les é(|iiali()ns représeulahles par trois svslèiiirs 
linéaires de points cotés. (ySB-ycjo). 

Poincaré. — Sur une forme nouvelle des écpialions du problème 
des trois cor[)s. (i63i-io35). 

Soient trois corps A, B, C s'attirant d'après la loi de .Newton; soient a;,, o:,, 
0^3 les coordonnées de A, a;,, x^, x^ celles de B, x-, x^, x^ celles de C; soit 
/?i, = ni, = m, la niasse de A, m, = /nj= m^ celle de B, 77i,= »ig= wig celle 
(ie C ; soit 

ni, m. ni, m. ni^ni- ., v^ y- 

AU AC BC '^2w. 

I..es équations flu mouvement peuvent s'écrire sous la forme canoni(|uc 

dxi _ ()F dy-; _ d\^ 

dt ~~ dy- dt ~ dx- 

Il est permis, sans nuire à la généralité, de supposer le centre de gravité fixe, 
cl l'on peut profiter de cette circonstance pour réduire le nombre des degrés 
de liberté. Des deux modes de réduction qui ont été proposés, l'un laisse une 
forme simple à la fonction perturbatrice, mais ne conserve pas aux intégrales 
la forme canoni((uc: l'autre la leur conserve, mais donne à la fonction [icrtur- 
balrice une runiic [iln^ roni[diqiHr. 



HKVUlï UKS PUBLICATIONS. j") 

C'est |i()iir(|iioi AI. l'oincaré pri)|iosc un Uoisiùmc mode de icduclion, con- 
sistant dans le ciian^enuint de variables : 

X /^ = X ^ X'^ J X f^ = X 1^ X^f X f^ = X 1^ u7g, 

^^■^•' (/ = i, 2, 3, 4, 5, 6). 

Alors, la foiiiic canoniiiiie des équations, ainsi (|uc la forme des intégrales des 
aires, ne sera pas altérée, et la fonction F deviendra 

F = V ^'^ — u -t- 2l-zi±zL'l±zL>l 

en posant 



m 4 + /» 1 



La forme de la fonction perturbatrice sera, comme le montre l'auleur, loul 
aussi simple que dans le premier des modes de réduction dont il a été {larle. 

Picard (^Ein.). — Sur une classe de fonctions transcendantes. 
(io35-io37). 

M. Picard a indiqué antérieurement une classe de transcendantes nouvelles. 

Partant d'une substitution birationnelle arbitraire relative à m lettres u, 

t', .... w. 

u' = R, (u, 1', . . ., w), 

v' — 1^2 ( U, V, . . ., w), 



(V' = ]{,„ ( ?/, i', . . ., Il'), 

il a démontré l'existence d'une infinité de systèmes de m fonctions 

f{z), oiz), ..., +( = ), 

uniformes dans tout le plan, n'ajant que des discontinuités polaires, admettant 
une période Q. et vérifiant les relations 

/(G + a') = R. [f{z), o{z), ..., .].(^)], 

'^{z-y-£l') = R, [f{z), o{z), ..., ^{z)]. 



6{z + 9.') = n,Jfiz), 'o{z), ..., 'H-)]- 

Actuellement, l'auteur lève les diverses restrictions qu'il a\ail faites pour 
établir l'existence de ces transcendantes. 

Borel. — Sur les séries de Tajlor. (looi-iooa). 

Considérant une série de Taylor% «„;;", I\I. Rorel appelle /o/;ci/o« entière 
associée la fonction^ " '' . I^our nue \aleur fixe du module /• de c, le mo- 



36 SECOiNDi* PARTIE. 

dule de celle-ci atteint son maximum pour une valeur de son argument qui 
sera dite argument principal . 

Cela posé, on a les théorèmes suivants : 

1° Pour qu'une série de Taylor n'admette que des points singuliers isolés 
sur son cercle de convergence, il est nécessaire que, lorsque /■ augmente, l'ar- 
gument principal de la fonction entière associée tende vers une ou plusieurs 
limites déterminées ( chacune de ces limites est un point singulier de la fonction 
donnée sur son cercle de convergence). 

2° Pour qu'une série de Tajlor n'admette pas son cercle de convergence 
comme coupure, il est nécessaire que l'argument principal de la fonction 
associée, pour les valeui'S de /• qui dépassent un ceitain nombie r„, soit constam- 
ment compris dans un intervalle fixe d'étendue inférieure à 2-. 

De là résulte qu'en général le cercle de conveigence est une coupure. 

Le Roux. — Sur une équation linéaire aux dérivées partielles 
(lu second ordre. (io52-io54). 



(0 



Il s'agit de réq\i;Uion 

d-z i àz -iÇx) dz 



(Jx ôy X — a ôx X — a dy 
Elle admet une intégrale dépendant d'un paramètre arbitraire 

■ ~ r"^ 9(^) dx 



z{x, y, a) = e' 






Cette intégrale possède la caractéristique singulière accidentelle x — ol. ha 
caractérisli(iuc x = a, qui est singulière pour les coefficients, ne l'est plus 
pour z{x, y, ol). L'existence d'une singularité accidentelle supprime ou mo- 
difie la singularité propre. 

M. Darboux a fait voir que l'intégration générale des équations de Laplace 
revient au calcul d'une intégrale particulière, définie par des conditions ini- 
tiales parfaitement déterminées. Cette fonction fondamentale est représentée, 
dans le cas des équations (i), par la formule 






9 ( -TM fit- 



où l'intégrale par rapport à a est évaluée dans le sens [)ositif suivant un con- 
tour fermé simple renfermant la ligne x^,x sans la couper, mais ne contenant 
pas le point a. 

Un cas particulier intéressant est celui oii '-^{x) se réduit à une constante f>. 

On a. dans ce cas, 

zix,y,.) = e-"(—-) , 



lUîVUR DF.S PUIU-ICATIONS. 



«) i — ?, 'i 



X — x„ 



cl. cil supposanl — ^ i, 

\ X — a \ 

■ »' -"" X — a Àmà\x — a j 1 . 2 . 3 . . . /( \ 
F désignant la série lij'pci'géomélriquc- 

Di Pirro. — Sur les inlégrales (juadratiques des cqualioiis de la 
Dynamique. (io54-io57). 

L'aïUeur cherclie et trouve tous les cas de mouvement dans lesquels il existe 
des intégrales homogènes orthogonales par rapport aux vitesses. 

Il envisage un système matériel assujetti à des liaisons indépendantes du 
lemps, les forces qui agissent sur ce système dérivant d'une fonction de force 
U(<7i, ^2' •••» In) <^ù 7p ^2» •••' 7k so'*'- les paramètres qui définissent la 
position du système. 

Soit <ï> le déterminant 






?,.l('7,.) 



■?,.2iÇj 



?r,n-r+l{'hr ••" 1 r) 
■■?,..,.-rH-l(7J 



OÙ 9r|, 9^;, ... de la première ligne sont des fonctions arliitraires de q\,<Ji-, ••-, 
<7^, et les 9;, des autres lignes des fonctions arbitraires de l'argument indiqué. 
Soient 

^\-('7.- •••• Vr)- (*■ = 1' ■■2> •••' '• — O- 

/.('7p ••- '/J. A+.C'/.+J^ •••' fM.) 

d'autres fonctions, également arbitraires, des arguments indiqués. 
Cela posé, si l'expression de la force vive est de la forme 



T^ ri .■^^ ^tl 



h = 1 A- 

et si la fonction des forces est définie par la formule 

^r\fÀq, V.) , "V^ *M 



U 



4> 



/ , -^ fki'Jkh 



il existe, outre l'intégrale des forces vives, n — r autres intégrales homogènes 
quadratiques orthogonales de la forme T, — L,.= const., où 



**, 



^^ ''—1 « 

p=l H=r 






', (5 = 1, 2, .. ., n — r). 



58 SlîCONDl- l'AUTIi'. 

Pour /■ = I, on retombe sur la classe indiquée par M. Stœckel. 

A la suite de celte Communication, M. Appell fait remarquer que les 
résultats indiqués par M. di Pirro doivent être rapprochés de ceux de iM. Lévi 
Civita qui a formé des classes de ds- admettant {n — i), (« — a), ..., 2 ou 
I intégrales quadratiques, qui d'ailleurs ne sont pas nécessairement réductibles 
à la forme orthogonale. 

Poincaré. — Sur la niélhode de Bnins. (1224-1228). 

Bruns a démontré {Acta mathematica, t. XI ) que le problème des trois corps 
n'admet pas d'autre intégrale algébrique que les intégrales' connues. M. Poin- 
caré signale certains cas d'exception au théorème de Bruns et rectifie certaines 
défectuosités de sa démonstration qui, d'ailleurs, n'en infirment pas la valeur. 

Délassas. — Sur les transformations des systèmes différentiels. 
(1246-12 18). 

Dans une Communication antérieuie, M. Delassus a indiqué une forme cano- 
nique des systèmes dilTérentiels quelconques et un théorème général analogue 
à celui de Cauchy. Ce théorème, comme l'auteur le montre actuellement, 
permet de réuoir sous un même point île vue plusieurs des résultats obtenus 
jusqu'à présent. 

Parmi les propositions très générales auxijuclles [larvicnt laulcur. en suivant 
cet ordre d'idées, il faut signaler celles-ci : 

« Tout système canonique S permet de former une infinité de systèmes cano- 
niques a tels que, si l'on en connaît une intégrale particulière convenable, on 
puisse en déduire l'intégrale générale par des intégrations d'équations dilTércn- 
tielles ordinaires. » 

La connaissance de cette intégrale particulière pour un (juclconque des 
systèmes a permet d'intégrer tous les autres et 2 par des équations dilTéren- 
tiellcs ordinaires. 

« A tout s^'stcme Z dont on sait trouver l'intégrale générale correspond une 
infinité de S3'stèmes ï. de plus en plus com|diqués, que l'on sait intégrer com- 
plètement. » 

LiapounoJ/ . — Sur une série relative à la théorie des équations 
différentielles linéaires à coefficients périodiques, (i 248-1252). 

On sait que l'équalion 
(1) J-: -^p{x)y = 0, 

où X est une variable réelle dX. p{x) une fonction continue et périodique de .r 
à période w, a pour intégrale générale 



j- = C,pwF,(^)-i-C,p "F,(x), 

C|, C, élanl deux constantes arliitraircs et c, une ronslanlo délcrminéc. 

h.ins la théiirie de celle éqnalinn. le ri'dc principal a p pari lent à une constante A 



Hiîviiii: nits l'Uin.icAi i(>Ns. jo 

liée à p par l'égalilé 

p = A + {/A- — I. 

On voit que, A étant une constante iccllc dont le rai ré csl [iliis petit (jne i, 
toutes les solutions de l'équation (i) sont limitées, tandis que, dans les autres 
cas, il n'en est pas de même. 

Pour le calcul approximatif de A, I\I. LiapounofT indique une méthode de 
développement en série qui le conduit à diverses propositions intéressantes 
relativement aux cas où A vérifie l'inégalité A-<;i. 

Steklojf. — Sur le mouvemenL d'un solide dans un lupiide Indé- 
fini, (l 252-1253). 

M. SteUloiï rappelle un cas d'intégrabilité indiqué par lui dans le tomeXLII 
des Matliematische Annalen et qui ne semble pas rentrer dans ceux qu'a 
donnés récemment M. R. Liouville. 

Avec les variables de Clebsch x^, x^, x^, i',, }\, _)'.; les équations du mouve- 
ment d'un solide dans un li(|nide indéfini prennent la forme connue 

dx, _ <J]^ _ àT 
dt ' ôy^ ^ dy.,_ ' ' ' ây-^ " ^ (h'„ 



où T désigne une forme quadrati(|ue définie positive de ces six variables. Ces 
équations admettent une quatrième intégrale algébrique, si T a la forme 

2T = «I j;j-i- a^x:^ + a^xj 

— 2«„j:,i-,h- oaj^ar.y.-f- 2O33 j^jj-j-f- Aii-j -+- A,.7'^-+- A3J-5, 
où 

a,i=crA,A3, a, = cr-A, ( Ar,-l- A^ ), 

«33 = !7 A , A,, «3 = 17- A, ( Aï + X] ) , 

ff étant une constante quelconque. 

Depuis, M. LiapounolT a généralisé les conditions trouvées par M. Steklolf, et 
signalé un cas limite intéressant, caractérisé par 

A,= A,= A3=A, 

_ (g.;— (733)- ^ ^ _ («33— «n)' _ „ _ («11 ^«22)' 
' A ~ - A ~ ' A 

D' Ocagne. — • Sur Teniploi des systèmes réguliers de points cotés 
dans la représentation des équations, (i 254-1255). 

Le Boy. — Sur le problème des membranes vibrantes. (i258- 
1260). 

Le pi'oblènie de? memliranes vibrantes consiste à trouver une fonction con- 



«io SHCONDI- PAiniH. 

liniie z(x, y, t) s'annuliinl sur un coulour fermé C, vihifiaril l'équalioii 

(J-z _ dz , d-z 
dt- dx- ' ày' 

PU tout point de l'aire plane A limitée par C, et telle que ^ et — se réduisent, 
pour < = o, à des fonctions données o(x, y) et '^{x, y). 

M. Le Roy résout ce problème en faisant usage des fonctions \Jf{x, y) et 
des constantes H, définies par .M. Poincaro dans les Rendiconti ciel Circolo 
matematico cli Palermo (i8g4). 



Posant 



a, = / :sL, c/tv, ^ = / 
il trouve que la fonction 



= -1 



a. cos ;, ' -f- F^ r,in ï.f ) U.e-v^ 



remplit les conditions prescrites lorsqu'on prend 6 suffisamment petit, sauf 

qu'alors c et -y , au lieu de se réduire rigoureusement pour r = o à des fonctions 

données, en approchent seulement autant qu'on veut. 

Le problème des membranes peut donc être regardé comme résolu au jiuint 
de vue physiijiie. 



ACTA MATIIE.MATICA. 

Tome XVIII, 189/, ('). 

Tresse {Ai\). — Stir les invariants difFérenliels des groupes con- 
tinus de transformations. (1-88). 

Première Partie. — I. Considérant une multiplicité à n dimensions dans 
l'espace à n H- p dimensions, c'est-à-dire un système de fonctions -,, z^, ..., 
z des variables ,r,, x-,, ..., x^,, on peut imposer à ces fonctions une série de 
■conditions représentées par des équations aux dérivées partielles. De telles 
équations peuvent être en nombre infini, mais on peut toujours les considérer 
comme se déduisant d'un nombre fini d'entre elles par dilTérentiation : suivant 
l'expression de l'auteur, tout système d'équations de cette espèce est forcé- 
ment limité. 

Il résulte, en particulier, de cette proposition que tout système d'équations 
aux dérivées partielles peut, par un nombre limité d'opérations, être trans- 
formé, soit en un système incompatible, soit en un système complètement 
intégrablc. 

II. Rappel des propriétés fondamentales des groupes. M. Tresse considère 
exclusivement ceux dont toutes les transformations vérifient un même système 



(') Voir Bulletin, t. \\,, p. 



IlEVUE OKS PUBLICATIONS. C.r 

(rctiualions aux (k'-rivées parliollcs ciilrc les nouvelles variables, considén-i-s 
comme fonctions des anciennes : système qui exprime les conditions nécessaires 
et suffisantes pour qu'une transformation appartienne au groupe. Ces équations, 
que l'on peut supposer en nombre limité (§ I), sont \cs équations de défi- 
nition du groupe. Leur système reste invariant par les transformations du 
groupe, et par celles-là seulement. 

Deuxième Partie. — l. Les conditions pour que deux multiplicités M, M' 
(du même nombre de dimensions) soient homologues relativement au groupe, 
c'est-à-dire puissent être transformées l'une dans l'autre par une de ses trans- 
formations, s'expriment par des relations (E)" entre : i° les variables z, x qui 
définissent la multiplicité M et les dérivées partielles/? des z par rapport aux x 
prises jusqu'à un ordre déterminé; i" les variables analof;ucs z' , x' corres- 
pondant à la multiplicité IM' et les dérivées partielles (jusqu'au même ordre) 
p' des z' par rapport aux x' . On obtient ces relations en remarquant que les 
p' s'expriment par les z' , x' , z, x, p et les dérivées partielles des z', x' par 
rapport aux ^, a;, lesquelles peuvent s'éliminer entre les équations ainsi écrites 
et les équations de définition du groupe. 

La propriété fondamentale de la notion de groupe (c'est-à-dire le fait que 
l'existence des relations (E) entre les multiplicités M et M' d'une part, M' et 
M" de l'autre, entraîne l'existence des mêmes relations entre M et M") permet 
d'établir que ces équations (E) peuvent, en général, être mises, par des opé- 
rations élémentaires, sous la forme 

J = J', 

J désignant une certaine fonction des z., x, p; J' la même fonction des z', x', 
p' ; en un mot, ces équations s'obtiennent en égalant, dans les deux multi- 
plicités, les valeurs d'un certain nombre d'invariants différentiels. 

Il y a exception lorsque la multiplicité M est spéciale, c'est-à-dire lorsqu'elle 
vérifie l'un ou l'autre de certains systèmes d'équations déterminés, lesquels 
sont invariants par les transformations du groupe, de sorte que la multi- 
plicité M' vérifie le même système spécial. Aux conditions ainsi écrites, on 
devra, pour exprimer que M et M' sont homologues, joindre des conditions du 
même type que dans le cas général, c'est-à-dire obtenues en égalant les valeurs 
de certains invariants. 

Ainsi, pour le groupe des déplacements plans, l'invariant difi'érentiel le plus 
simple est la courbure; il cesse d'exister pour une catégorie de multiplicités 
spéciales, les droites isotropes. 

IL Les mêmes résultats peuvent s'obtenir en parlant des transformations 
infinitésimales du groupe, conformément aux méthodes de M. Lie. Les inva- 
riants sont les solutions de certains systèmes complets d'équations linéaires 
aux dérivées partielles formées à l'aide de ces transformations; les systèmes 
d'équations invariantes sont ceux qui admettent l'ensemble des transformations 
infinitésimales. 

III. Lorsqu'on connaît un nombre suffisant d'invariants distincts, on peut 
eu déduire d'autres d'un ordre différentiel plus élevé; il suffit de prendre les 
déterminants fonctionnels formés avec leurs dérivées totales par rapport aux 
variables indépendantes: le (juolient de deux quelconques de ces déterminants 
fonctionnels donne encore un invariant. 



Gî SliCU.NDli l'AiniIi. 

Le procédé cesse de conduire à un résultat, lorsque les invaiianls initiaux 
ne sont pas distincts; aussi est-il préférable d'étudier, d'une manière générale, 
]cs paramètres différentiels, c'est-à-dire les opérations qui, appliquées à un 
invariant quelconque, donnent comme résultat un invariant : i-echerche qui 
peut être traitée comme une recherche d'invariants différentiels. La méthode 
ainsi obtenue n'est inapplicable que pour certaines multiplicités spéciales sa- 
tisfaisant à des équations invariantes bien déterminées, au lieu que la première 
tombe en défaut pour des multiplicités satisfaisant à des équations qui dé- 
pendent de fonctions arbitraires. 

Du théorème général démontré dans la première Partie résulte que tous les 
invariants peuvent se déduire d'un nombre limité d'entre eux par rap[)lication 
répétée des opérations précédentes. 

Application est faile à la défornialion des surfaces. 

Troisième Partie. — L Les invariants s'obtiennent également par la consi- 
dération de Vêlement réduit. Un élément quelconque E, c'est-à-dire un système 
de valeurs des z, x, p (ces quantités étant dites \es coordonnées de l'élément), 
étant donné, on nommera élément réduit correspondant celui des homo- 
logues de E qui satisfait à certaines conditions déterminées prises une fois pour 
toutes (et non invariantes par le groupe donné); par exemple, celles d'avoir le 
plus grand nombre possible de ses coordonnées égales à des constantes choisies 
arbitrairement. Les éléments homologues les uns des autres étant évidemment 
ceux qui ont le même élément réduit, les coordonnées non données de celui-ci 
donnent les invaiiants. 

Il peut être utile d'opérer cette réduction en deux fois, en considérant 
d'abord l'élément réduit de E par un sous-groupe du groupe proposé; puis, 
réduisant à son tour cet élément réduit intermédiaire par rapport au groupe 
complet. Cette manière de procéder donne les invariants du groupe expi-imés 
en fonction de ceux du sous-groupe. 

II. Application au groupe des transformations conformes de l'espace (com- 
binaison de tous les déplacements, homothéties, symétries et inversions pos- 
sibles) et au groupe des transformations projectives; les deux invariants les 
plus simples obtenus pour ce dernier groupe sont les constantes caractéristiques 
de la surface tétracdiale osculatrice. 

III. Etude de l'équation y" = a„y'^ — a, y'--r- b,y' — ôj, où a^, «,, 6,, 6„ sont 
des fonctions de x et dey. Cette équation ne change pas de forme par une 
transformation ponctuelle quelconque : en particulier, la permutation de x et 
de y s'y traduit par une simple permutation des lettres a et b. 

En cherchant les invariants de l'équation par le groupe des transformations 
ponctuelles, on est conduit, par quelques calculs simples, à former certaines 
combinaisons dilTérentielles h cl />■. En égalant à zéro ces deux expressions, 
on a un système de relations invariantes; les équations spéciales qui vérifient 
ce système n'admettent pas d'invariant : ce sont celles qui peuvent être rame- 
nées à la forme y" = o. Laissant de côté ce cas exceptionnel, on constate qu'on 
peut réduire l'équation de manière à avoir h = o. 

Les transformations qui n'altèrent pas cette condition forment un sous-groupe 
du groupe proposé, et, d'après ce qui précède, les invariants de ce sous-groupe 
(auxquels on parvient aisément) conduisent aux in\arianls cherchés. 



Il KVUli DKS lUJIJLK.AÏlONS. i,\ 

Ap|)li('ali(m à la rcclicrclie des conditions [lour ([iic l'on puisse ranimer les 
cocl'licienls a,b à ne contenir i|iriiiic seule des deux vaeiald<'s. 

Lindclof {L.). — Sur la llu'oric des caisses de pension (8()-96). 

Simplification apportée an calcul des dépenses, pour les caisses de relrailc 
tians lesquelles le nombre des sociétaires reste constant (seul cas dans lequel 
le calcul puisse se faire avec rigueur). La méthode de M. Lindelof permet 
d'évaluer les dépenses à prévoir pour les pensionnaires futurs sans passer par 
le calcul, plus ou moins incertain, du nombre de ces pensionnaires. 

Padé {li-)- — Sur les séries entières convergentes oti diver- 
gentes et les fractions continues rationnelles. (9^-112). 

Certaines séries entières divergentes peuvent être transformées en fractions 
continues convergentes (Laguerre); l'inverse pouvant d'ailleurs également se 
produire (Halphen). On est dès lors conduit à définir une fonction par les sé- 
ries de fractions rationnelles approchées les plus générales possibles. 

I. Soit 

y = St^-\- s^x + S2X- + . . . ( 5(1 j^ G ) 

une série entière, p c\. q étant deux entiers quelconques, la fraction -. où U 

est un polynôme de degré au plus égal à />, V un polynôme de degré au plus 
égal à q, sera dite fraction rationnelle approchée correspondant au couple 
(/>, q\, si son développement a plus de termes communs avec la série y que 
celui de toute autre fraction rationnelle dont les termes aient leurs degrés in- 
férieurs aux mêmes limites. Parmi les fractions rationnelles approchées, on 
peut distinguer, pour en former un Tableau (T), \es fractions normales, dé- 
finies par cette propriété de ne correspondre qu'à un seul couple d'entiers {p,q). 
Dans ce cas, les degrés des polynômes U et V sont précisément égaux à ces 
entiers et le nombre des termes communs avec la série y est au moins égal 
à p-i- q -h 1. 

La connaissance d'une fraction normale entraîne celle de toutes les fractions 
approchées moins avancées (ou, au plus, aussi avancées) qu'elle, c'est-à-dire 
telles que p-hq ait une valeur moindre (ou au plus égale). Donc, le Tableau (T) 
est entièrement défini, quand on se donne une suite de fractions normales de 
plus en plus avancées. Dès lors, il suffit qu'une seule suite de cette espèce con- 
verge vers une fonction déterminée pour que toute autre suite analogue, con- 
vergente ou divergente, et en particulier la série y puisse être considérée comme 
définissant la même fonction. 

IL Addition et multiplication des séries divergentes, définies par le procédé 
précédent. 

III. Après quelques remarques historiques, l'auteur montre quel intérêt il y 
aurait à reprendre, au point de vue où il vient de se placer, l'étude de quelques 
développements célèbres et, particulièrement, à généraliser, sous le même point 
de vue, les résultats obtenus par Halphen relativement à la fraction continue 
de Jacobi [développement de ^/(cc — a) {x — b) {x — c) {x — cl)]. 



(14 SECONDR PARTIH. 

Tchebycheiv (P.). — Représentation approchée de la racine 
carrée d'une variable par des fractions simples. (ii3-i32). 
(Traduit du russe en allemand par O. Biicklund.) 

Proposons-nous de trouver, pour 4/ - > une valeur approchée de la forme 
(.) . . B, B, . . B„ 



c'est-à-dire d'écrire une expression de la forme précédente, telle que, dans l'in- 
tervalle compris entre x = i et or = /? > i, le logarithme du rapport 



( 2 ) y = '^ = V' ^ A -f- --• 1- . . . -^ 7^ — - — 



v/i 



s'écarte aussi peu que possible de zéro. 

D'après un théorème démontré dans un Mémoire précédent [Sur les ques- 
tions de maxirna et de minima gui se rattachent à la représentation 
approximative des fonctions {Mémoires de l'Académie impériale de Saint- 
Pétersbourg, t. VII; i858)], l'écart en question pourra toujours être diminué, 
s'il est atteint moins de 2^-1- 2 fois dans l'intervalle considéré. 

Donc, en désignant par l cl j les valeurs extrêmes de y, nous aurons à dé- 
terminer les constantes A, B-, C,, de manière que les équations 

(r--r-){i-i-y-) = o. (^^yx{i-x){h-x) = o 

aient, dans rinlervalle (i, h), au moins 2 « -j- -j racines communes, dont au 
moins :>. n doubles (celles qui ne sont égales ni à i, ni à A)- Or, ces équations, 
une fois rendues entières, ne sont que de degré ^n-{-7. 
On devra avoir, par conséquent, 

{r--y-){i-r-y-) = c(^^yx(j~x){h~x), 

c. étant une constante, ou 

,— dy dx 

Vii-—y-)ii — i-r-) \x(i — x)(h — x) 

Pour déterminer /, on observe que la dérivée -~- s'annule 9.n fois dans l'in- 
tervalle (i, /() et ne s'annule plus en dehors de cet intervalle. Il vient donc 



./. i/(''-r=)("-'=r') , .,J„ v'^(' 



dx 



1 - ' .1 

r' dy / -tt 

I =^ Jr, \^{l 



x) {h — X) 

(an-f-i) -^^-p- 2(« 

dx 



x){li — x) 



^y)i f o/r^a . 



lU'VlH DHS PUBLICATIONS. 

ce qui doiiue / par la fonmilc 






i yi ç:(2n+l).(2.+ l)i 



I ^ ^C.., -•(=.•.., 



On voit que l'approximation se resserre très rapidement lorsque n augmente. 
Application est faite au calcul des intégrales de fonctions qui contiennent la 
racine carrée d'un polynôme et, en particulier, des intégrales ellij)liques. 

Picard [E). — Sur une classe de transcendantes nouvelles (prc- 
nrier Mémoire). (i33-i54). 

Soit 

;' u' =: U, ( w, t'. . . ., (v), 

) v' = ^^{u, V. . . ., iv), 



w' = R„j ( u, V, . . . ,w 



une substitution biratioiuielle quelconque, relative à m lettres u. v, .... n'. 
L'objet du Mémoire est de montrer qu'il existe une infinité de systèmes de ni 
fonctions 

f{z), o{z), ..., ^(^) 

uniformes dans tout le plan, n'ayant que des discontinuités polaires et jouissant 
des propriétés suivantes : 

1" Elles admettent la période o)'i; 

2° On a, par le changement de z en z -{- w, 

: /(^-i-a))= R, [/(^), o{z), .... '^{z)], 
(,) ) ç(^-l-to)= R,[/(5), 9(5), ...,^{z)], 

{ ^(.= + <o) = R,„[/(5), 'ç{z), ..., <>(5)]. 

I. Soient les m polynômes : 

P^{u, V, . . ., iv), P^{ii, i', . . .., w), ..., r„,( M, t', . . ., (V), 

qui s'annulent tous pour u = i> = . . .= iv = o. On peut trouver une infinité de 
systèmes de m fonctions analytiques 

/{z), <?{z), ...,^{z) 

de la variable -s = a; + iy, uniformes à droite de Taxe O^', admettant la 
période oj'i et satisfaisant aux équations fonctionnelles 

/ f{z^^)=P,[f(z), <f{z), ..., ^{z)], 
(3) ) ?(-s^co) = P3[/(5), 9(s), ..., 4,(5)], 

' .|(.--i-(^)=P„.[/(5), 9(5), ..., ^{z}]. 
Bull, des Sciences rnathém., 2' série, t. XXII. (Mars tSgS.) R.5 



(■>G SlîCOiNDE PAUTIK. 

Pour 11' (Jéiiiuiilrcr, on commence par rédniie les polynômes V à leurs 
termes du premier degré, que l'on peut supposer ramenés, par une substitu- 
tion linéaire convenable, respectivement à la forme 

[J.[«, 'J..,V, ..., tJ-„,<i'. 

Les équations fonctionnelles ainsi simplifiées admettent comme solutions 
des fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Ces solutions servent 
dépeint de départ à une série d'approximations successives qui convergent et, 
à la limite, donnent des fonctions satisfaisant aux équations (3). 

Toutefois, la méthode suppose que l'on n'a, entre les constantes [x,, I^-:! •••) 
iji.„, aucune relation soit de la forme 

2 vrew 

(v étant un entier positif ou négatif), soit de la forme 

\i'f' [j-j- . . . \i.'^ip = \i- 
(v,, V.,, .... v^ éUinl des entiers positifs tels (juo v, + v^ + . . .+ v„, > 2 ). 

II. La dernière de ces deux restrictions est inutile. Llle se lève comme 
celle qui se présente dans la théorie des équations à coefficients constants 
lorsque l'équation caractéristique a des racines multiples, en considérant le 
cas singulier où la relation en question a lieu comme un cas limite du cas 
général. 

La première restriction subsiste donc seule comme csscnlielie. 

III. Si Miaintrnaiit, dans les équations (3), on remplace les polynômes P 
par m fractions rationnelles quelconques, le nouveau problème ainsi obtenu se 
ramène au précédent. Il admet donc aussi comme solutions des fonctions uni- 
formes dans toute la partie droite du plan. 

Enfin, si ces fractions définissent une substitution Lirationnelle, la substi- 
tution inverse permettra d'étendre au plan tout entier les fonctions trouvées, 
ce (jni achève de résoudre le problème. 

IV. M. Poincaré {Journal de Mathématiques, 1890) s'est proposé de 
trouver un système de n fonctions «[(w), tpjCw), •••, ?..("). admettant un 
théorème de multiplication, c'est-à-dire telles que l'on ait 

0-( mu)— \\.\0^{U), '■?;("). • • •! '■?„( '01. 

m étant une certaine constante, réelle ou imaginaire, telle que ! /n | > i. 

Ce problème est manifestement analogue au précédent, comme on le voit 
en posant u = e', m = e"". Seulement, l'hypothèse faite que u = n'est pas un 
point essentiel pour les fonctions 'f entraînerait, une fois effectué le change- 
ment de variables en question, certaines relations d'égalité. Les deux questions 
sont donc distinctes; les développements en séries employés par M. Poincaré 
ne peuvent pas servir à résoudre le problème traité par M. Picard. Les approxi- 
mations successives semblent donc ici fournir la seule méthode capable de 
conduire nu l'i-snilal . 



KEVUK DKS PUBLICATIONS. (i; 

llilbert {D.). — Conlrihiiliou à !;i lliéoric du polvnonic (Je 
Legcndre. (i 55- 160). 

L'auteur se propose de trouver la plus petite valeur, dillérenle de zéro, que 
puisse prendre l'intégrale 

1= f [f{x)Yclx, 

/= a,a^"-'-)- floX"— '-i-. . .-f- a^ étant un polynôme de degré n — i à coefficients 
entiers, a, ji deux nombres donnés. L'intégrale I est une forme quadratique 

par rapport aux coefficients, et son discriminant D^ 3 est égal à / 1 D, 

où D = D^i^,. 

Mais si Ton développe x'" en somme de polynômes de Legendre 

r"' — r \ -^ r' \ -^ __ri"''\ 
r m! 



I . i) . . ... {2111 



-]■ 



p+ 1 
on trouve aisément /en vertu des formules connues / X,„X„ r/.r i= o, 

/ X;„ dx = ■ — '^— ) 



2/1 — 3 



b^+--~,f^l 






et, par suite, 

^, [i- -2"-^...(n-2)^(/i-i)']^ 

' 2-"--. . .{-în — 2 )-(2« — i)' 



D = 2"- 



La formule de Slirling montre que cette expression est de la forme t,,_2-«", 
la quantité 'O^ tendant vers i pour n = x, et, par conséquent, on a 



Les propositions de MinkoAvsky sur les formes quadratiques à coefficients 
entiers montrent alors que l'intégrale I peut être rendue plus petite que 






Cette intégrale peut donc recevoir une valeur positive aussi petite qu'on \eut, 
si I ? - a |< 4. 

Volterra (Vito). — Sur les vibrations des corps élasli(iiies iso- 
tropes. (i(3i-:>3i^. ). 



68 SKCONDI- l'ARTIK. 

Extension de la Ihéorie des caractéristiques aux é(|uations 



(A) $=.= 1^ 



d-iv 
dx- 



ày')' 



z. 



I B 



,' d'il ^fO-u ô-u\ ,,, ,^0 /c'w «?t'\ ,. 
,/d=p r;=y\ ,,, ,^ d /du dv\ , „ 



dt- 



{b>a). 



Les résultats obtenus permettent d'établir, pour les ondes cylindriques, une 
théorie semblable à celle que Kirchboff a donnée du principe de Hujgens. 

1. Démonstration de formules fondamentales, analogues à la formule de 
Green, pour les équations (A) et (B). Ces formules conduisent à introduire 
les quantités conjuguées des fonctions w [pour l'équation (A)], u, v [pour 
le système ( B)] : ce sont les quantités qui jouent un rôle analogue à celui que 
joue la dérivée normale dans la formule de Green. 

2. Soit 9(t, 5,T, ) une intégrale de l'équation 

d-'s d-o c)-» 

la fonction 

(V = c?[r=rt(^ — «,), x — x,, y —y,] 

sera (quelles que soient les constantes x^, y^, t^) une intégrale de l'équa- 
tion (A) pour Z =: 0, et les couples 

ô 



" = 7-, ? [ « ( ^1 — ^ )> ^ — ^1) y — y\ ]) 



dx 



'^[a{t^—t), X ~x„ y — y^], 



— 'ç\b{t, — t).x-x,,y — y,], 



oy 



■i[b{t,— t), x — .i-,,r—y,] 



donneront des solutions des équations (B), pour X = Y 
Or, Téqualion (i) admet les solutions 

logo, Tlogp ip = \/l--r-r,-), 

log(e+v/6^^i), 



s/W^^: 



logCô-v'o^-.; 

arc sinO, 



= - > ■ 

P 




} (6<0, 



lU'VUE l)l-:S PUIUJCATIOXS. 69 

<l'où l'on lire, pour les équations (A) et (B) sans seconds mcmlnis, une série 
(le solutions, dites solutions yo/u/«me/j/<://e*. 

."). Calcul des (|uantilés conjuguées aux solutions fondanicniales. 

4. Calcul d(^s valeurs des solutions fondamentales et de leurs quantités con- 
juguées sur certaines surfaces spéciales, à savoir : les cônes de révolution 
ayant pour axes des parallèles à l'axe des t; les cylindres de révolution ayant 
pour axes ces mêmes parallèles; les plans perpendiculaires à ces droites. 

5. On applique les formules fondamentales (Art. 1) à un solide S limité, 
d'une part, par un cône de révolution d'axe parallèle à l'axe des t, de 
sommet {x^, y„ <,) et d'ouverture inférieure à 2arctanga, et, d'autre part, 
par une surface quelconque cr, le solide S étant intérieur au cône; les deux 
fonctions considérées sont une solution quelconque w de l'équation (A) et 
une solution fondamentale (Art. 2) de l'équation sans second membre. Il faut 
couimencer par retirer du solide S la partie intérieure à un petit cylindre de 
révolution aj'ant même axe que le cône. 

En faisant tendre le rayon de ce cylindre vers zéro et l'ouverture du cône 
vers sarctanga, on obtient la valeur de w au point (i37], J',, <,), exprimée eu 
fonction des valeurs de la même quantité et de sa dérivée normale sur a. 

6. Recherche analogue pour le cas où le solide S et, par suite, la portion de 
surface u, sont extérieurs au cône, l'ouverture de celui-ci tendant vers 2 arc langa 
par valeurs supérieures. 

7. 8. Recherches analogues à celles des deux articles précédents, pour les 
équations ( B ). 

9. Supposons qu'on connaisse les valeurs d'une intégrale w de l'équation (A) 
(privée du second membre, pour simplifier ) et celles de sa quantité conjuguée 
sur une surface a. Dans quelle partie de l'espace cette fonction sera-t-elle 
déterminée? 

Les résultats précédents montrent qu'on peut calculer la valeur de ce en 
tout point A par lequel on peut conduire un cône (d'axe parallèle à celui 
des t et d'ouverture aarctanga) qui découpe, soit dans son intérieur, soit 
extérieurement, une portion de la surface a dont le bord est formé exclusive- 
ment par l'intersection du cône avec la surface. En un mot. les cônes en ques- 
tion jouent le rôle de sur/aces caractéristiques. On arrive d'ailleurs à des 
résultats analogues pour les équations (B). Dans ce dernier cas, d'ailleurs, les 
quantités conjuguées acquièrent, moyennant une détermination convenable 
des arbitraires qui y figurent, une signification mécanique simple. 

Supposons enfin que la surface 7 soit telle, que l'angle de sa normale avec 

l'axe des t ait pour tangente zt -; alors, la connaissance de w sur cette sur- 

a 

face entraînera celle de sa quantité conjuguée et, par suite, fera connaître la 

valeur de w en tout point A jouissant de la propriété ci-dessus énoncée. 

10. L'auteur montre que ses formules comprennent comme cas particulier 

!•• »■ 1 11" .• ^^■'''' . fà-w d-w\ ,, , ,, , , , 

I intégrale de lequation — -- = a- \ — r-^ l» te le qu elle a ete donnée par 

° ' dt' \da;' dy- ) ^ ■ 

Poisson et Parseval. Puis il examine ce qu'elles deviennent lorsque la sui- 
facc T est un cylindre parallèle à l'axe des t (lin)ité par un plan pcrpendicu- 



(. SEC0M)1': PAKIlli. 

luire aux génératrice*, lorsqu'on coiisiclére la portion intérieure au cône 
caractéristique ). 

11. La Miéthodc par Inqurlle KircliliofT donne au [irincipe de Hujgens une 
forme rigoureuse ne sétend pas aux ondes cylindriques. Cela tient, comme 

m 

l'a montré .M. Pulinni. à ce que l'équation — — - = a- A?< = a- > -—, n'admet 
^ ^ dt- L^ àxl 

i = 1 
d'intégrale tic la forme 

\/{r±at), 

où A soit fonction de /• seul 1 /• désignant la quantité > x] 1, que dans les 



cas où le nombre m des variables x est i ou 3. 

Plus généralement, on peut se demander si cette équation admet des inté- 
grales de la même forme, >» étant une fonction de x^, x.^. .... ^„,. La réponse 
est affirmative; seulement, une telle intégrale admettra toujours des singula- 
rités autres ([ue le point x^ = x^ = . . .^ ^m— O' ^^ dans le voisinage immédiat 
de ce point. En effet, dans l'hypothèse où l'intégrale serait régulière, la for- 
mule de Green conduirait à une contradiction. 

Dans ces conditions, ces intégrales ne peuvent servir à l'extension de la 
théorie de Kirchhoif; au contraire, cette extension est fournie par les intégrales 
précédemment trouvées. 

12. Soit posée la question suivante : déterminer la fonction \]{x.y, t) de 
façon que la première variation de l'intégrale 

V= fv{\j, U„ U„ U.J, x,y, t) dxdydt 

(U,, U2, LI3 étant les trois dérivées de U), étendue à un volume déterminé S, 
soit nulle. 

On sait que cette question conduit à l'équation du second ordre 

^'^' 'ù\î ~ dx dV, dy (^U, d'i d\i^ ^ °' 

en supposant toutefois que U,, U^, U3 soient continus. 

U restant continu, quelles seront les surfaces le long desquelles U,, U,, U3 

pourront éprouver des discontinuités? 

c)F 
On trouve que les valeurs des quantités U,- et -— r- des deux cotés de la sur- 

face devront vérifier la condition 



i:KS-(0]'^';-"')=- 



et que les cosinus directeurs du plan tangent à cette surface seront propor- 
tionnels aux quantités U'^ — U}. 
Lorsque la fonction F a la forme 



UKVUK DKS PUBLICATIONS. 71 

l'équalion (2) devient l'équation (A) et les snrCaces de discontinuité sont 
celles qui font avec l'axe des t un angle égal à arclanga, autrement dit les 
enveloppes de cônes caractéristiques : résultat qui est en i-elation avec la 
lliéorie du choc dans un milieu élastique. 

l]IiLLag-Lc[fler i^G .). — Sur riiilcgraLion de léqualion dillcreii- 
tielle y' = AjK^' + Bj- + Cj + D + (Ejk 4- F)/. (233-246). 
(Exti'ait d'une Lettre à ÏNl. Picard.) 

M. Picard {Journal de Math., t. V cl Acta Math., t. XVII) a fait connaître 
les principaux types d'équations de la forme indiquée pour lesquels l'intégrale 
est à appai"cnce uniforme. M. Mittag-Leffler se propose de vérifier les prévi- 
sions de la théorie en effectuant les intégrations et de constater, en particulier, 
que les intégrales à apparence uniforme sont méromorphes. 

En premier lieu, si l'on cherche la condition pour que l'intégrale générale 
ait un pôle double fixé d'une manière arbitraire dans le champ de la variable 
indépendante [c'est le cas de la fonction p(a: -i- x^\g2, g^), où x^ et g^ sont des 
constantes arbitraires], on constate que les coefficients A, E sont nuls et que 
l'éciuation peut se ramener, par une substitution linéaire, à la forme 

( . ) y" = 6y-~-^ /.•'■ -i- /:y'. 

Pour intégrer celle-ci, on introduira, conformément aux principes posés par 
M. Picard, une fonction de la forme 

( 2 ) ^=:y'2^y^^ai->r a.y ) -t- a^y -t- a^y- -+- a,y\ 

oii les constantes peuvent être déterminées de manière que celte fonction n'ait 
point de pôles. Elle est alors donnée par une équation linéaire du pi'emier ordre 
et conduit à l'intégrale de l'équation proposée 

y =(D^e''-^)=p(e«'-'--i-e''-"^o | o, H) — -• 

Supposant ensuite que les coefficients A, E ne soient pas nuls en même 
temps, on trouve un premier cas particulier, l'équation 

y" + 3yy' -^y-^=B{y'-^y-)^Cy-i-D, 
dont l'intégrale générale est 

r=~^ z"'=liz"^Cz'-hDz; 

puis un second, l'équation 

y -^ 2JKJ'' --^B{y'-hy-)-hD, 
dont l'intégrale générale est 

y=^, Bs" = (HeBx_ D); ( H = const. arbitr.). 



72 SECONDE PARTIE, 

et il reste à étudier l'équalion 

y = {E -i- 2)y'+Eyy -h B{y -^y-) -h Cy -h D, 

pour E dillérent de — 3 et de — 2. 

Si E est nul, on trouve encore une fonction ayant la forme (2) et dépourvue 
de pôles, conduisant à l'intégrale 

„ o^e^. -(^;iZL^^'!ilL"._"'_-4H) (^„, ,1 = const. arbitr.), 

l'équation étant 

y — 2y — 2 A-)' -H 3 k-y. 

Enfin, les trois équations 

y = y—yy-jrCy, 

y - y^ — yy .j^ 5 k{y -h y-) — ^g h-y — 5 x 49 A', 

y = y^ — yy' + â A ( y -r- r' ) — /^'r — j ^^ 

trouvées pour E ^ 0, se ramènent à Téquation (1) et s'intègrent également à 
l'aide des fonctions elliptiques. 

IJensel (K.). — Théorie des fonctions algébriqties d'une variable 
(247-318). (Premier^Iémoire, traduit de ralleinand par G. Briti- 
card). 

1. Considérant d'abord une fonction rationnelle d'une variable x, l'auteur y 

remplace x par — > de manière à exprimer la fonction rationnelle par des 

quotients de fonctions homogènes de x^, x., ainsi (ju'on le fait dans la théorie 
des formes; mais cette substitution est présentée d'une manière particulière; 

elle est déduite du cliangement de variables ^, = > x-.= —■, u étant 

X — u ' X — u 

un paramètre auxiliaire. Parmi les zéros ou les infinis d'une fonction quel- 
conque de x^, x^, on convient de ne considérer que ceux qui sonl/ixes, c'est- 
à-dire indépendants de u; à ce point de vue, on peut dire qu'un polynôme 
entier homogène en x^, x^ n'a aucun infini. 

2. Soit y une fonction algébrique de x dont les n valeurs sont données par 
l'équation 

/(y, ^) =y"^ \i(x)y"-'-¥-...H- \„{x) = 0, 

où les A sont des fonctions rationnelles : l'auteur se propose d'étudier le genre 
de fonctions algébriques défini par cette équation, c'est-à-dire l'ensemble des 
fonctions rationnelles de x et de y- 

On peut représenter une telle fonction par un quotient de deux quantités 
qui restent toujours finies, en introduisant les variables x^, x^ du numéro 
précédent et posant 

•^ A,{x„x,)' 

r, étant une nouvelle variable et Ao(:r,, x-,) le dénominateur commun de tous 



llKVUli DES PUBLICATIONS. 73 

les A. La quantité t, ne possède aucun infini fixe. On considérera, par consé- 
(juent, les fonctions de x^,x■^, i\, homogènes lorsque t\ est considéré comme du 
degré m [celui de A(,(a;,, x, )]. c'est-à-dire satisfaisant à l'identité 

¥{tXi, tx., f^r,) = f^F{Xi, X., T,); 

[X sera le degré de la fonction. 

3. Toute fonction du genre peut être mise, et cela d'une seule façon, sous la 
forme 

Ua, w,, .••, w„_i étant des fonctions rationnelles de x^^, x^_. Plus généralement, 
il suffira de connaître n fonctions du genre 



telles qu'aucune d'elles ne soit égale à la somme des autres multipliées respec- 
tivement par des fonctions rationnelles de x^, x^, pour que toute autre fonc- 
tion du genre puisse s'écrire 

W = 11^ T,j -r- U2''r. -f- . . . -T- W„T,„. 

Mais, si le S3^stème des fonctions t^, t,,, . . ., yj^ a été pris au hasard, la fonc- 
tion w pourra être algébriquement entière, c'est-à-dire ne devenir infinie pour 
aucune valeur finie de x^, x^, r^, sans que pour cela ses coefficients u^, Mj, . . ., 
M„_, soient entiers. 

Au contraire, celte circonstance ne pourra se présenter si le système 
(t„, t,2, ..., T,^J a été convenablement choisi; dans ce cas, ce sj^stème reçoit 
le nom de système fondamental. 

4. Un système fondamental peut être considéré comme défini par cette pro- 
priété que le degré N du produit t,,t,2 . . . f.^ est minimum. Lorsque deux 
systèmes sont fondamentaux, les degrés des fonctions qui les composent sont 
égaux chacun à chacun. En particulier, le degré total N est un invariant du 
genre considéré; ce nombre est supérieur à n — i et la diflërence p n'est autre 
que le rang du genre algébrique. 

.5. Si le système (tjj, t,,, ..., t„j n'est pas fondamental, il ejtiste au moins 
une fonction 

w = itjTn -r M2T13-I- . . . -r- «„'f,„7 

qui est divisible par le facteur linéaire \^— o.' x^ — ^' x^ (c'est-à-dire dont le 
quotient par Çj est algébriquement entier sans que ses coefficients le soient). 
Il est donc essentiel de savoir reconnaître si une telle fonction existe ou non. 
Mais, au lieu d'étudier directement la divisibilité par E,, il est préférable de con- 
sidérer les diviseurs %1, désignant successivement toutes les valeurs fraction- 
naires comprises entre o et i et dont les dénominateurs sont moindres que n 
(ce que doit être le dénominateur dans l'exposant de la plus haute puissance 
de 1, par laquelle une expression w est divisible). Pour cela, on range toutes 
ces fractions par ordre de grandeur croissante; 5^, o^^j étant deux consécutives 
d'entre elles, si l'on a déterminé les v expressions linéairement indépendantes 

du genre 

c,, gj, . . ., e,,, 



74 SECONDE PARTIE. 

qui sont divisibles par ç'j'^, on constate que les expressions w divisibles par 
1';'*+' s'obtiennent en multipliant celles-là par des coefficients (constants, 
mojTnnant un changement de variables simples) assujettis à certaines relations 
linéaires, et l'on forme ces relations par des opérations élémentaires, à savoir, 
en cxpri/naiit que la quantilc 

(i) S((Viv'... w'-')) 

[où w',w", ..., (v-''~'' sont des fonctions linéaires arbitraires des e,, e.,, ...,e,^, 
c'est-à-dire des expressions arbitraires divisibles par ÇJ'^, et S(iv) représente la 
somme des n valeurs de (v] s'annule avec ^,. 

7. Les résultats précédents donnent un moyen simple de caractériser les 
systèmes fondamentaux. Soit un sj'stcme quelconque (r,,, r^.-,, ..., t^„) de 
n fonctions indépendantes du genre, telles que le produit de deux quelconques 
d'entre elles puisse s'exprimer par une combinaison linéaire à coefficients en- 
tiers de ces mêmes quantités; tel est, par exemple, le système (i, 'fi, -(y, ..., t/'^' ). 
En cherchant les conditions pour qu'une expression w, formée à l'aide de ce 

1 
système, soit divisible par \'{ , on constate qu'il suffit de considérer l'expres- 
sion (i) pour i — 1. 

Or, cette expression est évidemment une forme bilinéaire par rapport aux 
coefficients qui figurent dans w et dans w' . On appellera discriminant du 
système (t,,, t,,, ..., T|„) le discriminant de cette forme bilinéaire, lequel est 
entier en x^, x^- 

?i devra être un diviseur de ce discriminant, sans qu"il soit prouvé que cette 
condition est suffisante. 

Si l'on remarque encore que le degré du discriminant est double du degré 
total N du système, on arrive à la conclusion suivante : 

Le discriminant d'un système fondamental est celui dont le degré est le 
plus petit. 

Il est le plus grand commun diviseur de tous les autres discriminants. 

Hadamard (J-)- — Sur les caractères de convergence des séries à 
termes positifs et sur les fonctions indéfiniment croissantes 
(319-336). 

Abel a démontr('' (|u'il n'existe pas de fonction 'f ( « ) telle que la série à termes 

positifs ^ w„ soit nécessairement convergente, si le produit «„cp{//) tend vers 

zéro pour n infini, et nécessairement divergente dans le cas contraire. Ceci 
revient à la proposition suivante : si [leu divergente que soit une série, on peut 
multiplier ses termes successifs par des nombres tendant vers zéro, sans trou- 
bler la convergence. 

Ainsi que l'a remar(]ué du IJois-Ileymond, on a une conclusion tout analogue 
en permutant les mots convergent et divergent, ainsi que les mots tendre vers 
zéro et augmenter indéfiniment. 

Il résulte aussi de ces recherches qu'une fonction indéfiniment croissante 
quelconque F(n) étant donnée, on peut trouver deux séries, l'une convergente, 
l'autre divergente, telles que le rappori des termes correspondants soit V{n). 



lU-.VDI': DliS l'UHLlCA TIONS. ;-. 

On avail tout tl'.ilxjid nu Irmivcr ini caraclcrc fjt'iiéi'al de convergence clans 
le critérium logarithinitiue, Icciuel repose sur la considération non plus d'une 
seule série, mais d'une iulinité de séries de comparaison. Il y avait encore là 
une conception erronée; on sait que le critérium logarithmique est, comme les 
autres caractères précédemment connus, en défaut jjour les séries dont la 
convergence (ou la divergence) est très lente. 

Cette insuffisance n'est, en aucune façon, particulière au critérium logarilli- 
mique. D'une façon générale, étant donné un nombre infini de séries 

Sj, (/> =1, 2, ..., ce) 

plus lentement divergentes (convergentes) les unes que les autres, on peut 
toujours trouver une série encore plus lentement divergente (convergente) que 
chacune de celles-là. 

Ceci revient à dire qu'étant donné une suite infinie de fonctions augmentant 
toutes indéfiniment, mais chacune plus lentement que la précédente, il existe 
toujours des fonctions qui, tout en étant encore indéfiniment croissantes, aug- 
mentent plus lentement que chacune des premières. 

On peut même aller plus loin : étant données deux suites de fonctions 

.//«), V,{n) {p, rj = 1,2, ... ,00) 

indéfiniment croissantes, les/ de plus en plus lentement, les F de plus en plus 
vite, mais chaque F plus lentement que n'importe quel / (de manière que le 

rapport ~ soit indéfiniment croissant avec n), i\ existe toujours une infinité 

de fonctions qui croissent plus lentement que n'importe quel /et plus vite que 
n'importe quel F. 

Par conséquent aussi, dans les mêmes conditions, on peut toujours détermi- 
ner les M„ de manière que toutes les séries 7 «„/„(«) soient divergentes et 

toutes les séries y u^V An) convergentes. 

De ce qui précède résulte que, si l'on arrivait à former une suite de fonc- 
tions dont chacune croisse indéfiniment plus lentement (plus vite) que la 
précédente, et qui contienne des fonctions croissant plus lentement (plus vite) 
que n'importe quelle fonction indéfiniment croissante donnée, une telle suite 
ne saurait être nuniérable. 

Koch [H. von). — Sur les intégrales régulières des équations 
différentielles linéaires. (33--42o). 

1. Extension de la théorie des systèmes d'équations du premier degré en 
nombre infini et à un nombre infini d'inconnues, développée précédemment 
(même Recueil, t. XVI), au cas oii le nombre des équations est, pour ainsi dire, 
plus grand que celui des inconnues ; ou, pour parler plus exactement, où le 
déterminant des coefficients n'est pas de la forme normale, mais le devient 
après suppression d'un certain nombre de lignes. 

Ce déterminant de la forme normale admet toujours (voir le Mémoire cité) 
MU mineur d'ordre fini qui n'est pas nul. En partant de cette remarque, on 



6 SECUNDI' l'Ainii:. 

peut ramener la résolution du système infini à celle d'un nombre fini d'équa- 
tions entre un nombre fini d'inconnues, et écrire les conditions pour qu'il y 
ait un nombre donné de solutions indépendantes. 

2. Soit l'équation linéaire 

rf"-' y 
privée de terme en — — - et avant pour coefficients des fonctions analytiques 

de X, développables en séries de la forme P,(x)= \ ^r,.^'- ^^- ^'O" Ivoch 

(Mémoire cité plus haut) obtient le développement des intégrales autour de 
l'origine en substituant pour j>' une série de la forme 

-f-OC 

(2) •>'= ^ gl^"^''- 

'/. —— X 

Les coefficients g-, sont alors déterminés parles équations 

-r-w 

(3) 2^ y.m>.o>. = o {m= — x,...,-i-x), 
> =— «I 

où /„,-^ désigne, à un facteur exponentiel prés, un polynôme en o dont les 
coefficients dépendent linéairement des coefficients a qui figurent dans les 
développements des P,. 
Lorsque l'équation 

t> ( ? ) = ( Z.i )'.* =—"..■., -h« = o 

n'a que des racines simples, les intégrales de l'équation donnée sont toutes de 
la forme (a); dans le cas contraire, il faut adjoindre, en général, des inté- 
grales de la forme 

(4) ^;[Fo+F,log^-^F,(log:r)=^...+ F^(log^)i*], 

les F étant des expressions de la forme (2), intégrales qu'on obtient en diffé- 
rentiant les premières par rapport à p. 

On dit, d"aprés M. Thomé, qu'une telle intégrale est régulière dans le voisi- 
nage de a: = 0, si les F ne contiennent qu'un nombre fini de puissances néga- 
tives. 

Dans le cas où les coefficients P de l'équation proposée ne contiennent eux- 
mêmes qu'un nombre fini de puissances négatives, M. Thomé a montré que, 
si m désigne le degré d'une certaine équation (équation déterminante), 
l'équation ne peut avoir plus de m intégrales régulières et que l'on peut tou- 
jours former m séries de la forme voulue satisfaisant formellement à cette 
équation; ces séries représentent donc des intégrales régulières pourvu qu'elles 
soient convergentes. 

Comme, dans le cas général, les séries ainsi obtenues sont divergentes, il 
faut, pour que l'équation proposée ait des intégrales régulières, que les para- 
mètres satisfassent à certaines relations. 



UEVUli DES PUBLICATIONS. 77 

Ces relations, qu'il avait été impossible de former jusqu'ici, peuvent toujours 
se trouver par la méthode incli(iuée par M. von Koch. Supposons, en effet, 
que l'origine n'est qu'un pôle pour les coefficients de l'équation; soit p la plus 
grande différence existant entre l'ordre de multiplicité de ce pôle pour un 
coefficient P^ et l'indice i de ce coefficient. 

Si l'on substitue pour y un développement analogue à (aj, mais dans 
lequel X, au lieu de varier de — co à -t-oc, prend exclusivement des valeurs 
positives, le sjstème (3) est remplacé par un de ceux qui ont été considérés 
au n" 1; le déterminant ne prend la forme normale qu'après suppression de /> 
lignes (le cas de /> = o est celui qui est bien connu depuis les recherches de 
M. Fuchs). D'après ce qui a été dit au n° 1, on écrira que le nouveau système 
admet, pour p = R, m solutions indépendantes (autrement dit que l'équation 
donnée admet m intégrales régulières appartenant à l'exposant R) par la con- 
sidération d'un CCI-tain nombre de mineurs de ce déterminant, mineurs dont 
l'ensemble est désigné par M,,, et qui sont fonctions de p. 

Le nombre des intégrales régulières appartenant à R est égal à l'exposant de 
la plus haute puissance de p — R qui divise toutes les fonctions M„. 

Conformément aux résultats de M. Thomé, l'exposant R doit, tout d'abord, 
être racine d'une certaine équation algébrique /( p) = 0, l'équation détermi- 
nante de AL Thomé. 

Quant aux quantités M^j, elles contiennent et les a d"une manière transcen- 
dante, de sorte que l'on ne peut, dans le cas le plus général, décider, par un 
nombre fini d'opérations arithmétiques, si l'équation différentielle donnée a des 
intégrales régulières ou non. 

Mais on peut former une série de conditions algébriques suffisantes pour 
Lexislcnce d'intégrales régulières pour un exposant déterminé R quelconque : 
ces conditions dépendent d'un certain entier ni et à la limite, lorsque ni 
augmente indéfiniment, équivalent aux conditions nécessaires et suffisantes 
trouvées précédemment. 

Application en est faite aux équations 

^^ _i_('^ _:_ Il _i_ ^\ ^'_Z ^( ^ ^ h ^ h\ ^i>l _,_(^A , ^1 _^ £2 
dx'' ' \x^ ' X- 



) "4 + p^ -^ q + -: r^ + rii + ii + iii w 

/ dx- \x^ x^ X- 1 dx xx" x^ x^j 



dx^ \ x^ ' x- X J dx 

D'autre part, on peut trouver une série de conditions algébriques nécessaires 
dépendant, elles aussi, d'un entier m et qui, lorsque cet entier augmente 
indéfiniment, tendent également vers les conditions nécessaires et suffisantes. 

Si l'équation n'a point d'intégrales régulières appartenant à l'exposant con- 
sidéré, il existera assurément une valeur finie de /n pour laquelle les conditions 
nécessaires ne seront pas vérifiées. Mais, dans le cas où il existe une telle 
intégrale, il pourra arriver qu'il soit impossible de s'en assurer en formant, 
jusqu'à une valeur finie, si grande qu'elle soit, de ni, les conditions précé- 
dentes; les conditions nécessaires seront alors constamment vérifiées, les con- 
ditions suffisantes jamais. 

3. lîemarques générales sur les pi'opriétés analytiques des fonctions qui 
interviennent dans les conclusions du n° 2. 

Ces fonctions sont développables suivant les puissances des a. Les coefficients 



78 SECONDE rAIlTIE. 

de ces développements sont des fonctions de o, lesquelles s'expriment èi Taide 
de la fonction eulériennc. 

Ces mômes fonctions peuvent, d'autre part, se développer suivant les puis- 
sances de p, les coefficients étant développables suivant les puissances des a; 
les coefficients numériques qui figurent dans ces développements s'expriment 
rationnellement à laide d'une exponentielle ayant pour base la constante 
d'EuIer et des nombres 

T,= i--^ + 3^^-... (A--2, 3, ...). 

4. Cas où les P, sont des fractions rationnelles. 

Dans ces conditions, l'auteur cherche à exprimer, par des relations entre 
les seuls coefficients, qu'il existe une intégrale régulière; autrement dit, qu'il 
existe au moins une racine R de l'équation déterminante pour laquelle les M„ 
s'annulent, ou, plus généralement, qu'il existe un nombre donné d'intégrales 
régulières. Ceci conduit à résoudre le problème suivant : 

Etant donnés un polynôme 

t]/ ( p ) = «0 + a, p + . . . -1- p"' 

et une fonction transrendante entière 

Fp = b^-h b,p -Î-. ..-{-b,„p"'-i-. . ., 

exprimer que ces deux fonctions ont un diviseur commun de degré donné S. La 
difficulté consiste à trouver des conditions valables lors même qu'une ou plu- 
sieurs des racines du polynôme 4' seraient égales entre elles. 

Une fois cette question auxiliaire résolue, on constate que les conditions 
cherchées s'expriment par un nombre fini de relations transcendantes entre 
les coefficients des P,. 

La nature transcendante de ces conditions fiiil ([u'on ne peut décider |)ar une 
suite finie d'opérations arithmétiques si elles sont vérifiées. 

rf"-' y 
La supposition, faite par l'auteur, que l'équation est privée de terme en ^__, » 

peut introduire des difficultés au point de vue de la recherche des intégrales 
régulières. Pour se passer de cette supposition, il faut introduire des déter- 
minants infinis plus généraux, dont la convergence a été établie par l'auteur 
{Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 3o janvier iSgS). 

Hadamard (J-)- — Note additionnelle à l'article Sur les carac- 
tères de convergence des séries à termes positifs cl sur les 
fondions indéfiniment croissantes. {^f\'>.\). 

Rectification de priorité au profit de du Dois-Reymond cl de M. Pincherlc. 



in-: VUE DES PUHIJCATIONS. 7,, 



ZEITSCHRIFT flr Mvtiikmatik i.nd PiivsrK. 
36*" année; 1891 (i). 

Vivanti (G.). — Sur l'clablissement d'identités arilhinétiques. 

(-10). 

Le développement d'une fonction, donnée dans l'intervalle ( — i, +1), en série 
de fonctions sphériques est, quand il est possible, complètement déterminé. 
L'auteur obtient les identités dont il s'agit en égalant diverses expressions des 
coefficients de ce développement. 

Millier (B.). — Sur la forme de la courbe du couple pour de.s 
bielles particulières, (i i-yo). 

Grunfeld {E .). — Sur l'expression des solutions d'un système 
d'équations différentielles linéaires du premier ordre, au voisi- 
nage d'un point singulier, ('io-33). 

L'auteur se propose d'étendre au système 

, du 

A —r— = a,. ;<■+...+ a,„u„ (i = i n), 

dx ,n n y n 

où A est un polynôme et où les a,;, sont uniformes, les résultats obtenus par 
M. Sauvage en supposant A du premier degré et les a-^^ holomorphes, dans le 
voisinage du point racine de A que l'on étudie. 

Weihrauch (K.). — Sur un déterminant algébrique dont les élé- 
ments admettent une loi de formation remarquable. (.'34-40). 

Thomae (•/•)• — Sur les fonctions thêta dont les arguments 
forment un système de tiers de périodes. (4o-44)- 

Zenger {K.-W.). ■ — Lumière et électricité. (44-49)- 

Richter (O.). — Enveloppe des cordes d'une conique vues d'un 
point donné sous un angle droit. (49-06). 

Mehmke (R.). — Quelques théorèmes sur la collinéation et la 
transformation affine dans l'espace, se rapportant à la courbure 
des courbes et des surfaces. (56-6o). 

(') Voir Bulletin, ■?.' série, t. XXL p- m>-. 



So SECONDE PAHTIE. 

Ces théorèmes sont relatifs aux invariants, projectifs ou affines, des points de 
contact de deux courbes, de deux surfaces, d'une courbe et d'une surface, ou 
encore aux invariants de plusieurs points, voisins ou non, d'une courbe ou 
d'une surface pour les mêmes transformations. 

Schendei {L.). — Une généralisation du développement du bi- 
nôme. (60-64). 

Dielrichkeit. — Critères de divisibilité des nombres écrits dans 
le système décimal. (64). 

Millier (/?•)• — Sur les points doubles de la courbe du couple. 

(65-70). 

Continuation des recherches sur la bielle parues dans les Volumes 34 et 36 
du même Journal. 

Weilirauch {K-)- — Sur certains déterminants goniomélriques 
et sur des systèmes d'équations linéaires qui s'y rattachent. 

(70-77)- 

Binder {W.). — Sur les systèmes absolus d'éléments dans les 
courbes planes unicursales du troisième et du quatrième ordre. 

(78-98). 

yihrendt {yi-)- — Recherches analytiques sur la constitution 
d'un pinceau de rayons après une réfraction, lorsque la surface 
de séparation des deux milieux est quelconque. (99-1 15). 

Ilaeuser {G.). — Remarque sur la théorie des systèmes d'équa- 
tions différentielles linéaires. (ii6-i23). 

Applications de la méthode symbolique de Boolc à des équations à coeffi- 
cients constants. 

Tliomae {J.). — Sur les intégrales elliptiques de troisième es- 
pèce. (120-1 28). 

L'auteur ramène l'intégration de la difTérentiello 

c d\ 

à la formation d'intégrales de troisième espèce à paramètres réels, dans le cas 
où X est réel. 

Miillcr (/?.)• — Sui- les centres de courbure des trajectoires pour 



'>^'^ fcv.n 



UI<:VUK DUS PUIUJCATIONS. Si 

les sysLùmcs |)liui.s (|iil se (l<''("()nncnl en roslaiit >cnil)l;il)l(s ;"i 
eux-mêmes. (\'2i.)-i?y'j). 

Disfeli (M.). — Sur une nuuiièio simple de représeuler les formes 
des courbes planes du Iroisièmc ordre. (loS-i;")"). 

L'auteur, paiianL tic la transformation de Steincr, obtient les courbes du 
Iroisièmc ordre en g<''néralisanl les constructions relatives aux coniques qui 
découlent de cette transfoimation. 

MclimLe (/»*.). — Méthode pratique pour le calcul des racines 
réelles déquatlons algébriques ou transcendantes à coefficients 
réels et à une inconnue. ( i 58-1 8-). 

La méthode peut être considérée en principe comme se rattachant à la rè^le 
de fausse position ou encore à la méthode d'approximation de Newton; c'est 
une application de ces deux méthodes que rend possible l'existence des tables de 
logarithmes et d'autres tables numériques. 

Kosch {F.). — Sur la situation du centre de gravité d'un cor|)s de 
révolution. (188-190). 

Schlomilch. — Sur les points communs à une droite et à une co- 
nique. (190-191). 

Bichter (O.). — Sur les courbes bicirculaires du quatrième ordre. 
(191-192). 

Millier (^•)- — Sur la courbure des développées des trajectoires 
dans le mouvement des systèmes plans rigides. (192-205). 

Considérant quatre positions infiniment voisines du sjstème, l'auteur con- 
struit le centre de courbure de la développée d'une trajectoire et étudie les 
liaisons qui existent entre ces centres de courbure et les points du système 
mobile. 

Mehmke {-R-)- — Sur deux propriétés caractéristiques des trans- 
formations ponctuelles linéaires relatives à la courbure des 
courbes et à la courbure totale des surfaces. (206-21 3). 

Lorsque deux courbes qui se touclicnt en un point y ont le même plan oscn- 
lateur (ou lorsque deux surfaces se touchent en un point), le rapport de leurs 
courbures demeure inaltéré si on les soumet à une transformation linéaire. 

Ces théorèmes sont étendus au cas de n variables. 

ïl immer (B.). — Sur une classe générale de transformations 
(1, 2) de l'espace. (2i4-23o). 

Bull, des Sciences mathcni., a"' série, t. WH. (Axiil i,Sij8.) iî.U 



8,. SECOiNDH PARTIE. 

Ces Iransfoimiitiiins -(inl dcfinies par lus équations 

v; V.j»'.= o, 

où les A,, B, sont linéaires et les r_ quadratiques en x^, x^- Xt,, x^. 

Witlenbauer (F.). — Les pôles d'inflexion dans le mouvement 
absolu et dans le mouvement relatif. (2.32-242). 

L'auteur, employant les méthodes du calcul barycentrique, expose la con- 
struction du pùle d'inllexion du mouvement absolu d'un système plan, qui 
possède un mouvement propre et qui, d'autre part, est entraîné par un ou 
plusieurs systèmes mobiles. L'inversion de ce problème conduit à la construction 
du pùle d'inllexion dans le mouvement relatif. 

Glciclien (A.). — Sur l'application de la niélliode des imaginaires 
aux problèmes dérpiilibre et de mouvement dans un ])lan. 

(243-249)- 
Rieke {A.). — Essai sur Téqualion x/'-|- v/'= z-P. (249-254). 

Dietrichkeit. — Critères de divisibilité des nombres écrits dans 
le système décimal. (254-255). 

Millier (/?.). — Construction du centre de courbure de la déve- 
loppée d'une enveloppe des trajectoires dans le mouvement des 
systèmes jdans rigides. (25j-26(3). 

Rodenbcrai^C .). — La délci'minalion des courbes des points cir- 
culaires d'un (piadrilnlèie articule'' plan. ( 26^-2 j^). 

L'auteur s'occupe de la construction du lieu des points d'un système mobile 
dont les trajectoires relatives à un autre système mobile ont des cercles de 
courbure stationnaires et résout le problème sous certaines conditions. 

Saal.schii/z ( L.). — Sur un cas spécial de la série livpergéomé- 
tri(pie du troisième ordre. (2-8-295), (32 1-32-). 

Ce Travail qui se rattaciie à une formule sommatoirc donnée par l'auteur 
pour une suite finie {Zeitschrift, 35" année) a pour but de rccbcrclier dans 
quels cas la suite considérée sans être linie peut être exprimée à l'aide d'une 
suite finie et des fonctions Y. 

Il recherche également les cas où la série hypcrgéométrique peut s'exprimer 
d'une iiKinièi'C finie avec la fonelion V. 



UKVUK DKS l'UBLICATlONS. ,s{ 

hleiher (•/•)• — ( lonlnhulioii à la lliroiic riiicinati<|ii»^ des 
sj'slèmcs arliciilés. ( •'.()^)-oo i), (3v.8-,'l'58). 

Sclicndel [L.). — Mélanges mallicmaliciiics. (3o9--3o8). 

Sloltz [K.). — ConlribulioM à la ihroric des surfaces algéhriqtics 
à centre. (3o8-3i i). 

Dietrichkcit. — Sur les invarianls des équations difFérentielles 
linéaires. (3 i i-3i5). 

Dietrichkcit. — Critères de divisibilité des nombres écrits dans 
le système décimal. (3i6-3i-). 

Heymann (f^ •)■ — Remarque sur le passage des coordonnées 
ponctuelles aux coordonnées langentielles dans les équations 
difTérentieiles. (3i--32o). 

Sporcr {B.). — Sur une transformation des courbes algébriques 
et sur des théorèmes de J. Sleincr qui s'y rattachent. (339-348). 

Thieme (//•). — Sur un complexe orthogonal de Reje. (349-355). 

Ce complexe est formé des droites de l'espace qui sont également distantes 
de deux points donnés. 

DoeJilmanii (A-). — Sur les domaines en involution d'une trans- 
formation plane de Cremona et plus particulièrement d'une 
transformation quadratique. (336-3-8). 

Ilciuck (G.). — Sur l'idée de la projection d'une droite. (3j9- 
38i). 

Bachmanfi. — Théorème arithmétique. (38i-382). 

Soit /> un nombre premier impair et i] une racine primitive (mody>); si l'on 
pose 

(i) ^/-'-,=y7Q 

et 

(2) Q =r^,_,7r---î-...-i-c,r/+c„ 

où les c sont positifs et inférieurs à q et où l'on complélc la suite en introdui- 
sant des coefficienis nuls s'il y a lieu, une permutation circulaire des cocfdcients 



«1 SECONDE PARTIE. 

dans ( >) donne successivement les multiples de O 

iQ, 2Q, ..., /Q, .... ip-i)q 

de telle niiinière que /.Q est obtenu après /i permutations si l'on a 

h = nul./:. 

Lolinstein {Th.). — Une méthode poui- la résoliilion nuinérique 
crime équation algébrique. (383-384 )• 

Historiscli-lilerarisclie Ablliciliing der Zeilschrift. 

CuvLze {Âfa.rimilian). — Commentaire au Tractatus de nu- 
meris datis de Jordanus ?»iemorarius. ( i-Zi i -81-1 2 i). 

liudio (F.). — Sur la convergence d'un produit infini particulier 
considéré par Viète. (i3c)). 

I/auleur établit la formule de ^'iète 



cl la forimile plus générale, due à Euler, relative à un arc quelconque 

c _ si^nS 

' ~ S S S 

cos — cos -r ces — • • • 
2 4 8 

37^ année: 1892. 

Mvanli (G.). — Sur les transformations de contact qui laissent 
invariable le rapport des courbures totales au point de contact, 
pour deux surfaces tangentes. (Mj)- 

I^"auteur, . généralisant une proposition de M. R. Melinike {Zeitsclirift, 
3G' année), établit que les transformations considérées sont siin])lenient les 
transformations projcctivcs. 

Itilter (F.). — Mouvement d'une parlieiilc inalérielle chargée 
d'électricilé sous l'action d'un centre fixe, en admettant la loi 
de Weber. (8-24)- 

Sporer i J-^-)- — ()uel(pics théorèmes sur les polygones réguliers. 
(^..5-34). 



UKVUh: DKS PUBLICATIONS. 85 

Griiblei- (M.). — Sur les courbes des points circitlaires (rmi 
plan j;llssanl sur liii-iiH'ine. (35-5()). 

Soient 1*^,, E,, E3, E( quatre positions quelconques d'un plan I"^ qui se meut 
dans un plan E„, Burmcster a démontré que les points A de E dont les positions 
correspondantes A,, \^, A3, A4 appartiennent à un cercle, se trouvent sur une 
courbe du troisième ordre passant par les six points qui se correspondent à 
eux-iuémes dans les quatre plans pris deux à deux et par les points circulaires 
à l'inlini. Les centres de ces cercles forment également une courbe du troi- 
sième ordre de E,, qui possède des propriétés analogues. Ce sont ces courbes 
que l'auteur étudie. 

Speckmann {G.). — Dorsteii {IL von). — Observations sur les 
critères de divisibilité dans le système décimal de M. Dictriclikeil . 

(58). 

Beyel. — Deu\ théorèmes sur la collinéation plane. (jy-Go). 

Brunn {H-). — Sur Tordre de grandeur d'une série de moyennes. 

(6o-63). 

Haas (K.). — Critères de divisibilité des nondjres. (63-()\). 

Spore/- (B.). — Théorèmes de J. Sleiuer sur le centre de gravité 
du système des points communs à une droite et à une courbe 
algébrique. (Go-jH). 

Kleiber (J.)- — Sur une manière d'oiiteuir. pour un nombre 
quelconque de formes quadratiques, un système complet d'in- 
variants. (80-89). 

Extension des méthodes de Gordan au cas de n variables. 

lleyniann ( W.). — Manière élémentaire de traiter les é({uations 
trinômes et quadrinomes. (90-100). 

Brunn (//.)• — Considérations topologiques. (106-1 16). 

Mutli (P-)- — Sur des couples de tétraèdres. (1 1--122). 

Étude de deux tétraèdres à la fois inscrits et circonscrits l'un à l'autre : Soient 
A, B, G, D, a, |î, Y, S les sommets des deux tétraèdres nommés de telle sorte 
que a soit dans le plan BCD, ... ; 2'| = 4 • dispositions sont possibles. 

Môbius (Crelle, t. .3 et 10) a étudié celle définie par les quatre plans 

ari-'D. 3roA. YÔalJ. oxTiG; 



86 SliCONDE PAIITIE. 

Steiner {systemalischen Endwickelungen) celles que l'on cicduil de la précé- 
dente par permulations circulaires des quatre lettres A, B, C, D. L'auteur 
étudie les vingt autres par la méthode de Steiner : il y a une seule solution 
dans chacun de ces cas lorsque ix et y sont arbitraires alors que dans les cas 
considérés par Steiner il en existe une infinité. 

Ilel/n (G.). — Reiîiar(|uc sut" une consLriiclion dioplriquc. (laa- 

12 5). 

lîuoss. — Une conlradiclioii dans la Tliéoiic de l'ElectriciLé 
d'Edliind. (i 25-1 26). 

ScliôneDiann. — • Généralisalion du iliéorènie de Pjlhagore. 

(12-). 

Speckmann (G.). — Critères de divisibilité dans le sjslènie dé- 
cimal. (1 28). 

MCiller {li-)- — Sur le mouvenienl d'un système plan rigide dont 
on donne cincj positions infiniment voisines. (129-150). 

Mie {(j.). — Sur le théorème fondamental d'existence des inté- 
grales d'équations aux dérivées partielles, (i 52-i j i), (193-21 2). 

I. Sur les systèmes infinis d'équations dilTérenlielles. 

II. Systèmes d'équations aux dérivées partielles regardés comme des systèmes 
aux diderentielles totales de classe infinie. 

III. Applications. 

lîicJiici- (P.-U.). — Extension de la règle de Guldin. (i-2-i^~). 

Jahnke {J'^-)- — Sur une nouvelle méthode pour le développement 
de la théorie des fonctions sigma de plusieurs arguments. (178- 

i85). 

L'auteur expose les principales simplifications de cette théorie qui résultent 
des relations remarquables, établies par Weierstrass et I\I. 1"'. Caspary, entre 
les fonctions thêta de plusieurs arguments et les coefficients d'une substitution 
orthogonale. 

Mehinke {R-)- — Sur la courbure géodésirpie d'une courbe tracée 
sur xine surface et sur sa variation lorsque l'on transforme la 

surface. (1 8()-i 89). 

Par une Iraiisformalion |)an(tueile la coiirlnne géodésique est transformée 
linéairement. L'auteur démontre ce théorème cl i'étcnd à des transformations 
fie surfaces di'diiih-s des transformations de roiilacl. 



IIEVUIÎ I)KS PUBLICATIONS. S; 

Kraus (J-)- — Addilion à la remarque Théorcine aiitlu)icli<iuc 
de Bachmann. {Zeilsclirift, 36*' année, p. 383). 

Sporcr (/>.). — CoiilrucLioi) d'une taugeiile eu un point d'une 
courbe du troisième deyré. (kji)- 

Millier (/>.)• — (jonstruclion des points de Burinester pour un 
quadrilatère articulé plan. (2i3-3i^). 

Rodenbern'. — Contribution à l'étude systématique des mouve- 
ments plans d'un système rigide. (2i8-256). 

Pirogoiv (N.-N.). — Sur le viriel des forces. (237-290). 

Brunn (//■). — Tbéorème sur les déterminants ortliosj'métriques 
et des déterminants voisins formés avec les fonctions symé- 
triques fondamentales de n éléments. (291-29"). 

Philippoff {M.). — Nombres symboliques et nombres doubles. 
(299-304). 

Application à l'Algèbre élémentaire des représenlalions symboliques adoptées 
par Gauss dans la théorie des formes quadratiques. 

Mehtnke (/»•)• — Petites contributions aux applications des mé- 
thodes de Grassmann. (3o5-3io). 

Rodenberg. — Note additionnelle au travail de l'auteur Sur le 
mouvement plan des systèmes rigides (Zeitschri/t, 3^'' année, 
p. 218). 

Beyel. — Intersection d'une droite et d'une conicjuc; tangentes 
à la conique issues d'un point. (3i6). 

Kurz i^A.). — Le minimum de déviation dans les prismes. (317- 
3i8). 

Kurz (A.). — Le troisième arc-en-ciel. (3i8-32o). 

Kraus (J.). — Nouveaux fondements d'une théorie générale des 
nombres. (32i-34o). 

Soit a un entier quelconque; touL nombre entier peut s'écrire dans un 
système de base x; l'auteur se propose de développer d'une façon systématique 
le^ propriétés des nombres entiers qui sont indépendantes du rlioix de la base a. 



88 SECONDE PARTIE. 

Sporer {B.). — Théorèmes de J. Sleiner sur les milieux des 
se<;menls déterminés sur une droite par une courbe algébrique. 
(340-366). 

Rodenberg. — Sur le système des trois centres de courbure qui 
se présente dans le mouvement relatif de trois systèmes plans 
rigides. (3(36-3-4). 

Saalscliiilz (L.). — Formules de récurrence réduites pour les 
nombres de Bernoulli. (3^4-378). 

liitoss. — Sur la théorie de la courbure de Gauss. (378-381). 

Ilossfeld (C). — Sur un théorème stéréomélrique de Schlômilch. 

(38.). 

Dôrr (•/•). — (^itères de divisibilité dans le système décimal. 

(383-384). 

ilisloriscli-lilerarisclie Ablhcihiiig der ZeUschrift. 
W appler {E .). — Remarques sur la liliyllimomacliie. (1). 
Tannery [Paul). — Psellus sur Diophante. (4')- 
Gutzincr (A.). — Souvenir à Paul (lunlher. (46). 

Heiberg (J.-L.). — Les manuscrits employés par Guillaume de 
Mœrbek. (81). 

Nessctnidnii (G.-Il.-F.). — Additions à Dio])hante. (121, iGi). 

W^itlstein (A-). — Ce que nous savons sur les anciennes sphères 
terr(!slres ou célestes. (201). 

Sii|i[i1c'miu'iiI. 

Sulci- {II-)- — La nomenclature des malhématiciens dans le 
FUirist de Ibn Abt Jackûb an-Nadim. (i). 

M'illslcin ( /.). — Fragments astronomi(|ues tirés de la littérature 
oncMlalc. ( S() ). 



Hi:\ LE DES PUBLICATIONS. 8.j 

Burkluirdl (//•)• — ^-"^^ débuis de la ihéorie des groiij)es cl 
Paolo Ixiiffini. ( i 19). 

Isenkrahe (C). — Sur la réduclion de la pesanlcur à Tabsurpliuii 
el sur les lois que Ton eu déduil. (161). 



VERSLAG DER ZITTIXGEX \ vx de Wis-e.v Natllrkixdige Akdeeling dkr 
KoMNKLiJKE Akade.mie VAN Wetenschappen to Ainstcidcim. In-4°('). 

Tome III; mai 1894-avril 189]. 

Scliols [Cli.-M.). — Examen de la division des cercles azimu- 
laux des lliéodoliles, employés dans la Iriangulation des l'ajs- 
Bas. (2-10). 

L'auteur récuse la mélhocle basée sur la comparaison entre elles des douze 
parties d'un degré, cette méthode ne faisant connaître que l'inexactitude rela- 
tive de ces parties sans porter sur leurs valeurs absolues. Il la remplace par 
la mesure d'un même angle de ±45° au moyen de difTérenles parties du 
limbe. Ainsi, pendant tout l'été, il obtint des résultats auxquels on pouvait se 
confier. Cependant, vers l'automne, il trouva que l'angle mesuré diminuait 
continuellement. Une dilatation inégale de la table de marbre qui porte les 
deux collimateurs, enfoncée en partie dans la muraille, fut reconnue en être 
la cause. Cet inconvénient n'étant pas à éviter, l'auteur arrange les .observa- 
tions d'après le temps, de manière à éliminer la source d'erreur. Son examen 
porte sur six théodolitlies. 

Schoute (P. -II.). — Ra[)porL intime enlre deux divisions homo- 
gènes de l'espace, celle en cubes el celle en télvakaidékaèdres. 
(i5-i6). 

Le tétrakaidékaèdre est limité par huit hexagones réguliers dont les plans 
prolongés forment un octaèdre régulier et par six carrés dont les plans pro- 
longés forment un cube. La division homogène de l'espace en ces corps à 
quatorze faces a été indiquée par Lord Kelvin {Nature, 8 et i5 mars iSg^)- 
On passe de l'une de ces divisions à l'autre à l'aide du théorème d'après lequel 
un cube est coupé suivant un hexagone régulier par un plan central perpen- 
diculaire à une diagonale corporelle. 

De \ vies (-/•)• — Sur les équalions algébriques donl les racines 
se rangenlen Iriples. (64-6j). 



(') \oir Bulletin, MX,, p. m. 



go SECONDE PAiniE. 

L'auteur soccupe des arrangements en triples, de manière que chaque com- 
binaison de deux racines n'y figure qu'une fois. La relation entre les trois ra- 
cines d'un triple se réduit à x^X2Xi= i ou à x^ + x^-t- x^= o. Les équations 
sont nécessairement de l'ordre n = 6/?i -f- i ou /i = 6//i -f- 3 ( 3, 7, 9, i3, i5, ...)• 
Le cas « = 3 est évident; les cas n = 7 et « = g ne sont pas réalisables. Deux 
arransemenls différents pour /i = i3. Rapport des résultats obtenus avec des 
configurations de points situés sur une cubique plane. 

]} ind (C.-II.). — Sur le phénomène de Kerr. (82-89). 

Kiienen (J.-P.). — La condensation d'un mélange de gaz. (go- 
99)- 

De Vries (/.). — [nvolulions fondamenlales sur des courbes 
planes du cinquième ordre à quatre points doubles, (iio-ii'j). 

Sur une quiulique plane quadrinodale, le faisceau de coniques, défini par 
les points doubles (A), marque l'involution quadrique unique que la courbe 
possède. Les jonctions des couples enveloppent une conique 'i^.,, tangente en 
cinq points à la courbe originale O5. Avec les points (A) les cinq points de 
contact forment les points de base d'un faisceau de cubiques qui détermine 
aussi l'involution quadratique fondamentale F,. Chaque conique, ajanl avec iI>o 
un contact double, marque sur Oj deux quintuples dont chacun définit avec 
(A) un faisceau cubique capable d'engendrer F^. Les triples d'intersection 
de 'jj avec les jonctions des couples de F, constituent une involution F„ dé- 
terminée aussi par tout faisceau de cubiques passant par (A) et deux couples 
de F,. Les couples de F, se rangent deux à deux dans les groupes d'une invo- 
lution quadruple, définie par deux des points (A) et deux points fixes de Oj 
(six involutions F^). Par les six points doubles de F, passent quatre quar- 
tiques ajant trois des points (A) comme points doubles; les deux autres inter- 
sections de chacune d'elles avec tpj déterminent, avec les trois points (A) 
correspondants, un système de quartiques Irinodalcs où chaque courbe supporte 
trois couples de F,. Les triples des points qui forment des couples de F, avec 
un triple de F,, forment une involution fondamentale nouvelle £3 que l'on peut 
engendrer encore par un faisceau de cubiques uodales. La conique <^^ peut 
dégénérer en un point double s où se croisent deux tangentes doubles de Oj; 
alors chaque droite par s porte deux couples de F,, et trois couples quelconques 
se Irijuvcnl sur une iul)i(|uc cunlenanl les puinls s cl (A). 

Oudcmaiis (J.-A.-C). — Approximation de la valeur du rayon 
de courbure moyen de la Terre à la latitude de Java, aumojen 
de l'excès sphérique du polygone cpii renferme le réseau trian- 
gulaire de cetle île. (ia5-ioo). 

]''a/) (/('/■ Il (fa/s [J.-D.). — Sur rabsence des [)liéiiomènes cri- 
iifpics (Kun mélani;e. ou la modiliealion de ces jtliénomèiies, à 



I 



HI-VUE DES PUBLICATIONS. (ji 

cause de rcxislence duii pli loiigiliuliiial de la smface 6 à de 
haiiles tempéraliires. (i:]3-ia-). 

De \ ries (/.). — Ueber eine gevvisse Griippc cbencr (Airven (Sur 
un groupe de courbes planes). (iSy-if'î). 

Il s'agit <riinc couiljc plaiu; a du ( /i -i- /h ) '■■"'° ordre, douce de in- points 
doubles (A) qui forment la i^asc d'un faisceau de courbes C'". Elle peut être 
engendrée j)ar une correspondance (a, i) entre ce faisceau et un système S 
d'indice 2, de courbes C"-"'. Les groupes de iv — ni- points de 9 (|ni forment 
avec ( A ) la base d'un faisceau de courbes C", se rangent en couples marqués 
par une courbe C-("~"') qui louche l'enveloppe de S en 2(71 — 7;i)- points situés 
sur une C"~"'. D'ailleurs, cette enveloppe elle-même est une courbe C-("~"'' sur 
laquelle les deux groupes coïncident de sorte qu'elle touche » en /i- — m- points. 
A tout système S correspond une involution, liée d'autre part à l'involution 
fondamentale marquée par le faisceau de courbes C'". Pour m = 1 et 7?i = 2 la 
courbe cp est générale. Dans le cas ni = 2, « = 3 on retombe sur qucb[ues-unes 
des propriétés communiquées dans le Mémoire précédent. 

De \ ries (</•). — Ueber gevvisse raïunliclie Conliguralionen (Sur 
des conliguralions dans l'espace). (i54-i6i). 

L"auteur part de la conliguratiun (8', 8^) de Mcebius {Journal de Crelle, 
t. 3, p. 2'j3) étudiée en détail par JM. PSeuberg en 188^. lin composant deux 
configurations (8\ 8,), il trouve une configuration (16^, 165) décomposable de 
cinq manières différentes en deux configurations (8*, 8,). Il démontre que cette 
configuration (16^, 165) trouvée par M. C. Andréelf {Conim. de Kharkof, 
t. II, p. 95) et toutes les configurations [(2"-')", (2"-'),,] qui s'en déduisent, 
sont des configurations régulières. 

} ail der Waals [J.-J).). — L'inlcrprélalion cinétique du poLen- 
liel iherniodjnarnitpie. (200-219). 

L'égalité du polenliel ihcrmodynamique de deux phases coexistantes d'une 
même substance mène à des équations qui expriment l'égalité des nombres 
de molécules échangées par les deux phases (loi de Kamerlingh Onnes). L'au- 
teur démontre cette loi, d'abord pour Je cas d'une substance unique, ensuite 
pour un mélange de deux substances. Enfin il fait voir que, dans le dernier cas, 
la matière dont la transmission dans la seconde [)liase exige le plus granil 
travail est en abondance dans la première phase. 

Traduction française dans les Archives néerl., t. \XX, p. 187. 

ScliouLe (P.-fl.). — Sur le nombre des Upes de ctislaux du système 
régulier dans l'espace s" à /i dimensions. (282-284). 

L'auteur représente un cristal du système régulier dans s" par le symbole 
(rti, a.^, ..., a,,) où les segments ci déterminés [lar les êtres liiiiilaiits £"^' sur 
les axes sont rangés par ordre de grandeur croissante. En faisant suivre a„_, 
du symbole (a,, rr.. .... a,^) par nr,, il y a deux ras à distinguer. Si o„_i est 



92 SliCONDK PAUTIE. 

infiniment grand, a„ l'est tout de même; si a„_, a une valeur finie, on cdilicni 
trois types diflTérents de £" en posant «„= «„_i, «„>«„_i et ''»') ^„ infini. 
Ainsi, chaque tjpe de £"~' mène à trois types de e" ou à un seul, selon quea„_, 
est fini ou infini. Si donc a;,, et y„ représentent les nombres des types e" à 
élément dernier fini et infini, on trouve les relations récurrentes 

a7„=2a'„_| et y,,— ^n~\~^ Yn-l 

ou 



Pour n = 2 on a 
donc on trouve 



ar„==2"~', y„= 2"-' — I 
et pour le nombre total -i" — i. 

Lebret {A.). — La dissjinélric du phénomène de Hall dans le 
bismiilh par rapport à différenlcs directions dans le champ 
jiiagnétique. (292-298). 

Tome IV; mai 189') -avril 189G. 

Kdpteyn [J.-C). — Sur la distribution des vitesses cosmiques. 
(I-18). 

L'auteur attribue l'insignifiance des résultats obtenus jusqu'à présent par 
rapport à la constitution de l'univers à la défectuosité des hj'pothèses, en 
partie invraisemblables, en partie sensiblement fausses, dont on s'est servi. Il 
cherche à démontrer qu'au contraire un petit nombre d'hypothèses admissibles 
permet de déduire des observations une première approximation : 1° de la loi de 
distribution des vitesses linéaires absolues; 2° de la loi de variation de Taccu- 
mulation des étoiles avec la distance au Soleil ; 3° de la loi de distribution des 
étoiles de différente clarté absolue. Jusqu'ici l'auteur s'est occupé principale- 
ment de la première loi. Il la fait dépendre des trois lij'polhèses suivantes : 
a. Dans le mouvement des étoiles, il n'j- a pas de préférence pour une direction 
déterminée; b. La loi de distribution îles vitesses est indéperulante de la 
distance à notre système solaire; c. La fonction de la probabilité d'une vitesse 
linéaire de grandeur donnée n'admet qu'un seul maximum. De la première 
hypothèse on ne saura se défaire qu'autant que l'on dispose de méthodes pour 
déterminer exactement des parallaxes annuelles inférieures à o", 01. La seconde 
hypothèse obtiendrait une grande vraisemblance, si l'on avait démontré que la 
vitesse linéaire moj'ertne ne varie pas avec la distance au Soleil. La troisième 
hypothèse est nécessaire pour l'approximation de la fonction de probabilité 
f{s) de la vitesse linéaire s. 

Van dev W aals L/.-D.). — Sur les caractères (pii décident de 
Talliire de la courbe de plissement dans le cas d'un mélange de 

deux std)^lances. (20-00, 82-93). 



HKVU \<. DKS PUBLICATIONS. .,{ 

|i,iii> II' ciis iliiii iiiri;ini;i' ili- (lcu\ siili-t;ini-c-i dniit hi lcili|itr;il iiri' cl la 
pression ont été rlélcriiiinées de manière (luc les doux phases cocxislanles se 
correspondent en composition et en densité, on donne le nom de courbe de 
plissement à la ligne qui fait connaître la relation entre ces valeurs de tem- 
pérature T et de pression p pour des degrés variables a; et i — x de composi- 
tion. Ce nom fait allusion à la circonstance qu'un mélange se trouve dans la 
condition indiquée, si par son volume V et par sa composition x, i — x \l 
occupe la place du point de plissement sur la surface t}^. Quoique, à présent, 
il n'est pas encore possible de déduire Téquation de celte courbe, la théorie en 
donne l'équation clillérentielio diiiis la l'orme 

dp d'Y _ d'n 



di dxp^ ^^?),x 

où T| représente l'énergie. De celte équation diflërentieiic on déduit les parti- 
cularités les plus saillantes de la courbe. L'auteur en étudie deux points par- 
ticuliers. Au premier point, la courbe touche et y termine le lieu des points 
de tension maximum, an second la tangente est parallèle à l'axe des pressions. 
Dans la seconde partie, l'auteur donne une nouvelle déduction de l'équation 
différentielle de la courbe de plissement et démontre que la courbe de tension 

a une pente plus faible ((ue la courbe de plissement, si --- — est négatif. En- 

àx:,- 

suite il trace le chemin que l'on aura à suivre pour parvenir à la connaissance 

de p, V, -z à l'état critique en fonction de x. 

Traduction française dans les Archives ncerl., t. \\X, p. 2(J6 et 2-8. 

Kuenen [J.-P .). — Influence de la pesanteur sur les phénomènes 
critiques de substances simples et de mélanges. (4i-53). 

Dans certains cas la pesanteur peut troubler les phénomènes critiques des 
mélanges. Par exemple, entre deux températures voisines, de part et d'autre de 
la température du point de plissement, la condensation rétrograde de première 
et de seconde espèce ne se manifestent pas complètement, parce que sous la 
compression le ménisque disparaît avant qu'une des deux phases ait entière- 
ment disparu. Cependant, ces phénomènes des mélanges sous l'influence de la 
pesanteur se déduisent tout de même entièrement de la théorie de M. \'ander 
Waals. 

De Vries (/•)• — Théorèmes d'addition d'intégrales elliptiques. 

(96-103). 

En suivant le chemin tracé par Abel, l'auteur trouve les relations entre les 
limites supérieures de quatre intégrales elliptiques de première espèce, à l'aide 
de la parabole variable y = ax--^ bx -f- c. Pour c = i le théorème d'addition 
de trois intégrales se présente. Pour la somme de trois intégrales de seconde 
espèce il trouve — lâXiX^x^, les limites supérieures J7,, x^_, x^ étant liées par 
les mêmes relations que celles des intégrales de première espèce. Même la 
somme de trois intégrales 



£ 



'^^ a ^1,2,3) 



'0 {x- — «- ) ^/(i — ^-) (i — k'-x-) 
de troisième es[)èce se rétluil ;'i une expression sinipl 



94 



SKCONDlî PAUTIE. 



De \ ries {•/■)■ — Uebcr eine gewisse Klasse oanzer Fiinclionen 
(Sur une certaine eaU-gorie de fondions entières). (i33-i44)' 

En dcsisrnant n;ir Y„ la fonction de y qui disparaîl pour y = 2cos ~ 

^ ' " -^ ' ' l ^ -211+1 

(A=i, ■?., ..., Il), l'auteur démontre que la suite des fonctions de Slurni de 
l'équation Y„ = o est formée par les fonctions Y'/.(/x = n, n — i, ..., 2, 1). La 
fonction Y„ satisfait à l'équation connue Y„ — >'^ „_i+ ^ ,,-2 = o. La fonction 
la plus générale qui vérilic cette équation de récurrence est 



(ay + b)Q,^_,— cQ„_. 



A- 



où la fonction (Miliére O, s'évanouit pour t = 2 ces ~, (k = i,2, ...,/!)■ 

Celte solution comprend aussi les fonctions U„ et ^'„ dont les racines sont 

2 /,"-+- I 2 /.■ -h I 

i). Enfin, l'auteur prouve 



2 /,■ -h I 

~ et 2 cos ( A- 

2 71 + I 211 



o, I , . . . , 7i 



(|ue pour les fonctions Q^^, U„, ¥„ la suite des fonctions de Sturm se forme de 
la même manière que pour Y„. Quelques relations entre des produits de cosinus 



1 1 f '" 

de la forme cos — t.. 



LorenLz [U.-A.). — Le Uiéorèiue de i\J. PoynLing' sur l'énergie 
du champ éleclromagnélique et dexw propositions générales sur 
la propagation de la liiinirre. (ij6-i8^). 

L'auteur ap])liquc les équations fondamentales de la théorie de Maxwell à 
un système quelconque de corps, conducteurs ou diélectriques, isotropes ou 
anisotropes, entourés de tous côtés par l'éther et soumis à des forces électro- 
motrices. Si, pfiur un certain état de mouvement A, on désigne pars le courant 
électrique, par e la fon e électrique, par tj la force magnétique, pur l'in- 
duction magnéti(jue et <|iie l'on distingue jiar des accents les quantités cor- 
respondantes pour un second étal V . on arrive à l'éciuation 



(0 



f( tjO' )d~+\- f{^'^) d- = f 



^)r %■ iL 
(!;/,. 1!;',^ Vc'- 



C/Î. 



l)ans cette fcjrniule, où (tjO') et (J-'C) re['résentent les sommes 2 ( '^Jii "t" ) 
et \ (C'(P) j)our II — x. y, z, il est question tic l'espace x situé à l'intérieur 

d'une surface fermée quelconque u; les indices x, y, z servent à indiquer les 
composantes des vecteurs et a, [jl, v représentent les cosinus directeurs de la 
normale extérieure de la surface. ( >n revient à l'équalion de IM. I^oynling {Phil. 
Trans., London, t. CLWV, p. 343) en prenant pour A et A' un mèine élat de 
mouvement. Si, au contraire, A et- A' sont différents, on peut établir une 
seconde relation en changeant entre elles les quantités qui se rapportent à A 
et A'; cette nouvelle é(|ualion étant soustraite de l'équation (i), on obtient 
une formule trouvée par I\l. Yolterra {Acta math., t. XVT, p. 189) sous une 
forme légèrement difl'érenle. Ici, celte formule est appliquée à l'étude de la pro- 



UKVUK DIvS l'UULlCATIONS. .j-J 

pagaliiiii lie l.i ItiiiiiiTr. l'iii ili'>i;;ii.iiil |i,ir source clenienlaire lumineuse un 
espace iiiliiiimeiU petit <.) ilaiis leiiuel ai;il une force élerlrnmotricc de dircciioii 

constante et dont la ;L;raiiili'ui- peut T-irc i-cprt''sentéc par /> ros ^- (f + <7), on y 

a la même valeur dans toute l'étendue de o), [>ar direction et phase d'une 
source celle de la force électroinotrice, par intensité d'une source la valeur 

de l'intégrale //? f/T étendue à l'espace o), par couple de sources un système 

de deux sources infiniment voisines l'une de l'autre de directions et d'inten- 
sités égales, mais de pliases opposées, on a : 

1° Une source de la direction h, placée dans un point V, |)roduit flans un 
autre point P' du système, un courant électrique doiiL la c(ini|)i>sarilc suivant 
la direction quelconque It' est égale à la composante suivant la direction h du 
courant que produirait en V une source placée en P' et ayant la direction h' 
et la même intensité et la même phase que la première source. 

2° Les vibrations qui sont produites à l'intérieur d'une surface fermée par 
des sources extérieures quelconques peuvent être considérées comme provenant 
d'une distribution déterminée de sources et de couples de sources sur la sur- 
face elle-même. 

Le premier théorème est au fond la même chose qu'une loi de réciprocité 
bien connue qui a été énoncée, entre autres, par Von Ilelmlioltz dans son 
Optique physiologique. Le second théorème est une extension du principe de 
Huygens. 

Kctpteyn ( W ^. — Sur un problème danalysis s/lus. (199-202). 

Supposons qu'on ait divisé une surface de degré de conncxité p en D poly- 
gones curvilignes limitant chacun une portion de la surface, que le nombre des 
côtés soit G et celui des sommets H. Alors, on a la relation D-(- H — G = 2(1 — p), 
connue sous le nom de théorème de L'Huillier. Pour la démontrer, l'auteur 
prend pour modèle une surface fermée à /j trous, symétrique par rapporta un 
plan. Ce plan coupe les/? ouvertures suivant/» circonférences égales dont les 
centres forment les sommets d'un polygone régulier et la surface suivant une 
circonférence concentrique à ce polygone. La sui"face admet deux plans tangents 
singuliers, parallèles au plan de symétrie; chacun de ces deux plans touche la 
surface suivant une circonférence dp de ses rayons. En remplaçant les côtés 
des polygones par des lignes géodésiques, on a, il'après Gauss, 



ff — 
' .' Hl',' 



{n 



où P„ représente la somme des angles, n le nombre des côtés, R et IV les rayons 
principaux de courbure de la surface et d-: l'élément du polygone. La sommation 
du second membre donnant SP,, = 2- H, ÏI( « — 2)-;: = 2(G — D)-, on aura 



// 



'i^, = 3.(r.+ ii-G), 



où l'intégrale qui représente la valeur spliérique de la surface, s'étend à toute 
la surface. Pour déterminer cette intégrale, on peut diviser la surface en 



<,(•) SECONDI-: PARTIE. 

/) -f- I parties, la pretnière partie étant la partie extérieure entre les deux cir- 
conférences situées clans les deux plans tangents, les autres étant les parties 
congruentes situées entre les secteurs correspondants de ces plans. Pour la 
première partie, où les rayons H et R' ont le même signe, la valeur sphérique 
est 4~; pour cliacune des/) parties congruentes, les rayons ajant des signes 
opposés, la valeur sphérique est — 4~- I' s'ensuit la relation indiquée. Toute- 
fois, pour /? = o, I, 2 on doit modifier un peu le raisonnement précédent. 

De Vries (J-)- — Stir les cooi'dormées bipolaires. (219-224). 

Dans l'examen des courbes à l'aide du système de coordonnées bipolaires de 
rayons vecteurs /?, q, issus de deux pôles fixes P, Q, l'introduction d'un troi- 
sième rayon vecteur /• dont le pôle R se trouve sur la droite PQ, offre quel- 
quefois des avantages. En représentant PQ, PR, QR par/, g, h, on a, daprés 
le théorème de Stewart, 

hp''-^ gq'- = fi---rfgh. 

Ainsi, lovale de Descartes oi p -\- "^t q = •{ f 'àux deux foyers P, Q est représenté 
en même temps par une des équations '(p — '^r = iig, yq -h olt — ^h, si le 
troisième foyer R (théorème de Chasles) est déterminé par la condition 

o^g-i-rfi^ff^ 

et, à l'aide de ces trois équations, on trouve encore léquation tripolaire 

:tgq ~ php-hffr = o. 

Ici, Tautcur étudie les angles » et ^ que la tangente d"unc courbe 1' (/?, 7) = o 
forme avec les rayons vecteurs p et q. Il trouve 

sin» _ ip--\-q^ — f')<ip — "ipqdq 
sint]/ ~ ■ipqdp—{p--hq-'-f-) dq 

et en di-iluit i|iie deux courbes dont les éléments sont distingués les uns des 
autres par les indices i et 2 se coupent en un point commun 

sous un angle droit sous la coiulilioii 

■}-pq{dp, dp.~ dq, dq„) = (/^'-^ 7- — /-) ( <://>, dq._-\- dp^jlq,). 

Comme appliration de cette formule, il fait voir que deux cartésiennes con- 

a 3 V 
focales se coupent sous un angle ilroit. Ainsi le système h - = 4= de courbes 

P q f 

méridiennes des niveaux potentiels de deux quantités de matière a, p dans les 
pôles P, Q a pour trajectoires orthogonales le système acos6,-t- p sin6,= S de 
courbes de force, où 6, et 9, sont les angles que les rayons vecteurs p, q font 
avec la droite PQ. 

Sclioute {P. -II.). — J^a surface romaine de Sleiiier. (224--2.io). 



.^i fc^^ . 



V 
lUîVlJK DKS PUniJCATlONS. 97 

Éliulo tic la siiifacc 

(/)-;;-+ bz- x''-+ cx-y--^ 2 dx v z t -- o. 

Ixciliiclioii de l'cquulion ù 

7"^;-+ s-j;-+ a;-y- = 2kxyz. 
L'équation 

- y ( - 7" '■■ -H '"'/?" + /J' q-)x = 2 /{-jo- 7- /•- 

du plan laiiiient au point x — pt, y =■ qt, z = rt. Décomposition du prcniiur 
nienihrc de ré(|nation 

xyz Z [ qr { — q- /'- + /•-/)- + p- q-)x] — /;- q- r- 'H { y- Z- ) = o 

du cône à sommet O passant par l'inlcrsection de la surface avec son plan 
langent en deux facteurs de la forme 

ayz -h bzx ^ cxy, ri'yz -h b' zx + c' xy 

avec les conditions aa' — bb' = ce'. 

Correspondance involutive des deux cones quadratiques à sommet cuniinun O 
dont les deux coniques d'intersection de la surface avec un ([uelconque de ses 
plans tangents sont des directrices. 

L'équation de la surface peut prendre une des quatre formes suivantes : 

( yz -h zx -\- xy j- = 2 xj-z (x -h y -h z -h k), 

( — j-s -i- zx -T- xy )- = 2X)z {x — y — z -{- k), 

( yz — zx^ xy )- --= 2 xyz {— x-^y — z + k), 

( yz -h zx — xy f = 2 xyz (— x — y -h z -h k). 

Donc, les quatre plans 

^ -H _r -I- - -i- />■ = o, — X -t- y — ^ -I- A' = o, 
X — y — ^ -h A" = o, — X — y ~ z -i- k = o 

touchent la surface suivant des coniques qui, d'après l'identité 

(x -hy + z)-— 2 {yz -+ zx -h xy ) — k- — x- -+- y- -f- ^- — A'- 

ct trois identités analogues, se révèlent comme des cercles. Démonstration que 
ces quatre circonférences forment toute la courbe parabolique de la surface. 
L'é(]uation 

-[x]) — !i:^{xlx.^) -h ()Z{x\xl) 4- 4 - ■^'f J^2 .r.T — ^ o a;, a;, jc^ x,, — o 

en coordonnées homogènes normales par rapport au tétraèdre régulier des 
plans tangents singuliers. 

Le lieu des centres des coniques de la surface est une autre surface de 
Sleiner représentée par y-z--h c".r-+ x-y--i- kxyz = o. 

De Ifies (./.). — ■ Sur une relalion enlre un liyperboloïdc réglé 
et un système confocal d'ovales de Descarlos. (202-259). 

Bull, des Sciences inatkém., 2'' série, t. XXIL (Mai i8y8.) H. ■y 



ç,8 SIiCONDI-: PARTIH. 

1. L'auleur continue l'ordre d'idées de la Communicalion précédente. Il 
combine l'équation a/» -4-^9 = y/ <1 "" ovale de Descartes, où /désigne la 
distance des origines P, Q de p, q, à la relation hp--h gg- = //•■ + /gh (théo- 
rème de Stewart), où /• est un troisième rayon vecteur issu d'un point R de 
PQ. Il démontre le théorème de Chastes que R peut être choisi de manière à 
représenter un troisième foyer de la courbe, en envisageant les rayons vecteurs 
p, 7, /• comme les coordonnées rectangulaires d'un point de l'espace. Alors, il 

s'agit d'un plan a/JH- ^7 = y/ et d'un hyperboloïde -^ -i- - r- = ^— i.Donc, 

la possibilité de représenter la même courbe par une équation linéaire en 
{p, r) ou en (7, /•) est démontrée aussitôt que l'on a fait voir que les deux 
équations en p, g, r peuvent appartenir à une droite de l'hyperboloïde : car 
alors, les équations cherchées en (p, r) et {q, r) ne sont autre chose que les 
deux autres projections de cette droite. En posant fg — a-, fh = b"-, gh = c^, 
l'hyperboloïde se représente par 

a- c- b- 

avec la condition 

I I I 

C- a- b- 
Un de ses deux systèmes de génératrices est donc 

P ■ X ^1 I 

— sin2'4/ + ; cos2'4/ = i, 
ah 

P ■ , I' 1 

- cosec 20 — - cot 2 = 1 , 
a c 

g ■ , '' 

f sec 2 'i H ta n g 2 = I . 

b c 

Si a/» H- ji^ = y/ est identique à la première de ces trois équations, les deux 
autres deviennent -f p — ? '' = ^g, 'i '] -4- a /• — [ÎA. 

2. L'autre système de droites de l'hj'perboloïde représente un second système 
d'ovales de Descartes aux mêmes foyers P, Q, R- Ce système se compose des 
trajectoires orthogonales du système o.p 4- ^7 ^^ yy. 

3. Si deux des foyers coïncident, la relation indi([uéc devient illusoire. Alors, 
les courbes sont des limaçons de Pascal qui n'adineltent qu'une équation bipo- 
laire linéaire unique. De même, les courbes p -!- A7 =y et — /' -1- \^g =/ se 
coupent orthogonalcmcnt. 

4. L'intersection de l'hyperboloïde avec un plan qu(liiin(|ue /• = a/> -t- [J.7 
mène aux cassinienncs à quatre foj'ers P, Q, H, S situés sur une droite. Cas 
particulier de la lemniscate, où R et S se réunissent dans le centre de la courbe. 

Schoule (P.-//.). — Les courbes ganclies les plus sinijjles silutl-es 
sur la surface loinaine de Steincr. (;>,-'2-a85). 

1. Soit P un point d'intersection d'une courbe gauche située sur la surface S* 
de Stciner et un des plans coordonnés, et représentons par p et - la tangente 
et le plan oscuialcur tic celte courbe en ce poinl. \lor< un lrou\c : 



HKVUH DI<:S PU H Lie. A II ON S. 



'.)'J 



a. CIkuiup iiiiiiit I' iiui ne ((lÏMciilc |i;is ;ivit ri)ri:;itu' se Iriiiivc sur un ih's 
trois axes. 

b. En général, la tani;enlc p ost une droiic quelconque |)ar P, située en un 
des deux plans tangents tt,, t.., à S' on 1' et non située en un des deux plans 
coordonnés par l'axe qui contient P, de manière que P est point d'intersection 
simple de la courbe avec chacun de ces deux plans tangents coorilonnés. Si p 
coïncide avec l'axe, le plan osculaleur ir coïncide avec un des deux plans 
tangents; alors, P compte pour deux points d'intersection de la courbe avec 
chacun des deux plans coordonnés. Et, si l'axe passe par trois ou plusieurs 
points consécutifs de la courbe, le nombre des points d'intersection des deux 
plans coordonnés en P avec la courbe est toujours le môme pour ns doux plans. 

C. En général, la tangenl<' à l'origine à une bi-anclie (|ui y passe se 
trouve dans un dos trois pians (|ui forment le cône osculaleur de S' on ce point, 
c'est-à-dire en un dos trois plans coordonnés, sans qu'elle coïncide a\ec l'un des 
axes. Alors, ce point représente deux points d'intersection avec un des trois 
plans et un seul point d'intersection avec chacun dos deux autres. Si la tan- 
gente coïncide avec Taxe, le pian osculaleur coïncide avec un des [ilans coor- 
donnés. Alors l'origine représente successivement 3, 2, i points d'intersection 
avec les plans coordonnés. Si l'axe passe en l'origine O par m points de la 
courbe, ces nombres 3, 2, i sont à remplacer par m -t-i, in, i. 

d. Si P est point multiple, on trouve que les lois indiquées s'appliiiucnt à 
chacune des branches de la courl)e qui y passent. 

2. Supposons que la courbe P>" de l'ordre n sur S' possède 

Pi' P2> Ps branches par O, qui touchent les plans coordonnés en dehors des axes, 
9i> ?2' Ci branches par O, ([ui touchent les axes coordonnés, 
''11 ^2> ''3 points, dillerents de O, sur les axes. 

Considérons le cone de l'ordre n — ^Lp — Xiy qui projette li" du point O 
comme centre et son intersection de l'ordre /i (/; — '!Lp — -fj) avec S^ Cette 
courbe, tlont O est un point multiple de l'ordre 3 (/? — l/> — -</ ), se décompose 
en R" et les axes coordonnés comptés successivomont i ('/i -H /'i ), 2((y^4-/%), 
2 ('73+'':)) fo'*- On ^ donc 

^i(n — Sy> — ^q) = »-(- 2(2^ + :£./■) 

ou, si nous comptons les branches par O, 

ô{n — -^p — y:q) r_^ S/j + i:^ + 3(I.q + Zr), 

ou enfin, si l'on cherohe le nombre des points d'intersection avec un des plans 
coordonnés 

(i) 3/1 = '|2y> -j- 6^(7 -I- 2 2/-. 

3. A l'aide de la relation (i) on trouve les résultats suivants : 

a. La surface S* ne contient pas de courbe gauche d'ordre impair. 
&. La surface S* ne contient pas de bi(iuadratique gauche K''(2, 2 ) sans point 
double. 
c. Les courbes non planes les plus simples de S' sont les courbes 1V'(3, i). 

'i. On obtient une courbe R''(3, 1) sur S' en coupant S' par un cône K' dont 
les axes coordonnés sont des arêtes doubles. Le sj'stème de ces cônes, et donc 



loo SECONDE PARTIE. 

aussi le syslcnie des courbes IV (3, i ), esl un système (juinluplement infini. La 
quacirique unique passant par une de ces R'(3, i) ne passe pas par O et contient 
donc encore une autre IV (3, i) de S'. Donc les quadriques arrangent les 
H* (3, i) de S* en couples. Les cônes K*, représentés par 

a}y-z--h 6j2-.r-+ r'jx-j--i- 'ixyz{b^c-px -h c-ia^qy -h a^b-rz) = o, 

pour « = I et t = 2, appartiennent à des courbes correspondantes R' (3, i) sous 
les conditions a^ a., =z bib^^ c^ r,. 

5. Le système quintuplemcnt infini des courbes IV (3, i) de S' contient trois 
systèmes quadrupiement infini de courbes à un point double sur un des axes 
et trois systèmes triplement infini de courbes à un point double en O. Ces 
courbes IV à point double sont nécessairement des courbes R'(2, 2). 

Loreiitz [U.-A.). — L'é(|iiililjre des radiations calorifiques dans 
Je cas des corps biréfringents. (3o5-3i 1). 

L'cther contenu dans un espace qui est entouré d'une enveloppe parfaitement 
noire et maintenue à une température constante, sera parcouru dans tous les 
sens par des rayons calorifiques ou lumineux et deviendra par cela même le 
siège d'une certaine énergie. Un état semblable existera à l'intérieur d'un 
corps diathcrmane quelconque M, placé dans cet espace cl, dans l'iiypothèsc 
que ce corps soit isotrope, on a calculé depuis longtemps le rapport qui s'éta- 
blira entre la densité de l'énergie (quantité d'énergie par unité de volume) 
qui se trouvent dans le corps M d'une part et dans l'étlier ambiant de l'autre. 
L'auteur a considéré le cas où le corps est biréfringent L'état interne qui se 
trouve en équilibre avec les radiations de l'étlier doit alors être indépendant 
de la direction de la surface. C'est ce qu'exige la Thermodynamique et ce 
qu'on peut vérifier en se basant sur les lois fondamentales de l'Optique. Parmi 
tous les rayons qui s'entrecroisent à l'intérieur du corps M, on peut isoler i)ar 
la pensée ceux qui satisfont aux conditions suivantes : 

1° Que la période des vibrations soit comprise entre T et T -+- d'Y-, 

2" Que la normale des ondes soit située à l'intéiicur d'ini cone déterminé, à 

ouvert ui'C infiniment petite <:/u; 

3° Que la direction des vibrations soit l'une des deux qui sont compatibles 

avec la direction que l'on a choisie pour les rayons eux-mêmes. 

L'auteur démontre (|ue l'état est stationnaire aussitôt (|ue la densité de 
l'énergie, en tant (lu'eile dépend du groupe de rayons ainsi défini, peut être 

représentée par A—" ^— > A étant la densité dans l'étlier de l'énergie qui cor- 
respond aux temps d'oscillation indiques. V,, la vitesse de propagation dans 
l'i-llici i-i \' la vitesse des ondes pour les rayons considérés. 

Tniiio V; mai iScjO-avi'il li^oj. 

l (II) de Sande JldLhiij zcii [//.-G.). ■ — Délerniination de lerreur 
lie ])rojeclion de l'appareil de Ilej^sold ])Oiir la mesure des 
clichés aslro-pliologtapliiqiies. ("'î-79)- 



URVUK niîS PU H I.I CATIONS. km 

Kapleyn ( /F.). — Sur la conslriiclit)ii (riiiic courbe de Iroisirnie 
classe, (Jélerminée |)ar ses Irois ("ojers réels, son point salellile 
el une tangenle. (i ^(J-iih)). 

On conslfuil une coni(iiii' lani;crili' \M^\\\• tim;;iMilo en la considcranl ciimuik; 
la podaire négative il'im cercle. Celle idée csl appliiiuéc par l'auleur à la 
construclion d'iine courhe de Iroisième classe. 

Soient a,, ,3^ (i = i, a, 3) les coordonnées des foyeis donnés A,, A.^, A., el 
représentons par /j, q celles du puini salellile S, où conconrcMii les troisièmes 
tangentes qui passent par A,, A^, A3. Alors 

( u X, H-t' /, -t- 11' ) ( u a. -h 4' |ï._, -t- «') {ur.^-\- V jî., + tv ) = 'X- ( ^^- + r- ) ( up 4- vq -+- w ) 

est l'équation tangenlielle de la courbe. Le coefficient a- se délerniine à l'aide 
de la tangente donnée. En représentant la podaire 

[(.r-a,)(j; — a, j-h (y — a, ) (jk— a,)] [(a; — a, ) ( j; — x,) + (7— a, ) (^ — a,)] 
= X-[(.r - a, ) (.r - /;) 4- (y - p, ) (a; ^ ^ )1 

par rapport à A, par U2^':(=^> '*" ^'"■'^ qu'elle s'obtient en clierclianl les 
points de rencontre des cercles bonnilogues (.les faisceaux 

U,= A-, /.•U3= V, (/> variable) 

dont la construction est facile. Après avoir construit celle podaire, la con- 
struction de la courbe de troisième classe elle-même n'olfre plus de dilTicullé. 
On obtient les asym|)totes de la courbe en ciierchant les points de contact 
des tangentes de la podaire qui passent par Aj. Les tangentes t..^, t.^, t, menées 
aux cercles fixes décrits sur AjA,, A, A3, A,D comme diamètres par un point 
quelconque de la podaire satisfont, quant à leurs longueurs, à la relation 

f,«3= \t. 

La polaire est une courbe bicircuiaire dont les fojers singuliers réels sont 
les milieux des côtés A,A2 et AjAj du triangle AjA^Aj. 

] an der Waals [J.-D.). — Coiitribulion à la connaissance de 
i'éqiialion de l'étal. ((5<j-i53). 

L'auteur s'occupe de la quanlilé b qui figure dans l'équation l'ondamenlale 

[v — v) = const. 

D'après les recherches de MiAL Korteweg et Lorcntz elle représente quatre fois 
le volume des molécules dans le cas d'un volume v très grand. De quelle ma- 
nière ce facteur {\) dépend du volume est un problème non encore examiné. 
D'abord Clausius semble avoir trouvé le facteur 8; plus tard il le remplace 
par 2^. Clausius réduit le mouvement d'une molécule à celui d'un point ma- 
tériel en assignant à toutes les autres molécules une sphère d'action concen- 
trique d'un rayon de la double valeur; alors il s'agit du mouvement d'un point 
matériel à travers un espace diminué de huit fois le volume des molécules. 
D'après des recherches antérieures, on obtient une valeur deux fois trop 



a-2 SECONDE PAHTIE. 

grande par la supposition f|ue ces molécules, huit fois plus grandes, sont en 
repos; donc, après le calcul, il faut prendre la moitié du coefficient trouvé. 
Cela pose, l'auteur déduit une première valeur approchée 



/ '7 ^=^\ 



de la quantité en question, en ayant égard aux secteurs splièriques communs 
des sphères d'action de deux molécules très voisines l'une de l'autre; dans celte 
expression bx représente la valeur de b pour un volume V inlinimeut grand. 
Même, il prévoit une formule plus générale 



b^ fb^Y /b^y -] 



en tenant compte de l'intersection de trois et de plusieurs sphères d'action et lait 
appel aux géomètres pour l'évaluation des coefficients s,, £.., .... 

Lorentz [II. -A.). ■ — Sur un lliéorème général relatif au mouve- 
ment diin lluide visqueux. (lô'B-i^S). 

Soient t un espace limité par la surface fermée 7 et enlièrenienl rempli du 
fluide, a, |i, y les cosinus des angles entre OX, OY, OZ et la normale exté- 
rieure n de t, p la densité, [x le coefficient de viscosité, M et M' deux états 
différents de mouvement. Soient, pour le premier de ces états, u, v, w les com- 
posantes de la vitesse, Xd-z, Y d-z, 7. dx celles de la force extérieure agissant 
sur l'élément d-z, X^ds, \^d<s, 'L„dz celles de la force exercée sur l'élément c?a, 
soit par un corps étranger avec lequel le fluide est en contact, soit par le lluide 
qui se trouve à l'extérieur de sa surface. Désignons par m', v', w\ X' d-z, ... 
les quantités analogues pour l'état M'. Alors on trouve la relation 

/ ( w' X„ -h v»' V„ -f- w' Z„ ) d~ — j {h \'n -+- 1' Y), -h w Z',1 ) d7 

Vdiu'^) d( ii'v') d{u'w') I ) , 

Dans les cas où les états M et JM' sont stationnnircs et que les forces X, Y, Z 
et X', Y', Z' sont nulles, cette équation se réiiuit à 



/ (u'X„-i- P''Y„-(- iv'Z,,) <r/7 — I (u\'n + v\'n + w7J„ 



)d= 



foi-mule qui peut servir à déterminer, pour un point quelconque P de l'espace 
considéré, les vitesses u , v , iv en fonction des quantités qui se rapportent à 
la surface a. A cet effet, on exclut du champ d'intégration une sphère infini- 
ment petite décrite autour de P et l'on prend pour M' le mouvement bien 
connu qui s'établit dans un fluide illimité, si l'on impose les conditions 
u' = v' = w' = o à l'infini et u' = const., v' = iv' = n à la surface de la sphère. 



HKVLIK DliS rUHI.ICATlONS. io5 

Le résultai s'expriine pur la ronnulc 
3 /" ^ 

' r\ l x:- I \ .. XV .. xz ,, 1 , 
^r.\i. J [_\r'' /•/ " /•■' /•■' "J 

Ici, u représenle la vitesse u eu P; des formules analogues donnent r et ce . 
Dans ces expressions x, y, z sont les coordonnées d'un |)oint Q de a par 
rapport à I* et /• indi(|ue la distance l'(). 

Ce résultat permet de résoudre le proidème suivant : 

Un liquide remplit la partie de l'espace située du côté positif du plan YOZ, 
ce plan coïncidant avec une paroi fixe le long de laquelle le lluide ne peut pas 
glisser. De quelle manière un iiiouvemenl stalionnairc sera-t-il re/Iéchi par ce 
plan? 

Pour y parvenir, raut(;ur cherche d'abord la relation entre licux états de mou- 
vement (m,, Vy, i\\, p^), («2, i-',, «'2, /Jj ) '^'^' ce demi-espace, où l'on a dans 
tous les points du plan YOZ les relations u^=^ u^, v^-^ v.^= <>, i\\~\- \v..=^ >>. Il 
trouve 

du, x- On, <)u, X- ()p. 

U^= U,~ 2X ~ H -f ) (V., =z — W.— ^X --- -1 > 

Ox [X Ox - ()z [X i)z 

du, x' dp, f)p, , du. 

' dy '^ ày dx ' dx 

Ensuite il en déduit en quelques lignes la solution du problème posé. 

Enfin, l'auteur s'occupe du cas où un corps solide se trouve à l'intérieur de 
la surface 1, ce corps étant en repos ou bien animé d'un mouvement donné 
compatible avec un état stationnaire du fluide. 

Gegenbauer (L-)- — Deux ihéorèmes généraux siii' des cliaîncs 
de Sturm. (i85-iy3). 

Si la fonction entière /„ (J7j satisfait à l'équation 

et si sa dérivée satisfait à une équation analogue 

f„{x) + (a„j; + rij/;,_.j (.r) + r„/;,-2 (^) = o, 
les fonctions 

forment une série de fonctions de Sturni à certains facteurs numéri(|ucs près. 
Avec la même restriction, une seconde série de fonctions de Sturm est formée 

fJ.^), /,.-.(-r). /,-:('^)' /„-.(^)> ••- 

pour\u que les racines d'une certaine é(iuation ([uadratique se trouvent en 
dehors de l'intervalle qui comprend les racines de f„{x) — o. 

Ces deux llié<jrèmes généraux contiennent comme cas parliruliers les résultais 
lie M. .1. de Vries. L'auteur en divine plusieurs applications. Si D;./ désigne 



io4 SECONDE PARTIE. 

lu dérivée a'*"" de/ par rapport à a:, ces ap[)licalions ont trait aux cas 

e^' d\ ( e''- ), — , (-i)'e- > e'''x"'+'- ) 

et aux coefficients C~.{x) du développement de (i — aa^ + a-)^^ suivant les 
puissances ascendantes de a. 

De [ries (J.). — DémonsLralion géoniélrique de quelques théo- 
rèmes arilliméliques. (218-224 d 284-289). 

En évaluant de dillércnlos manières le noniiire des points dont les coordonnées 
rectangulaires s'expriniuut par des nombres entiers, et qui sont situés à Tinté- 
rieiir d'un contour plan fermé ou dans une figure à trois dimensions limitée 
|)ar des surfaces, l'auteur arrive à plusieurs relations entre des fonctions nu- 
mériques. Ainsi, il trouve, ù l'aide d'une (igure plane. 



ÏK?) = 2' 



'^{^: 



.1=1 



où K(a) représente le plus grand entier compris en a et où 'f{x') indi(|nc 
le n(jinl)re des diviseurs de x, et 






Dans une seconde Communication, l'auteur revient sur le même sujet. Ainsi 
il trouve encore des valeurs pour ^1/ ( 2« — 1), (1/(2;?), ^"(a/i — 1), U'( >« ). . . ., 
où ^"(a) représente la somme des diviseurs de a. Il Icnnine son étude par la 
déduction de la relation 

Siertsema [L.-IJ.). — Les coeHicienls de lempéraUire de baro- 
mètres anéroïdes de Naudel. (233-24 i)- 

Lorenlz [H.-A.). — Sur lenlropie dune masse gazeuse. (202- 
261). 

La foiictiiin H, introduite par M. liollziiiann dans la tlu'orie ciiiéti(|ue des 
gaz, a la propriété de tendre vers un niininnini en vertu des chocs entre les 
molécules. Il est donc naturel d"a<lmetlie (|ue II multiplié par un coefficient 
constant représente l'entropie. C'est ce que l'on vérifie aisément dans le cas 
d'un état slationnaire en comparant la valeur de H avec celle de l'entropie. 
Pour élucider cette question, M. Lorentz considère un gaz qui, tout en chan- 
geant d'état, s'éloigne à chaque instant, infiniment peu, d'un élat stationnairc. 
En ealenlan! d'une manière dircetc la valeur de dW. correspondant au temps 



UlîVUlî DlîS PUBLICATIONS. loj 

dt, il trouve 2/, <^/II =— 3f/Q, — (/Q t'Uiiil la quanlilé de chaleur communi- 

(jué'; au gaz et A repiésentaiU l'énergie critique moyenne d'une molécule. Or, 

cette dernière étant égaie au produit de la température absolue par un facteur 

2 
constant [i, il s'ensuit que l'entropie est représentée par — - ;j. H. 

Schoute [P.-H.). — Sur la position des foyers ordinaires d'une 
cubique plane circulaire de genre premier. (261-269). 

Démonstration géométrique de douze théorèmes, en partie connus, en partie 
nouveaux, sur les cubiques circulaires et les quartiques bicirculaires, dont 
voici les principaux : 

1. Les seize foyers ordinaires se trouvent quatre à quatre sur quatre cercles 
coorthogonaux dont les centres forment les sommets d'un quadrangle ortho- 
cenlrique. 

2. Il y a deux espèces de cubiques circulaires C-^ et de quadriques bicircu- 
laires C. Les courbes de première espèce se composent de deux branches 
(ovale et serpentine pour les C, deux ovales pour lesC^); leurs quatre foyers 
réels sont concjcliques. Les courbes de seconde espèce n'admettent qu'une 
branche unique (serpentine pour les C*, ovale pour les C^); chacun de leurs 
foyers réels se trouve sur un des trois cercles d'Apollonius du triangle dont 
les trois autres fo>ers réels sont les sommets. 

3. Les courbes C'' au même quadrangle orlhocentrique forment un faisceau. 

4. Les courbes C au même quadrangle orthocentrique et qui passent par un 
point donné forment un faisceau. Toutes les courbes C^ au même quadrangle 
orthocentrique forment donc un réseau. 

L'énoncé du dernier théorcme contenait une err:'ur; ici, il a été corrigé d'après 
un Mémoire ultérieur (Archives du musée Teyler, 2'' série, i. V) du même 
auteur. 

De Vries («/•)• — Les accéléralions d'un système plan. (281-282). 

Si O, w, —r- représentent le centre instantané des accélérations, la vitesse 
dt 

angulaire et l'accélération angulaire, et que l'on détermine les points A, B de 

manière que les droites OA et OB soient perpendiculaires l'une à l'autre et 

, • OA rfoj ^ . , ,,,,.. ,. . , 

(|ue les quotients --y et — : w- soient égaux, 1 accélération d un point quel- 
UL» dt 

conque P est la résultante des accélérations to'PA et -y- PB, dont la première 

est dirigée suivant PA et la seconde suivant la perpendiculaire en P sur PB. 
Donc, O est point double des deux sjstèmes plans semblables parcourus par A 
et B. Le cercle décrit sur AB comme diamètre est le lieu des points dont 
l'accélération est dirigée vers A. Si M et N représentent les points correspon- 
dant au centre instantané de rotation L, à mesure que L est point A ou 
point B, les cercles décrits sur LiM et LN comme diamètres sont les cercles 
connus de Brisse. 



io6 SECOXDl' PARTIK. 

Gegeiibauer (/>.). — Sur le résultant des numérateurs de deux 
réduites consécutives d'une certaine fraction continue régulière. 

(-289-292). 

Le déterminant tie la foi-nie (iiiailiatiqiie 






(rt„j;"-'-T- a^x"-"- -1-. . .-(-«„_, )--/_{x) dx 



des n qunnlilés a,- est le réciproque du résultant des numérateurs des réduites 
des rangs n — 1 et « de la fraction continue qui donne le développement de 



X 



'^Uz)dz 



où x(^) est algébrique et positif pour toutes les valeurs de ,2; comprises entre 
les limites a et ^. 

Van de Sande liakliuyzen (II. -G.). — Compte rendu de la thèse 
de jNI. s. Kriiger S. J. intitulée : Formes ellipsoïdales d'équi- 
libre d'une niasse Jluide homogène en rolalion. (3 1 6-322). 

Van der ]\ aals (J.-l).). — Sur la question si l'état moléculaire 
de la substance solvanle exerce de linlluence sur le montant de 
l'abaissement de la pression de la vapeur causé par les sels ré- 
solus. (342-35o). 

La théorie développée à mainte reprise par l'auteur se base sur l'exactitude 
des principes de l'équilibre indiqués pur .M. Gibbs, notamment sur le théorème, 
sans doute rigoureux, qu'une quantité de substance à une température donnée 
se place dans un espace donné de manière que l'énergie libre soit minimum. 
Puis, pour trouver l'énergie libre des mélanges, elle accepte le paradoxe de 
Gibbs en admettant qu'on trouve l'entropie d'un mélange de matières gazeuses 
raréfiées, contenu dans un espace, en prenant la somme des entropies qui 
correspondent aux divers cas de ce même espace contenant chacune 
de ces substances l'une après l'autre. Aussi ce principe est au-dessus de 
tout doute, la correspondance entre la théorie et les expériences olfrant un 
support inébranlable pour les résultats des spéculations. La variation de la 
pression de la vapeur à un degré extrême de raréfaction est donnée par la 
formule (i — x) dp-h p dx = o, où a; représente le pourcentage du nombre des 
molécules de la substance dissoute par rapport au nombre total des molécules, 
pourvu (jue la matière solvante et la matière dissoute consistent en molécules 
invariables. De plus, si la matière dissoute admet une décomposition en ions, 
tandis que la matière solvanle garde l'invariabilité de ses molécules, on li'ouve 
f|uc l'abaissement peut atteindre à la limite la valeur double. L'auteur se 
demande ici si la supposition de la variabilité des molécules ilc la matière 
solvante i)cut mener h un fadeur limite dilïérent de deux. Il étudie, en par- 
liniliei-, le cas d'un mélanj,'!,- de x molécules de la matière dissoute sur i — x 



in<: vui-: dks i'iulica tions. io; 

iiiolocules de la mulière solvanle, où y des x molécules se sont décomposées 
en 2y ions, tandis que as des i — x molécules se sont transformées en z mo- 
lécules doubles. A ce cas correspond l'éciuiiliuii (iillénntiille 



y 

(|iii iMiiiéne au facteur deux dans le cas d'un x infiniment petit, quand ^— = i 
d'après la formule de la dissociation. 

Van dcr Waals {J.~D.). — Particularilrs de la (orme de la coiirhc 
de fusion. (385-388). 

De \ ries (G.). — Les éqiialioiis du mouvement des cvclones. 

(4oi-4o8). 

L'auteur cherche à démontrer (jue l'on peut arrivera une solution en faisant 
des suppositions simplifiantes. D'après ces résultats, ses suppositions faites, il 
n'est plus permis de choisir la vitesse. Donc la supposition nouvelle du 
D' Pockels { Meteorologische Zeilung, iSçjB) est à rejeter. 

Van de Sande Bakhiiyzen {H.-G.). — Charles iNJalhieu Scliols. 
Nécrologie. (4i5-4i8). 

JVind {C.-I/.). — Sur rinlluence des dimensions de la source de 
lumière sur les phénomènes de diffraction et sur la diUVaclion 
des rayons X. (448-455). 

l^an der Waals (J.-D.). — L'équilibre dune substance solide 
composée en présence de gaz et de fluide. (482-491). 

Si l'on échauHe une substance solide simple se trouvant dans un espace vide 
jusqu'à la température de fusion, on trouve à une même température et à une 
même pression les trois états réunis. En chauffant encore, l'état solide disparaît; 
en refroidissant, l'état gazeux fait défaut. Cette température unique de 
réunion des trois états s'appelle le point triple. Dans cette Communication, 
l'auteur s'occupe de la question si un corps composé admet aussi un point 
triple. Pour démontrer que, même dans le cas d'une substance dont les deux 
composantes se retrouvent dans la vapeur, il n'y a pas toujours un point triple, 
il se sert des propriétés géométriques de la surface ^ {Archiv. néerl., 
t. XXIV). 



io8 SECOND K PAiniK. 



VERHANDELIXGEN de» KoMNKi.iiKr, Arvoemie wx Weti; nsciuppex te 
Amsicrdam. Ecrslc seclic. Iii-4' (' ). 

Tome III; 1896. 

Kapleyn ( W.^. — Sur les points remarquables diin triangle. 
(n"3, 3i p.). 

Ce Mémoire forme un Irait d'union entre la Géométrie vectorielle et la 
Géométrie du triungle. Un des sommets et un des cotés adjacents du triangle 
forment l'origine et l'axe réel des vecteurs. Dans cet ordre d'idées, un point 
est déterminé par la valeur correspondante du vecteur complexe et les équa- 
tions des lieux présentent la f)articularité qu'elles ne changent pas quand on 
y remplace simultanément la variable et les constantes par leurs valeurs 
conjuguées. Comme introduction, l'auteur applique ce système de cooi'données 
à l'étude de la droite, du cercle et des coniques. Ensuite il déduit les formules 
de transformation permettant de trouver le vecteur complexe d'un point donné 
dont on connaît les coordonnées homogènes normales et réciproquement, et la 
relation entre les vecteurs complexes de deux points inverses. Après cette intro- 
duction, il calcule les vecteurs complexes des points remarquables et s'occupe 
des équations des droites, des cercles et des coniques remarquables énumérés 
dans le Premier inventaire de la Géométrie du triangle de M. E. Vigarié 
{Association française, Congrès de Toulouse, iSS'^). La comparaison de ces 
résultats entre eux conduit à des résultats nouveaux, en rapport avec des 
reclicrches de M. E. Beltrami [Ricerche sulla geometria délie forme binarie 
cubiche [Mem. di Bologna, ilSGg)] et de M. F. Morley [On the covariant 
geonietry of the triangle {Quart. Jnurn. of Math., 1891)]. Ainsi, il trouve 
(jue les points de Brocard sont les centres isodynamiques du triple formé par 
le point de Lemoine et les deux centres isodynamiques du triangle ( Morlc}' ), etc. 

Dojcs (J*.-IJ.). — La lliéorie du rajunncnienl en rapport avec les 
idées de Fouricr. (n" i, 24 P-)- 

La reclicrche de l'auteur a trait aux sujets aux()uels Kirchliolf, Clausius, etc. 
ont appliqué la seconde loi de la Théorie mécanique de la chaleur. A côté du 
I)rincipe tie l'éciuiiibre de la température, il s'est servi de l'hypothèse particu- 
lière du rayonnement de Fourier. Ainsi, il admet que chaque élément de 
volume d'un corps émet des rayons en toute direction et que ces rayons, 
absorbés en partie par les couches enveloppantes, arrivés à la surface unie, 
obéissent à leur passage dans le milieu environnant, aux lois ordinaires de la 
réfraction. Pour un corps terminé juir un plan perpendiculaire à une dimension 
et d'une étendue considérable, il calcule l'énergie émise pendant l'unité de 
temps, par un élément de la surface, en des directions limitées. L'expression 
qu'il trouve contient deux constantes qui ne dépendent pas de la température 



(') Voir llullclin. \\\,, p. 2.34. 



UEVUli DliS PUBLICATIONS. i,,,, 

et (le la (liiicc dos oscillations; railleur les appelle les coefficients d'émission 
et d'absorption spécifiques du corps. De plus, l'expression conlicnt l'angle du 
rayon réIVingé, l'indice de réfraction et un coeflicienl qui dcterniinc la partie 
de l'énergie qui est rélléchie. Quant à l'iiilluence du milieu environnant, 
l'expression est d'accord avec un résultat de Clausius. 

Ensuite, l'auteur s"'occupe de deux substances rayonnantes et absorbantes, 
situées de part et d'autre d'un plan. L'égalité des quantités d'énergie émises 
fait voir que le quotient des deux nouveaux coefficients multiplié par le carré 
de la vitesse de propagation a la même valeur pour les deux substances. 

En(in, l'auteur étudie un corps rayonnant en contact avec un milieu diather- 
mane comme l'éther. Il trouve que la densité de l'énergie rayonnante dans 
l'éther ne dépend que de la température des corps et que deux milieux diatlicr- 
manes en équilibre avec le même corps rayonnant admettent la même quan- 
tité d'énergie en des cubes dont les arêtes sont égales aux vitesses de propa- 
gation, etc. 

Zwiers {H.-J.). — Recherches sur Torbile de la comète pério- 
dique de Holmes et sur les pcrturbalions de son mouveincnl 
elliptique, (n" o, 162 p.). 

Van O^ereeniJr. ('/•)• — Les points remarquables du polygone 
inscriptible. {n" 7, 27 p., i pi.). 

L'auteur donne d'abord les définitions suivantes : 

a. Si l'on divise les sommets d'un polygone V„ à n sommets en deux groupes, 
V„ et V,,, chacun de ces deux gi'oupes est dit le polygone résiduel de l'autre. 

b. [-.e centre de gravité des sommets d'un polygone figure comme centre de 
gravité de ce polygone. 

c. La droite qui passe par le contre O du cercle circonscrit cl par le centre 
de gravité G d'un polygone inscriptible ^'„, est appelée la droite d'Euler de ce 
polygone. 

d. Imaginons sur la droite d'Euler <)G du polygone inscriptible V'„ des points 
A, B, C, . . . de manière que l'on ait, en faisant attention aux signes, 

OA : OB : OC : ... : OG 



n n — I n — 2 1 

Alors les points A, B, C, ... s'appellent les n points remarquables de \\. 
Ils sont désignés par le symbole P/f, où m se rapporte au rang dans la suite 
A, B, C, ..., G et où n a trait au nombre des côtés de V„. Ainsi, P^, Pj, P^ repré- 
sentent successivement le centre de gravité, le centre du cercle d'Euler et l'or- 
thocentre d'un triangle. 

Cela posé, l'auteur énonce, par exemple, les théorèmes suivants : 

1. Les {n — i) points remarquables des polygones résiduels des n sommets 
du polygone inscriptible V^ forment les sommels de {n — i) polygones inscrip- 
tiblos \'a tous homothétiques à V„. Le point PJf est centre de similitude de 
V„ et Vîf . Le cercle circonscrit à \'a est indi(|ué par O,'"; P^f^' en est le 
centre. 



iio SECONDE PARTIE. 

2. La droite p^^ pj( qui joinl le point P'/^ d'un polygone à a sommets faisant 
partie de V„, au point V'I du polygone résiduel {a -h ù — //), passe par le point 
P^"^'''"' du polygone V„ et s'y partage en deux segments I*/, P','^''"' et 
pP+1-i p'I^ qui sont entre elles comme b + i — q et a + i — /j. 

Pour démontrer ces théorèmes, l'auteur prouve d'abord quelques propriétés 
du centre de gravité. Après les avoir démontrées il les applique successivement 
aux cas n — 4> 5, 6. 

Kluyver (J.-C). — Sur une surface miiiinia à connexion double. 
(n"9, 4'>. p., -i pi.). 

On donne deux définitions différentes des surfaces niinima. Quelquefois on les 
désigne comme des surfaces qui jouisseiil de l;i propiirti' (|u"en chacun de leurs 
points la somme des rayons principaux de courbure est zéro; quelquefois on 
les désigne comme des surfaces d'aire minirna entre des courlies limitantes 
données. Pourtant ces définitions ne sont pas équivalentes. Comme on sait, 
chaque surface d'aire minima possède la propriété caractéristique des rayons 
principaux de courbure; mais, réciproquement, chaque surface qui jouit de la 
I)ropriété des rayons principaux de courbure, ne présente pas encore le 
caractère d'un minimum analylicjuc. 

L'auteur s'occupe du problème connu de la suiface minima entre les deux 
contours de deux faces o[)posées d'un parallélépipède rectangulaire. En suivant 
la iniHliode de la représentation conforme de Uiemann, VVeierstrass et 
.M. Schwarz et développée récemment par iM. Darboux, il exprime en fonction 
(le deux paramètres indépendants les coordonnées des points d'une surface 
quelconque satisfaisant aux conditions des contours limitants et jouissant de la 
propriété caractéristique des rayons principaux de courbure. Ainsi, il trouve le 
théorème suivant : 

ic Afin (|ue la surface soit ])0ssil>ie, il f<iut(juc la distance des ]dans tics deux 
rectangles limitants ne surpasse pas une certaine liniiLe. l'^l quanti celle dislancc 
est au-dessous de cette limilc, il y a toujours deux soliiliims. » 

Alors la question se pose, la(|iiclle des deux soliilinns pr(''senle le caractère 
d'un minimum anaiyti(|ue. Ce point d(':licat se décide à l'aide du raisonnement 
géométrii|ue par lequel Moigno et M. Lindelof ont distingué l'une de l'autre les 
deux soliilioiis laténoïdales du problème analogue des de-iix cercles. 

Ensuiu- raulcur considèi'C un cas |)arLiculier et les dégénérations de la sur- 
face étudiée. I>e cas particulier se prcseule (juand les rectangles sont des 
carrés; pour ce cas, i\l. Klu\\cf reloniiu^ sur dos résultais de AI. SchA\aiz. 
Sous le nom tle dcgéitërati.ons, r.iuLi.'ur compi'cud les surfaces (|uc l'on obtient 
(|uand on fait croître indéliniuim t la longueur des rectangles liniilanls; il en 
décrit deux. D'abord il suppose que du parallélé|iipède une face seulement 
s'éloigne à Tinlini; ensuite il lait disparaître de cette manière deux faces 
opi)osées. Les deux surfaces correspondantes ont été trouvées par M. Sclierk. 

l'^nfin, l'auteur (Jtudie les surfaces conjuguées d'Ossian Bonnet {|ue l'on 
oblicnl l'u (linoniiaiil les surfaces niiiiiuia trouvées. 



UKVUK DES PUBLICATIONS. ,i, 

MliUW xUlCllIEF vooii WisKLNUK, sccoiule série (. '). 

Tome I: iS()5. 

JJicrens de Hauii {O.). — Franciscus Joliaiiiics van don Wcr^^. 
(i-io). Biographie. (i-5) et liste des travaux. (6-10). 

]an den Berg [F'.-J.]. — Sur des systèmes de coordonnées pour 
des cercles dans le plan et pour des s|)hères de l'espace, (i i-/i4)- 

Ce Mémoire met un Irait cl'iinii>n enlre deux travaux de M. G. Loria {Meni. 
di Torino, série 3, t. WXVI et Atti di Torino, t. \X) et une petite étude de 
,M. P. -II. Schoute ( Wiener Sitzungsber., XCI\'). D'après M. Loria une spliérc 

quelconque de l'espace est icprésentée par Téqualion > A\L;= o, où les cinq 

1 
équations U;= o indiquent cinq sphères fixes indépendantes données; d'après 
M. Schoute un cercle quelconque du plan est représenté par 

U -i- 'kcû-+- ;j. b] + V c\ = o, 

si «^ = o, ^j = o, c\= o sont les équations des cercles infiniment petits dont 
les sommets du triangle de référence sont les centres et si U = indique le 
cercle circonscrit à ce triangle. 

L'auteur étudie l'extension du système de M. Schoute à l'espace et la spé- 
cialisation du système de M. Loria pour le plan. En particulier, il calcule les 
coordonnées du centre et le rayon du cercle (a, |j., v) et de la sphère 
{■/., "k, <j.. v) en fonction de ces paramètres. 

Van den Berg [F.-J.). — Chapitres algébriques supplémentaires 
des Ouvrages sur l'Analjse élémentaire. (45-54)- 

Compte rendu détaillé du livre hollandais publié sous ce titre par M. C.-L. 
Landré : 1. Progressions arithmétiques d'ordre supérieur. 2. Séries diverses. 
3. Convergence et divergence des séries infinies. 4. Fonctions symétriques. 
.5. Elimination. 6. Une classe d'équations solubles algébriquement. 7. Division 
du cercle. 8. Impossibilité de la résolution algébrique de l'équation générale 
de degré supérieur à quatre. 9. Conclusion. 

Ekania {H.). — Lieux géométriques déduits de svstèmes de 
courbes. (55-6-). 

Lieux des points sur les courbes ¥ {x. y) = a, où j; ou jk est maximum. Lieu 
des points d'inflexion. Cas des iemniscates confocfdes. Trajectoires obliques. 

Van ]] ettum ( Th.-B.). — Sur le quotient de deux vecteurs dans 
l'espace et sur un quaternion. ((38--5). 

( ') Voir Bullelin. I. MX., p. -lù^. 



112 SECONDlî rAIlTIK. 

L'auteur a pour bul de dcmonlrer que la ihéoiie algébrique qui forme la 
base de la lliéorie des qualernions est arlificielle, sinon fausse, el que le verseur 
dépend de (|ualre variables indépeudaiiles cl non de trois. 

Van Elfrinkhof [L.). — L'éqiiallon Vp<i>p = o. (76-87). 

L'étude de l'éciuation \" <1>, = 0, surtout dans des cas spéciaux, fait suite à 
un travail antérieur {Nieuw Archief, t. XIX) sur 1 équation çp = v et a 
pour but d'en achever la théorie. Cas général. Racines égales. Cas où l'une des 
fonctions ^1* s'annule. Méthode de .M. Laisant. Fonctions conjuguées. 

Van Elfrinkliof [L.). — Sur (les matrices qui représentent une 
rotation et sur des qualernions. (88-100). 

L'auteur li\rc une seconde critique sur les travaux de M. van \\ctluni 
{Nieuw Archief, t. XVII, XVIII, XIX) et se propose de démontrer que les 
matrices du troisième ordre étudiées par RI. van Wcttum ne sont pas en con- 
tradiction avec les principes de Hamilton. Ensuite, il fait connaître une matrice 
du quatrième ordre qui est parfaitement d'accord avec les verseurs et qui 
permet de tiémontrer rapidement tous les principes du Calcul des cjuateruioiis. 

Bes {K.). — Solution de l'équation difTércntielle de Jacobi. (loi- 
io5). 

L'auteur transforme l'éciuation en un système de trois équations simultanées 
et en donne d'abord la solution et ensuite l'extension à un système de n équa- 
tions simultanées. 

De Vries {II.)- — Sur la congruence des droites dont les pro- 
jections sur le plan horizontal et le troisième plan de projection 
coïncident. (10--126). 

Les droites en question sont les sécantes doubles d'une cubique gauche dé- 
générée qui se compose de la droite x = — y = z et de la conique d'intersection 
du cône orthogonal y^== xz et du plan à l'infini; elles forment donc la con- 
gruence (o, i) de toutes les droites de ce dernier plan et une congruence 
(I,:.). 

La construction des deux droites de la congruence a été donnée par M. E. 
Waeisch {Monatshefte, t. III, p. 92). Ici, l'auteur donne une solution plus 
simple. De plus, il étudie la surface réglée des droites de la congruence qui 
rencontrent une droite flonnée et indique une généralisation du problème due 
à M. V\cd\Gv { Monatshefte. I. III, p. iq3 ). 

De Vries (II-)- — Sur les sécantes doubles d'une courbe gauche 
qui passent par un point fixe. (1 ;>--i .')6). 

Nouvelle di'monslraiion analytique de la formule connue 
h — - mn { m — i){n — i ) 



Hi:viii<: DKs iniiUMCA iioNs. mt 

qui se rapporte à l'inlerseclion l{""' des surfaces I-'"' el F". I)éinonslralion s_\n- 
lliétiqueù l'aide de la courbe H"""" ') qui (orme avec K'"" rinlerseclion cuin- 
plèle de la surface F" avec le cône projelanl de H"'". Déduction svnlli(-tique de- 
là surface F("'-''("- ') qui figure dans la démonstration analytique. Dans le cas 
n = 2, m= quelconque, les m{m — i) sécantes doubles se irouvnii sur im 
cône d'ordi'e m — i. Ftude des cas spéciaux >n -- n ?. cl m =^ 3, /; ■>.. 

Godefroy {-{.-!\' .). — DédncLioii rléincnliiirc des cqiialious des 
surfaces ctd)i(|iie.s réglées, (i .)--i (")•.-• ). 

Les surfaces considérées sont les lieux géométriques de la droite qui joint 
un point quelconque (o-',,, _;)'„) d'une directrice v>{x, y) = o, située dans le plan 
z — o, avec le point de Taxe des z indiqué par la relation z—f{x„, y„). La 
directrice est : i° une conique qui passe par l'origine; 2° une cubique à point 
double à l'origine. La fonction f{x, y) est successivement x,y, xzriy, mx, 

n r. ni X -'r. nv, a±x, bzhv, —--i — > •••• En particulier, l'auteur s'occupe 
' X y ' 

de la surl'are cubique réglée de Cayley et de ses diverses générations. 

Kentpe (A.). — La divisKjn de l'angle en ■>." -\- \ parties égales. 
(i63-i 71,1 |)l.). 

La division d'un angle se fait à l'aide d'une série de courbes auxiliaires A, 
n, C, .... La courbe A est un cercle (M) à centre M qui touche un des côtés 
de l'angle au sommet O. La courbe B est le limaçon que l'on obtient en pro- 
longeant les rayons vecteurs OP du cercle (M) par le segment constant MP. 
En général, d'une courbe auxiliaire on passe à la suivante en |)rolongeant les 
rayons vecteurs OP par les segments variables MP. 

Manlel ( // .). —- Résidus de suites récurrentes après division 
par un nombre premier p. (i 72-1 84 ). 

Application de la ibéorie développée i)ar AI. Serrct (Cours d' Algèbre supé- 
rieure. Section 3, Ciiapitre lit). La suite o, o, «. i, ... à échelle 

C„ — 4 C„ _3 -H "J C„_( — o 

donne une période de 80 termes pour p ~ 3 et île 336 termes pour /? = -. 
Extension du théorème de Fermât à des polynômes /(^) d'ordre n. Démons- 
tration. Suites récurrentes à échelle réductible par rapport au module /;. Pro- 
priétés se rapportant aux fractions décimales périodiques. Solution de la 
question (4^) de V Intermédiaire. 

Kapteyn (Jf .). — Sur les triangles de AI. Sclnvarz. ('180-200). 

Déduction élémentaire des relations entre les côtés et les angles, trouvées 
])ar RL Poincaré à l'aide de la Géométrie non euclidienne. Transformation d'un 
triangle quelconque en un autre dont le centre du cercle fondamental est un 
des sommets. Les substitutions elliptique, parabolique, hyperbolique. Rapport 
avec les projections sléréographiques de triangles sphériques. Autre déduction 
Ba/i. des Sciences inatkem., a" série, l. X\TI. (Juin i8f)8. ) H. S 



ii4 SECONDE PARTIE. 

delà formule fondamentale. Solulion de cinq probliMiies posés par M. X. Sloufl 
{Annales de l'École .\ormale, 1888). 

Jekcl {A.^. — ^Nouvelle démonstralion du lliéorèine de Taylor. 

(20I-2o5). 

lidscli (J.-JJ .). — Application de la lliéorie des pr()l)al)ilite''s au 
tirage pour le recrutement militaire. (aoG-aio). 

Héfutalion de la solution d'un problème posé et résolu par J.-R. Liagre 
( Calcul des probabilités, etc., 1" édition, p. 35). Au lieu du résultat H l'au- 
teur trouve f. 

Krediet (C.). — Un problème de Mécanique. (21 1-2 12). 
Krediet [C .). — Un théorème de ^Jéraniqne élémentaire. (21 3- 

21.1). ■ 

Kempc (//.). — La division d'un angle en un nondjre quelconque 
de parties égales. (2 1 ;")-2 tC)). 

Nouvelle série de courbes auxiliaires qui ctTeclue la di\ision en 2" — 1 parties 
égales. Extension de la division à un nombre quelconque de parties à l'aiiledu 
théorème de Fermât. 

]an Thyn (-/.). — Sur un problème de Jacobi. (217-226). 

Démonstration élémentaire du théorème de Poncelel sur les polygones ù la 
fois inscrits à une conique et circonscrits à une autre, pour le cas de deux 
cercles. Deux théorèmes sur les polygones du cas général. Démonstration dans 
le cas de deux ellipses. 

Tomo H; ii><)'>. 

KluY^er (J.-C), Korleweg {D.-J.), Schoute (P. -II.). — David 
J^ierens de Haan. (1822- 1895), nécrologie. (1 i p.). 

Korleweg {l>.-J.). — Liste des travaux de D. Bicrens de Ilaan. 
(,6 p.). 

Mnors (H. -P.). — Jaugeage des tonneaux nt'criandais. (i-ii.), 
. pi.); 

l-;xposéet déduction des formules dont on se sert dans le jaugeage, instruction 
pour les jaugeurs. 



m- vu F, OI'S PU BLICA FIONS. 



ARClllYRS NKI-iHLAXDAISF.S dics Scikncks exactes et natuhem-es, publiées 
par la Société lioilaïuiaise des Sciences à Harlem et rédigées par .M. J. Bos- 
sciiA (';. 

Tome \.\VI1I: iS(|3. 

Schreincmakers (/'.-- / .-//.). — I )é(liicll()ns i;ra|)lii(]ucs lirées des 
isothermes de dissoliiliuii diin sel double eL de ses consliliianls. 

Schreineinakers (F. -A. -IL). — Sur la courbe de Irausformalioii 
de deux sels doubles. (:>8-4()). 

Bakiluis Roozeboom (If .-TV). ■ — Élude d'ensemble sur les états 
d'équilibre des solutions de deux ou trois corps avec des jjliases 
solides, etc. (j8-i2o). 

Van de/' IJ (uils (J.-D.). — Théorie thermodynamique delà ca- 
pillarité dans l'hjpotlièse d'une variation continue de densité. 

(121-209) (-). 

J iilius [J'.-A.). — Sur les fonctions de Bessel de deuxième 
espèce. (22 1-225), 

L'auteur, ayant besoin de connaître la valeur vers laquelle convergent les 
fonctions de Bessel de deuxième espèce, s'est servi d'une formule, donnée en 
1868 par E. Lommel dans ses Studien iiber die Bessel'schen Functionen. Cette 
formule est fautive. Déduction d'une expression exacte qui s'accorde d'ailleurs 
avec la seconde formule de Lommel {Math. Annalen, t. IV, p. io3; 1871). 

Jutius (r.-.l.). — Sur les ondes lumineuses sphériques et cylin- 
driques. (226-244)' 

La modification de phase qui accompagne le passage d'une onde sphérique 
par un fojer, ou bien le passage d'une ligne focale par une onde cylindrique, 
est expliquée à l'aide de la théorie de l'élasticité. 

Tome XXIX; 189G. 

Bakhuis Roozeboom {II-- JJ .). — Représentation graphique des 
systèmes hétérogènes formés de un à quatre corps, etc. (69-80). 

(') Voir Bulletin, \l\n, p. 25o. 
(-) Voir Bulletin, MX-,, p. ao5. 



ii6 SECOxNDE PARTIE. 

Afeerburg (J.-ll.). — Srir la polarisation éleclrolvlique. (162- 



'97)- 



Bossclia (./.). — C^Iirislian Ilujgens. (352-4 12). 



Discours prononcé dans lAiila de l'Université d'Amsterdam, le 8 juillet iSgâ, 
à l'occasion du deuxième centenaire de la mort de Huvsens. 



Tome XX\; 1897. 

hrijnrrlingh Onnes ( fl.K — Théorie générale de l'état fluide. 

(loi-i'^G). 

E\lr;iit (i'un .Mémoire anlériour ( ' ). 

ïan der Waals (,/.-/>.). — L'interprétation cinétique àv\ poten- 
tiel thermodynamique. (i?)--i53) (-). 

] an (Ici- \] aals y.J.-U.). — Sur les caractères qui décident de 
l'allure (le la courbe de plissement dans le cas d'un mélange de 
deux substances. ( 266-2 j-) ('•''). 

\ an der ]] aals (./.-/).). — Sur les conditions critiques, ou de 
plissement, d'un mélange. ( 2-8-290) ('' ). 



IIAXDI-ll.IXGRX van licl Nederlandsch Xatiiur-en Geiieeskimdig Congres (•''). 
3^ Congrès. 1B91: Ulreclit. 

horli'^vcg ( />.-./.). — Questions en rapport avec la création de la 
Sous-Section, (i lo-i 12). 

Schoule {^P .-IL). — ■ Les coips réguliers dans l'espace polvdimen- 
sional. (1 12-1 18 ). 

(') Voir LUdletin, MX,, p. .C^i. 
(-) Voir plus liaut, p. 91. 
(■') Voir plus haut, p. ()■'. 
( * ) Voir plus ii;iul. p. 911. 

(•■^) Mémoires du Conyré.s uéerhiinliiis de l'livsi(|uo cl ilc Médecine. l)ès 1891 
r \sso(iali<iri iomprcn<l une So^s-.*^ccli(>n de Malliémaliques. 



UIÎVUE UKS l'Uin.lC ATIONS. 117 

Ltétiuclion des polystéres réguliers de l'espace à quatre dimensiuiis à l'aide 
des augles dièdres des corps réguliers de l'espace ordinaire. Déducliou des 
angles dièdres de ces polysLères réguliers indiqués dans le Tableau suivant : 

5. 8. IG. l'i. 120. COO. 

';5''oi'2i" ()(." 1^0° ijo" i44°o'i'-*' ifJ4°28'39" 

Les trois figures régulières des espaces de cinq et de plus de cinq dimensions 
et la déduction des trois figures de l'espace E„^, de celles de l'espace E„. 
Extension de la loi d'Euler dans la forme ti— t.,-i- tj— t^-i-. ..= 1 — {—^i)". 
Détermination du caractère des polystéres de E4 à l'aide de leurs projections, 
d'après la méthode de AI. V. Schlegel. Les modèles de Hrill de Darmstadt. 
Littérature. 

Cardinaal (./.). — La construclion d'uue cubi(iiie plane cl du 
cjllndroïde de (îajlev. (1 18-120). 

L'auteur rappelle la génération d'une cubique plane comme lieu du point 
d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux projectifs, un faisceau 
de rayons du premier ordre et un faisceau de rayons du second ordre, ou 
bien un faisceau de rayons du premier ordre et un faisceau de coniques. 
En considérant la cubique engendrée par l'intersection du plan de la figure 
et d'une surface cubique réglée, il développe deux générations de cette surface. 
Il applique la première à la construction du cylindroïde de Cayley et indique 
l'importance de cette surface par rapport à des sujets de Mécanique (Théorie 
de Bail). 

Kapteyn [Il .\. — Dëdtictlon simple de ioncUons doiiblenienl 
périodiques. ^120-126). 

Les fonctions doublement périodiques ont été trouvées par Abc! et Jacobi 

du 



en étudiant Fin version de l'intégrale / 



V G- (j< — a) (« — fi) (î< — T) ("~^) 
L'auteur les déduit par l'intégration directe de l'équation différentielle cor- 
respondante 

ii'j = G-( Il — x){ii — ?)(« — -.')(" — 2). 

Il cherche à satisfaire à l'équation 

/ — ) =(;„-!- Cl» -+- G.»--!- G. «^ ~f- G(M'' 

à l'aide de la substitution 

_ A, ^ A; Y ^.- _ A ^ 



z — a; :: — a, ^mi z — rt_. -: — a,. 

Équations entre les inconnues et les cinq coefficients G,. .Simplification de la 
solution de ces équations. 



lis SECONDli PAin ii:. 

l'JsrIier (R.-J.). — Kemarques sur la Comniunicalion précédenlc. 

(ia(i-i'>.8). 

L'auleur di)nnc une aulre déiluclioD en rapport avec la manière dont 
Halplien introduit dans son Traité des fonctions elliptiques la fonction p de 
\\ eierslrass. Il est d'avis que celte introduction, très belle d'ailleurs, possède 
une lacune, en ce que Halphen déduit des fonctions elliptiques la périodicité 
(loul)le (le la fonction p. Il donne une nouvelle déduction de cette périodicité, 
indé|)cndante de la théorie des fonctions elliptiques, basée sur le théorème 
suivant : 

« .Vliii qu'une fonction soit délinie univoquement à l'aide d'une équation 
dilTérentielle du premier degré, il faut que l'on connaisse la valeur initiale de 
la variable t et celle de la fonction u. Dans le cas d'une équation difTérentiellc 
du second ordre, il faut de plus que l'on choisisse enti-e les deux valeurs cor- 
respondantes de la dérivée. » 

De Vriex (•/•)• — Configurations combinatoires dans le plan. 
(i28-i3o). 

L'auteur continue ces éludes des Malh. Annalen (t. XWIV, p. 227 et 
t. \\\\ , p. '|0i) en s'orcupaut des conliguraliuns T„ représentées par le sym- 
bole Cr I I ' ( 9 ) r ^ette configuration T„ est déterminée univoquement 

par deux polygones à « — 2 sommets en perspective. Ainsi, une Tj est engen- 
drée de six manières différentes à l'aide de deux pentagones inscrits l'un à 
l'autre. Dans chaque Tj,,,^., il se présente des configurations plus simples com- 
posées d'un cycle de polygones à an-i-i côtés, de manière que chacun de ces 
polygones est inscrit dans le précédent et circonscrit au suivant. Déduction de 
configurations plus simples par l'omission de points et de droites. 

Vdii de II Bcrg (F.-J.). — Sur des courbes planes aulopolaires. 
(i;3o-i34 ). 

I-Uude sur les courbes qui peuvent coïncider avec leurs courbes polaires réci- 
proques par rapport à une conique à choisir à volonté. Le rapport étant pro- 
jectif, l'auteur cherche d'abord les courbes qui jouissent de la propriété indi- 
quée par rapport à un cercle; plus tard, il généralise les résultats obtenus à 
l'aide de la projection centrale. Première méthode : on clicrclie à déteniiiiicr 
les coefficients d'une équation générale, par exemple. 

y"^ = A X" -i- B x"-^ -f- . . . -1- K j; -h L. 

ilr manière (|ue celte courbe coïncide avec sa courbe polaire réciproque par 
rapport à x-~,-;)--= a-. Résultat : la parabole semi-cubique et ses projections 
centrales. Klude du cas des coniques. Uelalion avec les coniques harmonique- 
ment conjuguées de Sleiner. Deuxième méthode en rapport avec les équations 
X ~ f{3.) a'iny. -i-f (x) cosa, y ^= — f{^) cosa -i-./ ( 3t ; sin a. \i)plica lions. 

/\luy\'rr [J.-(_\). — Applicaliuii de ihoniugrapluc à la Méca- 
nifjuc. (i35). 



UIÎVUK DKS IMJIJLICATIONS. ii<) 

Sachant coninicnt sept systèmes de forces font mouvoir un corps inva- 
riable libre, on peut trouver par une construction S'^oni'^t^i'*!"'^ comment ce 
corps se mouvra sous rinllueuce d'un aulre système de foixcs quclconnuc 
donné. Application des dynames de INI. K.-S. Hall. 

Sclioutcn (Cl.). — l>.a nicLliodc j^rapliique clans la IMccaiii(|uc. 

(i3(J-i:-58). 

A mainte reprise l'auteur s'est servi (l'une méthode bien simple pour analyser 
plusieurs problèmes de Mécanique. En voici l'idée fondamentale. Si y est fonction 
de X et que cette fonction se divise dans les deux parties y, (a;) cl f„{x)^ de 
manière que l'on ait y = f^{x) -±if.^{x) et si l'on construit les courbes 
y = fiix) &\. y =:n.f^{x) par rapport aux mêmes axes de coordonnées, les 
points d'intersection de ces courbes font connaître les valeurs de x qui cor- 
respondent k y = o. Première application : vitesse radiaire dans le mouvement 

central. La fonction en a; = -^ (/• = distance au centre) se compose de deux 

parties dont la première correspond à la courbe potentielle, tandis que la 
seconde est une droite; les points d'intersection correspondent aux apocentres 
et aux péricentres de la trajectoire. Seconde application : le roulement exact 
d'un corps de révolution. 

Molenbi'oek (P-)- — f^a représenlalion géométrique des jioinls 
imaginaires de res[)ace. (i38-i4o). 

L'auteur représente un point imaginaire {x^-i- 1X2, yi-h iy,, z^-r■iz^) jiar 
le lieu des points réels à distance zéro de ce point. Ce lieu est un cercle de 
centre Pi(a;p y,, 5,), de rayon \/xl + yl-h zl, situé dans le plan par 
(37,, y,, z^ ) perpendiculaire à la droite qui joint l'origine au point P; {x^, y^, -2 )• 
Distinction entre les deux points imaginaires conjugués à l'aitle de cycles 
(cercles parcourus dans l'un ou l'autre sens). 

Ces idées de l'auteur, développées dans les Noiw. Annales, oct. 1891, ne sont 
pas nouvelles. Elles se sont présentées en 1872 à Laguerre. Toutefois la dé- 
duction en est nouvelle. 

GriiuvLs [C .-U.-C). — La déeomposilion des nombres en une 
somme de carrés, (i /jo-i 1 1). 

Esquisse historique. Diopliantc, le géant de l'antiquité. Les deux théorèmes 
de Fermât en rapport à la décomposition en deux carrés. Extension et dé- 
monstration de ces théorèmçs par Euler et Lagrange. La Théorie des nombres 
de Legendre et les Disquisitiones aritlinieticce de Gauss. Décomposition en 
->, 3 et 4 carrés. La remarque de Eisenstein par rapport à la décomposition en 
8 carrés. Les Fundameiita nova de Jacobi. H.-J.-St. .Smith et sa solution 
complète de la décomposition en 5 cl en 7 carrés. Résumé des résultats 
obtenus. 

l\0)-lc\veg [D. -./.). — Sur les parlicularilés de premier ordre 



iv,o SKCONDI- l'AirriH. 

d'exceplion qui se |jréseiileiit à r;i|)[(aiitiuii el à la disparition 
d'un pli. ( i \ \-i/\i}). 

Qnaïul le plan laiigeiil double trune surface roule sur elle, les deux points 
de eoiitari (coniiodes) A, et A, se meuvent sur la ligne connodale. Si le plan 
à l'inlini na pas de position particulière par rapport à la surface, ce roulement. 

im'iii; :i l'un des trois cas suivants : 

1° Les deux conoodes coïncident pour devenir imaginaires (point de plisse- 
r(ient). Si ce cas se présente en roulant d'un côté il se présente aussi en rou- 
lant de l'autre cote. Les points de contact limitent un pli fermé. 

2° Les deux connodes reviennent dans leurs positions luincipales : pli annu- 
laire double. 

3° Les deux conuodes A, et A, changent de place : pli annulaire simple. 

fies trois espèces de plis ont le même degré de généralité. 

Le but de cette Communication est d'examiner la variation, l'apparition et 
la disparition des plis sur une surface dont l'équation se change d'une manière 
continue. Il se borne aux particularités qui s'expriment par une seule relation 
entre les coefficients tic l'éciuation. Les deux espèces de points de plissement 
{\oir Bulletin, XIX,, p. -iJo), etc. Idées générales sur les parliculaiités /eeZ/fi 
d'une surface, etc. 

4" Congrès. iSg'J; (îroniiii^uc. 

(îriiiwns {(' .-Il .-(' .). — Jean Benioiilli, j)rûlesseiir à (îrouingiie 

de i(i()5 à 1 -o:"). (i .'((S-i /(ç)). 

Kapleyn ( // .). — JJeux ihéoièines de AJ . Poinearé. (i {cj-id'i ). 

Si l'on lransf(jrme un point z du plan complexe en un ]ioint / à l'aide de la 
substitution t{c z ~- cl ) ~ az ->r b. ronditiori ad — bc~i, on trouve que les 
expressions 

jouissent de la propiiclé d'èlrc invariantes. Démonstration ilo ces llu'f)rènies 
énoncés par i\I. Poinearé {Acta math., t. I). Calcul de S dans le cas d'un po- 
lygone à côtés circulaires, rectangulaires à un cercle de rayon i ; on trouve 
(|iic S ne, dépend que du nombre des côtés et de la somme des angles poly- 
gonaux. 

KUtyK'cr (./.-C). — La rédiielion des inlégrales ellipticpies. ( i 5 ^- 

Comment reconnailiM^ les cas particuliers dans lesquels l'intégrale 

I -i { .r, y ) d.r, 



iu-:vi]i<: i)i<;s pu un cation s. i.i 

ou y^ représente un pulynoine cul)ic|ue ou (|uurlique eu x, u'esl qu'une inli-- 
grale pseuclo-ellipliciue? Introdurlion liist.ori(|uc : L'intégrale 

r .T- dx 

J (i — .r')v/n-a;* 

étudiée par Kuler. Les rechei'ciies systématiques d'Abel {Œuvres, t. I, p. lo.'i) 
sur des intégrales de la forme / - — — > eu rapport avec des fractions continues 

J y 

périodiques. Les études de TchebychefT, l'introduction de l'argument elliptique 
par Weierstrass, son critérium. Démonstration de M. Hermite que ce crité- 
rium s'applique aux cas d'Euler. Introduction de la fonction p de Weierstrass 
par Halphen. 

Caractère général : Si l'introduction de rargunienl elliptique à l'ai<le des 

formules d'inversion d'Halphen donne 1 o (x, j) dx = l/iu) dii^ cette inté- 
grale est pseudo-elliptique s'il est possible de déterminer quelques arguments 
v\, V... ..., »',,, de manière que l'on ait 

f{u^ i\)^'r-f{u-T-v,) -h...-r-/{u^ V„) =.0. 

Démunstriilio[i et application au cas 



■'/ 



dx 



I , 2(a;--i- v) -i- r 1 , -iix'-i- y) — I 1 , x-~ ^' 
= -. log -^ ^^-^ 1 log r ■- i log ^• 

() -îix- — y ) -h ' t> -2 (X- — J' ) — I 12 X- — J)- 

l'an Elfrinkhof (/>.)• — L'équation Vp-^p^ o. (loj-iGi). 

Extrait d'un Mémoire antérieur {A'ieuw Archief, série 2, t. L p- 76) ( ' ). 

Micliaelis (G.-J.). — L'intluence du frottement sur le mouvement 
tourbillonnaire. (i6i-i65). 

Frottement intérieur, potentiel de rotation, potentiel de flexion, dispersion 
de l'énergie. Le mouvement stationnaire rectiligne dans un tuyau cylindrique 
est un exemple du mouvement fini admettant un potentiel de flexion; expéri- 
menls de M. Reynolds. Théorie de M. Basset. 

De ] ries {./.). — Les groupes isodjnamiques et métaharmoniques. 

(1G5-167). 

Centres, cercle, sphère, quadruple et quintuple isodynamiques. Groupe har- 
monique. Sextuple et octuple métaharmoniques. 



( ' ) I oir plus liiiui . [1. Il 



I2P. SECONDE PAIMIE. 

y^a/i Dorsten ( Il.-I/.). — .Nouvelles méthodes de la reprt'senlalion 
géométrique des quantités imaginaires. ( \(')~-i-:i ). 

Introduction historique : Argancl. Cauchy, Hamillon, Gra5smann;M. Mario, 
Cf. Tarry, Laguerre; nouvelle Théorie des acceptions de l'abbé George, publiée 
pur Evrard, en l'apport avec les idées de .Mouchot. 

Molenbroelv (P.). — Les méthodes de transformation par rapport 
aux mouvements finis d'un iluide sans frottetiient. [\-'.\-\ -\ ). 

Introduction liisloricjuc : Lagrange, ^^'eber, Ilclnihollz, Kircliliull', l'Ianck. 
Nouvelle transforinalion à l'aide de quaternions. 

Landré{C.-L.). — Arrondissage des tables mortuaires. ( i ~^\-\ ~i)). 

Formule de Makeham. Calcul basé sur l'hypothèse que les ililTérences de la 
mortalité forment une suite géométrique. 

ScUcltcnia {C .--i .). — Les applications principales de la Slalitpie 
graphique et son importance pour renseignement de la Méca- 
nique élémentaire. (ij()-i8o). 

Polygone de forces et de tiges. Le plan des moments de Culmaun. L'ellipse 
d'inertie de figures planes. Construction de la courbe élastique. Courbes d'in- 
fluence. Planimètres et intégraphes. 

(hiiiii ( \.}. — Le dévelo|)pemenl de la théorie des tourbillons et 
son état actuel. ( i «So-i 84)- 

Ltudc lii>tori(jUi' rniitciiaiil riiulicalion de la liltéralnre du sujet. 

Carclinaal, \ J .). — Une surface dévelo[)pal)le de la quatrième 
classe. (184-' 8^). 

Klude synthétique de la surface développable circonscrite à une surface qua- 
drique le long de son intersection avec une surface d'ordre/?; cette surface 
est dans l'espace la figure corrélative de la courbe d'intersection. Déduction 
des nombres caractéristiques de la courbe d'intersection et de la surface 
développable. Application au ras de la courbe'gauche ratioiuielle du (juatricnic 
ordre. 

>■ Congres, 18;) j. Ainslcrdam. 

Schoute (/•*.-//.). — Eloge de Descartes sur Amsterdam. (220- 
224). 

.\euberg (J.). — Sur nu ca> particulier de 1 iniuiulogic. (22J- 

23l). 



UIÎVUK l)i:S PUBLICATIONS. ij.3 

Soit S un plan queltoiiqiii- <lii plan du triangle ABC ; soienl A,, 15,, C, les pro- 
jections de S sur HC, (^A, Ali: soient A,, B^, C, les points de UC, CA, A B sé- 
parés harnioniquement de A,, B,, C, par les sommets du triangle et soit i la 
droite A^B, C^; alors il sagil de l'honiologio à centre S et à axes dans laquelle 
les triangles ABC! et A, 15,0, se correspon<lent l'un à l'autre. Le rapport d'homo- 
logie est égal à — 2. .\ppIications diverses menant à des correspondances 
géométriques et à des résultats de la Géométrie du triangle. 

Zcentdii ( r.). — '^rransforiiialion des équations dv. la l)\ iiaiiiifjiic. 

Allersina [T.-J.). — Les axes d'inerlie d'un triangle. (233-23-). 

Construction des axes d'inertie d'un triangle qui sont en même temps les 
axes de sj'métrie de l'ellipse de Steincr. 

^ (les [F.-J.). — Tiges ai-lieulées. (238-243, i pi.). 

L'auteur fait connaître des constructions de la vitesse et de l'accéléralinti 
d'un point quelconque de la bielle dans le mouvement de trois barres, l'oints 
conjugués. Positions conjuguées. 

Tcseh [J.-ff .). — • i^e problème des normales à l'ellipse. (243- 

Il s'agit des normales issues fl'un point quelconque P. A Taide de l'hyperbole 
qui passe par P et pai- les points où les quatre normales par P rencontrent 
l'ellipse pour la seconde fois, l'auteur confirme le résultat connu des trois lieux 
de points P, pour lesquels la construction des quatre normales est possible 
{Wiener Sitzungsberichte, t. XC^ III, ]3. i3ig). Ensuite il suppose l'ellipse 
dessinée et fait connaître d'autres lieux en rapport avec le problème. 

Kempe (-i-). — Les courbes à nœud et leur ulililé dans la polv- 
seelion tic l'angle. (24--200) ('). 

De f ries {H-)- — Sur une courbe gauche du sixième ordre. (200- 

20.")). 

La courbe en question est Tintersection complétante de deux cônes cubiques 
à base C commune. Cette courbe R^ se trouve sur une quadrique F-. 
Construction de R'' point pour point. Construction de la tangente. La courbe 
se projette encore suivant une cubique plane d'un troisième point déterminé, 
situé sur la droite de jonction des sommets des deux cônes originaux, comme 
centre. Cas particulier où R" est l'intersection de deux cônes F- et F"'. 

i\euberg (J.). — Sur les quadrilatères arliculés. (255-26;). 



( ' ) l oij- [dus haut, \<. i 1 '|. 



12', SHCONDIi l'A IMli:. 

Étude des propriétés géométriques qui se conservent dans toutes les défor- 
mations du (|nadrilatèrc, en rapport avec les mécanismes focaux {Brennpunkts 
meclianismen) de M. Bnrmster. Parmi les résultats on trouve que: 

Si l'on construit sur les côtés opposés AB, DC d'un quadrilatère ABCD deux 
triangles ABX, DCZ directement semblables, et aussi sur les côtés AD, BC 
deux triangles ADU, BCY' directement semblables, les triangles construits sur 
les droites UY, \Z comme homologues de AB, VD et directenient semblables 
à ABX, ADU ont même sommet. 

Les points qui divisent les côtés d'un quadrilatère articulé souslractivement 
dans le rapport des carrés des côtés adjacents sont constamment sur une 
même circonférence. 

Bosscha {-/.). — (>liii.slia;m lluvgens. (jS-j-Gi i) ( ' ). 

G'"" Congrès, 18-4, Delfl. 
Kapteyii {]].). — F.-J. van tien Berg. ('rioo-aoi). 

KluYver [J.-C.'). — • l^e lliéorèiue de (]ancliv pour des intégrales 
doubles. 

L'auteur donne une nouvelle démonstration du théorème de .MAL Picard et 
Poincaré, d'après lequel le théorème de Cauchy peut être étendu aux intégrales 
doubles. Enoncé de la question. Démonstration. Application au cas 

a; -f- ny =-- e'" + «e'", nx -i- y — ae'" + e'" 
sous les conditions /j < i , rt <; t. (le cas fait trouver le résultat 

r"^ r^'^ioori-f- OT=-4- 2m cos(w-f- f)l , , ^-- , 

I / —' ^ — ^ ^ — - du dv ^ , log m. 

Jq ./j i + /i--i- 2rt cos( a -h v) i — n- 

l aes (F.-J.). — P()lvi;ones à contotir niininiiiin inscrits dans tiii 
polygone donné. (•.^u()-2I i). 

La méthode des demi-révolutions successives de Steiner, qui rectifient le 
polygone minimum inscrit. 

Janssen l'an Rnar ( W .-Jl .-L.). — Les recherches récentes sur 
Tin Uni. ( i\ i -:i 18). 

Esquisse histori(|uc : Idées de Leibniz, Pascal, Cauchy, Moigno. Notions plus 
récentes introduites par Bolzano (i85o) et développées par M. G. Cantor, etc. 
La pluralité de Bolzano, l'ensemble de Cantor. Sa puissance. Équivalence et 
similitude de deux ensembles. Les nombres cardinaux de deux ensembles 
semblables. Les différentes classes de nombres positifs : nombres ordinaires, 
nombres Iransfinis. Le carré hyperbolique, etc. 

( ' j I oif |ilii> han I . p. 1 l'i. 



HKVUK DES l'Uin.ICATlONS. laO 

Cardinaal iJ.). — Sur une cubique plane pailieulière. ('^iB- 
•220). 

Il s'agit, de la riihiinio ('iiciiiairo (jiii ]iass(- par son foyer singulier, (■Uidiée 
par la Géométrie de Qiiélclet, Sleiner, Schrôter, Kiipper, Hermès, Scliuiile cl 
par la Cinématique de Burmester, Schonflies. Ici, elle est considérée d'abord 
comme lieu des foyers des coniques à quatre lanj^cntes communes, ensuite 
comme lieu des couples de points qui peuvent former les six points doubles de 
quatre positions d'un système plan mobile, avec quatre points fixes donnés, etc. 
Enfin, elle est mise en rapport avec la courbe à longue inficNion de Wall. 

Molenbroek (/'.). — L'application de la lliéoric des vccleuis à la 
Géométrie de la droite. (220-223). 

Les deux vecteurs de la droite. Ces \eclcurs y. oL a vérifient l'équation 
SxX=ro. Si «t» indique une fonction vectorielle linéaire quelconque, y. =^ <I>/. 
représente un pai'aboloïde Iiyperbolique. L'équation du complexe linéaire. L'in- 
variant de Ivlein, elc. 

Ont (F.-L.). — La prédiction des marées. (223-236). 

Comparaison des deux métliodes de construire les tables de marées, la mé- 
thode de l'analyse harmonique et la méthode empirique. 

]an ElfrinhJtof [L.). — Une propriété de la substitution ortho- 
gonale du quatrième ordre. (23"-2'îo). 

Décomposition de la matrice correspondante en deux facteurs, en rapport 
avec la décomposition d'une rotation dans l'espace à quatre dimensions en 
deux rotations en des plans complètement perpendiculaires l'un à l'autre. 

Van de Qriend (J.). — L'évaluation de moments d'inertie à 
l'aide d une courbe intégrale. 

Étude des intégrales / X' (/w, /vrfo), j x" cIm, j xy iko. / r- c/w à l'aide de 
la Statique graphique. 



COMPTES RENDUS iikbdo.mvdaiuks dks skvncks de i/Ac.vdkmie des Sciences. 
Tome CXXIV: 1897 (')• 

Liouvillc i'Ii.'). — Sur le mousement d'un solide dans un liquide 
indéfini. ( 72-^0 ). 

(') Voir Bulletin, l. \XII,. p. 35 



126 SECONDE PARTIE. 

Dans une lécenle Communication {Comptes rendus, 28 décembre 1896), 
M. Stekloff signalait deux cas dans lesquels le problème du mouvement d'un 
solide dans un liquide indéfini admet une quatrième intégrale quadratique. Le 
premier avait été obtenu par M. Stekioff lui-même, le second par .M. LiapounolT. 
Les conditions exigées par ces deux cas ne semblaient pas à M. Stekloft" com- 
prises, comme elles devraient l'être, parmi celles que W. R. Liouville a données 
pour lexistence d'une quatrième intégrale algébrique {Comptes rendus. 23 no- 
vembre 189G). 

M. Liouville explique m quoi cette divergence n"esl (|u"apparente. 

J^diiiIcKi'. — Sur les inlrj;rales premières des sjslèines ditl'éren- 
liels. (i3(j-i3()). 

Soit un système d'équations dillèrentielles 

dx, dx^ 



dx ^ 



\, {X. X ^„,- J>'l' • • •' l'n) ' ^nA^I ^ ^m' ^'l- • • • 1 ï „) 

ï _ ll}\ _ _ «Tn 

' 'h, (j:, J7|, . . ., .r,„, j'i, . . .._T„) '' Y,_( j:, J7,, ..., ^^,, )-,,.. .,^-„) 

où les \, V sont algébriques par ra|)porl à j-,, . . • , .7',, et peuvent par suite 
s'exprimer rationnellement à l'aide des {n-^i) variables _i',, ..., t„, z, liées 
par une relation 

S(-,r,. .... r„, j:,. ...,a7„,) = G, 

où s est un polynôme en c, j',, ..., j'„ (jui, de même que les \, ^, dépend 
analytiquement de x, x^, ..., x,,^. 

M. Painlevé étudie les intégrales premières d"un tel système algébriques par 
rapport à j',, ..., r„; plus pi'écisémeiit, il se propose de déterminer toutes les 
intégrales 

(2) C = l\{z,y„ ...,y,,,x,x^, ..., x,,,) 

de degré v en jz, t,, . . ., j'„. 

Deux cas sont à distinguer suivant que le système (i) admet ou non des inté- 
grales premières, de la forme 

(3) F(a7, ar,. . . ., .r„, ) =: const. 

Premier cas. — Le système (i) n'admet pas d'intégrales premières de la 
forme (3). Alors les intégrales ( 2 ) ne comportent qu'un nombre fini de para- 
mètres arbitraires; elles dépendent de l'intégration dune équation différentielle 
ordinaire à points critiques et essentiels fixes. 

Deuxième cas. — Le système (i) admet des intégrales premières de la 
forme (3). Alors les intégrales (2), s'il en existe, renferment des fonctions ar- 
bitraires. Les intégrales (3) une fois déterminées, la détermination des inté- 
grales (2) dépend d'une équation différentielle à points critiques et essentiels 
fixes. 

L'auteur passe ensuite à l'étude des intégrales premières particularisées 
de (i), dont les singularités satisfont à certaines conditions qui jouent un rolc 
important dans la recherche des intégrales premières de la Dynamique. 



IlEVUE DES PUBLICATIONS. 17.7 

Il up|ili(ine les roiulitions séiiérale-i i|ii'il a (L'vcloppécs aux s\ firmes de la 
loriiic 

^ ' cit -'^■' (It ' (){x\,...,x'.„x„...,xj U->,, •..,»), 

où les P, el (^ soiil dos polynômes en x\. .... x'„. 

M. l'ainlevé ilcterniine les intégrales premières do ( \) lul idninllcs cl de 
degré v en .r',, .... .r^, et où t ne ligm-e pas cxplicitcmenl. 

A (lionne. — Sur les pùles des fonctions nnifornies à plusieurs 
variables indépendantes, {\'^()-l \i). 

Klant donnée une fonction uniforme \ rie /• variables indépendantes y, x^, 
a.\, .... .27,. |, coordonnées d'un point '^ dans un espace E,. à /• dimensions, un 
point (.)(•)' = Z), a;, = a,, . . ., .r,,., = (7,._, ) sera un point singulier non essentiel 
ou un pùte si, dans le voisinage de to, \ peut se mettre sous la forme 

P(i (.y — b, X^ — a^, . . ., X^_^ — «r-i) 

l'p P„ étant des fonctions uniformes, régulières en w, qui s'évanouissent pour 
des valeurs simultanément nulles de tous leurs arguments. Si les deux séries P, 
et Pj sont premières entre elles, w sera pour \ un point singulier dont M. Au- 
lonne enseigne à définir et à évaluer l'indétermination. 

Fabvy [Eiig.). ^- Stir les séries de Tajlor. {\^'i-\/\o). 

Le théorème de M. Borel, d'après lequel une série "Za^^z", dont les coefficients 
sont arbitraires, a pour coupure son cercle de convergence, peut être déduit 
des méthodes que iM. Fabry a indiquées pour la recherche des points singuliers 
(^Annales de l'École Normale, octobre 1896). 

Le Rour. — Sur l'équation des télégraphistes. (i/i3-i4(>)- 
Il s'agit, comme on sait, de déterminer une intégrale de l'équation 

Cp II cl- Il 

df- dr- 

se réduisant à une constante /(o) pour /• = ^ et à une fonction donnée /"(/) 
pour /• = o. 

Cette question revient au problème suivant, un peu plus général : 

« Déterminer une intégrale de l'équation 

d-z _ _ 

dx dy 

se réduisant pour _;»' = o i\ f(x) et pour j' = x à '^{x). » 

Voici la solution que donne l'auteur et qui lui donne l'occasion de montrer 
l'utilité pratique des intégrales principales des équations aux dérivées par- 
tielles du second ordre. 



i-^.S SI'CONni- l'AHTlK. 

S» Ton pose 

K(xo-) =/io)-ro(.r.r) -4- / /(a ) -j„ (^ -- a, .v) r/a, 

t 

l'intégrale cherchée sera donnée par la fi)niuile 

^ =/io)çJj:,r) -- I fil. ) roix— a. y ) r/a 
«^ 

•- 

A l'occasion du problème précédent proposé par .M. Carvallo, iM. Picard avait 
démontré qu'on peut en général déterminer une intégrale de l'équation linéaire 
aux dérivées partielles du second ordre, prenant des valeurs données sur une 
caractéristique et sur une autre droite. M. Le Roux généralise un peu ce théo- 
rème de M. Picard, en montrant qu'on peut remplacer la droite par une courbe 
analytique quelconque (jui coupe la caractéristique. 

P(ii/)/cvr. — Sur les intégrales premières de la Dvnaiiiifjiic el sur 
le proljlèinc des /i corps. ( iy.')-\ -G). 

On considère un système d'éqiialions df la l)\ niinii(juc 

ri; ( j: I . . . . , .z- _, JP| , . . . , j:„ ) — A , ( j;, , . . . . jr„ ) 



(i) \ dt ' dl 



n). 



où le;* 11^ sont des formes qiiadral iques en x'\ a-'„ dont les coeflirienls, 

ainsi que les X,, dépendent analytiquement de x , cr„. Si le système (i) 

admet des intégrales premières algiïbriques par rapport aux vitesses et indépen- 
dantes de t, on peut toujours mettre ces intégrales sous la forme 

(2) -J— — ^ __..const. 



M. l'ainlevé se propose de déterminer toutes les intégrales premières (2) (de 
degré v) d'un système (1) donné. Il montre que les intégrales (2) de (i) ne dé- 
pendent que d'un nombre fini de paramètres arbitraires, et que leurs singula- 
rités (non polaires) coïncident avec les singularités des II,, \,. 

D'ailleurs, une fois calculées les intégrales (2) du système (i) sans forces, le 
calcul des intégrales (2), pour des forces .\, quelconques, n'exige plus que des 
quadratures. 

I/aulcur développe l'étude du cas où les II sont rationnels en .r,, . . . . jr,_ et 
où les géodésiques sont algébriques. 

ippelL — Sur un mode d'inversion des inlcgrales multiples. 

On peut, pour les intégrales multiples, poser un problème rlinversion qui est 
analogue au problème d'inversion de* intcgrales simpie>i el qui conduit aux 



HHVUI- DKS PL' BI.I CATIONS 1-2., 

inèines questions (exlcnsioii du llu'ori'uic d'Alxl, iiiiifoiniili- des foncliuns 
inverses, périodicité, etc.). 

Pour cela, on considère des équations dont les deuxièmes rnemhres sont des 
variables indépendantes ?<,, u.,, ..., ?/„ et dont les premiers membres s(tnt des 
sommes d'intégrales multiples portant sur des fonctions données et étendues à 
des champs d'intégration dont la définition dépend d'une manière uniforme 
de n variables «,, eu, ..., «„. Ces équations définissent a,, «j, ..., f/,, en fonc- 
tion de H,, u,, . . -, J<„. 

Picdi'd (li/tt.). — Sur l'inlégralion de cerlaiiics (''(iiialions diflé- 
rcnlielles par des séries. (214-21'j). 

L'auteur montre que dans bien des cas sa méthode des approximations suc- 
cessives peut donner, au point de vue du calcul, une solution rigoureuse et 
complète des problèmes de Mécanique. 

Painlevé. — Sur les intégrales quadratiques des équations de la 
Dynamique. (.221-224). 



Dans (juci cas un sjstème d'équations de Lagrange 

cl /dT\ ÔT 

dt\dx'J ()x, '^ " ' " 



(4=1, 



n), 



où T est une forme quadratique eiî x\, ..., .r',, admet-il des intégrales qua- 
dratiques? C'est là un problème exti"èmcmcnt compliqué qui a déjà fait l'objet 
d'importantes recherches. 

M. Painlevé indique une classe de pareils systèmes beaucoup plus étendue 
que celles qu'on a signalées jusqu'ici. 

Soient i, j, ..., l, m l'un des entiers positifs quelconques dont la sommi' est 
égale à n, et q le nombre de ces entiers. Soient 



%(-2^<'+,+- 



+;-! i-Z+l 



^n 'r ^, 



+/+...+'+! 



, --M-^:,,) 



q forces vives, composées la première avec les variables x^, . . ., x-, la seconde 
avec les variables ^,+,, ..., x-_^-, Soit enfin A le déterminant 



où 9], 3^, ..., 9^ sont des fonctions arbitrairement choisies de .r, 
9.5, (?,% ..., c?f de 37,.^,, ..., x,^^; '-?;, o^^ ..., cp? de ^7.^,-+.. .+,+,. .. 
lettre Ar désignera le mineur de A relatif à l'élément 9;. 
Si l'on pose 



(>) 



A'. 



ij) 



. . . , .r, ; 
X,.. La 



Bull., des Sciences inathein., 1' série, t. WII. (Juillet 1898.) 



H. 9 



i3o SECONDE PAiniE. 

cl qu'on adjoigne à T, la fonction de forces L', délinie par l'égalité 

cil les/^ sont des fonctions arbitrairement choisies des variables indiquées, le 
système de Lagrange {T,,U,) admet g intégrales quadratiques distincte? (en 
comptant l'intégrale des forces vives), à savoir les intégrales T^— U^^= h^, où 
l'on il 

• , - ^ I ^. ( Al )2 -^ ^= ( Ai )' ^' ■ "^ ^'' ( M )' J ' 

LV= '-(A^'t-^A^'i^---^/,^^! (\^^h-i, ■■■,q). 

Cette solution tlu problème proposé est tellement générale qu'elle épuise 
vraisemblablement la question. 

Il n'est môme pas nécessaire de supposer que les forces dérivent d'un poten- 
tiel. La force vive T, étant donnée par (i), le système (T,, X;) admettra l'inté- 
grale quadratique 

Tj — v{x^, . . . , jr„) =^ const,, 

si l'on astreint les forces aux seules conditions 



X, 


X. 


à\ 


%.. 


x,+,- 


_ ^\ 


dv 


dv 


Al' 


dv 


dv 


A? 


âx^ 


àx, 




ÔX;^^ 


dx-^j 





Si tous les entiers i, j, ..., ni sont égaux à i, (7 est égal A /; ; on retombe 
sur le cas de M. Stœckel, qui dépend de n- fonctions arbitraires à une seule 
variable. 

Si tous les entiers i, j, ..., m sont égaux à i, sauf le premier, et si de plus 
T est orthogonale, on retombe sur le cas de M. di Pirro, qui dépend de n fonn- 

lions arbitraires de x x- et de (n — i — i)--t- (« — i) fonctions arbitraires 

à une seule variable. 

Si dans A on assujettit les ç^ aux conditions :?; = ( «r)' et si de plus on 
remplace par des constantes ceux des 9^ où peut figurer plus d'une variable .r, 
on retrouve les ds- de M. Levi-Civita. 

De Montel. — Sur les lois de l'intérêt. (224-225). 

Desaint . — Sur les zéros de certaines fonctions analytiques. (2-6- 
279)- 

Soit la fonction f{z) délinie par la série 

V ^u'(-g — «i )•••(•= — «t) 

où A^;', a,, ..., a^, Ij,, ..., b^, sont des quantités variables avec «?, //, ..., 5; 
An' est réel et garde un signe constant quand ///. // .y prennent toutes les 



iniVUK DKS rLin.lCA l IONS. i3i 

valeurs, la différence A^ — A' étant la même pour toutes les fonctions ration- 
nelles qui forment les termes de cette série; de plus tous les points a,, ..., a^, 
6,, ..., b^, sont à distance finie. Si l'on considère le cercle C (de rajon H) de 
surface minima parmi tous ceux qui entourent tous les pôles et les zéros des 
termes de la série y(^), les zéros de f{z) sont à l'intérieur rl'un cercle con- 
centrique au cercle C, de rayon 

U 



2 ( A — A' ) 



où A' -f- A' est la plus forte somme des degrés des dénominateurs et numéra- 
teurs respectifs des fractions rationnelles de la série. 

Parmi les conséquences que l'auteur tire de ce théorème général, nous cite- 
rons la suivante, relative à la position possible des points singuliers des fonc- 
tions uniformes données parleurs valeurs sur un cercle: 

Une fonction uniforme /(s) étant donnée par ses valeurs le long d'un cercle C 
de centre a et de rayon Fî, soit M son module maximum sur C. Désignant par A 
l'intégrale 

si l'on peut trouver une quantité u différente de A telle qu'il existe au moins 
une valeur c, de z, à l'intérieur d'un cercle F concentrique à C et de rayon 



X — u 



qui fasse prendre à fiz) la valeur «, la fonction f{z) a certainement des 
points singuliers à l'intérieur de C. 

Signalons encore, comme seconde conséquence, une propriété des fonctions 
entières qui complète le théorème bien connu de M. Picard : 

So\i/{z) une fonction entière donnée par ses valeurs le long d'un cercle C 
quelconque de rayon R; soient M son module maximum sur C et xV sa valeur au 
centredeC.il ne peut exister deux valeurs a, 6 de if pour lesquelles /(2) = u 
n'ait pas de racines à l'intérieur d'un cercle concentrique à C de raj'on 



De Jonqiiières. — Sur ceitains points de la théorie des résidtis 
des puissances. — ■ Caractères distinctifs des nombres ou racines 
d'où proviennent les résidus générateurs. (334-34o). 

Si p est un module premier, n un exposant diviseur de n — i et = e. 

1 ' Il 

on sait que : 

1" Le nombre des résidus différents, de la n'''^' puissance, est e. chacun d'eux 
se trouvant répété n fois; 



i39. SKCONDI-: PAIMIE. 

.'.'' Une partie sculonienl de ces résidus jouissent de la propriclé de les repro- 
duire tous par les résidus (selon le module/?) des puissances conséculivcs de 
l'un quelconque R d'entre eux, depuis l'exposant i jusqu'à l'exposant e inclu- 
sivement, ce qui leur a fait donner le nom de générateurs. Il s'ensuit que tout 
résidu générateur appartient à l'exposant e, c'est-à-dire que R'-'eeei (mod. p). 
sans abaissement possible de l'exposant; 

3" Lorsque l'exposant n est un nombre premier, les racines r, d'où provien- 
nent les générateurs R et qui sont au nombre de n pour chacun de ceux-ci, 
appartiennent : les unes à Tcxposant p — i = ne, ce sont les racines primitives 
de p; les autres à l'exposant e, ce sont les racines primitives de la congruencc 
X' — 1 = ( mod /?) et dont le nombre est o (e). 

Mais rinlirvonlioii du multiples de e, intermédiaires entre e et ne, dans les 
caractéristiques de queliiucs-unes des racines génératrices et les conditions où 
cette intervention s'exerce n'ont été jusqu'ici ni expliquées, ni même signalées. 
Elles forment le sujet des recherches actuelles de M. de Jonquièrcs et sont une 
conséquence du théorème suivant, où « est essentiellement un diviseur de/? — i : 

« Lors(|u'nn i-ésiilu R, de puissance jv""' selon le module/?, est générateur, 
donc appartient à rexposanl e = , les n racines /• d'où il provient indis- 
tinctement, apijailiennent à quelque multiple ke de e, le facteur entier /,■ ayant 
toujours, pour quelques-unes au moins d'entre elles, la valeur n et étant pour 
celles qui restent (s'il y en a) un diviseur de //, qui, selon les cas, n'est pas le 
même pour toutes ces dernières ». 

Successivement, l'aulour prouve que /.• est toujours égal à n pour quelques- 
unes au moins des racines /•, précise les cas où il l'est pour toutes, définit ceux 
où e n'intervient qu'avec le multiplicateur /r — i, enfin ceux où k prend plu- 
sieurs valeiiis autres que n ou i. 

Boiiilet. — Sur les o|H''rations en général. {. 348-35 i). 

iM. Bourict nomme transmutation à n variables toute opération qui trans- 
forme une fonction u de a variables en une autre fonction des mêmes va- 
riables G», qu'il nomme la transmuée. 

N'oici le problèine général qu'il s'est proposé de résoudre : 

« Déterminer toutes les transmutations telles qu'il existe une relation donnée 
à l'avance entre les transmuées des trois fonctions u, v et ts{u, v), quelles que 
soient les fonctions u et v; Tô{x,y) étant une fonction donnée des variables x 
vi y, syméti'ique et telle que ^[.r, ra(y, i;)] soit aussi symétrique ». 

La solution est donnée par la proposition que voici : 

« On peut déterminer deux fonctions A(;) et R(-s) telles que la ti-ansmuta- 
lion soit définie par régalit('; 

Çiu:= n[>^ \(/0J, 

où S désigne le symbole opér.ilif d'une transmutation telle (|ne l'un ait, (|uclies 
que soient les fonctions u et e, 

^ ( u -{- v) = S u + 'S V. » 



IlEVUK DKS l'IUI.lCAllONS. i33 

Le proltir-rnc priniilif esl donc ramené à celui-ci : 

« Dclcrminer loules les liansmulalions additives, c"esl-à-dire qui transfor- 
inciU une somme en somme ». Or celles-ci peuvent être obtenues de la manicie 
suivante : 

« 'S désignant le symbole opéialif d'une U'ansmulation additivr, uniforme et 
continue, à n variables, on a, quelle que soit la fonction régulière u, 

S" = «0,0,..., o« +^ "i',.'^.,...,K.àx\,dx^,....dx^/ 

les coefficients a/t,,i. ,...,'■„ étant des fonctions données des variables x,, x.,, 
. . . , x,^. » 

En appliquant celte proposition aux opérations connues, on arrive à des for- 
mules intéressantes. 

L'auleur fait ensuite une étude spéciale des transmutations additives, uni- 
formes, à une seule variable x, 

^ du d"^ a j- [ d \ 

(r a = a,, u ^ a. —, ^ . . . -7- «,„ —: i- . . . = / [X, -r- u 

" ' dx '" dx"' •' \ dxj 

et des transmutations inverses. 

Il met en lumière les propriétés générales de la fonction opërative de la 
transmutation, savoir : 

f{x,z) = a,-ha^z^...-^a„^z'"-h..., 

et montre comment ces propriétés peuvent être utiles dans la théorie des équa- 
tions différentielles linéaires. 

Par exemple, lorsque, dans une telle équation 

d"'y d"'^'v , ^ 

"' dx"^ "'"' dx'"-^ -^ 

le polynôme opératif a„,i;"'-i-a„,_, ^"'~'-i-. . .-r- a^ est un polynôme entier en 
z — kx à coefficients constants {k étant une constante), cette équation se ra- 
mène à une équation à coefficients constants par le changement de fonction 

y = e 2 u. 

Maillet. — Sur une série de groupes primitifs holoédriqueiiienL 
isomorphes à des groupes plusieurs fois transitifs. (35i-353). 

Soit C un groupe de substitutions de degré n, k fois transitif; C opère entre 
les Cn combinaisons des n lettres a à a un groupe F,^ de substitutions; ce 
groupe esl transitif si A" ^ a. 

JM. Maillet fait connaître une série de résultats qu'il a obtenus relativement 
à ces groupes F^. 

Lévi-Civita. — Sur les intégrales quadratiques des équations de 
la Mécanique. (Sga-SgS). 



i34 SKCO-NDIi l'AlMIi;. 

Faisant allusion à la Noie dans laquelle M. Painlevé indi(|ue une classe 
exlrèinement étendue de problèmes dynamiques qui admettent des intégrales 
quadratiques en dehors de celle des forces vives, M. Lévi-Civila croit (jue, no- 
nobstant sa grande généralité, le résultat obtenu dans cette Noie est loin 
d'épuiser la question. Il signale un cas qui, suivant lui, ne rentrerait dans 
aucun de ceux qu'a prévus M. Painlevé. 

Appell. — Reniartuie sur la Conimuniciitioii précédente de M. Lévi- 
Civita. (Sg;)). 

.M. Appell fait remarquer que les forces vives indiquées par .M. Painlevé com- 
prennent notamment les forces vives de la forme 



(i) 



X [t, (^'|, . . ., x'i) X,, . . ., X,) + T^ (•Z'/Vn ■ • -j X'„', ■^, + 1. • • ■ 1 •^„ )] 



et que ces der:iiére5 renferment toutes les forces vives qui comportent une 
transformation infinitésimale en elles-mêmes. La force vive d'un solide fixé par 
un point, citée par M. Civita, possède trois transformations infinitésimales dis- 
tinctes; elle est donc réductible d'une infinité de manières à la forme (i), 

Picard (Em.). — Sur les résidus des intégrales doubles des 
fonctions rationnelles. (433-438). 

.M. Poincaré a étendu le théorème de Cauchy aux intégrales doubles de foric- 
tions de deux variables complexes et introduit dans la Science la notion de 
résidu d'une intégrale double de fonction rationnelle. M. Picard s'est placé à 
un autre point de vue pour faire le calcul de ces résidus. Il indique avec 
quelques détails la marche à suivre pour traiter la question dans toute sa géné- 
ralité. 

Pellet. — Sur la tliéorie des surfaces. (4oi-4o2). 

Si l'on rapporte une surface au système d'axes rectangulaires formé par la 
normale et les tangentes aux lignes de courbure en un point, on aura 

1 , , , ,, \ Ida . ^ da . . àb , db ,\ 

z — - ( ax^ 4- by ) + ^ ( -r- ^ + 3 -r- x^y -H 3 , - xy -+- -r— J' + • • ■ > 

2 -^ ' b\ds ds, -^ as -^ as, J 

a. b désignant les courbures principales et -— > -— indiquant les dérivées. 

Os os, 

prises par rapport aux arcs des lignes de courbure tangentes aux axes des x et 
des y. 

Cette formule jjcrmct de calculer très simplement certains éléments infinité- 
simaux d'une surface et d'en exprimer très aisément les propriétés. 

Riquler. — Sur la réduction du problème général de Tinlégration. 
(490-491). 

M. Hiquier imlique une nouvelle réduction qu'il vient de faire subir au pro- 
blème général de l'iiité^-'iation. Il rappelle d'abord la définition suivante : 



HKVllI-: l)i:S PUBLICATIONS. ir. 

Étant donné un système du premier ordre résolu par rapport à un certain 
nombre de dérivées, on peut en écrire les diverses équations dans les cases d'un 
quadrillage rectangulaire dont les lignes correspondent aux variables indépen- 
dantes et les colonnes aux fonctions inconnues. Parmi de tels systèmes il y a 
lieu de distinguer, sous le nom de systèmes régulieis, ceux dont les lignes 
peuvent être rangées dans un ordre tel que, en faisant abstraction pour un 
instant des colonnes vides et des colonnes pleines, chacune des autres, parcourue 
de haut en bas, soit formée par la succession d'un fragment vide et d'un frag- 
ment plein. Enfin, on appellera système simple un système dont le tableau ne 
contient, avec une seule ligne entièrement pleine, que des lignes absolument 
vides. 

Cela posé : 

1° Tout système orthonome, passif et linéaire du pi'emier ordre, peut, par un 
simple changement linéaire et homogène des variables indépendantes, se rame- 
ner à un système régulier, passif et linéaire du premier ordre, dont les co- 
lonnes comprennent respectivement les mêmes nombres d'équations que les 
colonnes correspondantes du proposé; 

2° Dans tout système régulier, passif et linéaire du premier ordre, la recherche 
d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données se ramène à 
une recherche semblable exécutée successivement sur divers systèmes simples. 

En résumé, l'intégration des sylèmes différentiels quelconques est réductible 
à celle des systèmes simples. 

Hadamard. — Théorème sur les séries entières (49^-)- 

Étant données les séries entières 

f{x) — a^+ a^x + a.^x^ -\- . . .^n a„,a7'"^-. . . , 
o (a;) = è„-t- ft, .r -I- b^x- +. . .-i- b^^x"* -i-. . ., 

si l'on multiplie entre eux les coefficients correspondants, la série ainsi 
obtenue 

4'(.r ) = a„fej-i- a|6, J7 -t-. . .-I- «„, *^^'"-t-. • • 

n'a, dans tout le plan, d'autres points singuliers que ceux qu'on obtient en 
multipliant l'affixe d'un point singulier àt f par l'affixe d'un point singulier 

de ». 

Duporcq. — Sur les centres de gravité des surfaces parallèles à 
une surface fermée. (492-493). 

Le lieu des centres de gravité A des surfaces S, parallèles à une même sur- 
face fermée, est une conique (A). 

Quand les surfaces S s'éloignent indéfiniment, le point k tend sur (A) vers 
une position limite C; soit (B) la tangente à (A) au point C : la droite (B) 
est le lieu des centres de gravité des courbures moyennes des surfaces S et le 
point C est, pour toutes ces surfaces, le centre de gravité des courbures 
totales. 

Il y a des cas particuliers où ce lieu des points A se réduit à une droite : 
celui, par exemple, où les rayons de courbure principaux de S sont liés par une 



i3r. SECONni-: pautii-. 

relation involulive, ce qui arrive lorsqu'une des surfaces fermées S est à cour- 
bure totale constante et encore si l'une délies est une surface minima. 

Picard {Ein.). — Sur la llicorie des surfaces algébriques au 
point de vue de la Géométrie de sitiialion el sur les intégrales 
de difTérenlielles totales. (532-533). 

L'auteur a montré dans des recherches antérieures l'intérêt qu'il )' a à intro- 
duire dans la théorie d('S surfaces algébriques les considérations d'Analysis 
silus. Actuellement il indii|uc un théorème qui complète celle élude en un point 
important. 

La première question qui se présente dans la théorie des surfaces algébriques 
est relative à la réduction des singularités. Il est possible de faire correspondre 
uniformément une surface /{j:, y, z) = o à une surface F d'un espace E à cinq 
dimensions, cette surface I' n'ajant aucun point multiple. Si l'on ramène à la 
surface d'une sphère chacune des dimensions complexes de l'espace E, on peut 
regarder la surface F comme étant un continuum fermé à quatre dimensions 
x'éelles ne se coupant pas lui-même. Or on sait, d'après Riemann et Betti, qu'il 
y a lieu, dans une variété à quatre dimensions, de considérer trois ordres de 
connexion p,, /?,, p^ relatifs respectivement à une, deux et trois dimensions. 
La variété ici considérée étant fermée, on aura p, = p^. 

Un résultat paradoxal obtenu antérieurement par M. Picard est relatif au 
nombre />, ; on a en général /),= i, c'est-à-dire (|ue tous les cycles linéaires 
d'ime surface se ramènent à un cycle nul. Ce n'est que pour des surfaces spé- 
ciales que /?, est supérieur à l'unité, et la question se pose de déterminer le 
nombre p, pour une surface donnée. Cette question est liée à la considération 
des différentielles totales attachées à la surface. 

Si une surface a une intégrale de première espèce, celle-ci aura au mtiins 
deux périodes, par suite Pi^'i, et il résulte immédiatement de là qu'il n'y a 
pas en général de telles intégrales. 

I)e plus une surface pour laquelle /?,= i n'a pas d'intégrale de dili'éreriticllc 
totale de seconde espèce qui ne se réduise à une fonction rationnelle de x, y, z. 

Enfin, et c'est là que l'auteur voulait en venir, toute surface algébrique 
possède Pi— i intégrales distinctes de différentielles totales de seconde 
espèce. 

Ainsi se trouve établie une relation étroite entre la connexion linéaire p^ et 
les intégrales des différentielles totales. D'ailleurs, le nombre des intégrales dis- 
tinctes de seconde espèce pouvant être obtenu par un calcul régulier, on a par 
là même l'ordre de la connexion linéaire. 

Pellet. — Sur les syslèiiics de surfaces orthogonales et iso- 
thermes. (552-554). 

Znicmba. — Sur la méthode des approxiniiilions successives de 
,M. Picard. (554-556). 

L'extension de la méthode des approximations successives de .M. Piciird aux 
i''(|ualinns aux dérivées partielles à trois variables indépendantes pouvant se 



KKVIH': DES PUBIJCATIONS. 1 3; 

incllre sons lii forme 

d- a ô- o fp '•? . l i)-^ ô'Z) &o 

'- _l_ t -\. L — -f i nr 1' - L . 1^ . — L . 



/ ()-^ O-o 0-i \ 



ôx- dy- dz- •' \ -^ dx dy 

dépend de trois tliéoièmcs que l'on pciil énoncer ainsi : 

So\lO{x, y, z, ç, T,, Ç) la fonction de Grcen relative à une surface fermée (S). 

Posons 

ç = {X -\)--r- {y -r,)--^{z — ■:,)■- 
et 

0{x,y,z,\.T„l)= --V. 
P 

1° On a, en désignant par Dv la dérivée première de la fonction v prise par 
rapport à l'une des variables x, y ou z, 

|Dvi<^, 

A étant une constante positive dépendant uniquement de la nature de la sur- 
face (S) et ne croissant pas indéfiniment lorsque l'étendue de cette surface 
décroît indéfiniment suivant une loi convenable; 

2° Si l'on désigne par D^v une des dérivées secondes de la fonction v prise par 
rapport aux variables x, y et ^, on aura 

la constante B jouissant de propriétés analogues à celles dont jouit la con- 
stante A ; 

3° L'intégrale 



/// 



D;V d\ dt^ rf!^, 



étendue à tout le domaine limité par la surface (S), ne dépasse jamais en 
valeur absolue une constante positive G dépendant uniquement de la nature de 
la surface ( S ). 

Moutard. — Sur les clifférentielles successives d'une fonction à 

plusieurs variables. (6'o3-6o7). 

Les différentielles successives d'une fonction de plusieurs variables sont des 
formes homogènes par rapport aux accroissements des variables. M. Moutard 
appelle solution d'une différentielle tout système de fonctions des variables 
qui, substituées aux accroissements, annulent cette différentielle. Cela posé, les 
dilTérentielles jouissent des propriétés suivantes : 

I. Lorsqu'il existe une solution commune à des diiïérentielles consécutives en 
nombre égal à celui des variables, cette solution appartient à toutes les dilTé- 
rentielles suivantes. 

IL Lorsqu'une dilTérentielle admet une solution multiple, cette solution ap- 
partient avec le même degré à toutes les suivantes. 

III. Lorsqu'un groupe de différentiel les consécutives, en nombre inférieur à 
celui des variables, admet une solution commune double, celle-ci est une solu- 
tion double de tout gi-oupe plus éloigné. 



i38 SECOND!' PAirill'. 

IV. Lorsque deux différentielles consécutives admettent un diviseur commun 
(fonction des accroissements), ce facteur se retrouve dans les suivants. 

V. Lorsqu'une différentielle admet un facteur multiple, ce facteur entre au 
même degré dans les suivantes. 

Ces propositions suggèrent des problèmes de Calcul intégral très varies, dont 
la résolution se rattache étroilement, comme le montre l'auteur, à la méthode 
employée pour la démonstration de ces propositions. Voici les plus simples de 
ces problèmes : 

1° Intégrer l'équation différentielle qui résulte de l'élimination des accroisse- 
ments entre les différentielles consécutives en nombre égal à celui des variables ; 

1" Intégrer l'équation résultant de l'élimination des accroissements entre les 
dérivées premières d'une différentielle par rapport aux accroissements. 

Marotte. — Sur la détermination du groupe des transformations 
d'une équation diftérentielle linéaire. (608-610). 

L'auteur fait voir que les divers résultats obtenus dans la théorie des groupes 
par MM. Klein, Jordan, Lie, Painlevé permettent de résoudre complètement la 
question suivante : 

u Reconnaître si une équation linéaire donnée admet comme groupe de trans- 
formations un groupe donné, c'est-à-dire un groupe tel que toutes les con- 
stantes entrant dans les équations du groupe sont connues numériquement. » 

S'attacliant en particulier aux équations du second ordre, M. Marotte montre 
qu'un théorème de M. Painlevé permet la détermination effective des transfor- 
mations d'une équation de cet ordre ou ramène cette détermination à la 
recherche de deux nombres entiers p et q satisfaisant à une certaine condi- 
tion. 

Kéciproquement, on peut construire effectivement toutes les équations li- 
néaires du second ordre admettant un groupe de transformations donné. Cette 
dernière proposition complète les théorèmes de ISL Klein sur la formation des 
équations du second ordre intégrables algébriquement. 

Brioschi. — Sur la transformation des équations algébriques. 
(661-665). 

Guichard. — Sur les congruences associées. (669-6-1). 

Deux congruences qui se correspondent droite par droite sont dites par l'au- 
teur associées lorsque les propriétés suivantes se trouvent réalisées : 1° les dé- 
veloppables se correspondent; 2° les arcs correspondants des arêtes de rebrous- 
sement de ces développables sont égaux; 3° les distances focales correspondantes 
sont les mêmes. 

M. Guichard montre comment ces congruences particulières se rattachent aux 
systèmes cycliques de Ribaucour, et de ce rapprochement déduit une propriété 
caractéristique de la représentation sphérique des congruences qui ont une 
associée. 

Il fait voir que la rerherchc de ces congruences dépend de la ronnais'^ancc 



in:\ui-: dks puhlicatiOxNS. 139 

de trois suifuces qui ont môme représentation si)iiéri(|iie de Icuis lignes de 
courbure, et pour terminer il énonce les propriétés suivantes : 

1° Les réseaux conjugui'S découpés par les développahles sur les deux con- 
grucnces se correspondent; 

■2" Si l'une des deux conijruences est une congruence de normales à une sur- 
face, il en est de même de l'autre. Les surfaces correspondantes ont aux points 
correspondants les mêmes rayons de courbure; 

3° Si les dévc!oppai)Ies de l'une des congruences correspondent aux lignes de 
courbure d'une focale de cette congruence,. il en est de même pour la con- 
gruence associée. 

Il est intéressant d'examiner le cas où une congruence peut être associée à 
plusieurs autres. Il faut pour cela que deux systèmes correspondants de sphères, 
touchant les deux nappes de leur enveloppe suivant des lignes de courbure, 
aient leur centre en ligne droite avec un point fixe. 

Beudon. — Sur les singularités des équations aux dérivées par- 
tielles. (()-i-6-3). 

Cette Note a pour objet d'étendre la notion de caractéristique aux équations 
aux dérivées partielles linéaires et du second ordre à plus de deux variables 
indépendantes. 

Soit l'équation 



I Va,,;,,. 



à-. 



PiV — XT 



àx,dx. 



où les \-f. et cp sont des fonctions de z, x., ..., a:„ et des dérivées du premier 
ordre i -j-- =/>,)• Si l'on se donne une multiplicité ponctuelle an — i dimen- 
sions et une orientation d'éléments du premier ordre unis le long de cette 
multiplicité iM,',_,, on définit de ce chef une multiplicité intégrale à n dimen- 
sions de l'équation proposée. La multiplicité initiale iM,',-. peut être définie en 
se donnant z, ^„, /?„ arbitrairement en fonction de x^, . . ., J7„-i ; />,. ■ ■ • , P„^i 
étant déterminées par les relations 

àz dx„ , . 

Pour qu'il y ait indétermination, il faut et il suffit que les fonctions z, x^, /?„ 
vérifient les conditions 

n — 1 n — 1 « - I 

dx„ dr,, v^ . d.r,, 



^^ L^ ' dx ■ dx, X^ ' ax^ 

n-l X " - ' 

y y A . ( — ^ _ ^ 'l^in ) — y A '^ 

jL^ ^ f \6)a;. ùxi dx,J ^ '<"' dx 
0=1 i—i ■ 0=1 



a = 0. 



'<^ _ ^ ']Rjl\ — y a ^' 

ôXj^ ùxi dx^ 1 À 
p = i i^\ ' pr 

On dira alors (ju'on a affaire aune multiplicité singulière M^,-,- M- Beudon 



i4o SECON'DU: l'A H Tl 11. 

développe les principales propriétés de ces multiplicités singulières. Les résul- 
tats sont d'ailleurs analogues, quoique d'énoncé plus compliqué, dans le cas 
des équations d'ordre et de forme quelconques. 

Boi^eL [Em.). — Sur rinlerpolation. (Ô^S-ôjo). 

Pour former une fonction entière /(^), qui pour z = a,, a,, ... prenne les 
valeurs c,, c,, ..., on calcule la fonction entière 9(^), qui s'annule pour 
z = a,, a^, . . ., et l'on a 



/(-') = 2 



c„?(-) 



(•= — «„)?'( «„ '. 



La seule difliculté est relative à la convergence de la série. M. Borel indique 
comment dans un cas très étendu on peut rendre la série convergente en rem- 
plaçant '-siz) par o{z) 0{z), 6(5) étant un polynôme ou une fonction entière 
suivant les cas. 

Une remarque intéressante est qu'on peut dans certains cas rendre déterminé 
le problème indéterminé de l'interpolation au moyen d'une condition d'inéga- 
lité; cela d'ailleurs n'est possible que si les données elles-mêmes vérifient des 
conditions du même genre. 

Par qutîlques exemples bien choisis, M. Borel montre rinlérét qu'il y a à 
rapprocher de la théorie des zéros des fonctions entières et du problème connu 
de l'interpolation les nombreuses questions dans lesquelles on se propose de 
déterminer une fonction par des conditions discrètes quelconques. 

Goursal. — Sur les difTérenlielles successives d'une fonclion de 
plusieurs variables indépendantes. (6'-6). 

Réclamation de piiorité à propos de quelques-unes des propositions contenues 
dans la IS'ote récente de INI. Moutard {Comptes rendus, p. 6o3). 

Poincaré. — Les solutions périodiques et le principe de la 
moindre action. (-i3--i6). 

Un mouvement plan étant régi par les équations 

d^-x _ dU d-y _ ô\J 

dt- dx dl- ùy 

la trajectoire qui correspond à une solution périodique est une courbe 
fermée (T); mais la solution périodique peut être stable ou instable. Si la so- 
lution est instable, deux cas sont à distinguer : 1° les trajectoires correspondant 
aux solutions asymptotiques sont des courbes spirales s'enroulant autour 
de (T) et s'en rapprochant asymptotiquement sans la couper et sans se couper 
entre elles (solution instable dite de première sorte); 2° les solutions asym- 
ptotiques coupent une infinité de fois la courbe (T) (solution instable dite de 
seconde sorte). 

Cela posé, la condition nécessaire et suffisante pour qu'une solution pério- 
dique représentée |iar une courljc fermée (T) corresponde à une action 



: f'\J\}+h 



ds. 



HKVUli DES PUBLICATIONS. iji 

moindre que toutes les courbes fermées infiniment voisines, c'est que cette so- 
lution soit une solution instable de la première sorte. 

Si l'on fait varier tl'une façon continue la fonction U et les conditions ini- 
tiales du mouvement, de manière qu'une solution périodique varie aussi d'une 
manière continue, on ne pourra jamais passer directement d'une solution 
instable de la première, sorte à une solution instable de la seconde sorte. On 
pourra seulement passer d'une solution instable de l'une des deux sortes à une 
solution stable, ou inversement. 

Ce qui précède s'applique sans changement au cas du mouvement relatif. 

Baillaud. — Sur les quadralure.s mécaniques. (73"-"39). 
Pellet. — Sur la théorie générale des surfaces. (739-741)- 

Cosserat {E.). — Sur la déformation de certains paraboloïdcs et 
sur le théorème de M. Weingarten. (741-744)- 

L'auteur commence par établir que la recherche des surfaces applicables sur 
un paraboloïde tangent au plan de l'infini en un point du cercle de l'infini et 
la détermination des surfaces à courbure totale constante sont deux problèmes 
qui se ramènent l'un à l'autre. 

Considérant ensuite une transformation de Biicklund, ainsi déterminée 



()w 



p — q = q 



dx' X — y 

n , ' ^ , -, àa> 
=p, z--r- {x —y )-pg = 2-—) 

{p et g étant les dérivées partielles de z par rapport à :î; et à y; p' et g' celles 
de z' par rapport à x' et y' ; w une fonction des seules variables x' cl y'), il 
montre que l'équation du second ordre qui définit z' en fonction de x' et y' est 
l'équation bien connue dont dépend, d'après O. Bonnet, la recherche des sur- 
faces ajant pour élément linéaire 

àw j , . , ôw ,, 
as- = dx-+ 2 -— - cix cly + 2 --— , cly -, 

dx •' dy ^ 

tandis que l'équation qui définit z comme fonction de x cl y est celle dont 
M. Weingarten a fait dépendre la recherche des surfaces ayant ce même élément 
linéaire. 

Une autre transformation analogue 



x—y 



r)x'' 


P^ ny+^_\^--i'^ 


= p\ 


z-+{x-yY + pq = 2 — 



conduit pour s à la même équation que la précédente, et pour z' à l'équation 
que vérifient les coordonnées cartésiennes des surfaces qui admettent l'élément 
linéaire ci-dessus. 

L'équation de M. Weingarten se trouve par là rattachée aux équations anté- 
rieurement employées dans la théorie de la déformation des surfaces. 



\.\>. SECO.NDI-: PAUTIH. 

Cotlon. — Sur les équalions linéaires aux dérivées partielles du 
second ordre à deux variables. (744-74^)- 

Si l'on considère une équation aux déi'ivécs partielles du second ordre 
linéaire, à deux variables indépendantes, et le groupe formé par l'ensemble 
des transformations suivantes : changement des variables indépendantes et 
changement de la fonction «v en l{x^, x^)»', on peut se proposer de rechercher 
les équations qui admettent un groupe continu de transformations. 

M. Cotton a trouvé que ces équations rentrent dans l'un des quatre types 
canoniques déterminés en 1882 par M. Lie, pour les équations admettant une 
transformation de contact infinitésimale. Deux de ces groupes sont à trois pa- 
ramètres, deux à un paramètre. 

Certaines équations qui se rencontrent dans la théorie de la distribution 
électrique, celles auxquelles satisfont les fonctions sphériques, enlin l'équation 
dite des télégraphistes admettent un groupe continu à trois paramètres. 

Desaint. — Sur les propriétés des fonctions entières. [~^Çi--\'j). 

Énoncé de deux propriétés des fonctions définies, soit par des séries, soit par 
des équations dilTérentielles. Proposition permettant de caractériser comme 
uniforme ou comme non uniforme une fonction donnée par des valeurs sur un 
cercle et tendant vers une valeur connue quand l'aflixe de la variable s'éloigne 
à l'infini dans une certaine direction. 

Zaïemba. — Sur le problème de Dirichlet. (940-941). 

L'auteur montre que l'on peut étendre à l'espace le procédé alterné de 
M. Schwarz, en établissant le théorème suivant, relatif à une surface (S) 
fermée, simplement connexe, admettant en chacun de ses points des rayons de 
courbure déterminés, différents de zéro : 

« Si Y désigne la plus courte distance du point M{x,y', z) h la surface (S) 

et si l'on pose 

7-2= {x — x')--h {y~y)--h {z — s')-, 
la dilFérence 



Ids 



fu{x,y,z,x\y,z')f(x',y,z')ds- ^ f ~^^^^ 
tend uniformément vers zéro lorsque 7 tend vers zéro ». 

Cosserat [E .). — Sur l'emploi de l'espace à quatre dimensions 
dans l'étude des surfaces algébriques admellanl plusieurs séries 
de coniques. (ioo4-ioo8). 

Les surfaces F dont il s'agit sont celles dont les coordonnées homogènes a:,, 
x^, ^3, ^4 s'expriment en fonction de deux paramètres), et \x, par les formules: 

pjT;— {a-V--^- 6, A -F c,) U.-+ {a'iV-\- b\\ + c[)\j. + a",l--+- O'Il -+- c", 

où les a, h, c sont des cf)nstantes. Leur étude systématique exige d'abord la 
recherche de la courhc lieu des points multiples. Elle est facilitée et simplifiée 



IIHVUF, DKS PUBLICATIONS. i/,3 

par lu considération, tlans lespaco à qualri; dimensions, de la variété V lieu 
d'un point chinl les coordonnées homogènes a:,, ..., x^ sont définies par les 
f'orinules 

oii les /, sont cinq formes quadiatiiincs des quatre paramétres r,-. Aux diiïé- 
rents cas particuliers présentés par le système linéaire du quatrième ordre diUini 
par les cinq quadriques /, = o correspondent des variétés V particulières, au 
moyen dcsiiuelles on parvient à une classification complète des surfaces F. 

De Salvert. — Sur une formule d'Analyse relative à certaines 
intégrales de fonctions elliptiques par rapport à leur modide. 
(ioo8-ioio). 

La notion des intégrales elliptiques envisagées comme fonction de leur mo- 
dule joue un rôle considérable dans l'Analyse. Mais on s'est peu occupé de leur 
intégration par rapport au module. L'auteur fait connaître une formule, à 
laquelle il a été conduit dans ses recherches sur l'attraction du parallélépipède 
ellipsoïdal, où figurent des intégrales de première et de seconde espèce, inté- 
grées par rapport au module, et des intégrales de troisième espèce. 

Boulanger. — Sur l'intégration algébrique des équations dififé- 
rentielles linéaires du troisième ordre, (loi i-ioi3). 

Étant donnée une équation à coefficients rationnels 

( I ) y + 3 ay" + 3 by' + cy — o , 

les quotients U = j^'j : J', et V rr ^3 \ y^ de trois intégrales linéairement dis- 
tinctes vérifient un système (S) de deux équations différentielles du quatrième 
ordre; et la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale générale de 
l'équation (i) soit algébrique est que a n'ait que des pôles simples à résidus 
commensurables et que l'intégrale générale du S3'^stème (S) soit algébrique. 

A ce système l'auteur en substitue un autre formé de deux équations diffé- 
rentielles du quatrième ordre en P et Q, qui admet une intégrale (P, Q) ra- 
tionnelle, quand l'intégrale générale de (i) est algébrique et réciproquement 
(la condition relative à a étant toujours supposée remplie). Or, on peut recon- 
naître s'il existe une telle intégrale rationnelle et la déterminer dés qu'on a 
limité les degrés de P et de Q; c'est ce que l'auteur a pu faire dans deux cas 
(groupe G2,e de Hesse et groupe G^g de Klein). 

Demoulin. — Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à 
un complexe. (1077-10-9). 

Soient D une droite appartenant à un complexe quelconque et un point 
pris arbitrairement sur cette droite. On considère les courbes C dont les tan- 
gentes font partie du complexe et qui touchent en O la droite D. 

AL Demoulin, rectifiant un énoncé de AL Sophus Lie, montre quil existe en 
général la même relation linéaire entre le rayon de courbure p et le rayon 
de torsion x de chacune de ces lignes au point O. 



lU SECONDE PARTIE. 

Si la droilc IJ n"est pas singuliùrc. celle relalion peut s'écrire 
A B ^ 

P "^ 

A, B, C étant des constantes. 

Si la droite D est singulière et si le point O n'est pas le point de contact de 
cette droite avec la surface des singularités, le rapport de o à t est constant. 

Si la droite D est singulière et louche en O la surface des singularités, p est 
constant. 

Guichard. — Sur quelques applications de la lliéorie des sys- 
tèmes cycliques. (10-9-1081). 

Énoncé d'un théorème concernant ces systèmes; application à deux pro- 
blèmes : 

1" Trouver les surfaces dont les centres de courbure sont vus d'un point fixe 
sous un angle droit; 

2» Trouver les surfaces telles que les plans menés par une droite fixe el les 
centres de cotirhurc soient rectangulaires. 

Petroiilcli. — Sur un procédé d'intégration graphique des équa- 
tions dilïérenliellcs. (1081-1084)- 

Boussinesq. — Ecoulement graduellement yarié des liquides 
dans les lits à grande section fondamentale. {i.\Ç)Ç>-\'àoi). 

Joii Weber. — Sur les équations aux dérivées partielles du 
second ordre, dont les deux systèmes de caractéristiques sont 
confondus. (1215-1217). 

Considérant une équation du second ordre à caractéristiques confondues, 
l'auteur cherche toutes les caractéristiques du troisième ordre passant par une 
caractéristique donnée du second ordre. Il montre d'abord qu'en général une 
caractéristique du second ordre ne peut appartenir à plus d'une surface inté- 
grale, ce c[ui établit une différence profonde avec les équations à caractéris- 
tiques distinctes, toute caractéristique de ces dernières appartenant à une infi- 
nité d'intégrales. Il établit ensuite que l'ensemble des caractéristiques du 
second ordre appartenant à des surfaces intégrales non singulières ne dépend 
que de sept paramètres. Il détermine enfin les équations à caractérisliques con- 
fondues qui sont linéaires par rapport aux dérivées secondes. 

Cartaii. — Sur les systèmes de nombres complexes. (121--1220). 

Léineray. — Sur la convergence des substitutions uniformes. 
(1220-1222). 

Soient a un point racine de l'équation fx — x = o, fx étant une fonction 
holomorphc au voisinage de a, cl/" la «'*"'" itérative de /.r. Si p est un niul- 



IIKVUI-: DKS l'inn.icA rioNs. i./,-, 

liplo (lo //, |i(iiir (|iio les p |ireiiii(!'rcs dérivées (\cf"x—x s'annulent, au pdint. 
X ~ a, il l'iiiit cl il siidil (|u'il existe p:n rolalioiis cnnvenahles enlie les 
valeurs (jue prennent en ec point les flérivées de/./-. 

La substitut ion {x, fx) iii(l<''liiiiincnt iv-pcMée fournil , pour une viilour (lonni'C 
(le ,;■, (lr> \al(MU's (jui |n'M\eiil, (liiiis ccrlain-' i as, eonvei'gcr vei-s une larinea 
lie l'éiiuation fx — x — o. Soit toujours p un multiple de n. Si les /; pieniiùres 
dérivées de f"x — x sont nulles au point x = a (mais non la dérivée sui- 
vante), le cercle ilécrit de a comme centre avec un rayon inliniment petit se 
décompose en 2/? secteurs égaux qui sont alleinativement régions de conver- 
gence et régions de divergence |)our la suhstiliilioii cniisidi-réc ; TautiMir enseigne 
à distinguer les premiers des seconds. 

^ainlexé . — Sur les petits inoiivenients prrlodiquos des svslèmes. 
(i 222-122.")). 

M. Poincaré a discuté les mouvements périodiques d'un S3'stéme dans le voi- 
sinage d'une position d'équilibre, ce qui revient à étudier le système did'é- 
rentiel 

dx- 



(>; 



dl 



(7 = '. 



où les seconils meinhn^s sont nuls et lioloinorplics pour 

.r, = a', — . . . = J^„ = o 

et à chercher s'il existe des solutions périodiques d'aniplituile aussi petite qu'on 
veut et dont la période w reste inférieure à une limite finie \. Il a montré 
que oj diffère très peu de un- : A, m di'signant un entier et i\ une racine de 
l'équation 

= A(s). 

Mais la discussion ultérieure prête à une objection, que W. Painlcv(' in(li(|ueel 
qu'il réussit à Icvei-. Il arrive à cette conclusion : 

« Si réqualion A = o admet des racines purement imaginaires qui soient 
toutes simples et n'admet aucune racine nulle, le système (i) possède une infi- 
nité de solutions ])ériodiques réelles et distinctes qui diffèrent peu de la solu- 
tion x^^^ x^_^^. . .^B x^^^ n. » 

L'auteur énonce ensuite un théorème relatif au cas où A =; o admet une 
racine nulle et d'où résulte notamment cette conséquence : un solide pesant 
étant fixé par un point, il existe une infinité de mouvements périodiques réels 
dans lesquels le centre de gravité G reste très voisin de sa position la plus 
basse; en particulier, dans lesquels <i décrit un petit cercleautonr de la verti- 
cale. 

Lecornii. — Sur le rendement tles engrenages. (i225-i22j). 

Poincaré. — Sur les périodes des intégrales doidîles et le déve- 
loppeinenl de la fonction perturbatrice. (i2.')9-i 2()o). 

Bull, des Sciences matlicin., ■?." série, t. Wlf. f.luillcl rStjS.) R.io 



i46 SECONDE PARTIE. 

L'aulcur énonce quelques résultais qu'il a obtenus en appliciuant la théorie 
des périodes des intégrales douMcs au développement de la fonction pcrlurha- 
trice. 

Quand les deux excentricités sont nulles, les coefficients du développement 
sont des fonctions transcendantes des éléments, mais ils sont liés par des rela- 
tions de récurrence, de telle façon qu'il n'y a que cinq transcendantes distinctes. 

Quand les excentricités ne sont pas nulles, si l'on développe suivant les sinus 
cl les cosinus des multiples des anomalies excentriques, les coefficients sont 
liés par des relations de récurrence, de sorte qu'il n'j' a que seize transcen- 
dantes distinctes. 

Boussinesq. — Théorie générale des régimes graduellement variés 
dans l'écoulement tourbillonnant des liquides : formules de 
première approximation. (1261-1 26-). 

Pellet. — Sur les surfaces ayant même représentation spliénque. 
(129 1-1294). 

Goiirsat. — Remarques sur une Note récente de M. E. von Wehcr. 
(1294-1296). 

Les équations dont M. von Weber s'occupe à la fin de sa Note récente {voir 
ci-dessus), savoir les équations linéaires aux dérivées partielles du second 
ordre à caractéristiques confondues, ont été signalées, dès i8gi, par M. Cour- 
sai qui en a fait depuis une étude détaillée {Acta matliematica, t. XIX). 

Car tan. — Sur les systèmes réels de nombres complexes. (1296- 
1297)- 

Boussinesq. — Vérification expérimentale de la ihéorie de 
l'écoulement graduellement varié dans les canaux découverts. 
(1326-1 333). ' 

Pellet. — Sur les surfaces isométriques. (i33--i339). 

Painlevé . — Sur les petits mouvemeuls j)ériodi(|ues des SN'stèmes 
à longue période. (1 34o-i34'^). 

Aux résultats de sa dernière INotc, l'auteur ajoute celui-ci : « Si la fonction 
des forces est nulle et ma xi ma pour a", = a;, =;...= a;,, = o et si son développe- 
ment commence par des termes de degré supérieur au second, il existe dans le 
voisinage de la position d'équilibre une infinité de petits mouvements pério- 
diques, réels cl distincts; mais la période de ces mouvements tend vers l'infini 
quand leur amplitude tend vers zéro. » 

l*oincaré {IL). — Sur les fonctions abélicnncs. (i4o--i4i i)- 

Le thcorèiiie fondamental de Riemann, aux termes duquel mute fonction 



UEVUE DES PUHLICATIONS. i/,; 

uniforme de p variables, ip fois [)ério<lic|iie, est le quolicnt <le deux fondions 6, 
peut être établi, comme lont jadis montré MM. Poincaré et Picard, si l'on 
admet ce lemme : entre />-t-i fonctions uniformes de p variables, ip fois pé- 
riodiques, sans point sinijulier essentiel à dislance finie, il y a toujours une 
relation algébrique. 

M. Poincaré revient aujumd liui sur ce lenmie et résume la diMiionstration 
qu'il en a trouvée. Il donne ensuite une nouvelle démonstration du théorème 
fondamental. 

Boussinesq. — Expression des petites composanles transversales 
de la vitesse dans les écoulements graduellement variés des 
li(|uides. (i4 i i-i4 i6). 

Cosserat {E.). — Sur les surfaces qui peuvent, dans plusieurs 
mouvements dilîérents, engendrer une famille de Lamé. (142C- 

1428). 

Aux quelques surfaces connues qui jouissent de la propriété énoncée M. Cos- 
serat en ajoute une nouvelle, en indiquant deux démonstrations du théorème 
suivant : 

« Toute cyclide de Dupin peut, dans deux mouvements dififérents, engendrer 
une famille de Lamé; parmi les mouvements qui résultent de la composition 
des deux premiers et qui jouissent de la même propriété à l'égard de la sur- 
face, se trouvent deux rotations autour des deux droites rectangulaires D et A 
par lesquelles passent respectivement les plans des deux séries de lignes de 
courbure de la cyclide de Dupin considérée. » 

A l'égard des familles de Lamé engendrées par la cyclide de Dupin tournant 
autour des droites D et A, les surfaces qu'il faut leur adjoindre pour composer 
un système triple orthogonal sont, l'une composée de sphères de rayon variable, 
l'autre de surfaces qui (à une exception près) sont toutes égales entre elles, 
mais transcendantes. 

Darboux. — Observations relatives à la Communication précé- 
dente. (1428). 

M. Darboux fait observer qu'on rend intuitif le théorème de M. Cosserat en 
remarquant que toute cyclide de Dupin est, de deux manières différentes, une 
surface de Joachimsthal, et que toute surface de Joachimsthal engendre une 
famille de Lamé en tournant autour de la droite par laquelle passent les plans 
de ses lignes de courbure planes. 

Bourget [H.). — Sur une classe de fonctions hyperabéliennes. 
(1428-1431). 

Étude du groupe hyperabélien, auquel conduisent les recherches de MM. Her- 
mite et Picard, formé de substitutions non linéaires relatives aux périodes des 
intégrales normales de genre deux. 



i.i8 S1>:C()NI)K l'AllTiE. 

Kn redierchant l'effet des subslitulions foiulamcntales de ce groupe sur les 
dix fonctions Sr paires à arguments nuls, l'auteur a reconnu que ces fonctions 
se permutent, à des factcnrs constants près, ce qui l'a conduit à partager les 
fonctions Sr en deux groupements, dont chacun forme comme un système 
ferme. 

BourhH. — Sur cerlaines ('([nations analogues aux équations 
différentielles. (i43 i-i433). 

Soit G le symbole opératif d'une transmutation addilive donnée. Désignant 
par G-, G-\ ... les puissances symboliques de cette opération, et se donnant 
une relation telle que 

( 1 ) p^ k'" u -^ /?, G'"-' M + . • . -)- /?„,^ I f « + /?„, Il — o, 

on a une sorte d'équation opérative pour déterminer la fonction inconnue «de 
la variable x. Cette équation est analogue non seulement par sa forme, mais 
par ses propriétés, aux équations différentielles linéaires. Ainsi, quand les coef- 
ficients p- sont des constantes, dès que l'on connaît une fonction ']/{.r, r) véri- 
fiant ré(|uation 

on obtient ni intégrales de l'éfjuation (i) en donnant à /■ les m valeurs racines 
de l'équation 

Po '"" + /'i /■'"-' -H . . . + /?,„_, /• + p.„ = o. 

Au moyen de ces considérations, l'auteur est parvenu à un nouvea\i procédé 
pour intégrer l'équation fonctionnelle de Schriider. Généralisant la notion 
d'équation opérative dont la relation (i) n'offre qu'un type très particulier, il 
a établi que les seules équations opéralives dont la théorie puisse présenter des 
analogies avec celle des équations difTérentielles ordinaires sont les équations 
fonctionnelles opéra tives. 

Appell. — Observations sur la Comnuinication précédente. (i433- 
.434). 

Mention des différences de principes et des atiaiogics de résultats entre les 
travaux de i\I. Mourlct et ceux de M. Pinclierle, professeur à l'Université de 
Bologne. 

Lci'i-Cnila. — Sur une classe de ds- à trois variables. (i434- 
.438). 

Tous les types de force vive, actuellement connus, dont les géodésiques pos- 
sèdent une intégrale quadratique, sont réductibles aux formes de ISI. Stackel ou 
de M. l'ainlevé. M. Levi-C.ivita consiilère les forces vives à trois variables 

;t 
telles i|ue /j|/j, — const. soit une inti-grale pour le^ g('o(lési(|ucs. Il délermine 



REVUI< DKS PUBLICATIONS. i If) 

cxplicilcment l'expression H de toutes ces forces vives qui forment une classe 
assez étendue. Il montre ensuite (jne ces forces vives ne sont réductibles ni à 
la forme de Stiickel, ni à celle de .M. l'aiiilcvé. 

Picard. — Sur rintégration de réfjiKilion A// = F(«, x,/^)- 

(i488-i49o). 

Dans des recherches antérieures, M. Picard a montré que, si V {u,x,y) est 
une fonction continue de u, x, y pour toute valeur réelle de m quand le 
point {x, y) est dans une certaine région R du plan et si, de plus, celte fonc- 
tion croit toujours avec m, il n'y a qu'une seule intégrale de l'équation 

d-u d-ii 

dx- ây- -^ 

qui soit continue dans un contour et prenne des valeurs données sur ce contour. 
Il a enseigné à calculer cette intégrale, dans le cas où la fonction F est toujours 
positive. Il établit présentement que la même méthode de recherche est appli- 
cable quand la fonction F peut s'annuler. 

Picard. — Sur les fondions uniformes quadruplenient pério- 
diques de deux variables. (1490-1491). 

Pour établir les relations entre périodes sur lesquelles repose leur démons- 
tration du théorème fondamental, relatif aux fonctions uniformes an fois 
périodiques de n variables, ALM. Poincaré et Picard considéraient des intégrales 
simples de différentielles totales relatives à une certaine surface. M. Picard 
montre que ces relations peuvent être déduites des propriétés des intégrales 
multiples. 

Boussiiiesq. — Parties tournantes des composantes transversales 
de la vitesse dans un écotilement permanent graduellement 
varié. (1492-1497). 

Iladamard . — Sur les lignes géodésiqiies des surfaces à cour- 
hures opposées. (i5o3-i5o5). 

La surface est supposée à courbures opposées, sans singularité à distance 
finie et d'un ordre de connexion supérieur à deux; les nappes à l'infini sont 
supposées évasées. Dans ces conditions, les géodésiques se répartissent en quatre 
catégories : 1° géodésiques fermées (formant une infinité dénombrable) ; 2° géo- 
désiques asymptotes aux géodésiques fermées; 3° géodésiques s'éloiguant à l'in- 
fini sans alternative de retour à distance finie; 4'* géodésiques s'approchant 
d'une infinité de géodésiques fermées, avec apparence asymptotique, puis s'en 
éloignant. 

Dans le voisinage immédiat de toute géodésique qui reste à distance finie, il 
existe des géodésiques appartenant à l'un des quatre types ci-dessus. 

Miller (J.-A.). — Sur Ténumération des groupes primitifs dont 
le degré est inférieur à ij. (i5o5-i5o8). 
Bull, des Sciences niathéni., 1" série, t. XXII. (Août i8f>8.) R.n 



i5o SECONDE PARTIE. 

L'aulenr a examiné à nouveau tous les groupes possibles primitifs dont le 
dc^ié ne dépasse pas ifi, et il en a trouvé quelques-uns qui avaient échappé à 
j-es prédécesseurs. Voici le Tableau qui résume celle longue et laborieuse re- 
ciicrclic : 

Degré iî 4 ô 'i 7 8 9 10 11 12 i3 1 '| lô i() 

Nombre i 'i 5 4 7 7 " 'J ^ ^ f» 4 <j 22 

Le lioy. — Sur la délerminalion des intégrales de certaines éqtia- 
lions aux dérivées parlielles non linéaires par leurs valeurs sur 
une surface fermée. (i5o8-i5o9). 

Par une apidicalion nouvelle de la métliodc des approxiinalions successives à 
l'i^qnal ion 

AU = i/({:,x,y,z) -+- ■^{x,r,z), 

où ç désigne une conslanle posilive et _/" une fcmclion croissante avec Lî el nulle 
pour U = o, l'auteur détermine une intégrale U continue qui s'annule sur une 
surface fermée. De la sorte, l'intégration de l'équation 

AU = F{U,a7, y, s), 

oii I'' croit avec U, est ainsi ellccluée par une véritable mélliodc de prolonge- 
ment analUique. Ces résultats s'étendent à des équations d'un type plus général. 



SITZUNGSBERICllTE dkr K<)Niglicii Phelssisciien Ak.voemu: der Wissex- 

SCIIAFTEN ZU BkRLIN, 189J. 

I*"' semcslro. 

] oael {C .). — Nouvelles recherches sur les spectres des planètes. 

(5-.5). 

Parmi les conclusions auxquelles parvient !\I. Vogel citons celles-ci, qui ont 
un intérêt général : 

1" L'atmospliérc de Mars est de nature intermédiaire entre celles de la Lune 
et de Mercure d'une part el celles de Jupiter et de Vénus d'autre part; sa den- 
sité est comparable à celle de l'atmosphère terrestre. 

2" Il semble que les atmosphères des satellites de Jupiter soient semblables 
à celle de Jupiter lui-même. 

.'{" Il ne se peut pas que les anneaux de Saturne émettent de la lumière par 
suite de chocs des corpuscules dont on les suppose formés. Il est certain que 
la raie d'absorption ). 618 \x^ qui est caractéristique pour le spectre de Saturne 
manque dans le spectre des anneaux. La grande intensité de lumière des 
.iniH.Miix relativement à celle de .Saturne s"c\pli(|iu' en admettant (|u'il n'y a 



HEVUli DHS PUBLICATIONS. lu 

)>;is (r.ilmosi)lièic aulour îles annciiiix, laiulis que celle de Saliirne csl liés 
(leiisc. 

Kroncckcr {L.). — Extrait d'une Irltrc adressée par \^. Kro- 
iiecker à M. Dedckind, le i5 mars i«S8o. (ii5-ii-). 

Kroncckcr annonce à M. Dcdckiiiri i|ii"il est parvenu à dénionlrcr (jue l'élude 
des é<|tiulious abéliennes, ddril les cncfliciciiis dépendent rationnellcincnl de 
racines carrées de nonihres ralionnids, se ramène à celle des équaliijns de 
transfornialion des fondions cllipli(iues ù modules singuliers, toul comme 
rélude des équations abéliennes à coelTicienls ralionnels se ramène à celle des 
équalions de la division de la circonféi-ence du cercle en parties égales. 

Cette élude et les propriétés arilliméliques des racines de ces équalions qui 
en découlent reposent essentiellement sur ce que, d'une part, les racines des 
équations abéliennes sont aussi voisines que possible des nombres rationnels, 
en ce sens que si le degré de ces équations est, par exemple, un nombre j)re- 
mier /?, les radicaux qui figurent dans les racines de ces équations ont comme 
indice, non pas le nombre/?, mais seulement V un des facteurs premiers de p 
(dans le sens donné par Kronecker à ce mol dans sa dissertation inaugurale) 
formé au mojen de racines {p — i)'ème5 jg l'unité; et que, d'autre part, les 
racines des équations de transformation tles fonctions elliptiques à modules 
singuliers sont encore plus voisines des nombres rationnels que ne le sont 
toutes les racines des équations abéliennes, en ce sens que si le degré d'une 
équation à module singulier est un nombre premier/» par exemple, le nombre 
dont il s'agit linalemenl d'extraire la racine est une p'^'"' puissance dans le 
sens arithmétique du mot; ce nombre qui est de la forme a -H i v — i*; o" ^' 
et b dépendent de racines /><"" de l'unité, est, en effet, la p'*'"' puissance d'un 
nombre idéal de Kumtner. 

Frobenius {G.). — Sur les groupes finis. (iG3-i<)'|)- 

I. Dans ses Cours et dans plusieurs de ses publications, Kronecker a insisté 
à plusieurs repiises sur les avantages qu'il y a à exposer et à dévebjpper les 
théories de Galois en étudiant, au moins au début, au lieu des propriétés des 
substitutions, celles des ensembles d'objets soumis à des opérations déter- 
minées. C'est à ce point de vue que se place M. Frobenius; il en résulte que, 
dans ce Mémoire qui sera sans doute suivi de plusieurs autres, il emploie une 
terminologie un peu ditïéiente de celle de la théorie des substitutions. Parmi 
les résultats qu'il obtient, quelques-uns sont nouveaux ; d'autres, quoique bien 
connus, sont intéressants par la façon dont ils se présentent; il convient d'in- 
sister particulièrement sur ce que la notion d'isomorpliisme mériédrique, ainsi 
que celle d'un certain isomorphisme plus général envisagé par M. Capelli, sont 
rendues entièrement inutiles par l'introduction des facteurs d'un groinic. 

Il semble donc nécessaire, malgré les redites inévitables pour le lecteur 
familiarisé avec la théorie des substitutions, de préciser d'abord la termino- 
logie emploj'ée par M. i-robenius. 

Soit un système d'éléments bien définis tels que deux quelconques d'entre 
eux A, B en engendrent un troisième AB au moyen d'une opération satisfaisant 
aux quatre conditions suivantes : 



r?. SI'CONDE PAIITIE. 

1° Elle est univoque : si .\ = A' et si B = B'; on a donc AB = A'B'; 

•2° Elle csl univoquemcDt réversible : si AB = A'B', chacune des deux éga- 
lités A = A', B = B' entraine donc l'autre; 

3° Elle est associative, mais n'est pas nécessairement commutalive : on a 
donc (AB)C = A(BC), mais on n'a pas nécessairement AB =: BA, de sorte que 
A et B ne sont pas nécessairement éclian^'cables; 

4° Son effet est limité, de sorte que, quel que soit le nombre de fois que l'on 
répète l'opération sur un nombre fini et déterminé d'éléments, ou n'obtient 
qu'un nombre fini et déterminé d'éléments. 

Il en résulte que parmi tous les éléments envisagés il y en a nécessairement 
un, et un seul, E, pour lequel on a EE = E; il en résulte aussi que, à chaque 
élément A, en correspond un autre et un seul A-', tel que l'on ait 

AA ' = A-'A = E. 

On nomme E Vêlement principal ; on nomme A-' Vêlement réciproque de A. 
On exprime que plusieurs éléments A,, A,, A3, ..., A„, sont envisagés simul- 
tanément comme formant un ensemble a en écrivant 

a = A, -f- Ao-r- Aj-f-. . .-f- A„,, 

et que plusieurs ensembles d'éléments a, P, y, ••• sont envisages simultané- 
ment comme formant un nouvel ensemble 2. en écrivant 



On n